Aplicação do Método de Barreira Logarítmica na Resolução de um Problema de Programação Linear.

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1 Aplicação do Método de Barreira Logarítmica na Resolução de um Problema de Programação Linear. Rodrigo Romais (FCSGN) 1 r.romais@gmail.com Resumo: Métodos numéricos de Ponto Interior são extremamente úteis na resolução de muitos problemas que em geral são modelados por problemas de programação linear e programação não linear, e surgem como alternativa para a obtenção de resultados que nem sempre podem ser obtidos por procedimentos analíticos. Dentre os métodos numéricos de ponto interior, utilizados para a resolução de problemas de programação linear, destaca-se o Método de Barreira Logarítmica, em específico o Primal-Dual, pela simplicidade de implementação computacional. Em se tratando da resolução numérica de um Método de Ponto Interior, este trabalho objetiva apresentar e aplicar o Método de Barreira Logarítmica Primal-Dual na resolução de um Problema de Programação Linear, baseado em uma pesquisa de mercado utilizando o software MATLAB para implementação computacional. Palavras-chave: Métodos de Ponto Interior; Programação Linear; Método de Barreira Logarítmica Primal-Dual. Abstract: Numerical methods Point Interior are extremely useful in solving many problems that are usually modeled by linear programming problems and nonlinear programming, and are an alternative to obtain results that cannot always be obtained by analytical procedures. Among the numerical methods of interior point, used for solving linear programming problems, there is the logarithmic barrier method, in particular the Primal-Dual, the simplicity of computational implementation. In terms of numerical resolution of a Point Method interior, this work aims to present and apply the barrier method logarithmic Primal-Dual in solving a linear programming problem, based on market research using MATLAB software for computational implementation. Keyword: Methods Point Interior; Linear Programming; Barrier Method Logarithmic. 1. INTRODUÇÃO BAZARAA Em se tratando da resolução de um problema de Programação Linear (PL) destacam-se os Métodos de Ponto Interior (MPI) e o também o Método Simplex assim como descreve Bazaraa et. al. (1983). Ambos os métodos são eficientes, porém, enquanto o Método Simplex faz muitas iterações pelas arestas, enquanto o Método de Ponto Interior faz poucas iterações caras partindo de um ponto interior. 1 Rodrigo Romais, Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT, Sinop, 2011), Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista Julho de Mesquita Filho (UNESP, Ilha Solteira, 2014). Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: r.romais@gmail.com. Maio de

2 A solução gerada pelo Método Simplex necessariamente é um ponto extremo. Parte inicialmente de um ponto extremo, caminha-se pelas arestas até encontrar um ponto de solução ótima, depois de varias iterações. Uma solução gerada pelo Método de Ponto Interior necessariamente é uma estimativa, um ponto próximo. Inicialmente parte de um ponto contido na região factível de um Problema de Programação Linear (PL), com algumas iterações chega a uma solução estimada do problema, isto é, o ponto interior encontrado é uma solução aproximada quando comparada a solução encontrada pelo Método Simplex. A Figura 1 a seguir representa uma região factível (R) de um PL limitado qualquer, sujeito a restrições de desigualdades conforme indicam as setas. Figura 1 Região Factível de um Problema de PL Fonte: Próprio Autor. Graficamente, o exemplo exposto na Figura 1 apresenta quatro candidatos a ponto ótimo do problema. Isto é, os pontos extremos que formam a região sombreada são candidatos a ponto ótimo do PL. Neste trabalho será resolvido um Problema de Programação Linear utilizando um dos Métodos de Ponto Interior, em específico, o Método de Barreira Logarítmica Primal-Dual. 2. PROBLEMA MODELO O problema modelo é governado pelo seguinte problema de programação linear: Uma fábrica de TV fabrica dois tipos de produtos: TV em cores e TV em preto e branco (PB). Uma pesquisa de mercado indica que podem ser vendidas no máximo 3000 unidades de TV, em 2

3 cores ou em preto e branco por mês. O máximo de horas por operário disponíveis por mês é de Uma TV em cores requer 20 horas por operário e uma TV-PB requer 12,5 horas por operário. O Lucro por cada unidade vendida de uma TV em cores é $60,00 e de uma TV-PB é de $30,00. Quantas TVs de cada tipo são necessárias produzir para maximizar o lucro? Deseja-se montar o PL mostrado anteriormente, e consequentemente, maximizar o lucro da função objetivo. Sujeito as restrições: Em que: : Função Objetivo do PL; : Número de TVs em cores; : Número de TVs em preto e branco A Figura 2 a seguir representa a região factível do problema modelo. Figura 2 Representação Gráfica do Problema Modelo Fonte: Próprio Autor 3

4 Deseja-se resolver o problema de programação linear utilizando um dos Métodos de Ponto Interior, em específico, será utilizado o Método de Barreira Logarítmica Primal-Dual, assim também como propõe Caloba et. al. (2006) e Lázaro (2010). 2.1 Métodos de ponto interior Basicamente, os métodos de Ponto Interior são extremamente úteis para resolver problemas de programação linear e problemas de programação não linear, devido à necessidade de implementação computacional, já que, tais procedimentos numéricos tornam-se inviável por procedimentos analíticos. Os Métodos de Ponto Interior evitam essas dificuldades, utilizando meios alternativos para obter solução de um problema. A Figura 3 representa a trajetória de um Método de Ponto Interior versus um Método Simplex: Figura 3: MPI versus Método Simplex Fonte: Próprio Autor Na Figura 3 ocorrem varias iterações do Método Simplex pelos vértices da região factível, caminhando pelos pontos extremos, enquanto que, o Método de Ponto Interior ocorre internamente da região factível, fazendo poucas iterações, porém implexas. A trajetória, com, representa o curso realizado pelo MPI, e a trajetória, com representa a trajetória do Método Simplex, o vetor indica a direção de melhor descida, aponta para a solução ótima. 4

5 Em linhas gerais, o Método de Ponto Interior pode mostrar uma melhor trajetória para encontrar a melhor solução para o problema, porém, esta solução requer processos computacionais sofisticados pelos pontos interiores. O Método para resolução deste problema modelo é o Método de Barreira Logarítmica Primal-Dual. Para tal, precisa-se admitir um PL Primal em sua forma generalizada, conforme expressa o sistema (1). Sujeito a: (1) O dual do PL do sistema (1) é escrito conforme o sistema (2). Sujeito a: (2) Incrementando as variáveis de folga no sistema (2), obtém-se o sistema (3) Sujeito a: (3) Em que:,,, Utilizando-se do artifício da função de Barreira Logarítmica para retirar a restrição de desigualdade, conforme segue o sistema (4). (4) 5

6 Sujeito a: Em que é um parâmetro de barreira que decresce de forma uniforme até zero, sem grandes passos de redução no processo iterativo, porém. As soluções do sistema (4) aproximam-se da solução, de um mínimo local em (1), ou de um máximo local de (3). A função Lagrangeana para o problema de PL dual é dada por (5). (5) Um ponto de máximo local de do sistema (4) pode ser calculado em termos de um ponto crítico da função Lagrangeana, também chamado de ponto estacionário. Em outras palavras, calculando as derivadas parciais do sistema (4) e igualando a zero é possível encontrar solução ótima para o problema Sistema de Newton O Sistema de Newton é fundamental para obter soluções para a convergência do Método de Barreira Logarítmica Primal-Dual. No qual, utiliza-se o processo de linearização das condições necessárias de otimalidade de primeira ordem em torno de um ponto para determinar um parâmetro de barreira. As condições necessárias de otimalidade de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tuker (KKT) são os sistemas (6), (7) e (8). Condição Dual (6) Condição Primal (7) Condição de Complementaridade (8) O ponto de solução qualquer iteração do processo. deve satisfazer as condições de não negatividade em O Sistema de Newton é linearizado: 6

7 Em que: Onde,, e são os resíduos do sistema, isto é, deverá ser o menor valor possível positivo (próximo de zero), para diminuir o erro de um problema de otimização. O sistema de Newton pode ser representado de forma matricial, conforme sistema (9). (9) Em que: O sistema (9) é dito reduzido, pois o sistema algébrico de Newton é dito simétrico, isto é, traçada uma reflexão na diagonal principal obtém-se uma nova matriz idêntica, matematicamente, a matriz transposta é igual à própria matriz Equação Normal O Sistema (9) ainda pode ser reduzido chamando-o de Equação Normal, como segue o sistema (10) O sistema (10) é simétrico e definida positiva. As soluções de busca de barreira logarítmica encontram-se solucionando a equação normal. (10) Atualização das Variáveis Primal e Dual A atualização das variáveis, ou a próxima iteração do algoritmo, é realizada da seguinte forma: 7

8 Basicamente, a atualização das variáveis, e consiste na soma da variável atual com a variação provocada pelos critérios de otimalidade e convergência da barreira logarítmica. O tamanho dos passos é escolhido de modo que mantenha a não negatividade do sistema para as variáveis e. Para garantir que as variáveis mantenham a positividade, o parâmetro deve ser positivo e pertencer ao intervalo entre zero e um, isto é,. Para garantir a convergência com maior velocidade do passo este parâmetro deve ser reduzido ainda mais o seu intervalo,, pois se, o ponto interior sairá da região factível, impossibilitando de encontrar a solução do problema Redução do Parâmetro de Barreira Este processo de redução do parâmetro de barreira logarítmica é chamado de Gap de Complementaridade, como é inserido no processo Dual do problema de programação linear, então simplesmente é chamado de Gap Dual. Então, o Gap Dual numa iteração qualquer, é definido por: Quando o problema de otimização converge para a solução ótima, isto é, o processo iterativo é finalizado, o valor de, então: Implicando no fim do processo e seguinte na igualdade: Ponto Inicial Deseja-se aqui estimar um ponto inicial que dê bom início ao processo iterativo. O passo inicial é um vetor primal inicial. Para calcular este vetor, é necessário calcular um vetor auxiliar. Em que é a matriz de coeficientes do PL, e representa a matriz coluna onde é uma coluna da matriz. Além disso, é necessário realizar o cálculo do escalar. 8

9 Então, calcula-se o passo inicial, ou vetor primal pelo produto: Critérios de Convergência O Método de Barreira Logarítmica termina apenas quando forem satisfeitas as condições de Factibilidade Primal, Factibilidade Dual e a Condição de Otimalidade de KKT. Factibilidade Primal (11) Factibilidade Dual (12) Condição de Otimalidade (13) Em que, é a tolerância da factibilidade e é a tolerância de otimalidade. As tolerâncias são valores extremamente pequenos quanto se deseja, são valores próximos de zero, como por exemplo,, um por milhão Algoritmo Geral O Algoritmo do método segue os seguintes passos: 1. Analisar o sistema primal para eliminar as restrições redundantes; 2. Encontrar um passo inicial, irrestrito e e escolher um e fazer ; 3. Analisar os critérios de convergência, se não satisfeitos será preciso uma nova iteração, se sim, o processo se encerra; 4. Montar equação normal; 5. Resolver equação normal; 9

10 6. Calcular o tamanho dos passos, primal e dual; 7. Atualizar as variáveis, primal e dual; 8. Reduzir parâmetro de barreira; 9. Fazer e retornar ao passo 3 até atingir os critérios de convergência Resolução do Problema Modelo Para a implementação computacional do algoritmo do problema modelo foi utilizado o software MATLAB. Do problema modelo são retiradas as seguintes informações: ; e O Método de Barreira Logarítmica apresentou seis iterações para os passos primal e dual, o que representa um ganho computacional, já que, em geral a convergência de um PL vêm apenas na décima iteração. Os resultados advindos das iterações poderão ser vistos na Tabela 1 e Tabela 2. A Tabela 1 representa a convergência do Método Primal-Dual. Tabela 1 - Método Primal-Dual Fonte: Próprio Autor A Tabela 2 representa a factibilidade primal e a factibilidade dual e as condições de otimalidade. 10

11 Tabela 2 Factibilidade e Condições de Otimalidade Factibilidade Primal Factibilidade Dual Condição de Otimalidade Fonte: Próprio Autor Com os dados obtidos, conforme Tabela 1 e a Tabela 2, graficamente pode-se representar o comportamento passo a passo do método. A Figura 4 representa graficamente o caminho do passo inicial até a convergência em e as respectivas restrições do PL, das quais formam a região factível. Figura 4 Convergência do Problema Modelo Fonte: Próprio Autor Conforme Figura 4, verifica que a solução ótima foi encontrada após sexta iteração devido ao bom posicionamento do ponto inicial. 11

12 Dentre outros métodos de ponto interior destacam-se os métodos de alta ordem, onde há uma redução considerável no número de iterações apresentando ganho computacional. Entretanto, a implementação de seus passos torna-se mais estrutural, aumentando o nível de conhecimento em programação matemática. 3. CONCLUSÃO Os métodos de ponto interior são extremamente úteis à medida que aumenta-se o nível de implementação computacional, uma vez que há um ganho computacional quando observa-se que há uma redução no número de iterações. Enquanto que a resolução de problemas de programação linear, utilizando um método de ponto interior mostra-se eficaz quando se trata de erro, uma vez que uma solução ótima encontrada em um problema modelo é uma estimativa, no qual é pré-determinado. De mesma forma que são implementados métodos de redução do parâmetro de barreira logarítmica. Quanto à implementação, o software MATLAB mostrou-se eficaz à medida que foi solicitado, de caráter matricial este recurso é necessário para a implementação de métodos numéricos em geral, evitando o erro humano quando calculam-se seguidas iterações. Este trabalho servirá de contribuição para trabalhos futuros, contando que na FCSGN há o curso de Bacharelado em Administração, cuja ementa contém a disciplina de Pesquisa Operacional, abrangendo aplicações que se fundamentam em problemas de programação linear e respectivos métodos numéricos, como o Método Simplex. REFERENCIAS BAZARAA M.S., SHERALI H.D., SHETTY C.M.: Linear Programming and Network Flows, John Wiley and Sons, CALOBA, Guilherme Marques; LINS, Marcos Pereira Estellita. Programação linear. Rio de Janeiro: Interciência, LÁZARO, R. A. R., RÉDON R. A. G.: Optimización Em Sistemas Elétricos I - Programación Lineal, PRADO, D. Programação linear. 5. ed. São Paulo: INDG, SILVA, Ermes Medeiros da et al. Pesquisa operacional: para os cursos de administração e engenharia: programação linear, simulação. 4. ed. São Paulo: Atlas,