3 0 Exercício Programa de PMR 2420 Data de entrega: 20/06/2016 (até as 17:00hs)

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1 3 0 Exercício Programa de PMR 2420 Data de entrega: 20/06/2016 (até as 17:00hs) Prof. Dr. Emílio Carlos Nelli Silva / Prof. Dr. Flávio Buiochi Método de Elementos Finitos (MEF) 1) A estrutura da figura abaixo é uma representação aproximada de um mecanismo pantográfico para seguimento do solo que suporta uma unidade piloto para corte basal de cana-de-açúcar [1]. Assim, considere que a estrutura está sujeita a uma carga concentrada F7 variando no tempo e aplicada no ponto 7 e um momento concentrado M3(t) no ponto 3. A força F6, aplicada no ponto 6, é originada por atuadores e será utilizada no sistema de controle descrito adiante. 2 35sin 2 tkn t 5s 50 cos t kn. m t 5s F7 y( t) F7 x( t) 0 M 3( t) 5 0kN t 5s 0 kn. m t 5s a) Utilizando o software ANSYS (ou similar): a.1) Obtenha e plote os 6 primeiros modos de vibrar e freqüências de ressonância da estrutura (sem amortecimento); a.2) Obtenha a resposta transiente da estrutura utilizando o método direto Newmark. Considere os coeficientes de amortecimento do modelo de Rayleigh =10-2 e =10-3 ([C]=[M]+[K]). Plote (no mesmo gráfico) o deslocamento δ5x e δ5y no ponto 5 indicado na figura em função do tempo até 10s. Condição inicial: velocidade e deslocamentos nulos; a.3) Discuta a influência da discretização da malha nos valores de freqüência de ressonância e da discretização do tempo t no deslocamento do ponto 5. b) Utilizando o software SCILAB (ou MATLAB): b.1) Desenvolva um programa específico de MEF para resolver o problema acima baseandose nos programas listados na apostila a doc; b.2) Resolva os itens a.1) e a.2) novamente utilizando o seu programa; b.3) Compare os resultados do ANSYS (ou similar) com os resultados do seu programa (por exemplo, plote ambos os resultados no mesmo gráfico). Para os demais itens (b.4,c.1,c.2,c.3,c.4), considere a discretização da estrutura com apenas 1 elemento de pórtico entre dois nós, ou seja, a malha será formada por 10 elementos. Além

2 disso, utilize a mesma numeração de nós e elementos indicados na figura da primeira página. Seguindo a numeração indicada, os nós 3 e 4 terão os seguintes graus de liberdade: Nó 3 v u graus de liberdade u(3), v(10),(17) v Nó 4 u graus de liberdade u(4), v(11),(18) Ou seja, o terceiro gdl da estrutura é o da direção u do nó 3, o décimo gdl da estrutura é o da direção v do nó 3 e o décimo sétimo gdl da estrutura é o de rotação do nó 3. Demais força F7 e momento M3 são nulos, a menos que se especifique o contrário. b.4) Desenvolva uma lei de controle, tendo como variável manipulada (ação de controle) a força F6y e a variável controlada o deslocamento δ5y. O objetivo do controle é manter o deslocamento δ5y próximo à zero, mesmo na presença dos distúrbios no ponto 7 (F7). Para isso, aplique uma entrada degrau em F6y (ponto 6) e obtenha a resposta δ5y. Para projetar um sistema de controle faça uma aproximação de um sistema de 2ª ordem sub-amortecido e identifique o modo dominante da dinâmica (veja a dica abaixo). Calcule os parâmetros de uma função de 2ª ordem que represente o sistema. Dica: Função de transferência de 2ª ordem e identificação de parâmetros por resposta a degrau unitário: Step Response x 1 Decremento logarítmico= K x 2 x 3 Amplitude Time (sec)

3 c) Para os itens a seguir (c.1, c.2 e c.3), utilize os parâmetros do modelo de segunda ordem obtidos no item b4. c.1) Projete um controlador derivativo (Kds) para garantir resposta adequada, com a especificação abaixo. Note que o controlador derivativo com realimentação de posição é equivalente a um controlador proporcional com realimentação de velocidade. Fator de amortecimento malha fechada (ζ MF > 0.7) Dica: Malha fechada F1 d1 Mostra-se que (desprezando-se os zeros) em malha fechada: c.2) Verifique o controle projetado no sistema completo. Para tanto, o controle deve ser implementado no programa desenvolvido no item b e a resposta δ5x(t) deve ser obtida considerando uma condição inicial de translação de 0,01 m, para todos os graus de liberdades livres, na direção horizontal. Dica: [ M] U [ C] U [ K] U F F Modelo do sistema: 6 F ( I U ) K d Modelo do controle: 6 (12,13) [ M] U [ C I ] U [ K] U F K d Modelo sistema controlado: (12,13) onde I(12,13) é uma matriz 21x21 com o elemento (12;13) unitário e todos os demais nulos. c.3) Faça a simulação considerando o sistema controlado, com ação de um distúrbio senoidal dado pela força F7y de amplitude 1000N e frequência 800rad/s e F7x = 0. Obtenha o deslocamento δ5y com e sem o controle ativo. Considerar condições iniciais nulas.

4 2) Considere a peça simétrica da figura abaixo com um furo central. Resolva o problema usando o programa ANSYS (ou similar) considerando estado plano de tensões ( plane stress ), ou seja: a) Plote a estrutura deformada e identifique o máximo valor de deslocamento e onde ocorre; b) Plote as tensões mecânicas de Von Mises na estrutura e obtenha os valores de tensão nos pontos A, B, C e D (observe que C é equidistante a B e D). Verifique a influência da discretização da malha nos resultados; c) Identifique o máximo valor de tensão de Von Mises e onde ocorre, bem como os demais pontos onde ocorrem concentração de tensões na estrutura. Sugira modificações na estrutura para reduzir a concentração de tensões; OPTATIVO Esse exercício (EX) é optativo e entrará no cálculo da média final da seguinte forma: MF=0,8M+0,2EX, onde M é a média calculada como descrito no programa do curso e EX a nota desse exercício. A nota desse exercício somente será levada em conta caso aumente a média M (independentemente de seu valor). Método de Elementos Finitos (MEF) Em regime estacionário, o fenômeno de condução elétrica em duas dimensões e em meios contínuos (Eletrocinética) é regido pela equação de Laplace: 2 2 V V (1) x y sendo V(x,y) o potencial elétrico que é dado em Volts e, a condutividade elétrica do material. A densidade de corrente elétrica J (x,y) (em A/m 2 ) que flui no meio é calculada por:

5 J V V grad ( V ) ( x V, ) y (2) Considere a barra prismática constituída por dois materiais A e B descrita na figura acima, com profundidade igual a 0,2 m. A condutividade elétrica do material A é = S/m, do material B = S/m e do material C C = 6, S/m. O bloco é submetido a uma diferença de potencial elétrico igual a 220 V que faz com que circule uma corrente elétrica por ele. O problema está sujeito às seguintes condições de contorno: a) nos pontos em y = 0, o potencial elétrico V é de 0 V; b) nos pontos em y = 0,24, o potencial elétrico V é de 220 V; V c) nas demais fronteiras 0. n Considere as constantes dadas e resolva a equação (1) no domínio da figura utilizando o método de elementos finitos (MEF) com malha triangular (x = y) do tipo sugerida na figura (elementos triangulares retângulos), mas a malha pode ser mais discretizada: a) Implemente um programa em SCILAB (ou MATLAB) que resolve a equação de Laplace (1); b) Plote a distribuição de V(x,y) no bloco. Verifique a influência da discretização sobre a solução (explique a discretização utilizada); c) Plote o vetor densidade de corrente elétrica J (x,y) (use o comando apropriado no SCILAB ou MATLAB);

6 d) Calcular a resistência elétrica R do bloco acima, sabendo que: elétrica média dada por I m J. nds e J n. é a componente de R V I m J onde Im é a corrente na direção do vetor normal a superfície, e S é a área da superfície. Se escolhida a superfície y=0,24 tem-se: 0,32 0,32 I J. nds J.1. dx J dx uma vez que ds = 1.dx. Se escolhida a superfície m n y0,24 n y0, x=0.0 tem-se: 0,24 0,24 uma vez que ds = 1.dy. A integral deve I J. nds J.1. dy J dy m n x0 n x0 0 0 ser resolvida usando um dos métodos de integração estudados no curso (trapézio, Simpson, etc.). Note que pela equação da continuidade: 0,32 0,32 J dx J dy 0. n y0,24 n y0 0 0 APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS Os resultados devem ser apresentados da seguinte forma: a) Inicialmente, apresente o equacionamento do problema a ser implementado no SCILAB (ou MATLAB). b) NÃO será aceita a utilização de comandos prontos do SCILAB (ou MATLAB) para a solução da equação de derivadas parciais acima. c) Todos os resultados do tipo f(x,y) devem ser plotados usando-se funções do SCILAB (ou MATLAB) como mesh, contour, surf, etc (escolha uma) (coloque título e legenda nos gráficos). NÃO será aceita a simples apresentação de tabelas ou a listagem dos valores da função nos nós da malha. d) A geração da malha de elementos finitos pode ser feita de forma simples e específica para esse problema. e) O sistema matricial final pode ser resolvido simplesmente usando-se um comando do SCILAB (ou MATLAB) do tipo x=a/b. No entanto, caso o tamanho da matriz seja maior do que o máximo permitido pelo SCILAB (ou MATLAB) use um método iterativo como Gauss-Seidel ou Sobrerelaxação. f) NÃO use os comandos de manipulação simbólica do SCILAB (ou MATLAB) na solução desse problema. g) Entregue os arquivos *.sci (ou *.m), os quais devem estar decentemente comentados. h) Qualquer discussão ou comparação deve ser acompanhada de gráficos e/ou outras indicações que o levou às conclusões. i) Entregue o relatório impresso. NÃO será aceita a entrega do relatório em disquete ou por . j) Para cada dia de atraso serão descontados 2,0 pontos na nota do EP. k) NÃO usar o módulo Workbench do Ansys. Referências: [1] Braunbeck, Oscar A., and Paulo SG Magalhães. "Seguimento do perfil Seguimento do perfil do solo no corte do solo no corte e/ou levantamento de produtos agrícolas rasteiros levantamento de produtos agrícolas rasteiros."revista Brasileira de Engenharia Agrícola e Ambiental 6.1 (2002):