ESCOAMENTOS VARIÁVEIS EM PRESSÃO (Choque Hidráulico)

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1 ECOAMENTO VARIÁVEI EM PREÃO (Choque Hidráulico) Equações Fundamentais Equações Fundamentais 1

2 Escoamentos variáveis em pressão: regime gradualmente variado (ou quase-permanente) ou regime rapidamente variável (ou transitório) Regime transitório atraso no estabelecimento das novas condições de compatibilidade interna gerador de grandes variações de caudal e pressão que mobilizam forças de natureza elástica devido à compressibilidade da água; deformabilidade da conduta ocorre entre dois regimes permanentes (ou quase-permanentes) Equações Fundamentais 2

3 Choque hidráulico fenómeno constituído por variações (rápidas) de pressão e de caudal acompanhadas da mobilização das forças de natureza elástica na conduta e na água Equações que regem o Choque Hidráulico: Equilíbrio Dinâmico Conservação da Massa (Eq. da Continuidade) Incógnitas do problema: Caudal (ou Velocidade Média) Carga Hidráulica (ou Pressão) Equações Fundamentais 3

4 Dedução das equações de acordo com dois conjuntos de hipóteses e simplificações: quanto ao fluido e ao escoamento quanto ao comportamento da conduta Hipóteses quanto ao fluido e ao escoamento: a) escoamento unidimensional (segundo o eixo da conduta); b)distribuição de velocidades e pressões uniformes na secção transversal; c) fluido homogéneo e monofásico; d)compressibilidade do fluido caracterizada pelo módulo de elasticidade de volume (ε): dp dp ε = V = ρ dv dρ Equações Fundamentais 4

5 Hipóteses quanto ao fluido e ao escoamento (continuação): e) a perda de carga, em cada instante, é calculada pelas expressões dos escoamentos permanentes uniformes; f) altura cinética desprezável, pelo que a carga hidráulica fica: H = z g)em cada instante, a massa volúmica no interior do tubo de corrente elementar é constante, logo: ρ = 0 x p γ Equações Fundamentais 5

6 Hipóteses quanto ao comportamento da conduta: a) imobilidade do eixo da conduta: b)a conduta (invólucro) tem um comportamento elástico de acordo com a lei de Hooke, caracterizado pelos parâmetros: E: módulo de elasticidade ν: coeficiente de Poisson c) em cada instante, o trecho elementar de conduta é considerado uniforme, i.e., são constantes as variáveis: diâmetro (D) espessura (e) características elásticas (E, ν) pelo que: dz dt x = 0 = Equações Fundamentais 6

7 Equação de Equilíbrio Dinâmico relativamente a um corpo ou volume F exteriores F inércia = 0 aplicação a um tubo de corrente elementar (t.c.e.): dx x Equações Fundamentais 7

8 omatório das forças exteriores a) resultante da diferença de pressões entre as duas secções do t.c.e. dx p p dx dx x x p x p = x dx b)acção gravítica (peso do fluido) projectada no eixo da conduta = γ senθ dx dx θ γ dx θ x Equações Fundamentais 8

9 omatório das forças exteriores c) força de atrito nas paredes da conduta (acção que produz a perda de carga; sentido contrário ao escoamento) γ J D ± τ 0π D dx ; τ 0 = ; J = 4 2 λ U D 2g γ λu U = 2gD dx Força de inércia simétrico do produto da massa pela aceleração = ρ U t U U x dx Equações Fundamentais 9

10 Equação de Equilíbrio Dinâmico somando as parcelas simplificando e atendendo a que U = / obtém-se a Equação de Equilíbrio Dinâmico 1 t x H x λ 2 2D g = Equações Fundamentais 10

11 Equação de Conservação da Massa (Eq. da Continuidade) equação de balanço relativamente a uma região de controle M sai M entra = M interior aplicação a um tubo de corrente elementar (t.c.e.): dx x Equações Fundamentais 11

12 Equação de balanço aplicada ao t.c.e. Massa que entra no intervalo de tempo elementar dt M entra = ρ dt = ρu dt Massa que sai no intervalo de tempo elementar dt M sai = ρ ρ dx U x U x dx x dx dt Variação da massa no interior do t.c.e. durante o intervalo de tempo elementar dt M interior c/ ( ρ ) = dx dt t M = ρ dx interior Equações Fundamentais 12

13 Equação de balanço aplicada ao t.c.e. definindo a celeridade a a = ρ ε 1 ρ d dp (m/s) simplificando e atendendo a U=/ obtém-se a Equação de Conservação de Massa (ou Equação da Continuidade) H t H x 2 a g x senθ = Equações Fundamentais 13

14 Equações Fundamentais 14 Choque Hidráulico Equações Diferenciais: Equilíbrio Dinâmico Conservação da Massa Variáveis dependentes: (x,t) [ou U U (x,t)] H H (x,t) [ou p p (x,t)] = D x H g x t λ 0 sen 2 = θ x g a x H t H

15 Choque Hidráulico Resolver o problema significa conhecer o comportamento de: (x,t) [ou U U (x,t)] e H H (x,t) [ou p p (x,t)] em função das variáveis independentes x e t integrar as 2 equações diferenciais tendo em conta as condições fronteira fronteiras as duas extremidades da conduta: x = 0 e x = L condições fronteira conhecer o comportamento das variáveis e H ou uma relação entre estas Equações Fundamentais 15

16 Condições fronteira conhecer o comportamento das variáveis e/ou H ou (t) ou H H (t) para x = 0 e/ou x = L conhecer uma relação entre as variáveis e H ϕ (, H, t) = 0 para x = 0 e/ou x = L Equações Fundamentais 16

17 Conduta gravítica x x=0 Válvula V x=l Conduta elevatória x=l Bomba B x x=0 x=l Bomba B x x= Equações Fundamentais 17

18 Métodos numéricos de integração: método de Allievi método das diferenças finitas método das características método dos elementos finitos Os métodos numéricos caracterizamse pela determinação de e H num conjunto discreto de secções e instantes temporais Equações Fundamentais 18