Mecânica dos Fluidos I

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1 Mecânica dos Fluidos I Apontamentos sobre perdas de carga (complementares das semanas 0 das aulas de problemas) Introdução A equação de Bernoulli, stricto sensu, foi deduzida, para uma linha de corrente, no caso em que os efeitos viscosos são irrelevantes e o escoamento incompressível. Veremos agora que a sua aplicação pode ser estendida razoavelmente a certos tipos de tubos de corrente em que os efeitos viscosos são importantes. Recorde-se que, supondo o escoamento incompressível e estacionário, o integral ao longo de uma linha de corrente, entre dois pontos s e s 2, da projecção da equação de transporte de quantidade de movimento sobre a linha de corrente, dá: ou p rel + 2 ρ v2 = p rel ρ v2 2 + s2 s ( µ 2 v ) s ds p + ρ g z + 2 ρ v2 = p 2 + ρ g z ρ v2 2 + s2 s ( µ 2 v ) s ds. () Nesta equação, p rel e p rel representam a pressão relativa à hidrostática local em s e s 2 ; v e v 2 representam o módulo das velocidades, ρ a massa volúmica do fluido e g o módulo da aceleração gravítica. A variável s designa a posição sobre a linha de corrente e o índice s representa a projecção segundo a linha de corrente. No limite em que a última parcela de é zero, obtém-se a equação de Bernoulli, stricto sensu. 2 Escoamentos em condutas Nos escoamentos em condutas é viável usar a Análise Dimensional para fazer estimativas úteis da última parcela da equação. É frequente que os escoamentos em condutas apresentem dimensões longitudinais muito superiores ao diâmetro da secção e que o escoamento fique desenvolvido A aceleração gravítica varia significativamente com a latitude e menos com a altitude e a natureza geológica do local. Em Lisboa, à latitude de 38 44, a aceleração gravítica é g = 9, 80 m/s 2. Convencionou-se chamar aceleração gravítica standard à aceleração média ao nível do mar à latitude de 45,5 : g = 9, m/s 2. Em Paris e em Londres é g = 9, 809 m/s 2 e g = 9, 82 m/s 2, pelo que ingleses e franceses costumam usar g = 9, 8 m/s 2.

2 depois de zonas de entrada curtas relativamente ao comprimento total da conduta. Portanto, se a velocidade é igual nos pontos s e s 2 da mesma linha de corrente, as pressões dinâmicas podem eliminar-se nas equações. Nesse caso em que não há variação da pressão dinâmica, a última parcela das equações é igual à variação da pressão piezométrica entre os pontos s e s 2. Por isso, em tubos, essa parcela é referida como perda de carga, o que significa redução de pressão piezométrica. Para simplificar a notação, designaremos a partir de agora o termo da perda de carga por p: p = s2 s ( µ 2 v ) s ds. (2) Além disso, no interior de uma conduta as linhas de corrente são praticamente paralelas e, portanto, a pressão relativa à hidrostática local é uniforme na secção transversal. Assim, para duas linhas de corrente paralelas, p rel = p rel e p rel2 = p rel2. O mesmo para as pressões piezométricas: p + ρ g z = p + ρ g z e p 2 + ρ g z 2 = p 2 + ρ g z 2. Como todas as outras parcelas de são iguais, conclui-se que a perda de carga num tubo também é idêntica para qualquer linha de corrente, apesar de a velocidade poder variar de linha de corrente para linha de corrente. A partir do elenco de variáveis em jogo, a Análise Dimensional permite obter as relações funcionais mais convenientes para p. As variáveis relevantes e as respectivas dimensões físicas são: perda de carga... [ p] = M L T 2...ao longo do comprimento [L] = L diâmetro da conduta [d] = L rugosidade média equivalente [ε] = L velocidade média do fluido [v] = L T massa volúmica do fluido [ρ] = M L 3 viscosidade dinâmica do fluido [µ] = M L T Este elenco de 7 variáveis com 3 dimensões físicas independentes exige 4 números adimensionais, que podem ser os seguintes: 2 [ (L p = função ρ v2 d ), ( Re= v d ν = ρ v d ), µ µ é a viscosidade dinâmica do fluido e ν = µ/ρ a viscosidade cinemática. Este resultado pode escrever-se de uma forma mais prática, se notarmos que, num escoamento desenvolvido, as derivadas da velocidade não variam longitudinalmente e, portanto, a integranda do termo viscoso das equações também não 2 ( ε d ) ].

3 varia longitudinalmente ao longo de uma linha de corrente. Por outras palavras, em vez das variáveis p e L, basta considerar a derivada d( p)/dx ou seja, p/l. Com menos uma variável, necessita-se de apenas três números adimensionais, que podem ser: f = ( p/l) d [( ρ = função Re= v d 2 v2 ν = ρ v d ) ( ) ] ε,. (3) µ d O número adimensional f definido em 3 denomina-se coeficiente de atrito 2. Se houver informação teórica ou experimental sobre f, consegue-se estimar p a partir da definição 3 p = f L d 2 ρ v2, (4) e a seguinte equação de Bernoulli generalizada pode aplicar-se a escoamentos com perda de carga: ou p rel + 2 ρ v2 = p rel + 2 ρ v2 2 + p p + ρ g z + 2 ρ v2 = p 2 + ρ g z ρ v2 2 + p. (5) 3 Correlações teóricas e experimentais para o factor de atrito Para um escoamento laminar desenvolvido, o coeficiente de atrito é dado pela equação de Hagen-Poiseuille: f = 64 Re. (6) O coeficiente de atrito de um escoamento turbulento desenvolvido é dado pela expressão implícita de Colebrook-White: ( ) ε/d 2, 5 = 2 log f 0 + 3, 7 Re /4 ou f = [ ( )] f 2 (7) ε/d 2, 5 log 0 + 3, 7 Re f Nota: Actualmente, a expressão 7 teria sido escrita com um logaritmo neperiano, mas como surgiu no tempo da II a Guerra Mundial, utiliza um logaritmo na base 0, como era usual na época. A conversão é fácil, log 0 (x) = ln(x)/ ln(0), e a expressão ficaria: ( ln(0) 2 f = 4 ) / [ ln ( ε/d 2, 5 + 3, 7 Re f )] 2 =, / [ ln ( ε/d 2, 5 + 3, 7 Re f )] 2. 2 Tal como outros números adimensionais, o coeficiente de atrito pode ser definido de várias maneiras. Obviamente, se a convenção adoptada for diferente de 3, as expressões seguintes vêm correspondentemente modificadas. 3

4 O diagrama de Lewis F. Moody (figura ) é uma das representações gráficas mais conhecidas do conjunto das expressões 6 e 7. Originalmente, foi importante como instrumento de trabalho, hoje em dia, com a facilidade de cálculo, o diagrama perdeu em boa parte a função de outrora, mas continua útil como forma de transmitir visualmente a evolução do factor de atrito f em função de Re e ε/d. Figura : Diagrama de Moody: representação de f em função de Re, em escalas log-log. Para um escoamento estacionário, em geral o escoamento é laminar para Re < 2000 e é turbulento se Re > Na zona de intermédia, entre estes dois valores, o escoamento tanto pode ser laminar como turbulento, dependendo das condições de entrada, das vibrações a que a conduta está sujeita, da rugosidade, das perturbações de pressão, etc. A rugosidade da conduta nunca afecta o coeficiente de atrito em regime laminar (cf. equação 6) e a expressão 7 permite identificar duas situações limites de escoamento turbulento: ( ) 2, 5 escoamento hidrodinamicamente liso, lim ε 0 : = 2 log f 0 Re f ( ) ε/d escoamento completamente rugoso, lim Re : = 2 log f 0. 3, 7 Na verdade, foram estes dois casos-limite que começaram por ser estudados. A 4

5 expressão de Colebrook-White surgiu mais tarde, combinando estas duas expressões numa síntese eficaz, que representa, com erros de 3 a 5%, uma gama ampla de escoamentos, quanto a número de Reynolds e rugosidade relativa. 3. Fórmulas explícitas do factor de atrito em regime turbulento Para muitos cálculos práticos, a expressão 7 tem o inconveniente de ser implícita, obrigando a fazer iterações para determinar f. Por esse motivo, desenvolveram-se fórmulas alternativas que, pelo menos, servem como estimativa para a primeira iteração e por vezes já são aproximações razoáveis do resultado exacto. As primeiras tentativas, com expressões algébricas, tinham erros demasiado grandes. Revelaram-se mais úteis as formas logarítmicas simples, que diferem umas das outras nos factores e expoentes do número de Reynolds ou da rugosidade relativa. Por exemplo: /, 8 f = [ (ε/d ), log 0 + 6, 9 ] 3, 7 Re /2 f = ( ) f = ε/d 5, 286 log 0 + 3, 7 Re 0,89 /2 log 0 [ ε/d 3, 7 + ( 7 Re Haaland Barr Churchill (Erro <, 3%) (Erro entre 0, 8% e 3%) (Erro entre 0, 6% e 3,4%) Para melhorar a precisão, desenvolveram-se fórmulas com duas funções logarítmicas, inspiradas numa estimativa inicial simples, refinada por uma iteração de ponto fixo da expressão de Colebrook-White. O módulo do erro relativo destas fórmulas é da ordem de 0,%. Por exemplo, a de Sousa-Cunha-Marques é f = /2 [ ( )]. ε/d 5, 6 ε/d log 0 3, 7 Re log 5, , 7 Re 0,87 Há ainda fórmulas explícitas mais complicadas, que não compensa utilizar. Nota: Dada uma equação escrita na forma x = f(x), como é o caso da expressão de Colebrook-White, a iteração de ponto fixo consiste em obter sucessivas estimativas do tipo: x i = f(x i ). Dentro de certas condições, este algoritmo é convergente. Em concreto, a iteração de ponto fixo da fórmula de Colebrook-White converge sempre. Além disso, é possível utilizar técnicas de aceleração da convergência, como a de Aitken. Calculadas três aproximações sucessivas, x, x 2 e x 3, a estimativa de Aitken consiste em X = x 2 2, em que = x 2 x e 2 = x 3 x 2. Por sua vez, a estimativa X pode ser usada como aproximação inicial de um conjunto de novas iterações de ponto fixo, e de uma nova estimativa de Aitken. No caso da expressão de Colebrook-White, mesmo nos casos mais difíceis (números de Reynolds baixos e rugosidades relativas pequenas), basta utilizar o algortimo de Aitken uma única vez para obter o factor de atrito com cerca de 2 algarismos significativos. 5 ) 0,9 ]

6 Mesmo assim, muitos problemas de perdas de carga são iterativos, porque a velocidade média não é conhecida e, portanto, não é possível calcular o número de Reynolds e determinar f. Por outro lado, f é necessário para resolver a equação de Bernoulli e determinar a velocidade média. Na prática, a dificuldade não costuma ser grande, porque f depende pouco do número de Reynolds e basta uma estimativa grosseira do Reynolds para obter uma boa aproximação de f. 4 A equação de Bernoulli como balanço de energia A equação de transporte de quantidade de movimento traduz a igualdade entre massa vezes aceleração e força. O primeiro membro representa o produto da massa volúmica pela aceleração material e o segundo membro representa a soma das várias forças aplicadas por unidade de volume: ρ massa Dv Dt aceleração = p resultante da pressão + µ 2 v resultante das tensões desviadoras + ρ g. (8) resultante do peso Por simplicidade, escreveu-se o termo das tensões desviadoras para o caso particular de um escoamento newtoniano e incompressível, porque o modelo das tensões desviadoras não importa para esta análise. Também por simplicidade, limitaremos estas considerações a escoamentos estacionários (nos quais Dv/Dt = v v). Só a componente das forças resultantes na direcção da velocidade realiza trabalho sobre o fluido e o integral dessa componente ao longo de um determinado troço da trajectória representa o trabalho feito pelas forças ao longo desse percurso. Portanto, o integral da equação de transporte da quantidade de movimento projectada sobre uma linha de corrente tem o significado de igualdade entre a variação da energia cinética por unidade de volume e o trabalho realizado pela resultante das forças aplicadas por unidade de volume. Aliás, a relação da equação de Bernoulli com um balanço de energia é fácil de reconhecer, porque os termos das equações são energias por unidade de volume: p e p 2 são energias potenciais de pressão por unidade de volume; ρ g z e ρ g z 2 são energias geopotenciais por unidade de volume; ρ 2 v2 e ρ 2 v2 2 são as energias cinéticas por unidade de volume no caso de o escoamento ser estacionário; p é o trabalho realizado pelo atrito, por unidade de volume. Para escoamento incompressível, a equação de transporte de quantidade de movimento tem a mesma informação que a equação de transporte de energia mecânica; como fica bem claro pelo facto de a equação de Bernoulli poder ser deduzida tanto 6

7 por integração da equação de transporte da quantidade de movimento projectada sobre a linha de corrente como por passagem ao limite do balanço de energia em torno de um tubo de corrente de secção infinitesimal. No caso geral, o atrito pode realizar trabalho a favor do movimento (a partícula recebe energia nesse troço da linha de corrente), ou contra o movimento (a partícula perde energia), mas, num escoamento desenvolvido em tubos, é fácil deduzir que o atrito só pode retirar energia ao fluido. Já vimos que, na hipótese de escoamento desenvolvido e linhas de corrente rectilíneas e paralelas, a perda de carga é igual para todas as linhas de corrente. Em termos energéticos, isso significa que todas as linhas de corrente trocam a mesma quantidade de energia por unidade de volume, por atrito. Por outro lado, o balanço de energia ao fluido que se escoa numa conduta mostra que não há forma de o atrito comunicar energia ao fluido através da fronteira, porque a velocidade na fronteira (face interna da conduta) é nula e, portanto, as forças de atrito não realizam trabalho aí. Conclui-se que, numa conduta, a perda de carga p só pode corresponder a uma dissipação de energia. Contudo, isso não significa que a dissipação de energia por unidade de volume seja a mesma em todas as linhas de corrente. Nalgumas linhas de corrente a dissipação é maior que p e noutras linhas de corrente é inferior, inclusivamente nula. O que caracteriza o escoamento numa conduta é que, por difusão (positiva ou negativa), a dissipação é distribuída por todas as linhas de corrente, de modo que o atrito realiza o mesmo trabalho em todas as linhas de corrente. 5 Perdas de carga concentradas, inseridas em condutas A análise das páginas anteriores pode generalizar-se a condutas em que, pontualmente, o escoamento não está desenvolvido nem as linhas de corrente são rectilíneas e paralelas. Dispositivos tais como válvulas, filtros, expansões, contracções, cotovelos e bifurcações são exemplos de zonas onde o escoamento é muito complexo e as simplificações da secção 2 não são aplicáveis. Contudo, quando estes equipamentos estão inseridos numa conduta, as perturbações locais difundem-se rapidamente e o escoamento volta a estar desenvolvido ao fim de distâncias curtas: os efeitos locais foram redistribuídos por toda a secção e, nesse sentido, podemos dizer, como nas equações 3, que o integral do termo viscoso p = s2 s (µ v) s ds é idêntico para qualquer linha de corrente. A Análise Dimensional mostra que a perda de carga através de um dispositivo inserido numa conduta é p 2 ρ v2 = função(re). (9) Normalmente, a rugosidade não é determinante para a perda de carga neste tipo de equipamentos. Inclusivamente, como a maioria deles apresenta arestas vivas 7

8 que condicionam o escoamento, verifica-se que o coeficiente de perda de carga definido em 9 é praticamente independente do número de Reynolds. Designaremos por k esses valores, no caso de serem constantes. Consideremos uma conduta entre dois pontos A e B, constituída por n troços rectilíneos de comprimentos L, L 2, L 3,...L n, e por m elementos pontuais (válvulas, cotovelos, etc.) de coeficientes de perda de carga k, k 2, k 3,...k m. A perda de carga entre dois pontos das secções A e B pode escrever-se: p = n i= f i L i d i 2 ρ v2 i + m j= k j 2 ρ v2 j. (0) É importante recordar que os factores de atrito f i e os coeficientes de perda de carga concentrada k j são números adimensionais, adimensionalizados pela pressão dinâmica baseada na respectiva velocidade de referência, que pode não ser a mesma em todos os troços do circuito. Em geral, os factores de atrito são definidos com base na velocidade média na conduta, que será diferente de troço para troço se as secções transversais forem diferentes. Os coeficientes de perda de carga concentrada são adimensionalizados com base numa velocidade de referência que é preciso convencionar em cada caso. A escolha nem sempre é óbvia, por exemplo a perda de carga numa válvula em que a secção de entrada seja diferente da secção de saída pode ser adimensionalizada pela pressão dinâmica da velocidade média de qualquer das duas secções. É costume escolher a velocidade média da secção mais pequena para adimensionalizar os coeficientes de perda de carga, mas esta escolha convencional nem sempre é respeitada. 6 Máquinas inseridas em condutas O mesmo raciocínio da secção anterior pode aplicar-se a máquinas inseridas em condutas. Embora o escoamento local seja muito complexo, os troços de conduta localizados a seguir encarregam-se de distribuir equitativamente a energia trocada com o fluido. Se uma máquina movida, por exemplo um ventilador ou uma bomba, comunicar ao fluido uma energia H e por unidade de peso (H e denomina-se altura de elevação, porque é uma energia por unidade de peso) e se uma máquina motriz, por exemplo uma turbina, extrair ao fluido uma energia H q por unidade de peso (H q denomina-se altura de queda, porque é uma energia por unidade de peso), a equação de Bernoulli fica: ou p rel + 2 ρ v2 + ρ g H e ρ g H q = p rel ρ v2 2 + p p + ρ g z + 2 ρ v2 + ρ g H e ρ g H q = p 2 + ρ g z ρ v2 2 + p. () 8

9 Recordando que esta equação é um balanço de energia, a mnemónica é simples: os termos positivos no primeiro membro representam energias que entram no sistema (energia potencial de pressão, geopotencial e cinética na secção de entrada, energia fornecida pela bomba...); os termos do segundo membro representam as energias que saem do sistema (energia potencial de pressão, geopotencial e cinética na secção de saída, energia média perdida por atrito). A energia extraída por uma turbina é retirada ao sistema, pelo que deve figurar com o sinal positivo no segundo membro ou com o sinal negativo no primeiro. 7 Curva da instalação e curva de uma máquina Normalmente, a energia por unidade de peso que uma máquina troca com o fluido (H e nas bombas e ventiladores; H q nas turbinas) varia com o caudal. As funções H(Q) denominam-se curvas da máquina, bomba, ventilador ou turbina. Para representar os circuitos em que existem máquinas é costume rearranjar a equação de Bernoulli na seguinte forma. Além de rearranjados, todos os termos foram divididos por ρ g e, portanto, representam energias por unidade de peso: H e H q = curva das máquinas p 2 p + (z 2 z ) + v2 2 v 2 + p ρ g 2 g ρ g curva da instalação. (2) Normalmente, a curva da instalação tem um termo constante, dependente da diferença de pressão e da diferença de cotas, e um termo aproximadamente quadrático no caudal, devido sobretudo à perda de carga. Assim, ambos os membros da equação 2 são funções do caudal. O ponto onde as duas curvas se cruzam denomina-se ponto de funcionamento para aquele conjunto de máquinas naquela instalação. 8 Tensão de corte na parede interna de condutas Um balanço de forças e quantidade de movimento de um escoamento desenvolvido, entre duas secções de um tubo circular, mostra que a variação de pressão piezométrica é equilibrada pela resultante da tensão de corte na parede. Como o escoamento é desenvolvido, a tensão de corte na parede é uniforme. Assim, [ (p + ρ g z ) (p 2 + ρ g z 2 ) ] π d 2 4 = τ w π d L, em que τ w designa a tensão de corte da parede sobre o fluido (τ w positiva se fosse no sentido do escoamento). Por outro lado, já vimos (secção 2, página 2) que a variação de pressão piezométrica de um escoamento desenvolvido, num tubo, 9

10 é igual à energia média trocada por atrito, por unidade de volume. O primeiro membro da expressão acima é p π d 2 /4, porque p foi definido como o módulo da energia trocada. Conclui-se que τ w = p d 4 L = f 8 ρ v2. (3) A equação 3 permite-nos calcular a tensão exercida pela parede da conduta sobre o fluido, em função do factor de atrito; ou pode servir como definição alternativa do factor de atrito: f = 8 τ w ρ v 2. (Recorde-se que τ w < 0, porque é a tensão de corte exercida pela parede sobre o fluido). 9 Redes de condutas Para analisar redes de condutas é útil definir o conceito de resistência U de forma que: p = U Q 2, em que Q é o caudal que passa no circuito. O inverso da resistência pode designar-se condutância, tal como nos circuitos elétricos. As perdas de carga em série já foram abordadas na secção 5 e a conclusão fundamental ficou expressa na equação 0: as perdas de carga em série somam-se e as resistências também, porque o caudal de troços em série se pode pôr em evidência. A análise de condutas em paralelo segue as conhecidas leis de Kirchhoff (pronuncia-se à alemã: kirx-ouf ): o carácter tubular do escoamento implica que todas as linhas de corrente que se bifurcam/confluem num nó da rede tenham idêntica pressão piezométrica e cota; e o balanço de massa impõe que, num nó da rede, a soma dos caudais que entram seja igual à dos que saem. Em consequência das leis de Kirchhoff, demonstra-se que a condutância global de um conjunto de troços em paralelo é igual à soma das condutâncias dos vários troços. Em suma, a forma de calcular as resistências globais p = U total Q 2 total é: N troços em série: U total = N U i ; i M troços em paralelo: U total = M i ( Ui ). Nota: Vale a pena referir ainda uma simplificação usual na análise de redes de condutas, que consiste em trabalhar apenas com a pressão absoluta e a cota do eixo da conduta, em cada secção. Isto justifica-se porque a pressão piezométrica é uniforme na secção transversal da conduta (de acordo com a hipótese de o escoamento ser incompressível e as linhas de corrente rectilíneas) e, portanto, o desvio na pressão absoluta corresponde exactamente à diferença de cota. Além disso, o diâmetro costuma ser pequeno, comparado com as diferenças de cota entre vários pontos da conduta, e as incertezas na pressão estática são muito superiores à diferença hidrostática entre a parte de cima e a parte de baixo da secção transversal. 0