Camada Limite Laminar

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1 Camada Limite Laminar Profa. Mônica F. Naccache PUC- Rio Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 1

2 Camada Limite Hipótese de Ludwig Prandtl (194): região do fluido em escoamento pode ser dividida em partes: Camada Limite (CL): perto da superlcie sólida, onde as forças viscosas são comparáveis aos termos de aceleração (forças de inércia) ρ u t For a da CL: forças viscosas são desprezíveis e o escoamento sassfaz a eq. de Euler: Espessura da CL é sempre muito menor do que as dimensões caracterísscas do problema. + u u = p + ρg + τ ρ u t + u u = p + ρg U y Profa. Mônica Naccache x PUC- Rio U u(y) τ τ (x)

3 Camada Limite térmica T U T t(x) y t T(y) T s x Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 3

4 Escoamento sobre a placa plana Equações completas (fluido Newtoniano incompressível, reg. permanente): u x + v y = ρ u u x + v u = p y x + µ u x + u y + ρg x ρ u v x + v v = p y y + µ v x + v y + ρg y u T x + v T y = k T ρc x + T y + µ ρc φ + q α CC: y= u=v=, T=T y u=u, v=, T=T Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 4

5 Análise da ordem de grandeza dos termos Dentro da CL: u U x L y Pressão modificada: P=p- ρgy Equações resultantes: ρ u u x + v u = P y x + µ u y P y = P = P P y = y = x = P x ρc u T x + v T = k T + µ u y y y ρ u u x + v u = P y x + µ u y + q Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 5

6 Fora da CL, μ=, v= ρu du = dp placa plana : U = cte dp / = cunha : U = Cx m ρu du = ρu m x cilindro :U = Csin(x / R) ρu du = ρc R sin(x / R) cos( x / R) Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 6

7 Ordem de grandeza de valores de interesse Tensão cisalhante na parede: τ = µ u y y = µ U ρ u u x + v u = µ u y y U C f L ν U L νl U 1/ Re 1/ τ 1/ ρu C f Re 1/ Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 7

8 Problema térmico Desprezando a dissipação viscosa e geração de energia: u T x + v T y = k T ρc y uδt / L vδt / T αδt / uδt / L T obs: Na CL térmica, u pode estar próximo a U ou não, dependendo da relação entre e T Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 8

9 Situação 1: << T (u U ) ΔT U L α ΔT T U L α L T T L Pe 1/ L (= Pr 1/ Re 1/ ) T Pr 1/ T >>1 Pr1/ <<1 A hipótese T />>1 é válida quando Pr<<1 (ex. metais líquidos) Neste caso pode- se considerar u=cte, v= e resolver apenas a eq. energia Coeficiente de troca de calor: hδt k ΔT T h k T Def.: Nu hl k h T L Pr 1/ Re 1/ k T 1 Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 9

10 Situação : >> T (u ( T /)U ) T U T L 3 ΔT L α ΔT T L α U L 1 1/ Re L T L α T 1 T U 1 Pe L T L 1 Re L 1/ 1 Pr 1/ 3 T Pr 1/ 3 T <<1 Pr >>1 A hipótese T /<<1 é válido quando Pr>>1 (ex. óleos, água) Coeficiente de troca de calor: Nu = hl k h T L Pr 1/ 3 Re 1/ k T 1 Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 1

11 Soluções integrais de problemas de CL Método simples: solução aproximada Obter valores (médios) para τ e h (funções das derivadas de u e T) Simplificando as eqs. CL para eliminar a variável y (placa plana): ( u ) x ( ut) x + ( uv) y + ( vt) y = 1 P ρ x +ν u y = α T + ν u y c y CC : y = u = v = T = T s y v = u = U Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 11

12 Equação de Momentum Integrando a eq. QML de a : u dy + x x u uv y dy = 1 P ρ x dy + ν u dy y y d ( uv ) dy + u v u v = U du u +ν y ν u y d u / y Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 1

13 Regra de Leibnitz Do teorema de transporte (3D): D Dt Vm ( t ) B( x,t)dv = = Vm ( t ) B t + Bu dv B t dv + V m B(t) u nda ( t ) Am ( t ) ParScularizando, para o caso 1D: dv= D Dt β ( t ) α( t ) f ( x,t) = + f (β,t) dβ dt =u( β,t ) β ( t ) α( t ) f t dα f (α,t) dt =u(α,t ) Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 13

14 Usando a regra de Leibnitz no 1 termo da eq. u da QML: u +ν ν u d u u dy = f ( x,y ) x x dy = d u x Voltando a eq. QML: dy + u v u v = U du y dy + [ u(x,) ] d u(x,) [ ] u dy u( x,) =U y d [ d ] = d u d dy U +Uv u v = U du u +ν y = = ν u y =τ w / ρ Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 14

15 Para encontrar v vamos fazer a integração da eq. consnuidade: u x + v y = da regra de Leibnitz: u x dy v = v =v w = d +U d d u x dy + udy u(x,) =U udy d v dy y = dv =v v = d u(x,) = Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 15

16 A eq. de QML fica: d u dy U d +Uv u v = U du = u +ν ν u y y = =τ w / ρ d u mas Então, d dy U +U v w d U d d +U d d du udy = d U u dy = d uudy du u u U u u U udy = U du τ w ρ udy Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 16 udy dy +Uv w + du udy U du + τ w ρ = dy = du = du ( u U ) dy ( u U) dy + τ + ρuv w w ρ

17 d u u U dy = du ( u U) dy + τ + ρuv w w ρ u( u U) dy = U u U 1 u dy U Def :η = y u * = u dy = dη U u( u U) dy = U 1 u * 1 u * e 1 ( u U) dy = U 1 u * dη dη 1 Def : 1 1 u * dη espessura de deslocamento 1 u * 1 u * dη espessura de momentum Então a eq. momentum fica : d U + 1 U du = τ + ρuv w w ρ eq. integral de momentum (von Karman e Pohlausen) Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 17

18 d( U ) + 1 U du = τ + ρuv w w ρ Para determinar as espessuras de deslocamento e de momentum, vamos aproximar a distribuição de velocidades: u * = A + Bη + Cη + Dη 3 CC :η = u * = v * = η =1 Da eq. mom. em y = : u * =1 u* η = u u + v u = y = U du +ν u y x = = u y = u * η = Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 18

19 Então, y = : u * = A = u * y = : u * =1 = B + D η = = C u y = U u * η = = B + 3D u * = 3 η η3 1 1 = 1 3 η + η3 dη = = η η3 1 3 η + η3 dη = 39 8 Substituindo na eq. integral de momentum: d 39 8 U + 3 du U 8 = τ w + ρuv w ρ 39 8 U d = τ w ρ = = Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 19

20 Então, τ w = µ u = µ U u * = µ U 3 y y = η η = Cf x = τ w 3/ µu / 3 = = 1/ ρu 1/ ρu / x Re x Voltando a equação de momentum, d = τ w 8 ρ U 39 = 8 13 ν U d = d = 8 13 x x = 4,64 Re e Cf 1/ x =,646 Re 1/ x = 8 13 ν Ux Re x = ρux µ ν U Da solução exata: x = 5 Re e Cf 1/ x =,664 Re 1/ Profa. Mônica Naccache PUC- Rio

21 Solução da equação da energia na CL pelo método integral ( ut) x CC : y = + ( vt) y = α T + ν y c T = T w u y y = T T = T ut T dy + x T vt dy = T α y =d (Tv)=T v T T w v w = = d( T / y)= T / y T T / y w =q w / k T dy y + ν c T u y dy Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 1

22 Da Regra de Leibnitz, e T ( ut) dy x = d u T dy = U y d T d Tudy Tu T T + Tu d u * T / dη η Λ =T u T d T T d Tudy T u T T + T v T = T w v w = αq w k + U ν c p Λ da eq. consnuidade, integrada de a T: v T = v w + u T d T d udy Profa. Mônica Naccache PUC- Rio T

23 Então, d T Tudy + T v w d Rearrumando a eq.: d T u( T T ) dy + dt T udy = q + ρc T v w p w w + U ρc p ν c p Λ T u dy = q w + ρc p ( T w T )v w + U ρc p ν c p Λ T u( T T ) dy T ς u dy = U u * dη Def : 3 d U 3 T w T ς T / T T u * = U T w T u * θdη [ ] +U dt ς ς dη T w T θ u * dη = q + ρc T w p( T w )v w + U ρc p ν c p du * dη ς dη Obs.: A solução desta equação depende da solução da eq. momentum Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 3

24 Exemplo: Placa plana impermeável, isotérmica, e T cte hip.: perfis lineares para u * e θ; sem dissipação u * = η θ = T T =1 y T w T T 1 = η( 1 η) dη = 6 Da eq. integral de momentum: U 6 d = νu x = 3.46 Re x =1 η ς Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 4

25 Para resolver a eq. energia temos que definir qual a maior espessura da CL (térmica ou hidrodinâmica?): depende de Pr Pr>1: T <. Então: ς 3 = u * ς θdη = η(1 η ς )dη = Substituindo na eq. energia : U( T w T ) d Assim, U 6 d ς ς 6 ς = T ς = q w = = k T / y y = 6 ρc p ρc p = α ς ς 3 α ν = 4xς dς =1/ Pr 1 = α T w T 1 ς = α T T w ς Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 5

26 Integrando na CL térmica: x = x 4x ς dς ( ς 3 1/ Pr) ς = Pr 1/ 3 1 x x Número de Nusselt: ς 3 / 4 1/ 3 Nu x = hx k = q w /(T w T ) x k Nu x = Re x ou 3,46 Pr1/ 3 1 x = k / ( ς )x k 3 / 4 1/ 3 x 1/ Nu x =,89Re x Pr 1/ 3 1 x x se x = : Nu x =,89Re x 1/ Pr 1/ 3 3 / 4 1/ 3 U,T x= T s =T obs.: valor exato - Nu x =,33Re x 1/ Pr 1/ 3 e =13% T s >T Profa. Mônica Naccache PUC- Rio 6 ξ