Relatório Preliminar Experimento Camada Limite EQ601 - Laboratório de Engenharia Química I Turma A

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1 Universidade Estadual de Campinas FEQ Faculdade de Engenharia Química Relatório Preliminar Experimento Camada Limite EQ61 - Laboratório de Engenharia Química I Turma A Grupo E Integrantes RA Andrey Seiji Higashi 9419 Cinthia May Shimizu Eduardo A. Novais Gomes 997 Patrícia Gomide Ferreira Thaís Maldonado Konishi Victor de Lima Bellia 93174

2 1 Objetivo O experimento tem por objetivo o estudo da Camada Limite em placa plana (lisa e rugosa) e na presença de obstáculo. 2 Introdução Teórica 2.1 Princípio da Aderência O Princípio da Aderência diz que Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato. [Ref 1], é um princípio de não escorregamento. 2.2 Taxa de Deformação A condição citada a cima, juntamente com a tensão de cisalhamento, gera um gradiente de velocidade do fluido, uma vez que, a uma distância suficientemente longe da superfície, a velocidade do fluido é a mesma em caso de escoamento externo (sem limitação de uma fronteira sólida) ou plenamente desenvolvido e quanto mais próximo da superfície, mais próxima ela se torna da velocidade em que a superfície se encontra. A tensão de cisalhamento (τ) é uma função que depende uma taxa de deformação ( u/ y) e da viscosidade do fluido (μ) dada por: τ = μ ( u/ y) [Ref 1] [I] O gradiente de velocidade, em uma placa plana, se dá segundo a imagem : [ref 2] Imagem : Perfil de Velocidade [Placa Plana] Sendo u a velocidade do fluido em escoamento externo e u (y) a velocidade em função da distância da placa, sendo que: ( y = ; u (y) = ), no caso de uma placa estática;

3 2.3 Camada Limite A imagem explicita que na medida em que há um afastamento em relação a barra, a velocidade u (y) cresce até que se atinja o escoamento plenamente desenvolvido. A região onde há um perfil de velocidade no escoamento (devido à tensão de cisalhamento com a parede) é denominada Camada Limite. Sua espessura é definida como a distância da placa ao ponto no qual a velocidade do fluido possui magnitude igual a 99% da velocidade de corrente livre ( u ). [ Ref 1] A Camada Limite possui diferentes regiões nas quais ocorrem escoamentos laminar, turbulento, de transição e podendo até haver formação de vórtices. Imagem : Regiões da Camada Limite O ponto no qual o fluido entra em contato com a placa, a velocidade é zero, porém a medida que o fluido passa sobre um maior comprimento da placa, mais fluido é desacelerado devido ao atrito entre as camadas do mesmo, ocasionando um aumento na espessura ( δ ) da camada. [ Ref 3] Reginão 1: Escoamento Laminar, sendo assim, a Lei de Viscosidade de Newton válida. Região 2: Região de Transição, onde há tanto escoamento laminar quanto escoamento turbulento. Região 6: Região na qual se desenvolve um Escoamento Turbulento, este possui uma camada denominada Sub camada Laminar, representada por 3. Ela é uma pequena região na qual o escoamento é Laminar.

4 Região 5: Região em que há uma inversão na direção da velocidade ocasionada pela pressão negativa gerada por um desnível na placa ( ponto 4 ), é uma região passiva de formação de vórtices. 2.4 Número de Reynolds O número de Reynolds ( Re L = ρ u l /µ ) representa a relação entre os efeitos de inércia e os efeitos viscosos. Sem os efeitos viscosos (µ = ), o número de Reynolds é infinito. Por outro lado, na ausência de todos os efeitos de inércia (ρ = ) o número de Reynold é nulo. [ Ref 4 ] O número de Reynolds em uma placa plana é dada por : Re x = ρ u x /µ [II] Sendo x a medida da distância do início da placa. As regiões da Camada Limite são determinadas pelo valor assumido por Re x, assim, para: Re x < : Camada Limite Laminar; < Re x < : Região de Transição; Re x > : Camada Limite Turbulenta. [ Ref 1 ] O número de Reynolds também é utilizado no cálculo de δ ( espessura da Camada Limite ). Para região de Escoamento: Laminar : ( δ / x ) = 4.64 / (Re x ) 1/2 [III] Turbulento : ( δ / x ) =.376 / (Re x ).2 [IV] 2.5 Rugosidade X Coeficiente de Atrito 1/7 [ Ref 1 ] Além disso: v = u ( y / δ ) [V] Como explicitado em 2.2, a deformação do fludo é dada pela presença de uma Tensão de cisalhamento (τ). Segundo [I], conhecendo a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento, devido ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. Como a equação anterior não é muito prática para aplicações de Engenharia define-se a tensão de cisalhamento e/ou força de atrito como função do coeficiente de atrito Cf/Cd [ Ref 4 ]. Este é dado por:

5 Sendo C f dada por: τ = ( C f ρ u 2 ) /2 C f = ( 2 ν / u 2 ) * ( u/ y) y= = ( F k / A ) / ( ρ u 2 /2) [VI] [VII] Sendo F k a força de arraste ( devida à tensão inicial ) na superfície da placa. O Coeficiente de Atrito também pode ser escrito em função do número de Reynolds segundo a tabela [ Ref 1 ] em anexo. Quando considera-se o Escoamento Laminar e Turbulento, a fórmula do coeficiente é: C f.l = (.74 / Re L 1/5 ) ( 1742 / Re L ) [ Ref 1] [VIII] 2.6 Tubo de Pitot Um dos equipamentos utilizados para se avaliar a velocidade de um fluido em escoamento é o Tubo de Pitot. O princípio básico de seu funcionamento consiste em opor um obstáculo estreito ao escoamento. Por diferenças de pressão, o tubo fornece uma diferença de altura num fluido manométrico, indicando a pressão dentro do tubo. Assim, utilizando a Equação de Bernoulli, se obtém a vazão/velocidade do fluido em questão. Imagem : Esquema de Tubo de Pitot 3 Equações

6 3.1 Camada Limite Laminar O perfil de velocidade da camada limite varia de u = em uma distancia muito pequena até u =,99U infinito em y = δ (a espessura da camada limite). Partindo-se do pressuposto de que o perfil da velocidade é conhecido, as equações integrais de continuidade e de quantidade de movimento nos permite prever a espessura da camada limite e o cisalhamento na parede, e portanto o arrasto. (1) Usando-se a integral de Von Karman (1), obtida a partir da equação da quantidade de movimento, é possível obter uma aproximação para a camada limite laminar em uma placa plana com gradiente de pressão zero. Para isso, tem-se 6uarto condições que um perfil de velocidade proposto deve satisfazer: u = em y = u = U infinito u/ y = em y = δ em y = δ 2 u/ y 2 = em y = Um polinômio cúbico pode satisfazer as 6uarto condições acima, supondo que u/u infinito = A = By + Cy 2 + Dy 3 (2) em que A, B, C e D podem ser funções de x. Usando-se as 6uarto condições, avalia-se que A =, B = 3/2δ, C = e D = -1/2δ 3 Chega-e a uma boa aproximação para o perfil de velocidade em escoamento laminar: A equação de Von Karman associada a esse perfil encontrado fornece: (3)

7 τ = d/dx ( δ ρ(3y/2δ - y³/2δ³)(1-3y/2δ y³/2δ³)(u inf. )²dy (4) Sabendo-se que na parede T = µ u/ y y=, ou usando o perfil cúbico (2), tem-se que τ é τ = (5) Igualando-se 4 e 5 para τ (x) encontra-se: (6) Usando δ = em x = (a borda frontal), a equação 6 é integrada para fornecer Em que Re x é o numero de Reynolds local. Substituindo de volta na equação 5 obtémse o cisalhamento na parede como: (7) (8)

8 A tensão de cisalhamento é feita adimensional mediante sua divisão por (1/2).ρU 2 infinito. O coeficiente de atrito superficial local c f é obtido; O coeficiente de atrito em placa plana é tal que Então, fazendo-se os arranjos necessários chega-se a (9) Logo, (1) (11) 3.2 Camada Limite Turbulenta : Forma da Lei de Potencia No método a ser apresentado, primeiramente deve-se ajustar os dados do perfil de velocidade a uma equação da lei de potência. A forma da lei de potência é: u/ U infinito = (y/δ) 1/n (12) n= 7 Re x < < Re x < 1 8

9 9 1 8 < Re x < 1 9 Em que (13) A equação de Von-Kármán pode ser aplicada seguindo os passos usados para o escoamento laminar, exceto quando a tensão de cisalhamento na parede é calculada. A forma da lei de potência (12) fornece ( u/ y) y= =. Dessa forma o perfil fornece resultados ruins próximo à parede, especialmente para a tensão de cisalhamento, portanto para facilitar os cálculos usa-se uma relação empírica, a fórmula de Blasius, que relaciona o coeficiente de atrito superficial local à espessura da camada-limite é C f =,46 (ν/u infinito δ) 1/4 (14) Ou associando τ a c f usando a definição c f na equação (1), a relação da tensão de cisalhamento é (15) A equação de Von Karman nos fornece uma segunda expressão para τ. Substitua o perfil de velocidade de (12) com Re x < 1 7 na equação 1 e obtenha (16) Combinando essa equação com a equação de Blasius (14) e integrando de maneira que em δ = tenha-se x =, chega-se :

10 (17) Substituindo essa expressão para δ de volta na equação t, encontra-se Cf =,59/Re x 1/5 Re x < 1 7 (18) E executando a integração requerida, obtemos, com n = 7, Cf =,73/Re L 1/5 Re L < 1 7 (19) Se L não for muito maior que x t, digamos L = 3x t, então há uma porção laminar significativa na parte frontal de uma placa plana e o coeficiente de atrito superficial pode ser modificado como (2) Cf =,73Re L -1/5 17Re L -1 Re L < Rotina de Cálculo O primeiro passo para a realização de cálculos coerentes é calibrar o micrômetro anexado ao Tubo de Pitot. Para tal utilizamos um paquímetro e fazemos uma relação linear entre os valores indicados no paquímetro e no micrômetro. A relação linear feita obedece à forma de y = ax + b, onde y serão as medidas do paquímetro e x as do micrômetro. Após calibrado o micrômetro, serão realizadas diversas medidas de pressão pela variação da posição do tubo de pitot no eixo y. Serão realizadas medições até o valor de h se manter constante. A partir deste se encontra o valor da velocidade de corrente livre. A partir das pressões medidas é utilizada a relação para se obter o valor da velocidade para determinada distância no eixo Y.

11 A próxima etapa será a determinação do valor de Reynolds para cada valor de x a partir da equação [13]. Os valores de X variam no intervalo [;,265m]. A partir dos valores encontrados caracterizaremos o escoamento em laminar ou turbulento. Para valores de Reynolds menores que o escoamento é laminar, para valores de Reynolds maiores que o escoamento é turbulento. Tal classificação é importante para obtermos o valor da espessura δ da camada limite e o coeficiente de atrito decorrente do escoamento. Logo, segundo a classificação do escoamento obtemos a espessura da camada limite a partir das equações [7] e [17]. A partir dos valores de Reynolds e do tipo de escoamento ao qual nos referimos, torna-se possível determinar o valor do coeficiente de atrito para cada espaçamento x adotado, segundo as equações [18] e [19]. EXEMPLO DE CÁLCULO Tomemos como exemplo uma medida referente a partir de um Tubo de Pitot acoplado a uma plana lisa, plana, sem aletas. Adotamos o valor de y = 1 mm, marcado pelo micrômetro já devidamente calibrado. Supomos que o valor da altura manométrica marcada é de 24 mm e que as propriedades do ar a 29 graus Celsius sejam =1,168kg/m³, =996,2 kg/m³, sendo g = 9,81 m/s 2. Logo, ( ) Obtémse, então, a velocidade do ar na distância medida: v = 2,4 m/s. A partir da velocidade obtida caracterizamos o escoamento em laminar ou turbulento via número de Reynolds: Assim, o valor de Reynolds é menor que 2.1 5, o que caracteriza um escoamento laminar.

12 Sabendo-se o tipo de escoamento e o valor de Reynolds, calculamos o coeficiente de atrito Cfx e a espessura da camada limite: 5 Gráficos A previsão do comportamento das variáveis a serem analisadas por meio de gráficos foi realizada a partir de dados experimentais obtidos por um grupo de alunos veteranos, os quais realizaram o mesmo experimento no ano anterior. Para isso, foram utilizadas as seguintes propriedades da água e ar a 25 C : =1,184kg/m³, =996 kg/m³, e µar=1,85x1-5 N.s/m. A partir dos cálculos mostrados anteriormente, tornou-se possível obter os valores das variáveis necessários para a construção dos gráficos de Y x V, X x δ (espessura da camada limite), h x Y e Cf,x x X. Assim, esperam-se os seguintes comportamentos para cada uma das condições pedidas: Obs: As curvas em azul representam as curvas montadas a partir dos pontos experimentais do grupo de veteranos, enquanto as escuras representam as linhas de tendência. Para o cálculo das espessuras da camada limite para os pontos em que o número de Reynolds indicou regime transiente, foi aplicada a mesma equação utilizada para o cálculo da espessura da camada limite em regime laminar. Não se obteve regime turbulento em momento algum do experimento deste grupo.

13 X (m) Y (m) Condição 1 - Placa lisa sem aletas Gráfico 1.1 Distância em Y x Velocidade do ar.,6 Y x V,5,4,3,2, V (m/s) Gráfico Distância em X x Espessura da camada limite. X x δ ᵹ (m) -,5,5,1,15,2,5,1,15,2,25,3

14 Cfx h (m) Gráfico 1.3 h x Distância em Y. h x Y,6,5,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6 Y (m) Gráfico 1.4 Coeficiente de atrito x Distância em X. Coeficiente de atrito x X,1,9,8,7,6,5,4,3,2,1,5,1,15,2,25,3 X (m)

15 X (m) Y (m) Condição 2 - Placa rugosa sem aletas. Gráfico Distância em Y x Velocidade.,12 Y x V,1,8,6,4, V (m/s) Gráfico 2.2 Distância em X x Espessura da camada limite. X x δ δ(m),5,1,15,2,5,1,15,2,25,3

16 Cfx h (m) Gráfico 2.3 h x Distância em Y. h x Y,6,5,4,3,2,1,2,4,6,8,1,12 Y (m),7,6,5,4,3,2,1 Gráfico 2.4 Coeficiente de atrito x Distância em X. Coeficiente de atrito x X,5,1,15,2,25,3 X (m)

17 X (m) Y (m) Condição 3 Placa lisa com aletas. Gráfico 3.1 Distância em Y x Velocidade. Y x V,9,8,7,6,5,4,3,2, V (m/s) Gráfico 3.2 Distância em X x Espessura da camada limite. X x δ δ (m) -,5,5,1,15,2,5,1,15,2,25,3

18 Cfx h(m) Gráfico 3.3 h x Distância em Y. h x Y,5,4,3,2,1 -,1 -,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Y (m),6,5,4,3,2,1 Gráfico 3.4 Coeficiente de atrito x Distância em X. Coeficiente de Atrito x X,5,1,15,2,25,3 X (m)

19 X (m) Y (m) Condição 4 Placa Rugosa com aletas. Gráfico 4.1 Distância em Y x Velocidade. Y x V,16,14,12,1,8,6,4, V (m/s) Gráfico 4.2 Distância em X x Espessura da camada limite. X x δ δ (m),5,1,15,2,5,1,15,2,25,3

20 Cfx h (m) Gráfico 4.3 h x Distância em Y. h x Y,5,4,3,2,1 -,1,5,1,15 -,2 -,3 Y (m),7,6,5,4,3,2,1 Gráfico 4.4 Coeficiente de atrito x Distância em X. Coeficiente de Atrito x X,5,1,15,2,25,3 X (m)

21 Análise dos Gráficos Os gráficos 1.1, 2.1, 3.1 e 4.1 indicam que a velocidade do fluido tende a uma constante (velocidade de corrente livre) conforme aumenta-se a distância da placa no eixo Y, ao mesmo tempo em que se tem uma redução do gradiente de velocidade em relação a Y, já que há uma redução da tensão de cisalhamento. No caso em que não se têm aletas, prevê-se que a velocidade para Y= seja nula, já que se assume uma condição de não-escorregamento. Como o atrito entre o fluido e a parede é menor para a placa lisa, espera-se que a velocidade de corrente livre seja atingida mais próxima à parede neste caso, conforme se percebe ao se comparar os gráficos 1.1 e 2.1. Já em relação à situação em que se têm aletas, provavelmente haverá um descolamento da camada limite, já que com o aumento da pressão e diminuição da velocidade (gradiente de pressão desfavorável), gera-se um escoamento reverso nas proximidades da parede. Com o aumento da distância em Y, o escoamento volta a apresentar um perfil laminar, porém com uma velocidade de corrente livre inferior ao caso de ausência de aletas. Pelas equações que possibilitam o cálculo de Rex e δ,percebe-se que se devem esperar valores maiores da espessura da camada limite ao longo do eixo X para os casos de presença de aletas. Isso se justifica pelo fato de δ ser inversamente proporcional a Rex, que por sua vez é diretamente proporcional à velocidade de corrente livre, a qual é menor na presença de aletas. No entanto, pela comparação entre os gráficos 1.2, 2.2, 3.2 e 4.2, nota-se que tal diferença deve aparecer de maneira bastante sutil. Do mesmo modo que a velocidade do ar tende a uma constante, a altura manométrica também o faz, afinal, pela análise do funcionamento do Tubo de Pitot, sabe-se que a estabilização da velocidade do fluido com o aumento da distância em Y implica a estabilização da altura manométrica h, e vice-versa. Assim, a partir dos gráficos 1.3, 2.3, 3.3 e 4.3, espera-se que a altura manométrica se estabilize a um valor de Y menor nos casos de presença de aletas do que nos casos de ausência. Os gráficos 1.4, 2.4, 3.4 e 4.4 mostram que os coeficientes de atrito de todas as situações representadas possuem um comportamento similar. No entanto, deve-se ressaltar que as equações a partir das quais se obtiveram os valores dos coeficientes são válidas, a princípio, somente para placas lisas. Como não se encontrou na literatura uma fórmula para placas rugosas, cabe ao grupo buscar uma maneira de se obterem os coeficientes de atrito para estas e, assim, concluir se, de fato, tais equações podem ser aplicadas a paredes rugosas. Referências Bibliográficas [1] Potter, M. C., Wiggert, D. C., Mecânica dos Fluidos, terceira edição, editora Thompson, 24 [2] acessado em 17/8/11

22 [3] px-grenslaag.svg.png, acessado em 17/8/11 [4] Conceitos%2de%2Camada%2Limite.pdf, acessado em 15/8/11 [5] -Fox, R. W., McDonald, A. T., Pritchard, P. J., Introdução à mecânica dos Fluidos, sexta edição, editora LTC, 26, p. 416 a 418