FENÔMENOS DE TRANSPORTES

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1 FENÔMENOS DE TRANSPORTES AULA 9 ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA PROF.: KAIO DUTRA

2 Grandezas Físicas De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. As grandezas físicas podem ser divididas em dois grupos: As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.

3 Grandezas Físicas Na mecânica, por exemplo, definimos normalmente as grandezas fundamentais como sendo massa(m), comprimento(l) e tempo(t), pois essas são grandezas mais básicas para nós, que não necessitam de outras para serem definidas.

4 Natureza da Análise Dimensional A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos apresenta dependência complexa de parâmetros geométricos e do escoamento. Por exemplo, considere a força de arrasto sobre uma esfera lisa estacionária imersa em uma corrente uniforme. Que experimentos devem ser conduzidos para determinar a força de arrasto sobre a esfera? Para responder esta questão, nós devemos especificar os parâmetros que acreditamos serem importantes na determinação da força de arrasto: tamanho da esfera (D); velocidade do fluido (V); viscosidade do fluido (μ); massa específica do fluido (ρ).

5 Natureza da Análise Dimensional Para verificar como o arrasto, F, é afetado pela velocidade, V, colocaríamos a esfera em um túnel de vento e mediríamos F para uma faixa de valores de V. Em seguida, faríamos mais testes para explorar o efeito de D sobre F, utilizando esferas com diâmetros diferentes. Já estaríamos gerando uma grande quantidade de dados: Se fizermos experimentos em um túnel de vento com 10 velocidades diferentes e 10 tamanhos de esferas diferentes, teríamos dados de 100 pontos experimentais.

6 Natureza da Análise Dimensional Findo os testes, verificando todos os parâmetros, teríamos realizado em torno de testes experimentais. Em seguida, viria a etapa de tratamento de dados e análise de resultados. Felizmente, não temos que fazer todo esse trabalho. Todos os dados para arrasto sobre uma esfera lisa podem ser expressos como uma simples relação entre dois parâmetros adimensionais na forma:

7 Natureza da Análise Dimensional A forma da função f ainda deve ser determinada experimentalmente. Entretanto, em vez de realizar experimentos, poderíamos estabelecer a natureza da função com exatidão a partir de 10 experimentos apenas. Não teremos que pesquisar fluidos com 10 valores diferentes de massa específica e viscosidade, nem haverá necessidade de providenciar 10 esferas com diâmetros diferentes. Em vez disso, somente o parâmetro ρvd/μ deve ser variado. Isso pode ser realizado simplesmente pela variação na velocidade da esfera, por exemplo.

8 Natureza da Análise Dimensional Note que o resultado final é uma curva que pode ser usada para obter a força de arrasto sobre uma grande faixa de combinações esfera/ fluido. Ela poderia, por exemplo, ser usada para obter o arrasto sobre um balão de ar quente devido a uma corrente de vento ou sobre uma célula vermelha de sangue à medida que ela se move através da aorta

9 O Teorema Pi de Buckingham Foi apresentado que a força de arrasto F sobre uma esfera depende do diâmetro da esfera D, da massa específica do fluido ρ, da viscosidade μ, e da velocidade do fluido V, ou seja: F = F(D, ρ, μ, V) Poderíamos, do mesmo modo, ter escrito: g(f, D, ρ, μ, V) = 0 Onde que g é uma função não especificada, diferente de f.

10 O Teorema Pi de Buckingham O teorema Pi de Buckingham declara que podemos transformar uma relação entre n parâmetros da forma g(q1, q2,..., qn) = 0 Em uma relação correspondente entre n m parâmetros adimensionais П na forma G(П1, П2,..., Пn m) = 0 ou П1 = G1(П2,..., Пn m) Em que m é normalmente o número mínimo, r, de dimensões independentes (por exemplo, massa, comprimento, tempo) requerido para definir as dimensões de todos os parâmetros q1, q2,..., qn. O teorema não prediz a forma funcional de G ou de G1. A relação funcional entre os parâmetros Π adimensionais independentes deve ser determinada experimentalmente.

11 O Teorema Pi de Buckingham Os seis passos listados a seguir delineiam um procedimento recomendado para determinar os parâmetros Π: 1. Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos. 2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias). 3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias. Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

12 O Teorema Pi de Buckingham Os seis passos listados a seguir delineiam um procedimento recomendado para determinar os parâmetros Π: 4. Selecione da lista um conjunto de r parâmetros dimensionais que inclua todas as dimensões primárias. 5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos dimensionais. Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

13 O Teorema Pi de Buckingham Os seis passos listados a seguir delineiam um procedimento recomendado para determinar os parâmetros Π: 5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos dimensionais. Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

14 O Teorema Pi de Buckingham Os seis passos listados a seguir delineiam um procedimento recomendado para determinar os parâmetros Π: 6. Certifique-se de que cada grupo obtido é adimensional. Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

15 O Teorema Pi de Buckingham Teorema Pi de Buckingham para queda de pressão no escoamento em um tubo, sabendo que a queda de pressão depende da massa específica, velocidade do escoamento, diâmetro da tubulação, comprimento da tubulação, viscosidade do fluido e rugosidade da tubulação:

16 O Teorema Pi de Buckingham 1. Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos. 2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias). 3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias. 4. Selecione da lista um conjunto de r parâmetros dimensionais que inclua todas as dimensões primárias.

17 O Teorema Pi de Buckingham 5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos dimensionais.

18 O Teorema Pi de Buckingham 5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos dimensionais.

19 O Teorema Pi de Buckingham 6. Certifique-se de que cada grupo obtido é adimensional.

20 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Ao longo dos anos, várias centenas de diferentes grupos adimensionais importantes para a engenharia foram identificadas. Seguindo a tradição, cada um desses grupos recebeu o nome de um cientista ou engenheiro. As forças encontradas nos fluidos em escoamento incluem as de inércia, viscosidade, pressão, gravidade, tensão superficial e compressibilidade. Os principais grupos adimensionais da mecânica dos fluidos são: Número de Reynolds; Número de Euler; Número de Froude; Número de Weber; Número de Mach.

21 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Número de Reynolds: Na década de 1880, Osborne Reynolds, engenheiro britânico que estudou a transição entre os regimes de escoamentos laminar e turbulento em um tubo. Ele descobriu que o parâmetro ρvd/μ é um critério pelo qual o regime do escoamento pode ser determinado. O número de Reynolds é a razão entre forças de inércia e viscosas. Escoamentos com grande número de Reynolds são, em geral, turbulentos. Aqueles escoamentos em que as forças de inércia são pequenas em comparação com as forças viscosas são tipicamente escoamentos laminares.

22 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Número de Euler: Em testes de modelos aerodinâmicos e outros é conveniente modificar o segundo parâmetro, Δp/ρV², inserindo um fator de 1/2 para fazer o denominador representar a pressão dinâmica. Esta razão recebeu o nome de Leonhard Euler, matemático suíço que foi um dos pioneiros nos trabalhos analíticos em mecânica dos fluidos. O número de Euler é a razão entre forças de pressão e de inércia. O número de Euler é usualmente chamado coeficiente de pressão, Cp.

23 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Número de Euler: No estudo dos fenômenos de cavitação, a diferença de pressão, Δp, é tomada como Δp = p p υ, em que p é a pressão na corrente líquida e p υ é a pressão de vapor do líquido na temperatura de teste. Combinando estes parâmetros com ρ e V, o parâmetro adimensional resultante é denominado número ou índice de cavitação. Quanto menor o número de cavitação, maior a probabilidade de ocorrer cavitação.

24 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Número de Froude: William Froude foi um arquiteto naval britânico. Juntamente com seu filho, Robert Edmund Froude, ele descobriu um parâmetro significativo para escoamentos com efeitos de superfície livre. O número de Froude pode ser interpretado como a razão entre forças de inércia e de gravidade. O número de Froude tem aplicações nos estudos da ação das ondas em elementos flutuantes e em escoamentos em canais e córregos.

25 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Número de Weber: O número de Weber indica a razão entre forças de inércia e forças de tensão superficial. Possui aplicação no estudo de lubrificação de mancais.

26 Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Número de Mach: Na década de 1870, o físico austríaco Ernst Mach introduziu o parâmetro V/c, em que V é a velocidade do escoamento e c é a velocidade local do som. Análises e experimentos têm mostrado que o número de Mach é um parâmetro chave que caracteriza os efeitos de compressibilidade em um escoamento. Pode ser interpretado como uma razão entre forças de inércia e forças de compressibilidade. Escoamentos com M<1 são denominados subsônicos, com M=1 são sônicos e M>1, supersônicos.

27 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Para ser de utilidade, um teste de modelo deve resultar em dados que possam, por meio de transposição por escala, fornecer forças, quantidades de movimentos e cargas dinâmicas que existiriam no protótipo em tamanho real.

28 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Para que o modelo seja semelhante ao protótipo é necessário que: Semelhança geométrica: requer que ambos tenham a mesma forma e que todas as dimensões lineares do modelo sejam relacionadas com as correspondentes dimensões do protótipo por um fator de escala constante. Cinematicamente semelhantes: Dois escoamentos são cinematicamente semelhantes quando as velocidades em pontos correspondentes têm a mesma direção e sentido e diferem apenas por um fator de escala constante. Como as fronteiras sólidas formam as linhas de corrente de contorno do sólido, escoamentos cinematicamente semelhantes devem ser também geometricamente semelhantes. A semelhança cinemática exige que os regimes de escoamento sejam os mesmos para modelo e protótipo.

29 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Para que o modelo seja semelhante ao protótipo é necessário que: Dinamicamente semelhantes: Quando dois escoamentos têm distribuições de força tais que tipos idênticos de forças são paralelos e relacionam-se em módulo por um fator de escala constante em todos os pontos correspondentes. Semelhança cinemática requer semelhança geométrica; a semelhança cinemática é um requisito necessário, mas não é suficiente para assegurar a semelhança dinâmica. As condições de teste devem ser estabelecidas de tal forma que todas as forças importantes estejam relacionadas pelo mesmo fator de escala entre os escoamentos de modelo e de protótipo.

30 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Assim, considerando escoamentos de modelo e de protótipo (os escoamentos são geometricamente semelhantes), eles também serão dinamicamente semelhantes se o valor do parâmetro independente, ρvd/μ, for repetido entre o modelo e o protótipo, isto é:

31 Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Em muitos estudos com modelos, para conseguir semelhança dinâmica, é preciso duplicar diversos grupos adimensionais. Em alguns casos, a semelhança dinâmica completa entre modelo e protótipo pode não ser atingida. Pois as igualdades entres os números adimensionais impõem escalas infactíveis ou mesmo a impossibilidade de reproduzir o escoamento. Quando isto acontece, modelos em escala real são construído utilizando argila, ou mesmo, em alguns casos, os próprios protótipos são testados.

32 Semelhança Lei das Bombas A semelhança completa nos testes de desempenho de bombas exigiria coeficientes de escoamento e número de Reynolds idênticos. A prática tem mostrado que os efeitos viscosos são relativamente sem importância, quando duas máquinas geometricamente semelhantes operam sob condições semelhantes de escoamento: Onde: Q representa a vazão, H a altura de carga, D o diâmetro do rotor, w a rotação e P a potência da bomba.

33 Exemplo 1 Um modelo de um navio, construído em escala de 1:10, é testado em um escoamento de água a uma velocidade de 120Km/h, sabendo que o arrasto no casco do modelo foi medida e é 300N, calcule em condição de semelhança, a velocidade e o arrasto no protótipo.

34 Exemplo 2 Uma bomba centrífuga opera em uma rotação de 1750rpm, determine a variação em sua vazão e potência e potência, caso a rotação do motor seja modificada para 3600rpm.