Teoria da lubrificação. Capítulo 5

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1 Teoria da lubrificação Capítulo 5

2 Desvio do escoamento unidirecional quando a fronteira é ligeiramente não paralela A magnitude da velocidade principal deve variar com a direção do escoamento Soluções exatas de NS não são mais possíveis Thin gap limit : distância entre entre as paredes é pequena quando comparada com o espaço lateral Soluções aproximadas usando técnicas assintójcas e de ordem de grandeza Contorno sólido e conhecido: equações de Reynolds da lubrificação

3 Combinação entre o movimento relajvo entre as paredes e um espaço pequeno entre elas leva a altas pressões, que tendem a manter as superocies separadas: princípio da lubrificação Quando um dos contornos é uma interface, as equações calculam a evolução da mesma

4 Escoamento num tubo ligeiramente convergente 1 r ( r rv r) + v z z = 0 v ρ v r r r + v z v ρ v z r r + v z v r z v z z = µ r 1 r r rv r ( ) + 2 v r z 2 P r = µ r r v z + 2 v z P r z 2 z

5 Análise de ordem de grandeza dos termos Adapatção local dos resultados da geometria uniforme Q = π P 4 ( 0 P L )R 0 8µL 1 1+ R L /R 0 1+ R L /R 0 ( ) + ( R L /R 0 ) 2 3( R L /R 0 ) 3 ( ) + ( R L /R 0 ) 2

6 raio cilindro externo: a(1+ε) superocie cilindro interno: r =a superocie do cilindro externo: r= r s (θ) = aελcosθ + [ ( ) 2 ] ( aελcosθ) 2 a 2 ε 2 λ 2 1+ ε Ecentricidade: λ, 0 λ 1, λ=0 cilindro concêntricos Espaço entre os cilindros: h(θ) = a(1+ ε) 1 ε2 λ 2 sin 2 θ ( 1+ ε) 2 1/ 2 + aελcosθ a

7 / z= 0 y r a y u z ( y+a)u r = 0 0 y h(θ) [ ] + u θ u ρ u r r y + µ 1 y+a u ρ u θ r y µ 1 y+a y u θ y+a θ = 0 u r θ u θ = p y + ( y+a) u r + y + u θ y+a y 1 2 u r ( y+a) 2 θ u r 2 y+a u θ θ + u r = 1 y+a ( y+a) u θ + y p θ u θ ( y+a) 2 θ u θ 2 y+a ( ) 2 u θ 2 ( y+a) 2 θ ( ) + 2 u r 2 ( y+a) 2 θ

8 CC: u r = 0 u θ = Ωa em y= 0 u n = 0 u t = 0 em y= h(θ) ou u r = u θ = 0 em y= h(θ) As equações acima não tem solução analíjca Para Re=0, existe solução exata, objda com uma transformação de coordenadas. Dois casos limites: ε<<1 (λ=o(1)) e λ<<1 (ε=o(1))

9 Limite para pequenos ε (ε<<1) problemas de lubrificação Geometria: limite ε 0: r s (θ) = a 1+ ε ( ) + aελcosθ + O(ε 2 ) h(θ) = aε 1+ λcosθ ( ) + O(ε 2 ) Adimensionalização: u θ = u θ /Ωa Escala caracterísjca do comp. nos gradientes de velocidade na folga: l c = y/εa Ordem de grandeza: grande diferença na ordem de grandeza dos gradientes de vel ao longo da folga e através dela (comp. caracterísjcos da ordem de a e εa)

10 Uma escala caracterísjca para u r pode ser objda pela equação da conjnuidade: 1 εa y [( εay + a )Vu r ] + aω u θ θ = 0 V = εωa u θ θ / y u r = εωau r ε <<1 u r p= πp << u θ [( εy +1)u r ] V = O(εΩa)

11 Equações Adimensionais y [( εy +1)u r ] + u θ θ = 0 ρa 2 Ω µ 1 εy +1 y ρa 2 Ω µ 1 εy +1 y u ε ε u r r y + u θ 1+ εy ( εy +1) u r + y u r θ u 2 θ = π 1+ εy µω ε 2 2 u r ( εy +1) 2 θ ε2 u r 2 εy +1 u ε 2 u θ r y + u θ u θ εy +1 θ + εu r = ( εy +1) u θ + y ε 2 2 u θ ( εy +1) 2 θ 2 p y + ( ) 2ε u θ 2 ( εy +1) 2 θ πε 2 µω εy +1 ( ) u θ + p θ + 2ε 2 u r ( εy +1) 2 θ

12 Condições de contorno u r = 0, u θ = 1 em y = 0 u r = u θ = 0 em y = h(θ) =1+ λcosθ Observando as eqs. adimensionais vemos que, além do termo de pressão centrífuga envolvendo u 2 θ, o maior termo de inércia não linear (comparando com o maior termo viscoso, O(1), é ρa 2 Ω O ε 2 = O ε 2 Re µ ( ) O limite de lubrificação para folgas pequenas despreza os termos viscosos de O(ε) e O(ε 2 ) e os termos de inércia de O(εRe) e O(ε 2 Re)

13 Se procurarmos uma solução assintójca do Jpo: u = u (0) + O(ε,εRe) +... p = p (0) + O(ε,εRe) +... podemos obter as eqs. governantes para o primeiro termo pegando o limite das eqs. completas quando ε,εre 0 u r (0) (0) y + u θ θ = 0 2 u r (0) y 2 2 u θ (0) y 2 π p (0) µω y = 0 πε2 µω p (0) θ = 0 Eqs. lineares O termo de pressão não pode ser desprezado, pois ainda não sabemos a ordem de grandeza da pressão caracterís;ca As eqs. são as mesmas que seriam ob;das usando se coord. cartesianas (x θ): curvatura das fronteiras, que ocorre numa escala a, pode ser desprezada no limite de folgas pequenas

14 Pressão caracterísjca π: π=μω/ε 2 um dos termos da pressão é desprezado e as CC são sajsfeitas As equações se reduzem a: u r (0) (0) y + u θ θ = 0 2 u θ (0) y 2 p (0) p(0) θ = 0 y = O(ε2 ) Quanto menor a folga, maiores as pressões p (0) depende apenas de θ Diferente das eqs. para esc. unidirecional, estas eqs. são aproximadas, levando em conta a ordem de grandeza dos termos Equações de lubrificação

15 Solução das eqs. de lubrificação: y 2 u (0) θ = dp(0) dθ 2 + ay + b usando as CC, (y = 0, u r = 0, u θ = 1;y = h(θ), u r = u θ = 0) : u (0) θ = 1 y + dp(0) h dθ y 2 2 yh 2 Para determinar o gradiente de pressão vamos usar a eq. conjnuidade. Integrando em relação a y: y 3 dθ 2 u r (0) = y 2 2h 2 dh dθ d 2 p (θ ) 6 y 2 h 4 + dp(θ ) dθ y 2 4 dh dθ

16 A cte de integração foi considerada igual a zero para sajsfazer a CC em y=0. A outra CC, em y=h fornece uma eq. diferencial para a pressão: d dθ h 3 dp (0) = 6 dh dθ dθ dp (0) dθ = 6 h 2 + c h 3 p (0) é periódica em θ : Então integrando a eq. acima : c = 6 2π 0 2π 0 dθ /h 2 dθ /h 3 dp(0) dθ = 6 h h 3 I 2 I 3 caso parjcular da eq. Reynolds 2π dp (0) dθ 0 0 dθ I n (λ) 2π 0 dθ ( 1+ λcosθ) n

17 3 u (0) θ = 1+ λcosθ ( ) 2 1+ y 1+ λcosθ ( ) 1 I 2 y 2 1+ λcosθ I 3 ( 1+ λcosθ) ( ) [ ] Resumo do procedimento de solução (mpico dos problemas de lubrificação): obtem se a vel. tangencial das eqs. movimento. Da eq. conjnuidade, obtem se a vel. normal com o uso de 1 CC. A segunda CC leva a uma ED, eq. de Reynolds, que é ujlizada para determinar o gradiente de pressão.

18 Resultados com dimensão u (0) 3 θ = Ωa 1+ λcosθ u r 1+ (0) = εωau r (0) ( ) 2 y/εa 1+ λcosθ ( ) I 2 (λ) = 2 2λ2 2 + λ 2 I 3 (λ) = dp (0) ( ) 3λ dθ = 6µΩ ε λ 2 p (0) (θ) p (0) (0) = 1 I 2 y I 3 ( 1+ λcosθ) εa 2π [( 1 λ) 3 / 2 ( 1+ λ) 3 / 2 ] 2 ( 2 + λ 2 )λcosθ ( 1+ λcosθ) 3 6µΩ ( ) ε λ 2 λsinθ( 2 + λcosθ) ( 1+ λcosθ) 2 2 ( ) y 1+ λcosθ obs: λ=0, cilindros concêntricos, dp/dθ=0 εa

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20 Forças Força de pressão no cilindro interno na direção verjcal posijva, como consequência de sua rotação Gradiente de pressão O(ε 2 ): altas pressões e gradientes para folgas pequenas Torque requerido para girar o cilindro é proporcional a u (0) θ / y = O(Ω/ε) y= 0 Então, aplicando uma força O(ε 1 ), obtem se uma força líquida O(ε 2 ). A disjnção entre a magnitude da força produzida e a requerida para manter o movimento tangencial relajvo através da folga é a base das aplicações prájcas da teoria da lubrificação

21 UJlizando a solução objda, as contribuições viscosa e devido a pressão são dadas por F i = T ij n S j ds = S pn j ds + 2µ E S ij n j ds F y ( p ) = 12πµΩa ε 2 F ( p ) λ ( 2 + λ 2 )( 1 λ 2 ) 1/ 2 α F(v) F x ( p ) = 0 (v) F i = O µωa...menor do que a contribuição ε devida a pressão aumento da força, maior ecentricidade

22 Derivação das equações básicas da Teoria da Lubrificação

23 CaracterísJcas: gradientes de velocidade na direção paralela aos contornos são assintójcamente menores comparados àqueles através do domínio: dimensão transversal ao domínio tem que ser assintójcamente menor comparada ao raio de curvatura dos contornos ou a distância lateral caracterísjca a qualquer mudança na largura da folga (assim, a análise de lubrificação pode ser ujlizada em escoamentos com fronteiras que variam suavemente). O domínio é dito fino tal que ε 2 Re é assintojcamente pequeno: termos de inércia (NS) desprezíveis em relação aos termos viscosos e de pressão

24 Hipóteses: todo o escoamento sajsfaz as hip. básicas da aproximação para folgas pequenas, embora a análise só se aplique a uma porção do domínio (H:escala de comprimento caracterísjca da distância através da folga; L: dimensão lateral da região de folga pequena) Fora da região de folga pequena, a escala L é relevante para os gradientes de velocidades em todas as direções. Mas o esc. através da folga é caracterizado pela escala de comp. H Assim, as aproximações nas eqs. (ε=h/l<<1) serão diferentes em diferentes partes do domínio.

25 Ordem das eqs. dentro da folga, H/L<<1: 2 u 2 u z 2 + ε2 2 u y 2 ~ 2 u z 2 + O(ε2 ) limite assintójco singular folga: região interna for a da folga: externa Primeiro termo da teoria assintójca pode ser objdo na região interna sem a solução da parte externa, e a pressão domina as forças Teoria da Lubrificação Em geral, uma das fronteiras se move

26 u s u z = u z = 0 em z= 0 = h/ t NS : u= 0 ρ u + u u = p+µ 2 u t x s : plano paralelo a parede plana s u s + u z = 0 z ρ u z + u s s u z t ρ u s + u s s t u s u + u z z = p z z + µ s s u z u + u s z = s p+µ s z ( ) + 2 u z s z 2 ( u s ) + 2 u s z 2

27 Valores caracterísjcos: u s u s U 1 s s l c ε = h l c z = 1 εl c p = p p c z t U l c t u z = u z εu Obs.: uc pode ser também V/ε, V velocidade verjcal entre as fronteiras superior e inferior

28 Equações adimensionais s u s + u z z = 0 ρεu 2 u z t + u u + u s s z z l c ρu 2 u s t l c u z z + u s s u s + u z u s z = p c p εl c z + µu 2 ε 2 s s u z εl c = p c s p l c grande + µu ε 2 l c 2 ( ) + 2 u z ε2 s s u s z 2 z 2 grande ( ) + 2 u s O p c l c = O µu ε 2 2 p c = µu 1 l c l c ε 2

29 2 u s z 2 s p = ε 2 s s u s ( ) + ε 2 Re u s t + u s s u s + u z u s z Re ρul c µ p z = 2 u z ε2 z 2 ( ) + ε2 s s u z CC : z = h(x s ), u z = u s = 0 z = 0, u s = U/u c, u z = V /εu c + ε 2 Re u z t + u u + u s s z z u z z 2 parâmetros devem ser pequenos para obter as eqs clássicas lubrificação: ε e ε 2 Re. Assumindo Re fixo e independente de ε, ε n Re 0 quando ε 0, e podemos procurar uma solução assintójca similar ao caso dos cilindros ecêntricos:

30 u s = u s (0) + f 1 (ε)u s (1) +... u z = u z (0) + f 1 (ε)u z (1) +... p = p (0) + f 1 (ε)p (1) +... As equações governantes para a primeira aproximação são: (0) s u (0) s + u z z = 0 2 u s (0) z 2 s p (0) = 0 p (0) z = 0 CC : z = h(x s ), u z (0) = u s (0) = 0 z = 0, Equações de lubrificação u s (0) = U, u z (0) = V Válidas para ε<<1 CC podem variar Folga pode variar com posição e tempo

31 p (0) ( x s,z,t) p (0) ( x s,t) desconhecido Integrando, z 2 u (0) s = s p (0) 2 + f x,t s Usando as CC : ( ) + g( x s,t) u (0) s = s p (0) z 2 2 zh 2 + U z h 1 Problema clássico de lubrificação: h e u s ou h e u z conhecidos nas fronteiras, e o objejvo é a determinação da distribuição de pressão. Ainda não usamos a eq. conjnuidade e as CC para u z. Vamos intergrar a eq. para u z (e usara as CC) para obter p (0)

32 h (0) h ( s u s )dz + u z = 0 0 h ( s u s )dz = V = h 0 t Usando o resultado anterior : h t = h 3 s 12 s p(0) + h 2 U 0 Equação de Reynolds Com o movimento da fronteira especificado, pode ser u;lizada para determinar p Para obter uma única solução, os valores de p devem ser especificados nos limites da camada de lubrificação

33 Para obter a solução para pequenos ε na região for a da folga, usamos o mesmo procedimento: adimensionalizar as eqs. NS e da conjnuidade, usando valores caracterísjcos relevantes a região externa. Obtem se eqs. aproximadas para os vários termos numa aproximação assintójca da solução subsjtuindo a expansão nas eqs. adimensionais e requerindo que elas sejam sajsfeitas em cada ordem de ε. Obtemos então as eqs. governantes para o primeiro termo pegando o limite quando ε 0 nas eqs. completas adimensionais para a região externa.

34 u u u c v v u c x x l c y y u c u t + u u x + v u y = p c p ρu c x + µ ρu c l c v t + u v x + v v y = p c p ρu c y + µ ρu c l c p c = µu c 1 l c ε 2 p = ε 2 2 u + ρu l c c u µ t + u u u = ( u,v) t u c t p = p l c p c 2 u x + 2 u 2 y 2 2 v x + 2 v 2 y 2 Pressão nas duas camadas (interna e externa) devem coincidir Como ε é pequeno, as variações do movimento na parte externa prajcamente não afetam p. Assim, a solução na folga pode ser objda sem ser necessária a determição do campo de velocidades fora dela.