I. Fazer uma revisão dos modelos poroelásticos de Biot e Rice & Cleary

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1 1. Introdução 1.1 Objetivos Os objetivos deste trabalho são: I. Fazer uma revisão dos modelos poroelásticos de Biot e Rice & Cleary 64 buscando o entendimento de suas formulações, bem como, dos parâmetros físicos utilizados para o estabelecimento destes modelos poroelásticos. II. Resolver o sistema de equações diferenciais parciais do modelo de Rice & Cleary, utilizando a técnica dos elementos finitos. A solução do sistema de equações não é feita de forma acoplada (fully coupled). A técnica utilizada é citada na literatura 63 como Staggered Hydromechanical Analysis. Nesta técnica as equações da mecânica e de fluxo de fluidos em meios porosos são resolvidas separadamente. Os termos de acoplamento das equações são passados para o lado direito do sinal de igualdade (vetor de carga) e um esquema iterativo é utilizado para passar a solução de um problema para o outro, até que haja a convergência do processo. 1.2 Motivação do Trabalho Como a Engenharia do Petróleo trata basicamente do fluxo de hidrocarbonetos em meios porosos e da produção destes fluidos, há a necessidade do estudo de problemas MEC ânicos no meio poroso, considerando-se o comportamento do fluido contido no espaço poroso. Problemas de fraturamento hidráulico, criação de canhoneado (furo no revestimento e meio poroso que permite o fluxo de fluidos para o interior do poço) e de estabilidade do poço tem indicado a necessidade de modelar-se o fenômeno poroelástico em rochas capeadoras e reservatórios para uma simulação destes processos mais próxima da realidade.

2 Hipóteses Simplificadoras Os problemas de poroelasticidade, para serem modelados matematicamente exigem a adoção de algumas hipóteses simplificadoras. Neste trabalho considera-se que: o meio poroso é homogêneo e isotrópico. Biot 8 apresenta uma solução para meios anisotrópicos, mas isto não é objeto desta dissertação; as deformações e deslocamentos são pequenos, de tal modo que podem ser linearizados; as deformações são funções lineares das tensões. Para que seja válida a teoria linear elástica; os problemas resolvidos atendem aos requisitos do estado plano de deformação; não haja forças de volume; o fluxo é monofásico, ou seja, só escoa um fluido no meio poroso; todos os poros estão interconectados, ou seja, a porosidade φ é a efetiva; a saturação de fluido no meio poroso é de 100%; a compressibilidade do fluido é pequena e não é função da pressão de poro; não ocorre interação química entre o fluido e o meio poroso os fenômenos são isotérmicos. 1.4 Convenções de Sinais Ao contrário da convenção utilizada em Mecânica das Rochas, nesta dissertação os esforços de compressão são considerados negativos e, consequentemente, os de tração são considerados positivos. A pressão de poros é considerada positiva.

3 Teoria poroelástica O comportamento de um meio poroso que não apresente um fluido preenchendo seu espaço poroso pode ser modelado considerando-o como um material linear elástico e as deformações das rochas podem ser previstas utilizando-se a teoria da elasticidade. Entretanto, em alguns ramos da Engenharia (Civil e de Petróleo) e em Geologia é comum defrontar-se com problemas em que a rocha encontra-se parcialmente ou completamente saturada com um ou mais fluidos. Em estudos de mecânica de solos e de mecânica de rochas, já foi amplamente mostrado que o comportamento mecânico e a resistência de solos ou rochas não saturadas e saturadas (parcialmente ou não) é completamente diferente. Terzaghi foi o primeiro a propor um modelo para descrever o comportamento de solos saturados, introduzindo conceito de tensão efetiva. σ = σ + p 1.1 Na equação acima, σ é a tensão total, σ é a tensão efetiva e p e a pressão de poros. Uma vez que o volume poroso pode mudar com a pressão de poros, Geertsma 45, Skempton 70 e outros modificaram a definição da tensão efetiva enunciada por Terzaghi, incluindo a compressibilidade do sólido e do esqueleto poroso. A tensão efetiva passou a ter a seguinte forma σ = σ + αp 1.2 onde α é o chamado coeficiente de Biot que é dado por K α = K u e K e K u são os módulos de deformação volumétrica do esqueleto poroso e do constituinte sólido do meio poroso, respectivamente. Embora o conceito de tensão efetiva tenha obtido sucesso na solução de diversos problemas, ele é por natureza uma conceito voltado para problemas estáticos. Assim, este conceito torna-se inadequado para problemas nos quais a deformação do meio poroso é afetada pelas pressão do fluido em movimento. Em problemas de fundação, onde a mobilidade do fluido contido nos poros é pequena, o efeito do fluxo de fluido na deformação do meio poroso pode ser desconsiderado e o conceito de tensão efetiva apresenta resultados satisfatórios. Em muitos

4 18 problemas de Engenharia de Petróleo tais como fraturamento hidráulico, criação do canhoneado e estabilidade de poços, onde as velocidades do fluido no meio poroso pode ser alta, a aplicação o conceito de tensão efetiva pode introduzir erros consideráveis. Considerando o problema de consolidação de solos Biot 2,3,4,5,6,7,8 reformulou o conceito de da tensão efetiva na análise de meios porosos saturados e com base na elasticidade clássica formulou a Teoria da Poroelasticidade. 1.6 Breve Histórico O primeiro autor a apresentar uma teoria sobre consolidação foi Terzaghi em Em 1941 (e em uma sequência de artigos) Biot 4 apresentou a teoria da poroelasticidade acoplada, também chamada de teoria de Biot. Nesta série de artigos Biot analisa problemas tridimensionais em meios isotrópicos e anisotrópicos, de propagação de ondas em meios porosos saturados, de carregamento variável com o tempo, etc. Biot 8 mostra como podem ser determinados os coeficientes utilizados na teria da poroelasticidade por ele proposta. A critica que é feita à formulação de Biot é de que ela lança mão de coeficientes que não são rotineiramente utilizados em Geotecnia e em Engenharia de Petróleo. Visando a formular a teoria poroelástica, com base em coeficientes rotineiramente determinados em atividades de engenharia, Rice & Cleary 64 apresentaram uma formulação para a teoria poroelástica com os seguintes coeficientes G, ν, ν u e B, respectivamente, módulo de cisalhamento, coeficiente de Poisson drenado e não drenado e coeficiente de Skempton. O problema poroelástico foi formulado em termos de tensão. Posteriormente Rudnicki 66 e Detournay 25 reformularam o modelo de Rice & Cleary e rescreveram-no em termos de deslocamentos. Em função da complexibilidade do sistema de equações diferenciais parciais que descreve a teoria poroelástica, as soluções analíticas para o problema só são obtidas para geometrias simplificadas ou desacoplando-se o mesmo.

5 Organização da dissertação No primeiro capítulo são apresentados os objetivos, as hipóteses simplificadoras e a convenção de sinais adotada nesta dissertação. Também é apresentado um pequeno histórico da evolução dos modelos poroelásticos. No capítulo dois é feita uma demonstração da teoria poroelástica, dando ênfase no problema de fluxo, mostrando como surge o acoplamento hidromecânico no problema. Os modelos poroelásticos clássicos serão tratados nos apêndices A e B. Neste capítulo também é abordada a forma de modelar-se matematicamente um determinado fenômeno físico. No terceiro capítulo é feita a formulação numérica do problema poroelástico de duas formas uma acoplada e outra em que o acoplamento hidromecânico é feito por meio de um método iterativo. Nesta dissertação, a segunda forma é adotada para o desenvolvimento do código computacional. Também é formulada numericamente a condição inicial, que é a de carregamento não drenado. A partir da condição inicial surge uma matriz de rigidez para a solução do problema que é denominada matriz de rigidez não drenada. No quarto capítulo é abordada, muito superficialmente, a técnica da Programação Orientada por Objetos (POO) e são apresentadas algumas classes básicas do sistema PZ - sistema destinado a resolver problemas de engenharia através do Método dos Elementos Finitos (MEF) desenvolvido por Devloo 27,30. O sistema PZ, bem como algumas implementações feitas por Siqueira 70 são utilizados no desenvolvimento do simulador numérico deste trabalho. Neste capítulo são feitas, também, comparações entre os resultados do simulador numérico desenvolvido e resultados de modelos analíticos (Biot, 1941a e Detournay, 1988). Por fim, neste capítulo são testadas a performance e a estabilidade do código computacional. O quinto capítulo apresenta as conclusões obtidas neste trabalho, bem como propõe temas para futuros trabalhos. No apêndice A é apresentado o modelo poroelástico de Biot, A partir das leis fundamentais e equações constitutivas é deduzido o sistema de equações diferenciais que descreve este modelo. No apêndice B é mostrado como o modelo de Rice & Cleary 64 é derivado do modelo de Biot 4. Ao final deste apêndice é apresentada a formulação feita por

6 20 Rudnicki 66 para o modelo de Rice & Cleary. O modelo numérico desenvolvido nesta dissertação objetiva resolver o sistema de equações proposto por Rudnicki. No apêndice C é descrito de que forma as constantes poroelásticas dos diversos modelos podem ser obtidas a partir de ensaios de laboratório. As constantes do modelo proposto por Rice & Cleary 64 e adaptado por Rudnicki 66 são mais facilmente determinadas, pois os ensaios requeridos são rotineiros nas atividades de Geotecnia e de Engenharia de Petróleo. No apêndice D alguns operadores matemáticos e as descrições material e espacial do movimento são recordados. No apêndice E são deduzidas as equações para o cálculo dos recalques e do campo de pressões de poros em uma coluna poroelástica (adensamento unidimensional), baseando-se no trabalho de Biot 5. Nos apêndices F e G são descritos modelos analíticos para o cálculo dos campos de tensão e de pressão de poros ao redor de um poço, situado em um meio poroelástico infinito. Os modelos apresentados são aqueles propostos por Risnes 65 e Detournay 25. Por ser mais completo, uma vez que considera o acoplamento hidromecânico e o termo transiente na equação do fluxo, o modelo de Detournay foi escolhido para a validação, em tal geometria, do código numérico desenvolvido nesta dissertação. No apêndice H apresenta-se uma breve descrição do método de Stehfest 72. Este algoritmo destina-se a fazer a transformada inversa de Laplace. As soluções analíticas do modelo de Detournay são obtidas no campo de Laplace. Em função da complexidade destas soluções, a transformada inversa obtida de forma analítica é muito complexa, quando não impossível de ser feita. Assim, apresentou-se o método numérico de Stehfest, usado nesta dissertação.