SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ALETAS EM UM CONTEXTO DE ALTAS TEMPERATURAS. R. Sobral.

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1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ALETAS EM UM CONTEXTO DE ALTAS TEMPERATURAS R. Sobral Doutorando em Engenharia Mecânica R. Sobral (M.Sc.) 1 / 29

2 Motivação Fundamentos Muitos dispositivos e equipamentos tem a necessidade de dissipar calor, seja como atividade-fim, otimização de eficiência ou garantia de integridade de sistemas. R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 2 / 29

3 Motivação Motivação Dispositivos Eletrônicos Fonte: RAMOS, R. A. V. Análise da convecção natural em superfícies com fontes de calor protuberantes. Doutorado em Engenharia Mecânica - Universidade Estadual de Campinas, São Paulo, R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 3 / 29

4 Motivação Grandezas Associadas Dispositivos Termoelétricos; Efeito Thomson; Lei de Curie-Weiss; Painéis Fotovoltaicos. R. Sobral (M.Sc.) 4 / 29

5 Motivação Análise Multifísica R. Sobral (M.Sc.) 5 / 29

6 Motivação Análise Multifísica Utility Flares / Vapor Combustion Unit / Fixed Orifice Sonic Flares by Flare Industries - An Aereon Company R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 6 / 29

7 Motivação Análise Multifísica R. Sobral (M.Sc.) 7 / 29

8 Motivação Análise Multifísica R. Sobral (M.Sc.) 8 / 29

9 Motivação Soluções Analíticas Teorema de Duhamel; Funções de Green; Transformada de Laplace. Fonte: OZISIK, M. Necati. Heat conduction. John Wiley & Sons, R. Sobral (M.Sc.) 9 / 29

10 Motivação Justificativa Muitos problemas de transferência de calor não linear não possuem soluções analíticas, além do que softwares de análise multifísica realizam aproximações que podem acarretar a erros consideráveis nos perfis de temperatura. R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 10 / 29

11 Motivação Ciência dos Materiais Em ciência dos materiais muitas equações constitutivas são obtidas assumindo condutividade térmica constante, entretanto tal aproximação pode acarretar a erros consideráveis. R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 11 / 29

12 Motivação Condutividade Térmica do Cobre Fonte: HO, Cho Yen; POWELL, Reginald W.; LILEY, Peter E. Thermal conductivity of the elements. Journal of Physical and Chemical Reference Data, v. 1, n. 2, p , R. Sobral (M.Sc.) 12 / 29

13 Desenvolvimento Objetivos Principal Simulação numérica de processos de transferência de calor em aletas com condutividade térmica variável utilizando-se formulação variacional e construção sequencial de soluções através da Transformada de Kirchhoff. Secundários Resolver o problema não linear através do limite da sequência cujos elementos são oriundos da solução de problemas lineares e suas soluções são obtidas por meio da minimização de funcionais quadráticos. R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 13 / 29

14 Desenvolvimento Estudos Recentes R. Sobral (M.Sc.) 14 / 29

15 Desenvolvimento Estudos Recentes R. Sobral (M.Sc.) 15 / 29

16 Desenvolvimento Modelo Físico R. Sobral (M.Sc.) 16 / 29

17 Desenvolvimento Modelo Físico R. Sobral (M.Sc.) 17 / 29

18 Desenvolvimento Murray-Gardner Temperatura não nula do dissipador; Interação entre aletas e superfície primária; Condutividade térmica dependente da temperatura; Irradiação mútua entre aletas adjacentes; Efeito combinado de irradiação mútua e radiação ambiental; Interação da radiação com a estrutura associada. Fonte: KRAUS, Allan D.; AZIZ, Abdul; WELTY, James. Extended surface heat transfer. John Wiley & Sons, R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 18 / 29

19 Desenvolvimento Formulação Matemática ( k(t ) T ) + ( k(t ) T ) x x y y 2 [ ( ) h T T + ɛσ T 3.T ] = 0 δ in Ω 1 and k T.n = 0 on Ω 1 = Γ 1 U Γ 3 U Γ 4 T = T env (ξ, η) for t = 0; 1 < ξ < H; 1 < η < Z Fonte: WEBB, Ralph L.; KIM, Nae-Hyun. Principles of enhanced heat transfer. Taylor Francis: New York, NY, USA, R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 19 / 29

20 Desenvolvimento Transformada de Kirchhoff Redução da equação do calor a uma equação diferencial parcial linear por meio da introdução de nova variável ω relacionada com T da seguinte forma: ω = f (T ) = T T 0 k(ɛ)dɛ R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 20 / 29

21 Desenvolvimento Transformada de Kirchhoff Para curva empírica do cobre com o auxílio do método dos mínimos quadrados, obteve-se a seguinte curva ajustada a ser integrada na Transformada de Kirchhoff: ω = f (T ) = T T 0 k(ɛ)dɛ = gradω = kgradt c (d+1).t (d + 1) T = f 1 (ω) = e 1 ω(d+1) log d+1 c R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 21 / 29

22 Desenvolvimento Transformada de Kirchhoff div[gradω] 2 δ com condição de contorno [ h.e λ + σ e λ 3.e λ] = 0 in Ω 1 (gradω).n = 0 on Ω 1. R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 22 / 29

23 Desenvolvimento Formulação Variacional Solução do problema físico real deve ser alcançada através do limite da sequência cujos elementos são obtidos através da minimização do seguinte funcional quadrático: I [ν] = 1 2 H Z 0 0 [ ( ν ) 2 ( ) ] ν 2 + dxdy + x y H Z 0 0 [ ] h δk (ν T ) + 2εσ 5Dk ν 5 dxdy A primeira variação do funcional descreve a formulação variacional do problema real Fonte: Martins-Costa, M.L., de Freitas Rachid, F.B. and da Gama, R.M.S., An unconstrained mathematical description for conduction heat transfer problems with linear temperature-dependent thermal conductivity. International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 81, pp R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 23 / 29

24 Desenvolvimento Sequência de Problemas Lineares ω = lim i Φ i em que os elementos da sequência [Φ 0, Φ 1, Φ 2,..., Φ i ] são obtidos através de div (gradφ i+1 ) = αφ i+1 β i in Ω 1 e Para um termo auxiliar β: (gradφ i+1 ) n = 0 on Ω 1 ( ) β i = αφ i 1 σ Φ i 1 3 Φ i 1 h (Φ i 1 T ) for i = 0, 1, 2,... Fonte: Gama, R.M.S., Corrêa, E.D. and Martins-Costa, M.L., An upper bound for the steady-state temperature for a class of heat conduction problems wherein the thermal conductivity is temperature dependent. International Journal of Engineering Science, Vol. 69, pp R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 24 / 29

25 Desenvolvimento Perfil de Temperatura Aletas longitudinais de cobre com C.C. convectivas e radiativas de perfil retangular R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 25 / 29

26 Desenvolvimento Discretização em 11 nós Base a T amb C.C. convectiva Base a T amb C.C. convectiva e radiativa R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 26 / 29

27 Conclusões Conclusão A influência da temperatura na condutividade térmica (dando origem a equações diferenciais não lineares). Tal dependência é muito importante quando existem grandes variações de temperatura A influência da radiação térmica nos processos de troca de calor (gerando também não linearidades). Tal influência fica mais importante quando as temperaturas envolvidas são altas e/ou as atmosferas são rarefeitas R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 27 / 29

28 Conclusões Referências Bibliográficas [1] RAMOS, R. A. V. Análise da convecção natural em superfícies com fontes de calor protuberantes. Doutorado em Engenharia Mecânica - Universidade Estadual de Campinas, São Paulo, [2] OZISIK, M. Necati. Heat conduction. John Wiley & Sons, [3] HO, Cho Yen; POWELL, Reginald W.; LILEY, Peter E. Thermal conductivity of the elements. Journal of Physical and Chemical Reference Data, v. 1, n. 2, p , [4] Kraus, A.D., Aziz, A. and Welty, J., Extended surface heat transfer. John Wiley & Sons. [5] Webb, R.L. and Kim, N.H., Principles of enhanced heat transfer. Taylor Francis: New York, NY, USA. [6] Martins-Costa, M.L., de Freitas Rachid, F.B. and da Gama, R.M.S., An unconstrained mathematical description for conduction heat transfer problems with linear temperature-dependent thermal conductivity. International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 81, pp [7] Gama, R.M.S., Corrêa, E.D. and Martins-Costa, M.L., An upper bound for the steady-state temperature for a class of heat conduction problems wherein the thermal conductivity is temperature dependent. International Journal of Engineering Science, Vol. 69, pp R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 28 / 29

29 Conclusões Agradecimento Obrigado a todos! R. Sobral (M.Sc.) rodolfo.sobral@cefet-rj.br 29 / 29