UN ALGORITMO DE PUNTO INTERIOR PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CONTACTO

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1 UN ALGORITMO DE PUNTO INTERIOR PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CONTACTO Sandro Rodrigues Mazorche Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF, Dep. de Matemática - ICE, Campus Universitário - CEP Juiz de Fora-MG, Brasil. sandro.mazorche@ufjf.edu.br Gabriel M. Guerra José Herskovits gguerra@fing.edu.uy jose@opitmize.ufrj.br COPPE / Universidade Federal do Rio de Janeiro, Prog. Eng. Mecânica, Caixa Postal 68503, CEP , Rio de Janeiro, Brasil. Resumo. Este trabalho apresenta um método para resolução de problemas de elasticidade linear com contato sem atrito (Problema de Signorini). O Método dos Elementos de Contorno (MEC) é utilizado para discretizar o problema contínuo e obter um problema aproximado de dimensão finita. Neste trabalho é mostrado que este problema de dimensão finita pode ser escrito na forma de um Problema de Complementaridade (NCP) ou um Problema de Complementaridade Mista (NCPM). Para resolver estes problemas são utilizados dois algoritmos iterativos de pontos interiores, um para Problemas de Complementaridade Não Linear (Alg-NCP) e outro para Problemas de Complementaridade Mista (Alg-NCPM). Alguns exemplos de problemas de elasticidade linear em 2D e 3D com contato sem atrito são resolvidos para mostrar a eficácia das técnicas apresentadas. Palavras-chave: Problema de Signorini, Algoritmos de Complementaridade, Elementos de Contorno.

2 1 INTRODUÇÃO O problema de contato é um assunto muito relevante em Mecânica dos Sólidos, em particular na mecânica de múltiplos corpos onde a transmissão de forças acontece através do contato entre os corpos. Em várias aplicações o conhecimento das tensões na região de contato é muito importante. Em geral, soluções analíticas para estes problemas não podem ser obtidas, com exceção de alguns problemas particulares de geometria simples. Isto é em parte devido a que a condição de contorno na região de contato está dada por uma expressão não linear de complementaridade que determina a característica não linear do problema de contato. 2 PROBLEMA DE COMPLEMENTARIDADE Os problemas de complementaridade estão presentes em várias aplicações na Engenharia, Economia e outras ciências em geral (Ferris and Pang, 1997). Em Engenharia Mecânica é destacado o problema de contato. 2.1 Problema de Complementaridade Não Linear (NCP) O Problema de Complementaridade Não Linear é dado pela seguinte definição: Definição 2.1 Seja F : D IR n Complementaridade Não Linear é: Encontrar x IR n tal que IR n uma função vetorial não linear. O Problema de x 0, F(x) 0 e x F(x) = 0 (1) onde: x 0 x i 0 1 i n F(x) 0 F i (x) 0 1 i n x F(x) = 0 x i F i (x) = 0 1 i n Definição 2.2 O conjunto de pontos viáveis Ω do problema (1) é definido como: Ω := {x IR n x 0, F(x) 0} Seja a função R : D IR n, R(x) = x F(x). É fácil ver que x é uma solução do problema NCP (1) se e somente se x Ω e verifica: R(x) = 0 (2) Definição 2.3 Uma solução de (1) é dita solução não degenerada se para todo índice i, x i + F i (x) 0. Caso contrário é dita degenerada.

3 3 ALGORITMOS DE PONTOS INTERIORES O algoritmo de pontos interiores Alg-NCP, parte de um ponto no interior da região viável Ω e gera um seqüência de pontos também interiores a esta e que converge a uma solução do problema NCP. Cada iteração do algoritmo pode ser descrita brevemente como: a) teste de convergência; b) cálculo da direção de busca; c) busca linear e d) atualização das variáveis. Neste algoritmo o cálculo da direção de busca é baseado na direção da iteração de Newton para o sistema linear dado pela Eq. (2). Para obter convergência a uma solução do problema o algoritmo modifica a direção de Newton segundo uma direção de restauração, ver (Mazorche and Herskovits, 2005; Herskovits, 1998). Será utilizada a seguinte notação: R k = R(x k ), M k = R(x k ), f k = n x k i F i (x k ) e µ k = f k /n i=1 3.1 Alg-NCP Dados x 0 int(ω), k = 0, ɛ > 0, E = [1,..., 1] T, ν, ν 1 (0, 1), α 0 (0, 1). Passo 1: Cálculo da direção de busca d k Ache d k 1 e d k 2 soluções dos sistemas: Direção de NewtonM k d k 1 = R k (3) Faça ρ = min{α 0, d k 1 } M k d k 2 = µ k E (4) d k = d k 1 + ρ d k 2 (5) Passo 2: Busca linear Define-se t como sendo o primeiro valor da seqüência {1, ν, ν 2, ν 3,...} que satisfaz: x k + t d k 0 F(x k + t d k ) 0 f k + tν 1 f k d k f(x k + t d k ) Passo 3: Atualização e Critério de parada x k+1 = x k + t d k, k = k + 1. Se R k ɛ pare, caso contrário vá para o passo 1. Em (Mazorche and Herskovits, 2005) é mostrado que se a função F verifica algumas hipóteses de regularidade apropriadas a direção de busca está bem definida para pontos no interior de Ω.

4 4 PROBLEMA DE ELASTICIDADE LINEAR COM CONTATO SEM ATRITO O problema de elasticidade linear com contato sem atrito consiste em determinar a função u que define os deslocamentos nos pontos de um domínio Ω do espaço euclidiano. O domínio Ω é ocupado por um corpo de material elástico linear. As condições de contorno são dadas pela função que define os deslocamentos prescritos, ū e pela função que define as forças de superfície prescritas p, definidas, respectivamente, nas regiões Γ D e Γ N de Ω, e por uma condição de complementaridade na região Γ C (ver Fig. 1). Chamando Γ ao contorno de Ω, as regiões Γ D, Γ N e Γ C verificam: Γ D Γ N Γ C = Γ. Figura 1: Problema de elasticidade linear com contato. Matematicamente, o problema de elasticidade linear com contato pode ser expresso como: a) ( lc S u) = 0 em Ω b) u = ū em Γ D (6) c) p = p em Γ N mais a condição de complementaridade no contorno Γ C : a) u n + s 0 b) p n 0 em Γ C c) (u n + s) (p n) = 0 (7) onde lc é o tensor elástico, S u = 1/2( u + ( u) T ), p = ( lc S u)n representa as forças de superfície atuando no contorno, n é o vetor normal à superfície sobre a qual tem-se o contato e s é o valor do deslocamento máximo possível na direção do vetor n (ver Fig. 1). 5 EXEMPLOS NUMÉRICOS São apresentados dois exemplos. O primeiro em duas dimensões (2D) que foi resolvido por ambos os algoritmos Alg-NCP e Alg-NCPM. O segundo em três dimensões (3D) foi resolvido com o algoritmo Alg-NCP. No exemplo 2D foi considerado o valor do parâmetro de parada ɛ = N, no exemplo 3D foi considerado o valor ɛ = N/m. Nos cálculos foi utilizado um computador PC-AMD MHz com 1GB de memória RAM.

5 5.1 Exemplo 2D Este exemplo consiste na metade de um cilindro de raio 1 m apoiado em um plano rígido e carregado com uma força vertical de valor ρ = 0.1 N/m como mostra a Fig. 2. Devida à simetria axial o problema pode ser modelado em duas dimensões. Figura 2: Problema de contato 2D. Para este exemplo foram consideradas as seguintes propriedades para o material: Módulo de Young: E m = 2000 Pa e Módulo de Poisson: ν m = 0. Este exemplo tem a solução analítica, onde a força de contato na direção do vetor n é dada em função da coordenada x perpendicular ao eixo do cilindro pela fórmula: p(x) = p m 1 (x/b) 2 onde p m é o valor máximo da força de contato e b é a largura da região de contato. Os mesmos são dados pelas fórmulas: p m = 2P πb 16ρR b = πe m /(1 νm) 2 onde ρ é a força por unidade de longitude e R é o raio do cilindro. 6 CONCLUSÕES Neste trabalho foi mostrado como resolver problemas de elasticidade com contato sem atrito utilizando o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e os algoritmos de pontos interiores para Problemas de Complementaridade Não Linear (Alg-NCP) e Problemas de Complementaridade Não Linear Mista (Alg-NCPM). Através dos resultados obtidos para os exemplos apresentados constatou-se que a formulação que conduz a um NCP permite, utilizando o algoritmo Alg-NCP, resolver o problema com maior eficiência que quando utilizada a formulação NCPM com o algoritmo Alg-NCPM. A

6 formulação NCP leva a um sistema não linear de equações com menor número de incógnitas, permitindo a solução de problemas de contato para malhas com um grau maior de refinamento. Para problemas de contato elástico mais gerais do que aqueles apresentados neste trabalho, a formulação NCPM permite, em geral, uma abordagem mais direta e simples. Nestes casos, pode ser conveniente utilizar a formulação NCPM. Neste trabalho mostrou-se que utilizando a formulação NCPM e aplicando uma técnica de malha variável obteve-se um desempenho semelhante ao obtido com a formulação NCP. Agradecimentos Ao Programa de Engenharia Mecânica PEM - COPPE e às instituições CAPES, CNPq e Faperj pelo suporte financeiro. Referências M.C. Ferris and J.S. Pang. Engineering and economic applications of complementarity problems. SIAM Review, 39: , J. Herskovits. A feasible directions interior point technique for nonlinear optimization. JOTA - Journal of Optimization Theory and Applications, 99(1): , S.R. Mazorche and J. Herskovits. A new interior point algorithm for nonlinear complementarity problems. In Sixth World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization - CD Proceedings, pages 13 14, Rio de Janeiro, BR, 2005.