Introdução ao Método dos Elementos de Contorno

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João Henrique Sales Silva
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1 Introdução ao Método dos Elementos de Contorno Prof. Raul Bernardo Vidal Pessolani Depto de Eng Mecânica - PGMEC niversidade Federal Fluminense raul@vm.uff.br

2 Programa 1. Aspectos Gerais Dedução da Eq. integral de Contorno. Implementação Numérica Resolução 3. Exemplos Potencial, Elasticidade Interação Fluido-estrutura 4. Técnicas Adaptativas Estratégias Medidores 18/1/007 Raul B. V. Pessolani

3 Aspectos Gerais Introdução Visão Geral Histórico Exemplos Vantagens e Desvantagens do MEC Dedução da equação integral de Contorno Premissas Teóricas 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 3

4 Bibliografia Brebbia e Dominguez, Boundary Element Method: an Introductory Course, CMP Publications, Brebbia, C.A., The Boundary Element Methods for Engineers, Pentech Press, London, Brebbia, C.A., Telles, J.C, e Wrobel, L.C., Boundary Element Echniques - Theory dan applications in Engineering, Springer-Verlag, 1984 Outras publicações: 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 4

5 1. Introdução Duas maneiras de se abordar a Mecânica Computacional 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 5

6 A idéia do MEC 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 6

7 Histórico 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 7

8 Exemplos: Discretização 3D MEC 500 elementos MEF elementos 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 8

9 Ex D: Placa tracionada com furo no Centro 1,0Kg/m 10,10 D C E 0,0 A B 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 9

10 Resposta para Forças de superfície 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 10

11 Discretização MEC MEF 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 11

12 . Vantagens e Desvantagens 1 Redução do problema em uma dimensão a Simplificação dos dados de entrada b Especialmenteatraenteparaos problemas que requerem uma interface ou alteração de malha 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 1

13 Vantagens Menos operações aritméticas Diminuição da ordem do sistema final de equações Maior economia computacional a a... a 11 1 n1 a a 1... n a a 1n nn X X.... X 1 n = b1 b... b n 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 13

14 Vantagens 3 Os valores para os pontos internos são calculados posteriormente em função das variáveis externas. P 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 14

15 Vantagens 4 Eficiência comprovada em zonas de concentração de tensões 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 15

16 Vantagens 5 Representa com fidelidade problemas com domínio infinito Geologia Acústica Escoamento em superfície livre 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 16

17 Desvantagens 1 A matriz do Sistema final é cheia e não simétrica. Exige o cálculo de integrais singulares. 3 Comercialmente menos utilizado. 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 17

18 3.Equação integral de Contorno Transformação Equação diferencial original do problema Solução Fundamental ª Identidade de Green Equação Integral de Contorno 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 18

19 Problema Potencial Equação de Laplace para D u x, y u x, u x, y = + x y y = 0 =. = u x, y x, y = = operador Laplaciano Função Potencial escalar Coordenadas cartesianas 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 19

20 Solução Fundamental Fornece a resposta em qualquer ponto Q do domínio, devida à aplicação de uma carga unitária em P Propriedades: Função Delta de Dirac: P => Ponto Fonte Q => Ponto Campo x, y = b P Q + f x. δ P Q = f P 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 0

21 Solução Fundamental para Potencial D P, Q = 1 π 1 ln r P, Q 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 1

22 Dedução da equação do Contorno Aplica-se a equação de Laplace para o potencial e para a solução Fundamental. u = b e = b Integra-se a diferença no domínio. Ω Ω = u u d b ub dω Ω Zero. Arbitra-se b=0 u p 18/1/007 Raul B. V. Pessolani

23 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 3 Transforma-se a integral de Dominio em uma integral de contorno, mediante a Segunda identidade de Green. Dedução da equação do Contorno Γ Ω = Ω Γ d n n u d u u Γ = Γ d n u n p u A eq. se torna: Distribuição potencial dos dados de um corpo exclusivamente em função do contorno!

24 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 4 Γ = Γ + Γ Γ ε d n Q P Q u n Q Q P P u e e,, lim 0 Toma-se um ponto P do contorno e fazse um semi-circulo de raio ε com ε 0 O novo contorno é Γ - Γε + Γε A eq. fica: Eq integral de contorno P ε Ω Γ Γ ε Γ ε

25 Eq integral de contorno Desmembra-se em 3 parcelas Faz-se a transformação de coordenadas d Γ = ε. dα Chega-se à: lim ε 0 Γ e n u n dγ = u P π α α 1 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 5

26 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 6 Equação básica do MEC π α α = 1/ 1 1 P C P Ω P ΓContorno suave π θ = P C,, Q d n Q P Q u n Q Q P P u P C Γ = Γ

27 Resolução A eq. integral de Contorno deduzida pode ser aplicada para qualquer problema D governado pela equação de Laplace, tais como: Condução de calor regime estacionário Escoamento invíscido e incompressível Campo elétrico, etc. Para outros tipos de problemas, deduz-se de maneira similar, modificando a solução fundamental 18/1/007 Raul B. V. Pessolani 7

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