MAC-015 Resistência dos Materiais Unidade 02

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1 MAC-015 Resistência dos Materiais Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental Leonardo Goliatt, Michèle Farage, Alexandre Cury Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

2 Carga Axial Programa 1 Carga Axial Tensão e Deformação Membros com carga axial estaticamente indeterminados Variação de temperatura L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

3 Carga Axial Tensão e Deformação Programa 1 Carga Axial Tensão e Deformação Membros com carga axial estaticamente indeterminados Variação de temperatura L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

4 Carga Axial Tensão e Deformação Mudança de comprimento em membros carregados axialmente Exemplo da tração de uma barra prismática P = kδ; δ = fp onde δ é o alongamento, k é o coeficiente de rigidez e f é o coeficiente de flexibilidade. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

5 Carga Axial Tensão e Deformação Mudança de comprimento em membros carregados axialmente Exemplo da tração de uma barra prismática δ = PL EA ; k = EA L ; f = L EA onde E é o módulo de elasticidade e A é a área da seção transversal. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

6 Carga Axial Tensão e Deformação Mudança de comprimento em membros carregados axialmente Exemplo de membros carregados axialmente L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

7 Carga Axial Tensão e Deformação Mudança de comprimento em membros carregados axialmente Exemplo de membros carregados axialmente L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

8 Carga Axial Tensão e Deformação Mudança de comprimento em membros carregados axialmente Exemplo de membros carregados axialmente L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

9 Carga Axial Tensão e Deformação Mudança de comprimento em membros carregados axialmente Exemplo de membros carregados axialmente L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

10 Carga Axial Tensão e Deformação O ensaio de tração e compressão O conceito de tensão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

11 Carga Axial Tensão e Deformação O ensaio de tração e compressão A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos experimentais, como o ensaio de tração ou compressão. Uma máquina de teste é projetada para ler a carga exigida para manter o alongamento uniforme. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

12 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação A tensão nominal (σ), ou tensão de engenharia, é determinada pela divisão da carga aplicada P pela área original da seção transversal do corpo de prova, A 0. σ = P A 0 A deformação nominal (ε), ou deformação de engenharia, é determinada pela divisão da variação, δ, no comprimento de referência do corpo de prova, pelo comprimento de referência original do corpo de prova, L 0. ε = δ L 0 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

13 Carga Axial Tensão e Deformação O ensaio de tração e compressão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

14 Carga Axial Tensão e Deformação O ensaio de tração e compressão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

15 Carga Axial Tensão e Deformação O ensaio de tração e compressão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

16 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação Comportamento elástico Escoamento Endurecimento por deformação Estricção Diagrama tensão deformação real O comportamento da tensão deformação de materiais dúcteis e frágeis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

17 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação Comportamento elástico A tensão é proporcional à deformação. O material é linearmente elástico. Escoamento Endurecimento por deformação Estricção Diagrama tensão deformação real O comportamento da tensão deformação de materiais dúcteis e frágeis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

18 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação Comportamento elástico Escoamento Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resultará no colapso do material e fará com que ele se deforme permanentemente. Endurecimento por deformação Estricção Diagrama tensão deformação real O comportamento da tensão deformação de materiais dúcteis e frágeis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

19 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação Comportamento elástico Escoamento Endurecimento por deformação Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar uma carga adicional ao corpo de prova, o que resulta em uma curva que cresce continuamente, mas torna-se mais achatada até atingir uma tensão máxima denominada limite de resistência. Estricção Diagrama tensão deformação real O comportamento da tensão deformação de materiais dúcteis e frágeis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

20 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação Comportamento elástico Escoamento Endurecimento por deformação Estricção No limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. O corpo de prova quebra quando atinge a tensão de ruptura. Diagrama tensão deformação real O comportamento da tensão deformação de materiais dúcteis e frágeis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

21 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação Comportamento elástico Escoamento Endurecimento por deformação Estricção Diagrama tensão deformação real Os valores da tensão e da deformação calculados por essas medições são denominados tensão real e deformação real. Use este diagrama já que a maioria dos projetos de engenharia é feito dentro da faixa elástica. O comportamento da tensão deformação de materiais dúcteis e frágeis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

22 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação Comportamento elástico Escoamento Endurecimento por deformação Estricção Diagrama tensão deformação real O comportamento da tensão deformação de materiais dúcteis e frágeis 1 Materiais dúcteis: Material que possa ser submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura é denominado material dúctil. 2 Materiais frágeis: Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha são denominados materiais frágeis. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

23 Carga Axial Tensão e Deformação Lei de Hooke A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e deformação dentro da região elástica. σ = Eε σ = tensão E = módulo de elasticidade ou módulo de Young ε = deformação E pode ser usado somente se o material tiver relação linear elástica. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

24 Carga Axial Tensão e Deformação Endurecimento por deformação Se um corpo de prova de material dúctil for carregado na região plástica e, então, descarregado, a deformação elástica é recuperada. Entretanto, a deformação plástica permanece, e o resultado é que o material fica submetido a uma deformação permanente. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

25 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo de um diagrama O diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio utilizada na fabricação de peças de aeronaves é mostrado abaixo. Se um corpo de prova desse material for submetido à tensão de tração de 600 MPa, determine a deformação permanente no corpo de prova quando a carga é retirada. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

26 Carga Axial Tensão e Deformação Coeficiente de Poisson Coeficiente de Poisson, ν, estabelece que dentro da faixa elástica, a razão entre essas deformações é uma constante, já que estas são proporcionais. ν = ε lateral ε longitudinal A expressão acima tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-versa. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

27 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação de cisalhamento Para cisalhamento puro, o equilíbrio exige que tensões de cisalhamento iguais sejam desenvolvidas nas quatro faces do elemento. Se o material for homogêneo e isotrópico, a tensão de cisalhamento distorcerá o elemento uniformemente. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

28 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação de cisalhamento A maioria dos materiais de engenharia apresenta comportamento elástico linear, portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por τ = Gγ G = módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

29 Carga Axial Tensão e Deformação O diagrama tensão deformação de cisalhamento Três constantes do material, E,ν e G, na realidade, estão relacionadas pela equação E G = 2(1 + ν) G = módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez. E = módulo de elasticidade ou módulo de Young ν = Coeficiente de Poisson L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

30 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo Um corpo de prova de alumínio tem diâmetro d 0 = 25 mm e tem comprimento de referência de L 0 = 250 mm. Supondo que uma força de 165 kn alongue o corpo de 1.20 mm, determine o módulo de elasticidade e quanto o diâmetro do corpo se contrai. O limite elástico do alumínio é atingido em 440 MPa. Dados: G al = 26 GPa. σ = P A = 165(103 )N = MPa < 440 MPa (π/4)(0.025m) 2 G al = ε = δ = 1.2mm = mm/mm L 0 250mm E al = σ ε = 336.1Pa = 70GPa E al 70GPa 26GPa = 2(1 + ν) 1(1 + ν) ν = ν = ε lat = ε lat ε long ε lat = mm/mm δ = ( )(25) = mm contração no diâmetro L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

31 Carga Axial Tensão e Deformação Princípio de Saint-Venant O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a nivelar-se a uma distância suficientemente afastada L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

32 Carga Axial Tensão e Deformação Princípio de Saint-Venant L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

33 Carga Axial Tensão e Deformação Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a outro L = distância original P(x) = força axial interna na seção A(x) = área da seção transversal da barra E = módulo de elasticidade L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

34 Carga Axial Tensão e Deformação Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. σ = P(x) A(x) = Eε; ε = dδ P(x) dδ = εdx = dx A(x)E dx L L P(x) δ = dδ = 0 0 A(x)E dx L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

35 Carga Axial Tensão e Deformação Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da barra, δ = PL AE Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento; e negativos causarão compressão e contração. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

36 Carga Axial Tensão e Deformação Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial δ AD = PL EA = 5L AB EA + 3L BC EA + 7L CD EA L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

37 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal de 400 mm 2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kn for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade C da barra. (E aco = 200 GPa, E al =70 GPa ) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

38 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo δ CB = PL EA = +80(103 )0.6 π(0.005) 2 200(10 9 ) = m δ BA = PL EA = 80(103 ) (10 6 )70(10 9 ) = m δ C = δ CB ( ) + δ BA ( ) = m L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

39 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kn nesse ponto. Admitir E aco = 200 GPa e E al = 70 GPa. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

40 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo + M A = 0 = 90(0.2) + P BD (0.6) P BD = 90(0.2)/0.6 = 30kN F V = 0 = P BD + P AC 90 P AC = 60kN δ A = P ACL AC A AC E aco = 60(103 )0.3 π(0.010) 2 200(10 9 ) = = 0.286mm δ B = 30(103 )0.3 π(0.020) 2 70(10 9 ) = 0.102mm δ F = ( ) ( ) = 0.225mm L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

41 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo A barra rígida BDE esta apoiada por duas barras verticais de AB e CD. A ligação AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secção transversal de 500 mm 2 ; a ligação de CD é feita de aço (E = 200 GPa e tem uma área de seção transversal de 600 mm 2. Com o carregamento de 30 kn mostrado, determinar a deflexão nos pontos B, D e E. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

42 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo Forças atuantes na barra horizontal: Deslocamentos nas barras verticais: δ B = PL EA = 60(103 ) (10) 6 70(10 9 ) δ B = 514(10) 6 m δ D = PL EA = 90(10 3 ) (10) 6 200(10 9 ) δ D = 300(10) 6 m + M B = 0 = 30(0.6) + F CD (0.2) + M D = 0 = 30(0.4) F AB (0.2) F CD = 90 kn; F AB = 60kN L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

43 Carga Axial Tensão e Deformação Exemplo Deslocamentos do ponto E: Sejam B e D as posições deslocadas dos pontos B e D. Uma vez que BDE eh rígida, os pontos B e D e E permanecem sobre a mesma reta, e então BB DD = BH HD = = 200 x x x = 73.7 mm EE DD = HE HD = δ E = δ E = mm L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

44 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Programa 1 Carga Axial Tensão e Deformação Membros com carga axial estaticamente indeterminados Variação de temperatura L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

45 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados A barra abaixo possui as duas extremidades fixas, e a condição de equilíbrio resulta em + F = 0 = F A + F B P Uma equação adicional é fornecida pela condição de compatibilidade São necessárias δ A/B = 0 = F ACL AC A AC E AC + F CBL CB A CB E CB 1 Equações de equilíbrio 2 Equações de compatibilidade L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

46 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Três barras de aço (E = 200 GPa) são acopladas a um elemento rígido por pinos e submetidas a uma carga de 15 kn como mostrado. Determine a força em cada barra. As barras AB e EF têm área de seção transversal de 25 mm 2 e a barra CD seção transversal de 15 mm 2. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

47 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Equações de equilíbrio + M C = 0 = F A (0.4) + 15(0.2) + F E (0.4) + F y = 0 = F A + F C + F E 15 Equações de compatibilidade δ A δ E 0.8 = δ C δ E F C L 15E = δ C = (δ A + δ E )/2 ( ) FA L 25E + F EL 25E F C = 0.3F A + 0.3F E Resolvendo simultaneamente F A = 9.52 kn F C = 3.46 kn F E = 2.02 kn L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

48 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B e a haste. Determine as reações em A e B se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kn. Despreze o tamanho do colar em C. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

49 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B e a haste. Determine as reações em A e B se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kn. Despreze o tamanho do colar em C. O equilíbrio da haste exige: + F x = 0 = F A F B + 20(10 3 ) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

50 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B e a haste. Determine as reações em A e B se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kn. Despreze o tamanho do colar em C. A condição de compatibilidade para a haste exije que δ B A = m δ B A = = F AL AC EA F BL CB EA 0.4F A 0.8F B = 3927 Nm L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

51 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B e a haste. Determine as reações em A e B se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kn. Despreze o tamanho do colar em C. Temos: F A + F B = 20(10 3 ) 0.4F A 0.8F B = 3927 Resolvendo chegamos em (F A, F B ) = (16.6, 3.39) kn. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

52 Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados [Desafio:] Dois postes apoiam a viga rígida, cada um deles possui largura d, espessura d e comprimento L. Supondo que o módulo de elasticidade do material A seja E A e do material B seja E B, determinar a distância x para aplicar a força P de modo que a viga permaneça horizontal. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

53 Carga Axial Variação de temperatura Programa 1 Carga Axial Tensão e Deformação Membros com carga axial estaticamente indeterminados Variação de temperatura L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

54 Carga Axial Variação de temperatura Variação de temperatura Todos os membros e estruturas que analisamos até agora mantinham-se na mesma temperatura enquanto eles estavam sendo carregados. Vamos agora considerar várias situações que envolvem mudanças na temperatura. Vamos primeiro considerar uma haste homogênea AB de seção transversal uniforme, apoiada livremente sobre uma superfície horizontal lisa, que sofre um aumento de temperatura. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

55 Carga Axial Variação de temperatura Carga Axial Variação de temperatura Se a temperatura do da haste aumenta de uma quantidade T, observa-se que ela alonga-se por uma quantidade δt que é proporcional tanto a mudança de temperatura T e o seu comprimento L. Temos então o deslocamento e deformação dados por δ T = α( T)L ε T = δ T L = α T α é o coeficiente de dilatação térmica e T é a variação de temperatura. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

56 Carga Axial Variação de temperatura Carga Axial Variação de temperatura Suponha-se que a mesma haste AB de comprimento L é colocada entre dois suportes fixos a uma distância L entre si, e considere que não há forças nesta condição inicial. Se a temperatura aumentar por T, a barra não pode alongar por causa das restrições impostas nas suas extremidades e o alongamento δt da barra é zero. Uma vez que a haste é homogênea e de seção transversal uniforme, a deformação também zero (δt = 0). L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

57 Carga Axial Variação de temperatura Carga Axial Variação de temperatura No entanto, os suportes vão exercer forças iguais e opostas na haste depois que a temperatura foi elevada, para evitar que o alongamento. Fazendo o equilíbrio das forças horizontais, observa-se que o problema que temos de resolver é estaticamente indeterminado. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

58 Carga Axial Variação de temperatura Carga Axial Variação de temperatura Para resolver o problema, destacamos a haste do seu suporte B e deixamos alongar livremente à medida que sofre a mudança de temperatura T. O alongamento correspondente é δ T = α( T)L Aplicando a força P (reação redundante), temos δ P = PL EA O deslocamento total δ deve ser nulo, então δ = δ T +δ P = α( T)L+ PL EA = 0 P = EAα( T) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

59 Programa 2 Introdução Deformação por de um Eixo Circular A Fórmula da Ângulo de Transmissão de Potência Problemas Estaticamente Indeterminados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

60 Introdução Programa 2 Introdução Deformação por de um Eixo Circular A Fórmula da Ângulo de Transmissão de Potência Problemas Estaticamente Indeterminados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

61 Introdução Introdução Estudaremos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em um elementos lineares longos, com eixos maciços e eixos vazados. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

62 Introdução Introdução Estudaremos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em um elementos lineares longos, com eixos maciços e eixos vazados. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

63 Introdução Introdução Problemas analisados distribuição de tensões nas seções transversais determinação do ângulo de torção eixos de transmissão de potência L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

64 Introdução Introdução Torque (ou momento de torção) é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

65 Introdução Introdução O esforço de torção desenvolvido no eixo de acionamento do ventilador depende da potência de saída do motor. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

66 Introdução Introdução Delimitação do estudo: Barras sujeitas à torção pura: Somente o efeito do momento torsor (torque), sendo os demais esforços simples nulos. Barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou anular (coroa circular). Essas barras são comumente denominadas de eixos. Eixos sujeitos à momento torsor constante. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

67 Introdução Introdução Hipóteses: Linearidade entre deformações angulares e tensões tangenciais Pequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas. As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra. Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

68 Introdução Introdução Hipóteses: Linearidade entre deformações angulares e tensões tangenciais Pequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas. As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra. Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

69 Introdução Introdução A convenção de sinal para T é determinada pela regra da mão direita. Os diagramas são similares aos de esforço normal. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

70 Introdução Introdução A convenção de sinal para T é determinada pela regra da mão direita. Os diagramas são similares aos de esforço normal. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

71 Introdução Introdução de eixos não circulares não serão tratados neste curso. As seções não permanecem planas (sofrem empenamento). L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

72 Introdução Introdução de eixos não circulares não serão tratados neste curso. As seções não permanecem planas (sofrem empenamento). L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

73 Deformação por de um Eixo Circular Programa 2 Introdução Deformação por de um Eixo Circular A Fórmula da Ângulo de Transmissão de Potência Problemas Estaticamente Indeterminados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

74 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Observe a deformação do6 elemento indicado abaixo L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

75 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Observe a diferença na deformação para a seção transversal quadrada Vamos agora determinar um modelo matemático para a deformação de um eixo circular L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

76 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Considere um torque externo T aplicado em um eixo fixo em uma de suas extremidades. O torque aplicado provoca uma rotação de um ângulo de torção φ na extremidade livre. Se o torque T não for muito grande, observamos O ângulo de torção φ é proporcional a T O ângulo de torção φ é proporcional ao comprimento L Observamos que para seções circulares permanecem planas após a deformação. O mesmo não acontece para outras seções. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

77 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Considere um torque externo T aplicado em um eixo fixo em uma de suas extremidades. O torque aplicado provoca uma rotação de um ângulo de torção φ na extremidade livre. Se o torque T não for muito grande, observamos O ângulo de torção φ é proporcional a T O ângulo de torção φ é proporcional ao comprimento L Observamos que para seções circulares permanecem planas após a deformação. O mesmo não acontece para outras seções. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

78 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Considere um torque externo T aplicado em um eixo fixo em uma de suas extremidades. O torque aplicado provoca uma rotação de um ângulo de torção φ na extremidade livre. Se o torque T não for muito grande, observamos O ângulo de torção φ é proporcional a T O ângulo de torção φ é proporcional ao comprimento L Observamos que para seções circulares permanecem planas após a deformação. O mesmo não acontece para outras seções. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

79 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Considere um torque externo T aplicado em um eixo fixo em uma de suas extremidades. O torque aplicado provoca uma rotação de um ângulo de torção φ na extremidade livre. Se o torque T não for muito grande, observamos O ângulo de torção φ é proporcional a T O ângulo de torção φ é proporcional ao comprimento L Observamos que para seções circulares permanecem planas após a deformação. O mesmo não acontece para outras seções. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

80 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Considere um torque externo T aplicado em um eixo fixo em uma de suas extremidades. O torque aplicado provoca uma rotação de um ângulo de torção φ na extremidade livre. Se o torque T não for muito grande, observamos O ângulo de torção φ é proporcional a T O ângulo de torção φ é proporcional ao comprimento L Observamos que para seções circulares permanecem planas após a deformação. O mesmo não acontece para outras seções. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

81 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Considere um torque externo T aplicado em um eixo fixo em uma de suas extremidades. O torque aplicado provoca uma rotação de um ângulo de torção φ na extremidade livre. Se o torque T não for muito grande, observamos O ângulo de torção φ é proporcional a T O ângulo de torção φ é proporcional ao comprimento L Observamos que para seções circulares permanecem planas após a deformação. O mesmo não acontece para outras seções. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

82 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Considere um torque externo T aplicado em um eixo fixo em uma de suas extremidades. O torque aplicado provoca uma rotação de um ângulo de torção φ na extremidade livre. Se o torque T não for muito grande, observamos O ângulo de torção φ é proporcional a T O ângulo de torção φ é proporcional ao comprimento L Observamos que para seções circulares permanecem planas após a deformação. O mesmo não acontece para outras seções. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

83 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Vamos determinar as deformações no eixo ao lado que sofreu uma rotação relativa φ em suas extremidades. Considere o cilindro interno com raio ρ. Vamos considerar também o elementos quadrilateral formado duas duas seções adjacentes e duas linhas paralelas. Após a aplicação de T, o elemento se deforma. A deformação por cisalhamento γ é medida pela mudança do ângulo formado pelas arestas do elemento. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

84 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Vamos determinar as deformações no eixo ao lado que sofreu uma rotação relativa φ em suas extremidades. Considere o cilindro interno com raio ρ. Vamos considerar também o elementos quadrilateral formado duas duas seções adjacentes e duas linhas paralelas. Após a aplicação de T, o elemento se deforma. A deformação por cisalhamento γ é medida pela mudança do ângulo formado pelas arestas do elemento. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

85 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Vamos determinar as deformações no eixo ao lado que sofreu uma rotação relativa φ em suas extremidades. Considere o cilindro interno com raio ρ. Vamos considerar também o elementos quadrilateral formado duas duas seções adjacentes e duas linhas paralelas. Após a aplicação de T, o elemento se deforma. A deformação por cisalhamento γ é medida pela mudança do ângulo formado pelas arestas do elemento. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

86 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Vamos determinar as deformações no eixo ao lado que sofreu uma rotação relativa φ em suas extremidades. Considere o cilindro interno com raio ρ. Vamos considerar também o elementos quadrilateral formado duas duas seções adjacentes e duas linhas paralelas. Após a aplicação de T, o elemento se deforma. A deformação por cisalhamento γ é medida pela mudança do ângulo formado pelas arestas do elemento. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

87 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Vamos determinar as deformações no eixo ao lado que sofreu uma rotação relativa φ em suas extremidades. Considere o cilindro interno com raio ρ. Vamos considerar também o elementos quadrilateral formado duas duas seções adjacentes e duas linhas paralelas. Após a aplicação de T, o elemento se deforma. A deformação por cisalhamento γ é medida pela mudança do ângulo formado pelas arestas do elemento. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

88 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Uma vez que as seções não se distorcem, dois lados do elemento permanecem inalterados. A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas linhas AB e A B. Observamos então o modelo linear para AA = Lγ = ρφ γ = ρφ L Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γ max γ max = cφ L φ L = γ ρ = γ max c γ = ρ c γ max L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

89 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Uma vez que as seções não se distorcem, dois lados do elemento permanecem inalterados. A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas linhas AB e A B. Observamos então o modelo linear para AA = Lγ = ρφ γ = ρφ L Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γ max γ max = cφ L φ L = γ ρ = γ max c γ = ρ c γ max L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

90 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Uma vez que as seções não se distorcem, dois lados do elemento permanecem inalterados. A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas linhas AB e A B. Observamos então o modelo linear para AA = Lγ = ρφ γ = ρφ L Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γ max γ max = cφ L φ L = γ ρ = γ max c γ = ρ c γ max L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

91 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Uma vez que as seções não se distorcem, dois lados do elemento permanecem inalterados. A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelas linhas AB e A B. Observamos então o modelo linear para AA = Lγ = ρφ γ = ρφ L Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γ max γ max = cφ L φ L = γ ρ = γ max c γ = ρ c γ max L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

92 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

93 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

94 Deformação por de um Eixo Circular Deformação por de um Eixo Circular Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis Este eixo de acionamento tubular de um caminhão foi submetido a um torque excessivo, resultando em falha causada por escoamento do material. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

95 A Fórmula da Programa 2 Introdução Deformação por de um Eixo Circular A Fórmula da Ângulo de Transmissão de Potência Problemas Estaticamente Indeterminados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

96 A Fórmula da A Fórmula da Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica. τ = Gγ Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente γ = ρ c γ max Gγ = ρ c Gγ max τ = ρ c τ max τ: tensão de cisalhamento G: módulo de elasticidade ao cisalhamento c: raio externo do eixo ρ: distância intermediária L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

97 A Fórmula da A Fórmula da Considere um eixo AB submetido a um torque T, e uma seção em C. O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o torque T e as forças de cisalhamento f F. Seja ρ a distância do elemento df até o eixo e τ = df da a tensão tangencial no ponto. Para haver equilíbrio da porção BC, temos: T = Daí temos T = τ max c ρdf = ρ 2 da ρ(τda) = T = τ maxj c ρ ρ c τ maxda τ max = Tc J L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

98 A Fórmula da A Fórmula da Considere um eixo AB submetido a um torque T, e uma seção em C. O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o torque T e as forças de cisalhamento f F. Seja ρ a distância do elemento df até o eixo e τ = df da a tensão tangencial no ponto. Para haver equilíbrio da porção BC, temos: T = Daí temos T = τ max c ρdf = ρ 2 da ρ(τda) = T = τ maxj c ρ ρ c τ maxda τ max = Tc J L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

99 A Fórmula da A Fórmula da Considere um eixo AB submetido a um torque T, e uma seção em C. O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o torque T e as forças de cisalhamento f F. Seja ρ a distância do elemento df até o eixo e τ = df da a tensão tangencial no ponto. Para haver equilíbrio da porção BC, temos: T = Daí temos T = τ max c ρdf = ρ 2 da ρ(τda) = T = τ maxj c ρ ρ c τ maxda τ max = Tc J L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

100 A Fórmula da A Fórmula da Considere um eixo AB submetido a um torque T, e uma seção em C. O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o torque T e as forças de cisalhamento f F. Seja ρ a distância do elemento df até o eixo e τ = df da a tensão tangencial no ponto. Para haver equilíbrio da porção BC, temos: T = Daí temos T = τ max c ρdf = ρ 2 da ρ(τda) = T = τ maxj c ρ ρ c τ maxda τ max = Tc J L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

101 A Fórmula da A Fórmula da Considere um eixo AB submetido a um torque T, e uma seção em C. O diagrama de corpo livre da porção BC inclui o torque T e as forças de cisalhamento f F. Seja ρ a distância do elemento df até o eixo e τ = df da a tensão tangencial no ponto. Para haver equilíbrio da porção BC, temos: T = Daí temos T = τ max c ρdf = ρ 2 da ρ(τda) = T = τ maxj c ρ ρ c τ maxda τ max = Tc J L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

102 A Fórmula da A Fórmula da Substituindo τ max = Tc J em τ = ρ c τ max expressamos a tensão de cisalhamento em função da distância ρ até o eixo da barra: τ = ρ c Tc J τ = Tρ J Onde J é o momento de inércia polar para seções circulares J = π 2 c4 Para seções circulares vazadas J = π 2 (c4 2 c 4 1) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

103 A Fórmula da A Fórmula da Substituindo τ max = Tc J em τ = ρ c τ max expressamos a tensão de cisalhamento em função da distância ρ até o eixo da barra: τ = ρ c Tc J τ = Tρ J Onde J é o momento de inércia polar para seções circulares J = π 2 c4 Para seções circulares vazadas J = π 2 (c4 2 c 4 1) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

104 A Fórmula da A Fórmula da Substituindo τ max = Tc J em τ = ρ c τ max expressamos a tensão de cisalhamento em função da distância ρ até o eixo da barra: τ = ρ c Tc J τ = Tρ J Onde J é o momento de inércia polar para seções circulares J = π 2 c4 Para seções circulares vazadas J = π 2 (c4 2 c 4 1) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

105 A Fórmula da A Fórmula da Considere o eixo mostrado. Qual o maior torque que pode ser aplicada se a tensão de cisalhamento máxima é de 120 MPa. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

106 A Fórmula da A Fórmula da Considere o eixo mostrado. Qual o maior torque que pode ser aplicada se a tensão de cisalhamento máxima é de 120 MPa. Usando a fórmula da torção temos T = Jτ max c J = π 2 (c4 2 c4 1 ), chegamos em π T = 2 (c 4 2 c4 1 )τ max c Substituindo os valores, T = π 2 ((0.03) 4 (0.02) 4 )120(10 6 ) (0.03) E temos T = 4084 Nm. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

107 Ângulo de Programa 2 Introdução Deformação por de um Eixo Circular A Fórmula da Ângulo de Transmissão de Potência Problemas Estaticamente Indeterminados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

108 Ângulo de Ângulo de O ângulo de torção φ e a deformação por cisalhamento máxima γ max estão relacionados por γ max = cφ L Pela lei de Hooke, temos γ max = τ max G γ max = τ max G Tc = J G = Tc GJ Daí chegamos em γ max = cφ L cφ L = Tc GJ φ = TL GJ L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

109 Ângulo de Ângulo de O ângulo de torção φ e a deformação por cisalhamento máxima γ max estão relacionados por γ max = cφ L Pela lei de Hooke, temos γ max = τ max G γ max = τ max G Tc = J G = Tc GJ Daí chegamos em γ max = cφ L cφ L = Tc GJ φ = TL GJ L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

110 Ângulo de Ângulo de O ângulo de torção φ e a deformação por cisalhamento máxima γ max estão relacionados por γ max = cφ L Pela lei de Hooke, temos γ max = τ max G γ max = τ max G Tc = J G = Tc GJ Daí chegamos em γ max = cφ L cφ L = Tc GJ φ = TL GJ L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

111 Ângulo de Ângulo de Para um eixo prismático, o ângulo de torção é proporcional ao seu comprimento φ = TL GJ Se o eixo for composto por partes, temos φ = T il i G i J i No caso de um eixo com seção transversal circular variável, usamos um elemento diferencial dφ = T GJ dx φ = T GJ dx L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

112 Ângulo de Ângulo de Para um eixo prismático, o ângulo de torção é proporcional ao seu comprimento φ = TL GJ Se o eixo for composto por partes, temos φ = T il i G i J i No caso de um eixo com seção transversal circular variável, usamos um elemento diferencial dφ = T GJ dx φ = T GJ dx L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

113 Ângulo de Ângulo de Para um eixo prismático, o ângulo de torção é proporcional ao seu comprimento φ = TL GJ Se o eixo for composto por partes, temos φ = T il i G i J i No caso de um eixo com seção transversal circular variável, usamos um elemento diferencial dφ = T GJ dx φ = T GJ dx L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

114 Ângulo de Ângulo de Considere o eixo horizontal AD. Uma perfuração com diâmetro 44 mm foi feita no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito de aço (G = 77 GPa), determine o ângulo de torção na extremidade A. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

115 Ângulo de Ângulo de Considere o eixo horizontal AD. Uma perfuração com diâmetro 44 mm foi feita no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito de aço (G = 77 GPa), determine o ângulo de torção na extremidade A. O eixo é composto de três trechos: AB, BC, CD. Os diagramas de corpo livre são mostrados abaixo. Cada trecho possui um diâmetro L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

116 Ângulo de Ângulo de Considere o eixo horizontal AD. Uma perfuração com diâmetro 44 mm foi feita no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito de aço (G = 77 GPa), determine o ângulo de torção na extremidade A. Do equilíbrio, temos que T AB = 250 Nm T CD = T BC = 2250 Nm. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

117 Ângulo de Ângulo de Considere o eixo horizontal AD. Uma perfuração com diâmetro 44 mm foi feita no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito de aço (G = 77 GPa), determine o ângulo de torção na extremidade A. Os momentos de inércia polar ficam: J AB = π 2 (0.015)4 = (10 6 ) m 4 J BC = π 2 (0.030)4 = 1.272(10 6 ) m 4 J CD = π 2 [(0.030)4 (0.022) 4 ] = 0.904(10 6 ) m 4 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

118 Ângulo de Ângulo de Considere o eixo horizontal AD. Uma perfuração com diâmetro 44 mm foi feita no trecho CD. Sabendo que o eixo é feito de aço (G = 77 GPa), determine o ângulo de torção na extremidade A. O ângulo de torção fica: φ A = T il i G i J i = T ABL AB G AB J AB + T BCL BC G BC J BC + T CDL CD G CD J CD = 250(0.4) 77(10 9 )0.0795(10 6 ) (0.2) 77(10 9 )1.272(10 6 ) (0.6) 77(10 9 )0.904(10 6 ) = rad = π 360 rad = 2.31 o L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

119 Transmissão de Potência Programa 2 Introdução Deformação por de um Eixo Circular A Fórmula da Ângulo de Transmissão de Potência Problemas Estaticamente Indeterminados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

120 Transmissão de Potência Transmissão de Potência Potência: trabalho realizado por unidade de tempo P = dw dt O trabalho realizado por um eixo rotativo é o produto do torque aplicado pelo ângulo de rotação L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

121 Transmissão de Potência Transmissão de Potência Se durante um instante de tempo dt, o torque T fizer o eixo girar de um ângulo dθ, temos dw = Tdθ P = T dθ dt Para um eixo rotativo com torque, a potência é P = Tω, onde ω = dθ/dt é a velocidade angular do eixo No SI, a potência é expressa em watts. quando o torque é medido em Nm e ω é medido em rad/s. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

122 Transmissão de Potência Transmissão de Potência Em alguns casos, é dada a frequência de rotação do eixo, expressa em Hz (hertz) Como 1 ciclo=2πrad ω = 2πf, a equação para a potência é P = (2πf )T Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é J c = T, τ adm onde τ adm é a tensão máxima de cisalhamento, que depende do material usado. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

123 Transmissão de Potência Transmissão de Potência O eixo sólido AC do motor mostrado tem diâmetro de 25 mm, e está conectado a um motor em C que transmite uma potência de 3 kw quando gira a 50 Hz. Se as engrenagens em A e B removem 1 kw e 2 kw respectivamente, determine a tensão máxima de cisalhamento em AB e BC. Os mancais em D e E são livres de atrito. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

124 Transmissão de Potência Transmissão de Potência O eixo sólido AC do motor mostrado tem diâmetro de 25 mm, e está conectado a um motor em C que transmite uma potência de 3 kw quando gira a 50 Hz. Se as engrenagens em A e B removem 1 kw e 2 kw respectivamente, determine a tensão máxima de cisalhamento em AB e BC. Os mancais em D e E são livres de atrito. Os torques em A e C ficam: T C = ω P = 2πf P = (2π) = Nm T A = ω P = 2πf P = (2π) = Nm Com isso, temos: τ AB = T A J c = 3.183(0.0125) π = 1.04 MPa 2 (0.0125) 4 τ BC = T A J c = 9.546(0.0125) π = 3.11 MPa 2 (0.0125) 4 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

125 Transmissão de Potência Transmissão de Potência Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 90 kw do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 240 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τ adm = 50 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm. O mancal em B é livre de atrito. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69

126 Transmissão de Potência Transmissão de Potência Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 90 kw do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 240 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τ adm = 50 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm. O mancal em B é livre de atrito. Os torques em A e C ficam: ω = 240 min rev rad 2π rev 1 60 min s = rad s T max = ω P = = 3581 Nm Com isso, temos: τ max = T max J c 50(10 6 ) = 3581c π 2 c 4 c 3 = 3581 π c = 36 mm 2 50(10 6 ) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 69