TEC: Mecânica dos Pavimentos Elasticidade

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Setor de Tecnologia - Departamento de Transportes Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Construção Civil TEC: Mecânica dos Pavimentos Elasticidade Profª. Daniane F. Vicentini vicentini@ufpr.br 1. Introdução Elasticidade: hipóteses da Mecânica dos Meios Contínuos: - Homogeneidade - Isotropia - Elasticidade - Aplicação lenta de carga - Pequenos deslocamentos e deformações (De: internet) 1

2 2. Conceitos Tensão: Por um ponto do sólido passam infinitos vetores tensão, pois por um ponto passam infinitos planos. Portanto, a tensão dependerá do ponto e do plano da superfície (o vetor tensão nem sempre coincide com a normal). Tensor de tensões: σ z 3D: τ zx τ xz τ zy τ yz σ y z σ x τ xy τ yx y simetria x 2. Conceitos Tensão: Ordem de um tensor: Ordem 0 = escalar 1ª ordem = um índice variando 2ª ordem = dois índices variando 3ª ordem = três índices variando 4ª ordem = quatro índices variando Ex.: Tensor de 2ª ordem: = = Ex.: Tensor de 4ª ordem: 2

3 2. Conceitos Rigidez, Resistência e outros: σ A B C 1) O mais rígido: 2) O mais resistente: 3) O mais plástico/dúctil: 4) O mais frágil: D 5) O mais flexível: ε 2. Conceitos Lei constitutiva elástica para materiais isótropos: Lei de Hooke Onde: Observe que não há acoplamento entre: (tensor de rigidez) Tensões normais e def. tangenciais nos planos principais do material Tensões tangenciais e def. normais Tensões tangenciais de um plano e def. tangenciais de outro plano 3

4 2. Conceitos Lei de Hooke inversa (p/ isótropos): 1 D: 3 D: Onde: (tensor de flexibilidade) 3. Condições a cumprir: σ z τ zx τ zy τ yz γ xy Equilíbrio Compatibilidade Constitutiva σ τ x xy τxz b x = 0 u v ε = x ε y= z w x y ε x z = y z τ yx σ y τ ε yz b y = 0 x y z u v = + τ τ u w zx zy γ = σz + γ y x xz + + z b x z = 0 x y yz z x = C. σ v w = + z y τ xz τ τ σ xy yx x y σ σ + = ij, j b E i 0 σ y ε 4

5 3. Condições a cumprir: Lei de Compatibilidade (de Saint-Venant) Surge da permuta de índices na relação ε-u. É composta por 6 equações que, se atendidas, garante que o campo de deformações compatível, e que o campo de deslocamentos seja contínuo e de solução única: 4.1. Lema de Cauchy O lema de Cauchy estabelece que, sendo conhecidos três vetores tensão associados a três planos perpendiculares (de normal ), pode-se determinar o vetor tensão associado a qualquer outro plano e orientação. Suponha um tetraedro infinitesimal, onde 3 de suas faces estão orientadas de forma a coincidir com os eixos cartesianos: Fazendo o equilibrio, temos: Em notação matricial: 5

6 4.1. Lema de Cauchy Ou ainda: Onde e são as tensões (intrínsecas) normal e tangencial do vetor tensão. Existe algum estado tensional onde esteja na mesma direção de (e consequentemente )??? 4.2. Invariantes Casos particulares: Ausência de tensões tangenciais e as normais de mesmo valor. É chamado de estado tensional esférico ou hidrostático. Estado cilíndrico. ; Estado plano de tensão. 6

7 4.3. Princípio de Saint-Venant (1855): As diferenças de deformações produzidas em um corpo pela aplicação de um sistema de cargas estaticamente equivalentes, são desprezíveis em distâncias superiores à da dimensão da zona afetada pelo estado da carga. De acordo com este teorema, a partir de uma distância d a resposta medida em ambos problemas seria análoga. Também pode ser aplicado em sólidos com comportamento elastoplástico. Ex. de aplicações: Boussinesq (demonstrou matematicamente para sólido semi-infinito, mas não generalizou), ensaio de tração de barras (1D), carga de pneu (depende do que se deseja saber), modelos de escavação de frente de túnel, etc Planos octaédricos São aqueles que estão igualmente inclinados com relação ao sistema principal. A tensão normal (, intrínseca) a esses planos é chamada de tensão octaédrica ( mean stress ): III Assim, o tensor de tensões/deformações admite a seguinte decomposição: II Onde: Parte esférica Parte desviadora resp. pela mudança de volume I resp. pela mudança de forma 7

8 4.5. Transformação de coordenadas Em alguns casos a rotação do sistema de referência pode ser bastante útil. Para isso, se utiliza uma matriz de rotação (ou transformação ), a fim de transformar as componentes de tensões ou deformações de um sistema inicial a um novo ( ). Ex. Caso geral: Onde: é a matriz de transformação. Ex. Caso 2D: 4.6. Princípio de Superposição de efeitos Válido somente em regimes de comportamento elástico. + = Ex. aplicação: Ensaio triaxial (solos, misturas asfálticas) 8

9 4.7. Outras Teorema de reciprocidade de Betti, uso das funções de Airy, PTV, princípios energéticos, etc. Equilíbrio 3 eq. Compatibilidade Constitutiva 6 eq. 6 eq. 15 eq incógnitas = Sistema possível, indeterminado soluções!!! Assim, a definição do problema elástico aparece com a imposição das CC (em deslocamento, força ou condições mistas). Aterro em camadas (E. Aristizábal et al. 2012, Rev. ing. univ. Medellín vol.11 no.20 Medellín Jan./June Scielo) Simulação MEF de barragem (programa SEEP) 9

10 NA 5.1. Em Forças de Superfície: Ex.: ação da água sobre uma barragem Pressão da água: p = f(h) 2 A h 1 3 Calcular as componentes de tensões no ponto A. NA 5.2. Em Deslocamentos: A Mistas: Casos onde se pode aplicar força em uma direção e bloquear (ou liberar) o deslocamento em outra. Ex. (2D): 10

11 p 5.4. Apoio de Molas: O deslocamento imposto não necessariamente deve ser = 0. Em alguns casos, poderá obedecer a uma relação de flexibilidade com as forças de superfície (vetor tensão). k Onde: k = coef. de mola, rigidez ou recalque Ex. aplicação: Pavimentos de concreto sobre base elástica, fundações, etc Cargas pontuais (F ou M): Matematicamente, a aplicação pontual de cargas não existe (é preciso uma área para aplicar, ainda que pequena) e sua ocorrência provocará uma tensão elevadíssima. Nos problemas reais, sob o ponto de aplicação, aparecerá uma plastificação local ou microfissuras. As tensões ao redor desta zona são redistribuídas, buscando a situação de equilíbrio para o sistema. A solução, no entanto, é válida para o resto do domínio do problema. Água cortando metal (izaro.com) 11

12 5.6. Simetria: Quando a geometria e as CC do problema em estudo apresentar simetria, pode-se valer deste recurso a fim de reduzir o domínio e variáveis em estudo. Simulação 3D de escavação de tunel (gzconsultants.com) 2 = Cargas devidas ao tráfego: Em pavimentos flexíveis, geralmente as solicitações são traduzidas em termos do eixo padrão de 8,2 tf. (pedreirao.com.br) pressão de contato do pneu ( pressão do pneu) A área de contato dependerá: carga que o mesmo recebe 12

13 Área de contato aproximada, p/ pneu: Onde: Ac usada no PCA 1966 Tire print (H. Xiao-di, L. Walubita, J. Cent. South Univ. Technol. (2011) 18: ) Ac usada no PCA 1966: Ac usada no PCA 1984 (área equivalente, método baseado no MEF): Ainda: TCE (p/ pavimentos flexíveis) geralmente é assumida área de contato circular (com área equivalente a rodas simples ou dupla, conforme o caso) e pode-se utilizar a axissimetria!!! (Huang) 13

14 6. Bibliografia - S. Timoshenko (1970). Theory of Elasticity. - F. París (1998). Teoría de la Elasticidad. Ed. SAND GERM. - Y. H. Huang (2004). Pavement analysis and design. Ed. PEARSON Prentice Hall. - M. Sadd (2009). Elasticity Theory, applications, and numerics. Ed. Elsevier. 14