CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA ESTIMAR COM ACURÁCIA E CONFIABILIDADE ERROS DE DISCRETIZAÇÃO EM CFD

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1 999 Computational Metods in Engineering'99 Eds.: P. M. Pimenta; R. M. L. R. F. Brasil; E. S. Almeida N. CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA ESTIMAR COM ACURÁCIA E CONFIABILIDADE ERROS DE DISCRETIZAÇÃO EM CFD Carlos Henrique Marci * e António Fábio Carvalo da Silva * Departamento de Engenaria Mecânica Universidade Federal do Paraná Caixa postal 9040 CEP Curitiba, PR, Brasil marci@cce.ufpr.br, web page: ttp:// Departamento de Engenaria Mecânica Laboratório de Simulação Numérica em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor - SINMEC Universidade Federal de Santa Catarina Caixa postal 476 CEP Florianópolis, SC, Brasil fabio@sinmec.ufsc.br Palavras-cave: Erros numéricos, incerteza numérica, extrapolação de Ricardson, simulação numérica, escoamentos de fluidos. Resumo. Os erros de discretização espacial são investigados neste trabalo baseando-se em mais de 300 experimentos numéricos efetuados com dois problemas unidimensionais: equação de advecção-difusão e escoamento de fluidos compressíveis. Estes experimentos envolveram razões de refino de mala constantes (, 3 e 4) e variável (.06 a 0), quatro funções de interpolação, e tamano dos volumes de controle () entre.0x0-6 e 5.0x0 -. As soluções numéricas são obtidas usando-se o método dos volumes finitos. Para o estimador de Ricardson, avaliam-se a confiabilidade, a acurácia, a forma adequada de usá-lo e as suas limitações na obtenção de estimativas do erro de discretização de soluções numéricas. As análises realizadas são aplicáveis a soluções numéricas extrapoladas ou não, de variáveis de campo e secundárias (locais e globais). As principais conclusões do trabalo são: estimativas confiáveis do erro de discretização das soluções numéricas dependem do comportamento da ordem de convergência espacial aparente (p a ) em função do tamano característico de mala () e do valor de p a quando tende a zero (p ); a acurácia da estimativa do erro de discretização depende da diferença entre os valores de p a e p ; e, a extrapolação de Ricardson só é aplicável, coerentemente, para valores positivos da ordem de convergência espacial.

2 INTRODUÇÃO As soluções numéricas de qualquer variável de interesse (Φ ), obtidas em malas com dois ou três tamanos de volumes de controle () diferentes, não permitem realizar estimativas confiáveis do erro de discretização, mesmo que os valores de Φ, aparentemente, apresentem tendência de convergência, conforme será mostrado neste trabalo. Por exemplo, os resultados numéricos Φ da equação de advecção-difusão unidimensional, para um valor específico da variável independente, são 6.00, 5.65 e 4.9, obtidos, respectivamente, em malas com dimensão característica igual a 0.5, 0.5 e 0.5. Para as malas com os dois maiores, calculando-se a incerteza da solução numérica através do estimador GCI, obtém-se GCI/erro = 0.37, ou seja, o valor do erro exato é cerca de 3 vezes o valor da incerteza. Portanto, a incerteza da solução numérica dada pelo GCI subestima o valor do erro exato. Já as soluções obtidas com os dois menores parecem indicar que á convergência na solução, no entanto, obtém-se GCI/erro = 0.06, isto é, o erro exato é aproximadamente 38 vezes o valor da incerteza. Neste caso, o GCI subestima, relativamente, ainda mais o erro exato. Portanto, ao refinar a mala, aparentemente á convergência se considerados os valores de Φ mas a incerteza piora, e muito. Além disso, a própria tendência aparente de convergência pode ser errônea, conforme o exemplo acima: os valores de Φ diminuem com o refinamento da mala mas deveriam aumentar (isto de fato ocorre para < 0.), já que o valor da solução analítica é 00. Como o exemplo acima mostra, á necessidade de maior entendimento dos erros de discretização mesmo em problemas unidimensionais e, conseqüentemente, dos estimadores de erro empregados atualmente. Sendo assim, optou-se neste trabalo em usar modelos matemáticos unidimensionais, evitando, com isso, diversas dificuldades enfrentadas por outros pesquisadores pois, em geral, seus estudos para desenvolver ou avaliar estimadores de erro são realizados com problemas muito complexos que apresentam vários tipos de erros simultaneamente. Isso dificulta as análises pois os erros podem ter sinais diferentes. Além disso, comumente, estes problemas bi ou tridimensionais não permitem efetuar refinos de mala muito grandes devido às restrições de memória e tempo de computação. Nestes problemas, os erros iterativos colaboram ainda mais para dificultar as análises. O presente trabalo envolve o processo de Verificação 3, isto é, a análise da qualidade da solução numérica de um modelo matemático. Os tipos de erros que podem existir numa solução numérica podem ser classificados em 4 : erros de discretização, erros de iteração, erros de arredondamento e enganos. Os erros de discretização (E ) representam a diferença entre a solução analítica exata do modelo matemático e a solução numérica exata das equações discretizadas, sem qualquer outro tipo de erro nestas soluções. Os erros de iteração (E n ) representam a diferença entre a solução exata das equações discretizadas e a solução numérica em uma determinada iteração, numa mesma mala, sem erros de arredondamento e enganos nestas soluções. Os erros de arredondamento (E π ) são os erros que ocorrem em virtude da representação finita dos números reais nas computações. E os enganos são erros cometidos 06.

3 por negligência e ignorância, por exemplo, na discretização do modelo matemático, e na implementação e uso do código computacional. Obtido o resultado numérico de uma variável de interesse sobre uma mala específica, a idéia básica dos estimadores de erro é calcular um valor estimado para a solução exata do problema, isto é, sem erro de discretização; a diferença entre o valor estimado para a solução exata e o resultado numérico obtido representa a incerteza deste. No presente trabalo, considera-se incerteza sinônimo de erro estimado. As expressões erro e erro exato, representadas por E, são usadas apenas quando se conece a solução analítica exata da variável de interesse; já as expressões incerteza e erro estimado, representadas por U, são usadas em associação a uma estimativa da solução analítica exata. Existem diversos estimadores de erro disponíveis na literatura. Neste trabalo, optou-se pela utilização do estimador de Ricardson 5,6,,7, representado aqui por U Ri, e que se baseia na diferença entre as soluções numéricas obtidas em malas diferentes, na razão de refino entre estas malas e na ordem de convergência espacial (p). Esta ordem pode ser 8 teórica (p t ), cujo valor depende da função de interpolação adotada na discretização do modelo matemático, ou pode ser a ordem aparente (p a ), que é função dos valores das próprias soluções numéricas obtidas em pelo menos três malas diferentes 9. Recomenda-se 0 usar o estimador de Ricardson somente quando p a p t. No entanto, o que se observa em geral é a obtenção de valores de p a diferentes, e muito, dos valores de p t. Por exemplo : p a entre 0.0 e 8.8, além de valores negativos e indefinidos, para p t entre e. Não se tem dado muita atenção sobre as implicações destas diferenças entre os valores de p a e p t. Neste trabalo é mostrado que o valor de p a e seu comportamento em função de são essenciais para estimar com acurácia e confiabilidade os erros de discretização. Também é mostrado que obter valor de ordem aparente aproximadamente ou mesmo igual à ordem teórica nem sempre significa que estimativas de erro baseadas na extrapolação de Ricardson são confiáveis ou acuradas. O objetivo do presente trabalo é definir as condições suficientes para estimar erros de discretização com acurácia e confiabilidade. Estes dois termos são assim definidos: uma estimativa de erro é acurada quando a razão entre incerteza (U) e erro exato (E) é aproximadamente igual à unidade; enquanto que, uma estimativa de erro é confiável quando a razão entre incerteza (U) e erro exato (E) é maior ou igual à unidade. Portanto, o estimador de erro ideal é aquele cujo valor do erro estimado (U) é igual ao erro exato (E), quaisquer que sejam as condições. Evidentemente, estas duas definições só podem ser empregadas se for conecida a solução analítica exata da variável de interesse. O presente trabalo é desenvolvido considerando: () método dos volumes finitos ; () problemas unidimensionais em regime permanente com uma e quatro variáveis dependentes; (3) os níveis dos erros de arredondamento e de iteração são muito pequenos em relação aos erros de discretização; (4) malas uniformes, isto é, o tamano dos volumes de controle () é constante numa mesma mala; (5) estimativas de erro a posteriori da obtenção das soluções numéricas, e que podem ser aplicadas a variáveis dependentes ou a quaisquer variáveis secundárias obtidas por diferenciação ou integração das variáveis dependentes; estas variáveis 06.3

4 secundárias podem ser do tipo local, para valor específico da variável independente, ou do tipo global, sobre parte ou todo o domínio de cálculo; e (6) o uso da extrapolação de Ricardson para diminuir e estimar os erros de discretização. A seguir são apresentados: nas seções e 3, os modelos de simulação de uma e quatro variáveis dependentes; e na seção 4, as definições matemáticas usadas neste trabalo para erro de discretização, estimador de Ricardson, e ordens de convergência espacial; ainda na seção 4, são introduzidos os conceitos de série de Ricardson e de faixa de convergência. Na seção 5, são relatados os experimentos numéricos realizados com os modelos de simulação das seções e 3 e os resultados obtidos. Na seção 6, mostra-se quando é válida a extrapolação de Ricardson e comentam-se algumas das possibilidades de representar as soluções numéricas junto com suas incertezas associadas; e a conclusão do trabalo é apresentada na seção 7. ADVECÇÃO-DIFUSÃO O modelo matemático de uma variável dependente (T) é formado pela equação de advecção-difusão 3 unidimensional, em regime permanente: dt d T Pe = () dx dx onde T e x são variáveis adimensionais e Pe é o número de Peclet. As condições de contorno são: T(x=0) = 0 e T(x=) =. As variáveis de interesse deste modelo de simulação são: a variável dependente do problema (T), na coordenada x = 0.5; a inclinação (D) ou derivada de T em x = ; e o comprimento da função (S) ao longo do domínio de cálculo. Estas duas últimas variáveis são definidas por: dt D = () dx x= dt S = + dx (3) dx 0 A solução analítica exata da Eq. () é conecida ; dela, facilmente obtêm-se as soluções analíticas exatas de D e S. O modelo numérico empregado para obter a solução numérica das Eqs. () a (3) é caracterizado por : método: volumes finitos; funções de interpolação: UDS, CDS, PLDS 4 e QUICK; solver: TDMA; 06.4

5 mala uniforme: volumes de controle com comprimento () constante, exceto nos contornos onde foram usados dois meio-volumes; e precisão dupla nas computações. A discretização da Eq. () com o modelo numérico acima resulta em a T = a T + a T + b (4) P P w W e E P onde os coeficientes (a) e o termo fonte (b P ) de cada volume de controle dependem da função de interpolação adotada. A solução do sistema linear representado pela Eq. (4) fornece T P em cada volume de controle. O símbolo T será usado para representar a solução numérica T P obtida em cada mala de dimensão. Com base em T, as soluções numéricas das Eqs. () e (3) são obtidas, respectivamente, usando-se diferenças a montante e central. Neste problema, o tamano dos volumes de controle é dado por = /(n-), onde n é o número de volumes de controle usado para discretizar o domínio de cálculo de x=0 a x=, incluindo os dois meiovolumes dos contornos. 3 ESCOAMENTO DE FLUIDOS COMPRESSÍVEIS O modelo matemático de quatro variáveis dependentes (ρ,u,p r,t) representa o escoamento invíscido de um gás perfeito. A geometria empregada é um bocal do tipo convergentedivergente. O escoamento é subsônico na região convergente do bocal e supersônico na região divergente. O modelo matemático é dado por: d ( ρ ua) = 0 (5) dx d dx c dpr (ρ uau) = A (6) dx d dpr (ρ uat ) ua (7) dx dx p = p r = ρ RT (8) onde ρ = massa específica; u = velocidade; A = área da seção transversal a x; x = coordenada espacial; p r = pressão termodinâmica; c p = calor específico à pressão constante; T = temperatura; e, R = constante do gás. As Eqs. (5) a (8) representam, respectivamente, as equações de conservação da massa, da quantidade de movimento linear e da energia, e a equação de estado dos gases perfeitos. Este modelo matemático apresenta solução analítica conecida 5. As variáveis de interesse são: o 06.5

6 fluxo de massa do escoamento (F M =ρua); o empuxo na saída do bocal (F E =ρu A), em x = L; e o número de Mac na garganta (M g ). O modelo numérico empregado 6 usa arranjo co-localizado de variáveis 7 ; as funções de interpolação usadas são UDS e CDS com correção adiada 8 ; o solver utilizado é o TDMA; e o domínio é discretizado com malas uniformes. 4 FUNDAMENTOS 4. Erro de discretização O erro de discretização da solução numérica em relação à solução analítica exata do modelo matemático é definido por E = Φ Φ (9) A onde E = erro de discretização de Φ ; Φ = solução numérica obtida com mala de dimensão característica ; e, Φ A = solução analítica exata. O símbolo Φ representa qualquer variável dependente (de campo), ou variáveis secundárias obtidas das variáveis dependentes, D e S nas Eqs. () e (3), por exemplo. Para a Eq. (9) medir de fato o erro de discretização, a solução de Φ não deve conter outros tipos de erros (de iteração, de arredondamento ou enganos), ou pelo menos a magnitude deles deve ser muito inferior ao erro de discretização. 4. Estimador de Ricardson O estimador de Ricardson 5,6,,7 (U Ri ) estima o erro de discretização, ou avalia a incerteza, da solução numérica Φ através de U Ri = Φ Φ (0) onde Φ é obtido da extrapolação de Ricardson 5 generalizada e visa estimar o valor da solução numérica sem erro de discretização, isto é, o valor da solução analítica exata; sua expressão é Com a Eq. () em (0) obtém-se Φ = Φ + Φ ( q Φ ) ) ( p () ( Φ Φ ) U Ri = () p ( q ) onde 06.6

7 q = (3) e, U Ri = incerteza de Φ ; Φ = solução numérica da mala grossa ( ); Φ = solução numérica da mala fina ( ); Φ = solução numérica extrapolada; = comprimento dos volumes de controle da mala grossa; = comprimento dos volumes de controle da mala fina; q = razão de refino entre as malas e ; p = ordem de convergência espacial teórica (p t ) ou aparente (p a ); não está claro na literatura se deve-se usar p a ou p t, e em que condições, no estimador de Ricardson. 4.3 Ordens de convergência espacial Um parâmetro que influencia diretamente o estimador de Ricardson, Eq. (), é a ordem de convergência espacial (p) da solução numérica. Podem ser definidos três tipos de ordem 8 : teórica, aparente e assintótica. A ordem teórica (p t ) é obtida a partir da análise da discretização do modelo matemático empregado, usando, por exemplo, a série de Taylor 9. No caso das variáveis de interesse da seção, os valores de p t são iguais a para T e S com os esquemas CDS, PLDS (Pe < 0) e QUICK, e iguais a para as mesmas variáveis com o esquema UDS. No caso da variável D, devido à forma como ela é calculada, usando derivada a montante, todos os esquemas resultam em p t =. A ordem aparente (p a ) é calculada com base em três soluções numéricas obtidas em três malas diferentes. Para razões de refino de mala constante 9 e variável entre as três malas, respectivamente, tem-se p a Φ Φ 3 ln Φ Φ = (para q = Q) (4) ln( q) p a = pa ( q ln ψ pa ( Q ln q ) ) (para q Q) (5) onde Φ Φ 3 ψ = (6) Φ Φ 06.7

8 3 Q = (7) e, p a = ordem de convergência espacial aparente; Φ 3 = solução numérica da mala supergrossa ( 3 ); Φ = solução numérica da mala grossa ( ); Φ = solução numérica da mala fina ( ); 3 = comprimento dos volumes de controle da mala supergrossa; = comprimento dos volumes de controle da mala grossa; = comprimento dos volumes de controle da mala fina; q = razão de refino entre as malas e (Eq. 3); Q = razão de refino entre as malas 3 e (Eq. 7); e ψ = razão de convergência espacial. Com a Eq. (6), a Eq. (4) também pode ser representada por lnψ p a = (para q = Q) (8) ln q No caso de razão de refino de mala variável, isto é, q Q, o cálculo de p a com a Eq. (5) se torna iterativo porque esta equação é transcendental. Através das Eqs. (4) a (6), pode-se perceber que soluções numéricas (Φ) diferentes resultam em valores diferentes da ordem aparente (p a ). Antecipa-se, aqui, que tanto a acurácia quanto a confiabilidade da incerteza de uma solução numérica estão intimamente ligadas à função p a (), conforme será mostrado e explicado nas seções 5 e 6. A ordem assintótica (p ) é o valor para o qual converge a ordem aparente (p a ) quando tende a zero ( 0 é usado neste trabalo para simplificar a notação formal 3 ), ou seja, limite p = ( p a ) (9) Série de Ricardson Pode-se demonstrar que a extrapolação de Ricardson, Eq. (), é o resultado da soma dos termos de uma série geométrica infinita, denominada aqui de série de Ricardson (R ), isto é, onde Φ = Φ + R Φ ) (0) ( Φ R = ψ ψ ψ (série de Ricardson) () p ψ = q () 06.8

9 Para ψ < - e ψ >, esta série converge para valores finitos dados por R = (3) ( ψ ) Com a substituição da Eq. () em (3), e o resultado na Eq. (0), obtém-se a expressão da extrapolação de Ricardson mostrada na Eq. (). 4.5 Faixa convergente Define-se, a seguir, dois tipos de comportamento da ordem de convergência espacial aparente (p a ) em função do tamano dos volumes de controle da mala (): faixas subconvergente e superconvergente. Faixa subconvergente: à medida que é reduzido em relação a um valor específico ( c ), todos os valores da ordem aparente, p a (), são positivos, crescentes e menores do que a ordem assintótica (p ), isto é, 0 < p ( ) p ( ) < p a c a dpa < 0 d para c (4) Faixa superconvergente: à medida que é reduzido em relação a um valor específico ( c ), todos os valores da ordem aparente, p a (), são positivos, decrescentes e maiores do que a ordem assintótica (p ), ou seja, 0 < p < dpa d p ( ) a > 0 p ( ) a c para c (5) 5 EXPERIMENTOS NUMÉRICOS Esta seção relata os experimentos numéricos realizados com os modelos matemáticos das seções e 3, e as observações e verificações feitas com base nos resultados obtidos destes experimentos. 06.9

10 5. Advecção-difusão Foram realizados 8 experimentos numéricos com o modelo matemático da Eq. () para as variáveis T(x=0.5), D(x=) e S. Cada experimento numérico se constitui num conjunto específico dos seguintes dados: Pe, n ou e função de interpolação. Os experimentos foram realizados para: número de Peclet: Pe = 0.,, 0 e 00; funções de interpolação: UDS, CDS, PLDS e QUICK; razões de refino de mala constantes (q =, 3 e 4) e variável (q =.06 a 0); e número de volumes de controle: n = 3 a 06883; estes valores de n equivalem a = 0.5 a 9.4x0-7 ; deve-se mencionar que atualmente o número de volumes de controle usado em cada direção coordenada é da ordem de centenas, por exemplo: 640x640 0 e 40x40x Escoamento de fluidos compressíveis Ao todo foram realizados 38 experimentos numéricos com o modelo matemático dado pelas Eqs. (5) a (8) para as três variáveis de interesse: F M, F E e M g. Cada experimento numérico é caracterizado por um conjunto específico de n ou e função de interpolação, mantidos constantes os demais dados e a geometria do bocal. Os experimentos foram realizados para: funções de interpolação: UDS e CDS; razões de refino de mala constante (q = ) e variável (q =.5 a.0); e número de volumes de controle: n = 0 a 890 ou = 0. a.x Resultados Em todos os experimentos realizados, conforme já mencionado na literatura 0, constatou-se que o estimador de Ricardson (U Ri ) é uma medida acurada do erro de discretização quando tende a zero, ou seja, U Ri ( p E a ) para 0 (6) onde E é calculado através da Eq. (9), e o valor de U Ri (p a ) com a Eq. () usando-se p = p a. Deve-se notar que U Ri (p a ) é função de pois p a, Φ e Φ dependem de. Além de, no caso específico do modelo matemático dado pela Eq. (), o valor da ordem aparente (p a ) depende: da variável de interesse (T, D ou S), de todos os parâmetros que podem alterá-la (Pe, função de interpolação), e das razões de refino de mala (q e Q) usadas no cálculo de p a, Eq. (4) ou (5), ou seja, p a = p a (Φ,Pe,,função de interpolação,q,q) (7) 06.0

11 Todos os valores de p obtidos coincidiram com aqueles previstos teoricamente (p t ) e mencionados no item 4.3. A dependência constatada da ordem assintótica (p ) é p = p (Φ,função de interpolação) (8) Aparentemente, a função p a () é imprevisível a priori de sua obtenção e pode assumir diversos tipos de comportamento: dois exemplos são apresentados nas Figs. e (todas as figuras mostradas se baseiam nos experimentos numéricos realizados, e cada símbolo nestas figuras representa um experimento específico). Apesar disso, em todos os experimentos realizados, verificou-se que abaixo de um valor específico de, denominado aqui de c, o valor de p a tende monotonicamente para a ordem assintótica quando 0, isto é, entra-se na faixa convergente de p a, conforme definido na seção 4.5; no caso das Figs. e, os valores correspondentes de c são 5.6x0 - e.0x0-3. Também verificou-se que as seguintes relações são sempre satisfeitas quando c, ou seja, quando se está dentro da faixa convergente: U ( p ) U ( p ) < < Ri Ri a E E (p a subconvergente) (9) U Ri ( pa ) U Ri ( p ) < < (p a superconvergente) (30) E E As Eqs. (9) e (30) representam importantes constatações: ) o erro exato (E ) fica limitado entre os valores de U Ri (p ) e U Ri (p a ); à medida que é reduzido, este intervalo de U Ri (p ) a U Ri (p a ), que limita E, vai sendo estreitado; ) uma estimativa de erro confiável é obtida com o uso do menor valor entre p a e p no estimador de Ricardson (U Ri ); por maior que seja a diferença entre p a e p, as Eqs. (9) e (30) estimam confiavelmente o erro de discretização; e 3) a acurácia da estimativa do erro de discretização depende da diferença entre os valores das ordens aparente e assintótica; quanto mais próximo estiver p a de p, mais acurada é a estimativa do erro de discretização. Na Fig., a Eq. (4) é satisfeita em todo. Esta figura caracteriza um exemplo de curva de ordem aparente subconvergente desde o maior (5.6x0 - ) onde p a = 9.6x0-3. A Fig. 3 (nesta figura e na seguinte, p i representa p ) mostra a validade da Eq. (9), onde os valores de p a usados no cálculo de U Ri (p a ) são aqueles da Fig.. Pode-se notar na Fig. 3 que: U Ri (p )/E < em qualquer (para valores muito pequenos de fica difícil ver isto na figura, mas numericamente é o que ocorre), ou seja, U Ri (p ) subestima o erro exato; e U Ri (p a )/E > em qualquer, isto é, U Ri (p a ) superestima o erro exato, portanto, sua estimativa do erro é confiável. Em (5.6x0 - ), U Ri (p a ) é confiável mas não é tão acurado devido ao valor de p a (9.6x0-3 ) neste, praticamente zero se comparado ao valor da ordem assintótica (). 06.

12 A Fig. 4 apresenta as razões U Ri (p a )/E e U Ri (p )/E para um caso em que o comportamento da curva p a (), mostrado na Fig., é mais complexo do que aquele da Fig.. Na Fig., a curva de ordem aparente é subconvergente para.0x0-3, assim, a Eq. (9) passa a ser válida, ou seja, existem limites inferior e superior para o erro de discretização, o que pode ser observado na Fig. 4. Para >.0x0-3, existem pontos de em que U Ri /E >. No entanto, não é possível garantir que eles ocorram apenas com base em sua curva de ordem aparente mostrada na Fig., que apresenta um valor negativo (-0.7) em = 3.x0 - e valor indefinido (não mostrado na figura, evidentemente) em = 3.9x0-3 ; o valor indefinido deve-se a ψ = -7.0 neste. O valor de U Ri (p a )/E = 0 3, em = 3.x0 -, mostrado na Fig. 4, é só para ressaltar que este valor é na verdade infinito, e isso ocorre porque p a < 0 no mencionado. Em = 7.8x0-3, onde p a 6.4 (Fig. ), as razões U Ri (p )/E e U Ri (p a )/E resultam, respectivamente, em. e 0.04 (não mostradas na Fig. 4 por serem negativas). Já em = 3.9x0-3, onde p a é indefinido, a razão U Ri (p )/E é 0.30 e U Ri (p a )/E é -0. (não mostrada na Fig. 4 por ser negativa) ordem aparente Figura. Ordem aparente de D(x=) para Pe=0, PLDS e q=3. Conforme mencionado na introdução deste trabalo, obter valor de ordem aparente aproximadamente ou mesmo igual à ordem teórica (ou assintótica) nem sempre significa que estimativas de erro baseadas na extrapolação de Ricardson são confiáveis ou acuradas. Por exemplo, o valor da ordem aparente em =.44x0-4 e.56x0 - é aproximadamente o 06.

13 mesmo,.90 (Fig. ). No entanto, as razões entre incerteza e erro nestes dois pontos de são muito diferentes: em =.44x0-4, U Ri (p )/E = 0.96 e U Ri (p a )/E =.059; em =.56x0 -, U Ri (p )/E = 40.4 e U Ri (p a )/E = Para problemas não-triviais, na prática, p a nunca atinge exatamente o valor de p pois pela própria definição de p, Eq. (9), é necessário uma mala com infinitos volumes para ter nulo, o que é certamente impossível, eliminando, assim, a obtenção de soluções independentes da mala; além disso, existem os erros de arredondamento que ocorrem nas soluções numéricas e que se propagam para o cálculo de p a através das Eqs. (4) ou (5) ordem aparente Figura. Ordem aparente de S para Pe=00, QUICK e q=. 6 ANÁLISE DOS RESULTADOS Nesta seção, mostra-se quando se pode aplicar a extrapolação de Ricardson, que é a base do estimador de Ricardson, e discutem-se algumas das possibilidades de representação das soluções numéricas e de suas incertezas associadas. 06.3

14 6. Validade da extrapolação de Ricardson Considerando-se razão de refino de mala constante, a extrapolação de Ricardson (Eq. ) e o estimador de Ricardson (Eq. ) são válidos apenas para razão de convergência maior do que um (ψ > ), o que equivale a p > 0, conforme explica-se abaixo. Esta condição é automaticamente satisfeita para as ordens teóricas e assintóticas das funções de interpolação normalmente empregadas (por exemplo: UDS, p=; CDS, p=); mas isso não procede no caso da ordem aparente, que pode assumir valores positivos ou negativos ou, ainda, ser indefinida. 0 incerteza / erro U Ri (p i )/E U Ri (p a )/E Figura 3. Razão entre incerteza e erro de D(x=) para Pe=0, PLDS e q=3. Diversos significados estão implícitos na extrapolação de Ricardson, Eq. (): () o erro de discretização é dado por E =C p, onde C é uma constante; () a razão de redução de E entre malas consecutivas é /ψ; (3) a diferença entre o valor extrapolado (Φ ) e a solução numérica da mala fina ( ), Φ, é o erro de discretização desta solução numérica e é igual à soma dos erros de discretização entre estas duas malas que, por sua vez, é igual a uma série geométrica infinita, a série de Ricardson, dada pela Eq. (); (4) a razão de refino de mala (q) e a ordem de convergência espacial (p) são constantes nesta série e, portanto, ψ; (5) a série de Ricardson só converge para valores finitos nos intervalos ψ(-,-) ou ψ(, ) e, portanto, a extrapolação de Ricardson só tem significado nestes dois intervalos; e, (6) Φ representa o valor estimado da solução analítica exata, isto é, sem erros de discretização. 06.4

15 A validade da extrapolação de Ricardson pode ser analisada em função dos valores da razão de convergência (ψ), que são divididos em quatro intervalos: (, ), (0,], [-,0] e ainda (-,-). Exemplos da série de Ricardson, Eq. (), para cada um destes quatro intervalos são, respectivamente: R = = (para q = e ψ = 4 p = ) (3) R = = (para q = e ψ = / p = -) (3) R = = (para ψ = -/) (33) R = = (para ψ = -) (34) U Ri (p i )/E U Ri (p a )/E incerteza / erro Figura 4. Razão entre incerteza e erro de S para Pe=00, QUICK e q=. Claramente, não faz sentido aplicar a extrapolação de Ricardson e, portanto, o estimador de Ricardson, nos intervalos ψ(0,] e ψ[-,0], como pode-se observar pelos exemplos das 06.5

16 Eqs. (3) e (33). No intervalo ψ(0,], exemplificado na Eq. (3), a ordem de convergência espacial é negativa ou nula, isto é, p 0; e indefinida no intervalo ψ(-,0]. Para o intervalo de ψ(-,-), embora não se tena uma prova definitiva, ainda que R convirja para valores finitos, recomenda-se não usar os valores resultantes de Φ e U Ri devido às seguintes observações: R < /ψ, como pode ser visto no exemplo da Eq. (34) ou extraído da Eq. (3); ou seja, a soma dos infinitos termos de variação do erro de discretização entre malas consecutivas é menor do que a variação entre as malas e, as mais grossas; e, nos experimentos numéricos realizados com o modelo matemático da Eq. (), em quatro casos obteve-se ψ neste intervalo e verificou-se que U Ri (ψ) e U Ri (p ) não limitam E. 6. Representações da solução numérica e da incerteza associada Após obter as soluções numéricas de uma variável de interesse sobre três malas diferentes, em termos práticos, um usuário gostaria de saber qual o valor que deve apresentar como solução do problema e qual a sua incerteza associada. Nesta seção, são examinadas duas possibilidades com este fim. Para soluções numéricas com ordem aparente de comportamento convergente, isto é, para c, obtêm-se das Eqs. (9) e (30) as seguintes expressões genéricas para os limites inferior (U - ) e superior (U + ) do erro de discretização (E ): U { U ( p ) ; U ( p ) } = sg( Φ Φ ) MIN (35) Ri Ri a U + { U ( p ) ; U ( p ) } = sg( Φ Φ ) MAX (36) Ri Ri a onde U - = estimativa do erro mínimo de Φ ; U + = estimativa do erro máximo de Φ ; sg(φ - Φ ) = sinal da diferença entre Φ e Φ ; MIN{ } = valor mínimo entre os módulos de U Ri (p ) e U Ri (p a ); MAX{ } = valor máximo entre os módulos de U Ri (p ) e U Ri (p a ); Φ = solução numérica da mala grossa ( ); Φ = solução numérica da mala fina ( ). A forma mais simples de representar a solução numérica (Φ N ) é considerá-la igual à solução da mala mais fina (Φ ), e sua incerteza associada (U N ) igual à incerteza máxima esperada (U + ), ou seja, Φ N = (37) Φ + U N = U (38) Entretanto, sabe-se que a solução analítica Φ A encontra-se entre (Φ +U - ) e (Φ +U + ) ou, equivalentemente, entre Φ (p ) e Φ (p a ) quando a ordem aparente já é convergente. Sendo 06.6

17 assim, pode-se eliminar o erro sistemático (U - ) da solução numérica (Φ ) e manter-se apenas a incerteza U - a U + ; isso resulta na representação recomendada: Φ = Φ ± U (39) N m m onde Φ ( p ) + Φ ( pa ) Φ m = (40) Φ ( p ) Φ ( pa ) U m = (4) onde Φ (p ) e Φ (p a ) são obtidos da Eq. () com p igual, respectivamente, a p e p a. A incerteza calculada através da Eq. (4) não é no sentido de aleatoriedade, já que a repetição da simulação fornecerá o mesmo resultado; ela é devido à falta de conecimento 4 da função exata de p a (). A Eq. (40) se baseia no cálculo do valor médio (Φ m ) da faixa que envolve a solução analítica: Φ (p ) a Φ (p a ). E a Eq. (4) corresponde a uma incerteza de mesma magnitude, para mais e para menos, de Φ m. Exemplificando: com q=, Φ 3 =50, Φ =95 e Φ =80, da Eq. (4) obtém-se p a ( )=.87; e com a Eq. (), U Ri (p a ) = Da Eq. (), com p =, tem-se U Ri (p ) = -5. Para estes valores, as Eqs. (35) e (36) resultam em U - = -5 e U + = -5.65, e as duas representações comentadas acima fornecem: com as Eqs. (37) e (38), Φ N = 80 e U N = -5.65; e Φ m = e U m = 0.35, ou Φ N = ± 0.35 para as Eqs. (39) a (4) na representação recomendada. Na Fig. 5 são mostrados os erros exatos da solução numérica calculada (Φ ), representados por E, e de Φ m (Eq. 40), representados por E m. Juntamente, são exibidos os erros estimados de Φ m e representados por U m. No exemplo desta figura, p a () é superconvergente para 6.5x0 -. Também mostra-se a incerteza máxima (U + ) de Φ, obtida da Eq. (36), e representada por U. O aumento dos valores dos erros e incertezas que ocorre na Fig. 5, ao se reduzir, deve-se ao fato dos erros de arredondamento já prevalecerem sobre os erros de discretização e, então, o estimador de Ricardson deixa de ser válido. Conforme mostrado na Fig. 5, a partir dos mesmos dados (Φ, U - e U + ), consegue-se aumentar a ordem de convergência espacial ao se usar a representação dada pelas Eqs. (39) a (4), e reduzir o erro de discretização. Este aumento de ordem deve-se ao fato de Φ m, na Eq. (40), se basear nas soluções extrapoladas Φ (p ) e Φ (p a ). Para este exemplo específico, em que se usou a função de interpolação CDS, p (Φ )= e p (Φ m )=4, conforme esperado da análise do erro de truncamento da Eq. () usando-se a série de Taylor. Ainda na Fig. 5, as relações U /E são maiores do que a unidade (visualmente é difícil perceber mas 06.7

18 numericamente é o que ocorre) e U m /E m >, conforme esperado quando a incerteza é confiável. Nesta figura, U, E m e U m são mostrados apenas para p a na faixa convergente. incerteza e erro U E U m E m Figura 5. Incerteza e erro de S para Pe=0, CDS e q=. 7 CONCLUSÃO Foram realizados mais de 300 experimentos numéricos com dois modelos matemáticos: equação de advecção-difusão (uma variável dependente) e escoamento de fluidos compressíveis (quatro variáveis dependentes). Estes experimentos envolveram seis tipos de variáveis de interesse, quatro funções de interpolação, razões de refino de mala constantes (q =, 3 e 4) e variável (q =.06 a 0), e número de volumes de controle de 3 a ou, equivalentemente, comprimento dos volumes de controle () de 0.5 a 9.4x0-7. Em todos os experimentos realizados, constatou-se que o estimador de Ricardson (U Ri ) é uma medida acurada do erro de discretização quando 0, conforme já mencionado na literatura. A extrapolação de Ricardson é o resultado da soma dos termos de uma série geométrica infinita e, portanto, tanto ela quanto o estimador de Ricardson são válidos somente para valores de ordem de convergência espacial (p) positivos. 06.8

19 Introduziu-se o conceito de faixa convergente. Dentro desta faixa, verificou-se em todos os experimentos numéricos realizados que: o valor da ordem aparente (p a ) tende monotonicamente para a ordem assintótica (p ) quando 0; o erro exato (E ) fica limitado entre os valores de U Ri (p ) e U Ri (p a ); à medida que é reduzido, este intervalo de U Ri (p ) a U Ri (p a ), que limita E, vai sendo estreitado; U Ri (p ) e U Ri (p a ) podem ser usados para diminuir o erro de discretização; isso resulta no aumento do valor da ordem de convergência da solução numérica; uma estimativa de erro confiável é obtida com o uso do menor valor entre p a e p no estimador de Ricardson (U Ri ), por maior que seja a diferença entre p a e p ; e a acurácia da estimativa do erro de discretização depende da diferença entre os valores das ordens aparente e assintótica; quanto mais próximo estiver p a de p, mais acurada é a estimativa do erro de discretização. Fora da faixa convergente não existe garantia da validade de nenuma das cinco afirmações acima. Além de, o valor da ordem aparente (p a ) é sensível à variável de interesse e a todos os parâmetros que podem alterá-la. Não se conece nenum procedimento para se afirmar quando a ordem aparente já está na faixa convergente, exceto obtendo-se soluções numéricas Φ em malas () cada vez mais refinadas e calculando-se p a em função de. Portanto, não é possível afirmar sobre a confiabilidade de estimativas de erro baseadas apenas em um valor de p a, ou baseadas em soluções numéricas obtidas somente com duas malas diferentes. Agradecimentos O primeiro autor agradece à Universidade Federal do Paraná (UFPR), à Fundação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), ao Programa de Pós-Graduação em Engenaria Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), e ao Laboratório de Simulação Numérica em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor (SINMEC)/UFSC pelo apoio financeiro e de infra-estrutura; e aos colegas Luciano Amaury dos Santos e Fernando Laroca pelas discussões realizadas. REFERÊNCIAS [] P. J. Roace, Perspective: a Metod for Uniform Reporting of Grid Refinement Studies, Journal of Fluids Engineering, 6, (994). [] Celik, I. and O. Karatekin, Numerical Experiments on Application of Ricardson Extrapolation wit Nonuniform Grids, Journal of Fluids Engineering, 9, (997). [3] P. J. Roace, Verification and Validation in Computational Science and Engineering, Hermosa, (998). [4] AIAA, Guide for te Verification and Validation of Computational Fluid Dynamics Simulations, AIAA G , (998). 06.9

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