f(h) δ h p f(x + h) f(x) (x) = lim

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1 Capítulo 6 Derivação numérica Nesta seção vamos desenvolver métodos para estimar a derivada de uma função f calculada em um ponto x, f (x, a partir de valores conecidos de f em pontos próximos ao ponto x x Uma possível abordagem para encontrar a derivada em um ponto x consiste em determinar uma interpolação p(x a partir dos valores de f em pontos próximos a x e então estimar f (x a partir de p (x Essa abordagem é a mais indicada quando estamos interessados no valor da derivada para diversos pontos ou quando os pontos utilizados para construir a interpolação p não estão igualmente espaçados Na situação em que a função f é conecida em uma seqüência igualmente espaçada de pontos dispomos de outras técnicas como o cálculo da derivadas a partir de operações de diferença finita Antes de dar continuidade, a seguinte definição nos será muito útil: Definição (Notação O( Dado um p 0, a notação f( O( p quando 0 significa que existem ɛ e δ tais que para todo ɛ f( δ p A partir da definição podemos concluir, por exemplo, que sen(x O(x quando x 0 Da mesma forma 0(cos(12x 1 O(x 2, e x cos(x O(1 e 10 cos(x O(1 quando x 0 Além disso, a notação é tal que as seguinte propriedades são satisfeitas: dados a b 0, se f(x O(x a e g(x O(x b quando x 0, então f(x+g(x O(x b, f(x g(x O(x b, f(x/g(x O(x a b e f(xg(x O(x a+b quando x 0 Aproximação da derivada por diferenças finitas A partir da definição da função f (x através do limite f f(x + f(x (x lim, 0 introduzimos a operação de diferença finita 1 D +,, a partir da qual obtemos uma segunda função g (D +, f: g (x (D +, f (x f(x + f(x No limite recuperamos a função derivada de f, lim 0 g (x lim 0 (D +, f (x f (x É importante notar que a definição de derivada a partir de limites não é única, podemos definir a 1 A notação φ x para a função φ deve ser entendida simplesmente como o valor da função quando seu argumento assume o valor x, i e, φ x φ(x

2 Capítulo 6 Derivação numérica 79 mesma função derivada de f a partir de outros limites (e assim, determinar outras operações de diferença finita, por exemplo ou ainda f (x lim 0 f(x f(x f f(x + f(x (x lim 0 2 A cada uma dessas definições podemos associar naturalmente uma operação de diferença finita A partir dos dois últimos limites, associamos as operações D, e D 0, : (D, f (x f(x f(x, (D 0, f (x f(x + f(x 2 As funções que resultam da ação das duas primeiras operações, D, e D,, sobre uma função f podem ser prontamente identificadas, respectivamente, com a derivada da interpolação de uma reta a partir dos pontos (x, f(x, (x +, f(x + no primeiro caso e (x, f(x, (x, f(x, no segundo Já a função que resulta da operação D 0, sobre uma função f, pode ser entendida como a derivada da parábola interpolada a partir dos pontos (x, f(x, (x, f(x e (x+, f(x+ Verifique esse fato utilizando a interpolação de Lagrange ou Newton Erros de truncamento Vamos analisar os erros de truncamento cometidos quando calculamos numericamente a derivada de uma função através das operações de diferença finita A diferença entre (D +, f (x e f (x é dada por (D +, f (x f (x f(x + f(x f(x Através da expansão em série de Taylor em torno de 0 para f(x +, notamos que a diferença assume a forma (D +, f (x f (x f(x + f (x f (x + O( f(x f (x 2 f (x + O( 2 O(

3 Capítulo 6 Derivação numérica 80 De modo análogo, a diferença entre a operação D, e a derivada f (x também é O( Porém a diferença entre a operação D 0, f e f (x é O( 2 : (D 0, f (x f (x f(x + f(x 2 f (x f(x + f (x f (x + O( f(x + f (x 2 2 f (x + O( f (x 2 O( 2 Exemplo: Vamos estudar a derivação numérica da função exponencial f(x e x, em particular f(1 e De acordo com a definição dos operadores de diferença finita podemos montar a seguinte tabela: (D +, f (1 (D, f (1 (D 0, f (1 (D +, f (1 e (D +, f (1 e (D 0, f (1 e Os valores da tabela permitem verificar o comportamento do erro de truncamento cometido em cada uma das operações de diferença finita Enquanto que nas duas primeiras operações, D +, e D, o erro decresce a uma razão de aproximadamente 1 (a razão entre os espaçamentos decresce nessa mesma razão o que está de acordo com a previsão O(, no caso 2 da operação D 0,, o erro decresce a uma razão de aproximadamente 1, o que é consistente com 4 a previsão O( 2 Erros de arredondamento Os erros de truncamento não são os únicos fatores importantes na determinação da estimativa numérica da operação de diferenciação quando essa operação é realizada por máquinas Nesses casos devemos levar em conta que os números não podem ser armazenados com precisão indefinida, eles são armazenados como um elemento de um sistema de ponto flutuante e todas as operações aritméticas realizadas nesse elemento estão sujeitas a erros de arredondamento Vamos tomar como exemplo a operação de diferença finita D +, : (D +, f (x f(x + f(x f 1 f 0, onde, por economia de notação, representamos f(x + f 1 e f(x f 0 Se a operação for realizada em uma máquina, tipicamente, os valores f 1 e f 0 serão representados por pontos flutuantes ˆf 1 e ˆf 0 respectivamente De modo que internamente a função (D +, f (x é representada pelo resultado das operações em ponto flutuante 2 ( ˆf1 ˆf 0, por exemplo Levando em conta que 2 Por simplicidade, assumimos que é idêntico a sua representação em ponto flutuante

4 Capítulo 6 Derivação numérica 81 ˆf 1 f 1 δ e ˆf 0 f 0 δ, a diferença entre o valor da derivada de f em x e o ponto flutuante ( ˆf1 ˆf 0 é dada em valor absoluto por f (x ˆf 1 ˆf 0 f (x ˆf 1 ˆf 0 f (x f 1 f 0 f (x f 1 f 0 + c 1 + K + f 1 f 1 ˆf 1 f 1 ˆf 1 f 1 + f 0 f 0 + ˆf 0 f 0 ( ˆf1 f 1 + ˆf0 f 0 + ˆf 0 f 0 c 1 + K δ, (61 onde c max x y x+ f (y é o erro devido ao truncamento e K é um termo (que independe de relacionado aos erros de arredondamento cometidos ao realizar as operações de subtração e divisão no termo ˆf 1 ˆf 0 Podemos notar pela estimativa (61 que o erro cometido ao calcularmos numericamente a derivada cresce também quando tomamos de muito pequenos Isto é um reflexo direto das limitações da aritmética de ponto flutuante utilizadas pela máquina Portanto, ao utilizar operações de diferença finita em uma máquina para calcular numericamente a derivada de uma função, devemos analisar cuidadosamente a escola de um espaçamento ótimo Sempre devemos tomar esse cuidado em qualquer operação de diferença finita Na subseção seguinte vamos estudar como desenvolver aproximações mais precisas para a derivada de uma função f 61 Extrapolação de Ricardson No início deste capítulo vimos que podemos estudar os erros cometidos nas operações de diferença finita através da expansão em série de potências de (o espaçamento entre os pontos Vamos rever o caso do operador de diferença finita D 0, com um maior número de termos na expansão: (D 0, f (x f(x + f(x 2 1 (f(x + f (x f (x +! f ( (x + O( 5 1 (f(x f (x f (x! f ( (x + O( 5 f (x + c O( 4, (62

5 Capítulo 6 Derivação numérica 82 onde c 2 f ( (x Portanto, o erro de truncamento até a segunda ordem em é c 2 2, onde,! naturalmente a constante c 2 não depende de Dessa forma, a operação de diferença finita com espaçamento 2, (D 0,2 f (x, é tal que (D 0,2 f (x f(x + 2 f(x 2 2(2 f (x + c 2 (2 2 + O( 4 (6 E portanto a diferença entre a ação dessas duas operações aplicadas a uma função f pode ser descrita na segunda ordem em como (D 0,2 f (x (D 0, f (x c O( 4 Ou seja, é possível descrever o termo c 2 2 através das duas operações de diferença finita mais termos de ordem 4 : c 2 2 (D 0,2f (x (D 0, f (x + O( 4 (64 A substituição do termo (64 em qualquer das duas expressões (62 ou (6 permite expressar a derivada de f em termos de operações de diferença finita envolvendo cinco pontos : x 2, x, x, x + e x + 2: f (x (D 0, f (x (D 0,2f (x (D 0, f (x 4 (D 0,f (x (D 0,2 f (x (D 1, f (x + O( 4 + O( 4 + O( 4 Essa técnica é denominada extrapolação de Ricardson, através dela é possível construir operações de diferença finita com maior precisão No exemplo que acabamos de estudar determinamos a nova operação de diferença finita D 1, a partir das operações D 0, e D 0,2 : (D 1, f (x 4 (D 0,f (x (D 0,2 f (x f(x f(x + 8f(x + f(x Como acabamos de verificar, f (x (D 1, f (x O( 4 Portanto, a diferença anterior pode ser escrita como f (x (D 1, f (x c O( 6, onde c 4 é também um termo que independe de E assim considerando a operação com espaçamento duplo (D 1,2 f (x f (x + c 4 (2 4 + O( 6 podemos dar prosseguimento a extrapolação e determinar a operação D 2, tal que (D 2, f (x 16 (D 1,f (x (D 1,2 f (x 15

6 Capítulo 6 Derivação numérica 8 e f (x (D 2, f (x O( 6 Exemplo: Voltamos a estudar o exemplo do início do capítulo: a derivação numérica da função exponencial f(x e x, em particular f(1 e De acordo com a definição dos operadores de diferença finita podemos montar a seguinte tabela: (D 0, f (1 (D 1, f (1 (D 2, f (1 0,4 2, ,2 2, , ,1 2, , , ,05 2, , , pelo fato dos espaçamentos serem múltiplos de 005 podemos utilizar a informação sobre as operações de ordem menor para calcular as de maior ordem De maneira geral podemos enunciar o processo de construção de uma operação de diferença finita de ordem de truncamento mais alta: Seja a operação de diferença finita F que aproxima a n-ésima derivada de uma função suficientemente suave g até a ordem O( p, ou seja, (F g (x g (n (x + c p + O( r, onde r > p Então, para qualquer q > 1, segundo o processo de extrapolação de Ricardson, (F g (x + 1 q p 1 ((F g (x (F q g (x g (n (x + O( r O que permite definir a nova operação F : ( F g (x qp (F g (x (F q g (x q p 1 As operações de diferença finita para as segundas derivadas e as derivadas de ordem superior podem ser obtidas a a partir da combinação das operações de diferença finita para primeira derivada, portanto, as operações D 2,, D +, D +,, D, D,, D 0, D +,, D 1, D,, etc, fornecem aproximações para a segunda derivada com diferentes precisões Porém a extrapolação de Ricardson pode ser utilizada para aumentá-la se for necessário Por exemplo, a ação da operação D +, D, sobre uma função f é dada por onde g(x (D, g (x, ou seja, (D +, D, f (D +, g, g(x f(x f(x

7 Capítulo 6 Derivação numérica 84 e portanto (D +, g (x 1 (D +,f (x 1 (D +,f( (x 1 ( f(x + f(x 1 ( f(x f(x f(x + 2f(x + f(x 2, onde o termo f( x é uma abreviação para a nova função q(x f(x Realizando a expansão em série de potências para podemos verificar que (D +, D, f (x f (x + O( 2 Esse exemplo que acabamos de estudar é apenas uma possibilidade, como acabamos de afirmar, existem diversas outras possibilidades 62 Exercícios 1 Seja o operador diferença finita D +,, definido como (D +, f (x f(x + f(x Sabemos que (D +, f (x f (x O( Utilize a extrapolação de Ricardson para encontrar a expressão do operador D +2, 2 Dada uma função f tal que x f(x Tabela 61 valores de f qual é a melor estimativa para a derivada de f no ponto x 0 supondo que os erros de arredondamento são nulos E para o ponto x 01? Determine a ordem do erro de truncamento ao aproximar a operação de derivação de segunda ordem pela operação de diferença finita D +, D +, 4 Determine a ordem do erro de truncamento ao aproximar a operação de derivação de segunda ordem pela operação de diferença finita D +, D +1, 5 Encontre a extrapolação de Ricardson calculada com 5 pontos (x 2,x, x, x + e x + 2 para a segunda derivada da função f

8 Capítulo 6 Derivação numérica 85 6 Desenvolva uma expressão para a operação finita que aproxima a segunda derivada de uma função f no ponto x a partir de f(x, f(x + e f(x + 2 Respostas 1 Se f admite um expansão em série de Taylor em torno do ponto x, podemos estimar ao erro na operação de ponto flutuante: (D +, f (x f(x + f(x f(x + f (x f (x + O( f(x f (x + 2 f (x + O( 2 f (x + c 0 + O( 2 Assim, ao utilizarmos espaçamento 2, a operação será tal que (D +,2 f (x f (x + c 0 (2 + O( 2 A seguinte combinação linear anula o termo com dependência linear em : (D +,2 f (x 2 (D +, f (x f (x + O( 2 e a partir dela definimos a operação de diferença finita (D +1, f (x 2 (D +, f (x (D +,2 f (x f (x + O( 2 A nova operação (D +1, f (x possui a seguinte dependência em : (D +1, f (x f (x + c O( de modo que (D +1,2 f (x f (x + c 1 (2 2 + O( E a combinação linear 4 (D +1, f (x (D +1,2 f (x f (x + O( remove a dependência quadrática em Definimos (D +2, f (x como (D +2, f (x 4 (D +1,f (x (D +1,2 f (x,

9 Capítulo 6 Derivação numérica 86 ou seja, (D +2, f (x ( f(x + f(x 4 2 ( f(x + 2 f(x f(x + 2 f(x f(x f(x + 2 2f(x + 21f(x 12 f(x + 4 f(x 4