Reflexão e Refração da luz em superfícies planas

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1 Nesta prática serão estudados os fenôenos de reflexão e refração da luz e superfícies planas, verificando as leis da óptica geoétrica, que governa tais processos. Serão abordados os princípios fundaentais (de Huygens e de Ferat), as leis de Reflexão e Refração (lei de Snell), reflexão interna total, e a ótica de u prisa. Sepre que surgir ua dúvida quanto à utilização de u instruento, o aluno deverá consultar o professor, o onitor ou o técnico do laboratório para esclarecientos. Iportante: Neste experiento será utilizado u laser. Cuidado para não direcionálo para seu próprio olho ou para o olho dos deais e sala!!! I. Leis da Refração e Reflexão Quando u feixe de luz passa de u eio aterial transparente para outro, parte da luz é refletida na interface entre os eios e parte entra no segundo eio. A figura ostra dois eios transparentes e sua interface. Cada u dos eios é caracterizado por u parâetro adiensional denoinado índice de refração. Os ângulos de reflexão α e refração β são obtidos a partir de leis que garante que: a) O raio refletido e o refratado estão no eso plano definido pelo raio incidente e a noral à interface no ponto de incidência, que é chaado de plano de incidência. b) O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. c) Os ângulos de incidência e refração estão relacionados pela lei de Snell: n sinα = n sin β () d) A intensidade da luz refletida ou refratada depende da diferença de índices de refração entre os eios e do ângulo de incidência (os coeficientes de transissão e reflexão são dados pelas equações de Fresnel). U caso particular siples é o de incidência noral e u eio não absorvedor; a fração de luz refletida na interface é dada por:

2 n R = n n + n () A fração de luz transitida é obviaente T = R, ua vez que não há absorção. Para o caso do vidro (n,5), a intensidade refletida é cerca de 4 % do total. Raio incidente Noral α α Raio refletido Meio Meio n n β Raio refratado Figura Reflexão e refração de u feixe de luz na interface de dois eios transparentes. As leis de reflexão e refração, do odo coo fora expostas são aqui, fora baseadas e resultados experientais. Entretanto, elas pode ser deduzidas a partir de princípios ais fundaentais da óptica, que são o princípio de Huygens e o princípio de Ferat. Vereos a seguir esses princípios (que são equivalentes) e ostrar coo as leis de reflexão e refração pode ser deduzidas a partir deles. II. Princípio de Huygens Ainda no século XVII, o holandês Christian Huygens forulou ua teoria ondulatória para explicar os fenôenos envolvendo a luz. Sua hipótese fundaental é

3 conhecida coo princípio de Huygens, e diz coo a frente de onda pode ser calculada e cada instante no futuro conhecendo a sua posição atual: Cada ponto de ua frente de onda atua coo ua fonte de ondas secundárias que se propaga co a esa velocidade e freqüência. A envoltória das frentes de onda secundárias é a nova frente de onda, nu instante posterior. Co esse princípio, é possível deonstrar as leis de reflexão e refração. Vaos considerar inicialente a reflexão. Na figura, a frente de onda AA se aproxia do espelho co ângulo de incidência (entre a noral a frente de onda e a noral ao espelho), que é igual ao ângulo Φ entre a frente de onda e o espelho. Pelo principio de Huygens, os pontos da frente de onda AA gera onda secundárias cuja envoltória fora a frente de onda B BB, que por sua vez leva a nova frente de onda C CC. Θ (=Φ ) A' B' C'' C' B'' A B C Φ Figura Esquea de reflexão de frentes de onda segundo o princípio de Huygens. No esquea da figura 3, AP representa ua parte da frente de onda AA. Nu tepo t, a onda secundária centrada e A chega ao ponto B, e a frente de onda centrada e P chega a B. A nova frente de onda é BB. Os ângulos entre a frente de onda e o espelho são Φ e Φ para as frentes de onda AA e BB respectivaente. Os triângulos ABB e ABP são retângulos co hipotenusa cou e u cateto igual (AB = BP), logo são congruentes, e portanto Φ e Φ são iguais. Os ângulos de incidência são iguais 3

4 aos ângulos Φ e Φ, e são tabé iguais para as ondas incidente e refletida, provando a lei de reflexão. A' ct B'' P ct Θ Θ B' Φ Φ A B Figura 3 Diagraa geoétrico ostrando o uso do princípio de Huygens para deduzir a lei de reflexão. Para provar a lei de Snell, vaos usar a figura 4. A frente de onda incidente é AP. A onda secundária gerada e A percorre ua distância v t no eio, e aquela gerada e P percorre a distancia v t no eio. Isso faz co que a nova frente de onda B B não seja paralela a frente AP. O ângulo de incidência é, igual a ϕ ; o ângulo de refração é, igual a ϕ. P ν t Θ A ν t Φ Θ Φ B' B Figura 4 Diagraa geoétrico ostrando o uso do princípio de Huygens para deduzir a lei de refração (lei de Snell) 4

5 Duas relações pode ser percebidas pela figura: sin Φ = sin Φ = v t AB v t AB (3a) (3b) As duas equações apresenta o fator t / AB. Igualando a expressão para t / AB e cada equação, chegaos a: sin Φ v = sin Φ v (4) Lebrando que v = c / n, e cancelando o fator cou c, chega-se a lei de Snell. III. Princípio de Ferat O princípio de Ferat tabé é conhecido coo princípio do enor tepo. O conteúdo do princípio é: A luz, para cainhar de u ponto A até u ponto B, o faz por u cainho tal que o tepo gasto é u extreo (ínio, áxio ou u ponto de inflexão). Esse princípio está intiaente ligado à técnica ateática do cálculo variacional: o cainho percorrido pela luz é aquele cujo tepo gasto não se altera (e prieira orde) se o cainho for leveente alterado. Nas situações usuais de reflexão e refração, o extreo será u ínio, o que justifica o tero princípio do enor tepo. É útil introduzir aqui o conceito de cainho óptico, que é igual ao produto entre a distância percorrida pela luz e o índice de refração local. Miniizar (ou de fora geral, extreizar) o tepo equivale a iniizar (ou extreizar) o cainho óptico. O princípio de Ferat pode ser relacionado ao princípio de Huygens. Quando o tepo não é afetado por pequenas udanças, as ondas secundárias geradas e pontos 5

6 próxios interfere construtivaente, pois chega co a esa fase. Se o tepo não é u extreo, ocorre interferência destrutiva e não se fora ua nova frente de onda. Para ver coo esse princípio leva às leis de reflexão, vaos considerar a figura 5 e calcular o cainho óptico para ir do ponto A ao observador B e função da variável x (o ponto onde há a reflexão), e achar o valor x o que o iniiza. A y B y' P x Θ Θ x 0 L Figura 5 Diagraa geoétrico ostrando o uso do princípio de Ferat para deduzir a lei de reflexão O cainho óptico de A a B, passando por P (ou seja, sofrendo ua reflexão) é: ( x + y + ( L x) ' ) [ APB ] = n + y (5) O princípio de Ferat diz que a derivada (co relação a x) dessa expressão, calculada para x = x o, é igual à zero: d [ APB] = n dx x x + y L x ( L x) + y' (6) Para a derivada acia ser igual a zero é preciso que: 6

7 x o y = L x y' o (7) Pela figura, veos que o lado esquerdo é igual a tan e o lado direito é igual a tan. Ou seja, tan = tan. Logo, coo e são do prieiro quadrante: Isso deonstra a lei de reflexão. = (8) Para deonstrar a lei de refração (lei de Snell), será utilizado o esquea da figura 6: A y Θ n n x x 0 P L Θ y' Figura 6 Uso do princípio de Ferat para deduzir a lei de refração (lei de Snell) B O cainho óptico entre A e B, passando por P (ou seja, sofrendo ua refração) é: [ APB ] = n + y x + y + n ( L x) ' (9) Seguindo o eso procediento anterior: d [ APB] = dx x n x + y n ( L x) ( L x) + y' (0) A equação 0 só pode ser igual a zero se: 7

8 n x x o o + y = n L x ( L x ) + y' o o () O parêntesis do lado esquerdo é igual a sin e o parêntesis do lado direito é igual a sin. Ou seja: n = () sin n sin Isso prova a lei de Snell. IV. Desvio angular provocado por prisas Ao passar por u prisa, u raio luinoso sofre ua refração ao penetrar na face e que está incidindo e outra ao eergir na outra face. Estas duas faces são inclinadas por u certo ângulo, de fora que o desvio produzido pela refração na prieira face é apliado pela refração na segunda, da fora ostrada na figura 7. Figura 7 Fotografia ostrando a refração e reflexão de raios de luz laser e u prisa. O raio eergente apresenta u desvio dado pelo ângulo δ co relação ao raio incidente, ver figura 8. Girando o prisa continuaente e torno de u eixo noral ao prisa, esse ângulo δ decresce até alcançar u valor ínio e, então, volta a auentar. O 8

9 ângulo de incidência para o qual δ assue seu enor valor é conhecido coo ângulo de desvio ínio,. A figura 8 ostra u prisa isóscele. O desvio no feixe, igual ao ângulo entre as direções inicial e final do raio, é o ângulo δ e vale: δ = + (3) 4 3 α Θ δ Θ π α Θ3 π α / π α/ Θ 4 Figura 8 Esquea de refração da luz e u prisa isósceles Veos tabé que: + 3 = α (4) Ou seja: δ = 4 + α (5) Aplicando a lei de Snell nas duas refrações: 9

10 (6a) sin = sin n sin 4 = nsin (6b) 3 Cobinando as equações 4 e 6, obteos: sin 4 = sinα n sin cosα sin (7) Fazeos a substituição sin = nsin β : sin 4 ( α β ) = n sinα cos β n cosα sin β = nsin (8) O desvio total agora se escreve coo: ( sin β ) + arcsin( n ( α β )) α δ = arcsin n sin (9) A derivada dessa expressão co relação a β é: dδ = dβ n cos β n sin β n cos n ( α β ) ( α β ) sin (0) O desvio ínio ocorre quando a derivada acia for igual a zero. Para que isso aconteça, é preciso que β = α β, ou seja, β = α /. Logo: sin = nsin( α / ) () Substituindo o resultado na equação 6a, vê-se que = α /. Daí a equação 4 resulta que 3 = α /, ou seja, = 3. Cobinando isso co a equação 6, é fácil ver que: = 4 () Na situação de desvio ínio, os ângulos de incidência e de saída são iguais, ou seja o feixe atravessa o prisa paralelaente a ua das faces. 0

11 V. Reflexão interna total (e reflexão interna total frustrada) Pela lei de Snell, se tiveros n i > n r (ou seja, o raio está passando de u eio ais refratário a outro enos refratário), podeos ter sin >. Nesse caso não há raio refratado; toda a luz é refletida. Esse efeito é chaado de reflexão interna total. O ângulo c tal que sin = n / n é chaado ângulo crítico. A reflexão interna total ocorre quando o c r i ângulo de incidência é aior que o ângulo crítico. Entretanto, se outro bloco de vidro (ou de outro aterial co índice de refração igual ou aior) é posicionado próxio, o raio pode passar de u bloco para outro. Isso te a ver co o conceito de onda evanescente. Na situação de reflexão interna total, ua onda evanescente é forada e passa para o eio co enor índice de refração. A aplitude dessa onda decai exponencialente e noralente não transporta energia (toda energia é refletida). Poré, a onda pode alcançar u novo eio onde pode se propagar novaente, e se converte nua onda ordinária. Nessa situação, a luz que se propagava dentro do prisa e atinge a interface co ângulo aior que o ângulo crítico te parte de sua energia refletida e parte atravessa para o outro bloco, interediada pela onda evanescente. Esse fato é conhecido coo reflexão interna total frustrada, e é u exeplo de tunelaento clássico. r

12 Experientos E todos os experientos realizados os índices de refração encontrados deverão ser coparados co valores tabelados.. Reflexão e refração e u bloco de vidro a) Nesta parte do experiento vaos estudar a reflexão e a refração da luz utilizando u bloco retangular de vidro. Co isso, será possível verificar o desvio do feixe quando passa pelo vidro, o qual pode ser estiado utilizando a lei de Snell. b) Coloque ua folha de papel sobre a platafora gonioétrica e fixe-a usando alfinetes. Marque o centro da esa co u alfinete (alfinete [5] na figura 9) e incida u raio de luz laser de odo a interceptá-lo. c) Reova o alfinete do ponto O e coloque o alfinete [] (ver figura ) na trajetória do feixe de luz, de odo que haja espaço suficiente para colocar bloco de vidro entre o laser e o alfinete []. Na figura 9, esta trajetória está arcada co ua linha tracejada. d) Coloque o bloco de vidro forando u ângulo entre 35 e 55 co o feixe de luz incidente, tal coo ilustrado na figura 9. A face do bloco deve estar sobre o diâetro da esa. Fixe-o co alfinetes e trace seu períetro na folha de papel. Isto peritirá a deterinação da reta noral à face. e) Finalente, coloque os deais alfinetes, coo ostrado na figura 9, na seguinte orde: [], [3], [4], [5] e [6], anotando a posição de cada u. Iportante: Siga a sugestão de orde para colocação dos alfinetes indicada por [],[],..[6]!!! f) Reova todos os alfinetes e o bloco de vidro, e una os furos deixados pelos alfinetes co linhas, deterinando, desta fora, os ângulos α e β e o deslocaento lateral D entre o feixe incidente e o eergente. g) Repita este procediento para 4 ângulos de incidência diferentes.

13 [] [4] D [] α [5] β [3] [6] δ Figura 9 Esquea ostrando a orde de fixação dos alfinetes e u bloco de vidro e definição dos parâetros α, β e D. h) Co esses dados, ostre que seus resultados são consistentes co: tan β (3) D = δ sinα tanα Onde δ é, coo ostrado na figura 9, a espessura do bloco de vidro. Calcule D utilizando essa relação, deterine seu erro a partir de suas edidas de α e β e copare co o valor edido. i) Mostre que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Para isso, faça u gráfico de α incidente versus α refletido e verifique se obté ua reta que passe pela orige cuja inclinação seja 45º. Discuta o grau de confiança de suas edidas. j) A principal fonte de erros nesta edida é causada pela largura do feixe de laser. Estie esses erros e discuta-os e seu relatório. Desvio lateral e u bloco de faces paralelas α incidente α refletido β D edido (c) D esperado (c) 3

14 . Ângulo de desvio ínio e u prisa a) Coloque ua folha de papel sobre a platafora gonioétrica e fixe-a usando alfinetes. Marque o centro da esa co u alfinete (ponto O) e incida u raio de luz laser de odo a interceptá-lo. b) Retire o alfinete que arca o ponto O e coloque u prisa eqüilátero sobre a folha de papel. Fixe-o co alfinetes e trace os contornos do prisa no papel. A arca existente na superfície opaca do prisa deve coincidir co o centro de rotação da esa (ponto O). E seguida, gire a platafora de fora que o feixe de luz incidente reflita na prieira face do prisa sobre si eso (retro-reflexão). Quando isso acontece, a incidência do feixe é perpendicular à face. c) Gire a platafora de odo a ter u ângulo de incidência. Identifique o feixe eergente na superfície oposta à incidência, ver figura 8. Gire a platafora de odo a variar o ângulo. Assi, você verá o feixe eergente do prisa over-se e ua deterinada direção. E u deterinado instante, este oviento cessará e, ebora você continue girando a platafora na esa direção, o feixe de luz coeçará a se over na direção contrária. O oento e que o oviento cessa define o ângulo de desvio ínio, δ. É iportante notar que ua vez cessado o oviento do feixe eergente é possível girar a platafora de alguns graus se que se perceba nenhu deslocaento do feixe, o que reflete ua fonte de erro para suas edidas. Para obter ua edida ais precisa, precisa edir o ângulo para o qual o oviento cessa,, e o ângulo para o qual o oviento recoeça, ângulos e, ou seja:. O ângulo será deterinado, então, pelo valor édio dos + = d) Use alfinetes para deterinar a direção do feixe eergente no prisa nas condições onde são obtidos os ângulos e. Após isso, trace a trajetória dos raios no (3) 4

15 papel (coo ostrado na figura 0) e a reta noral a superfície do prisa e deterine os ângulos e. A partir destes resultados, utilize a equação (co = ) para deterinar o índice de refração do prisa. Estie os erros e seus cálculos, considerando o erro na deterinação do ângulo coo sendo =. (a) (b) Figura 0 (a) Fotografia do experiento, ostrando os alfinetes que perite deterinar a direção dos raios. (b) Fotografia da folha de papel após o experiento, co a direção dos raios arcada. Ângulo de desvio ínio e prisas Prisa de vidro Prisa oco co líquido édio n édio n a) O étodo anterior pode ser utilizado para deterinar o índice de refração de líquidos. Para isso, basta que o prisa seja substituído por u prisa oco de paredes delgadas preenchido co o líquido e questão. Realize essas edidas co o prisa oco preenchido co água e deterine o seu índice de refração. Copare co os valores da literatura. 5

16 3. Reflexão interna total e u bloco de acrílico seicircular Neste experiento, vaos considerar a luz se propagando de u eio co aior índice de refração para outro de enos índice de refração. Nesse caso, confore o ângulo de incidência auenta atinge-se u ponto onde nenhua luz é transitida para o eio de índice de refração enor. Este ângulo, e particular, é chaado ângulo crítico ( C ). Para ângulos aiores que C, toda luz é refletida de volta ao eio incidente co u ângulo igual ao ângulo de incidência, coo ilustrado na figura. a) Coloque ua folha de papel sobre a esa gonioétrica fixando-a co a ajuda de alfinetes. E seguida coloque u bloco de vidro seicircular sobre a folha de odo que o centro da esa gonioétrica coincida co o centro da face plana do bloco (ponto O da figura a). Desenhe o contorno do bloco no papel e fixe-o utilizando alfinetes. Posicione então o laser de odo que o feixe incida perpendicularente à face plana do bloco exataente e O, tal coo ostrado na figura 0a. Utilize alfinetes para acopanhar a trajetória do feixe de luz laser. b) Gire o bloco e faça o feixe do laser incidir coo na figura b. Deterine então a trajetória do raio incidente e refratado pelo bloco; para fazer isso, arque a trajetória dos raios no papel co a ajuda de alfinetes, tal coo ilustrado na figura b (que ostra quatro alfinetes). Analise a trajetória seguida pelos raios utilizando a lei de refração. c) Faça o traçado de raios no papel coo ilustrado na figura e deterine os ângulos de incidência e refração, e, para 4 ângulos de incidência distintos. d) Deterine o índice de refração do bloco de acrílico através de u gráfico de sin versus sin. Utilize esse valor para calcular o ângulo crítico e estie seu erro. e) Gire lentaente o bloco até que o feixe refratado saia rasante à face plana do bloco seicircular (coo na figura c). Deterine as trajetórias dos raios para esta situação. Observe e discuta a reflexão interna total que acontece se o bloco é girado alé deste ponto. 6

17 (a) (b) (c) Alfinetes de fixação O Folha de papel n = n n 3 4 o 3 4 Laser Laser Θ = 90 Laser Θ Θ O O Θ n = Bloco de vidro seicircular Mesa gonioétrica Figura (a) Fixação do bloco seicircular na esa gonioétrica; (b) Trajetória do feixe de luz; (c) Trajetória no caso de refração rasante. Para ângulos de incidência ligeiraente aiores que o indicado e (c) observa-se a reflexão interna total. Na condição e que se atinge o ângulo crítico = C te-se que o ângulo de refração é 90º. Assi, n a situação ilustrada na figura 0c, o ângulo crítico é dado por: Onde n é o índice de refração do bloco de acrílico. sin C = / n (3) f) Faça ua edida direta do ângulo crítico, C, e estie o seu erro. A partir destes dados estie o índice de refração do bloco. Copare os valores obtidos para o índice de refração através da edida do ângulo crítico e da Lei da Refração. Deterinação dos ângulos de incidência e refração n = Deterinação do ângulo crítico C (edida direta) n 7

18 (a) (b) Figura (a) Fotografia do experiento, ostrando os alfinetes que perite deterinar a direção dos raios. (b) Fotografia da folha de papel após o experiento, co a direção dos raios arcada. 8