Unidade III 2. Interferência e Difração da luz

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1 Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC UNVERSDADE DO ESTADO DO RO GRANDE DO NORTE - UERN Pró-Reitoria de Ensino de Graduação PROEG Hoe Page: E-ail: proeg@uern.br UNDADE: Capus Avançado de Natal Unidade. nterferência e Difração da luz Professor Dr. Edaly Oliveira de Aleida

2 Súario:. O princípio de Huygens;. Copriento de onda e índice de refração; 3. O experiento de young; 4. ntensidade das franjas de interferência; 5. nterferência e files finos; 6. O interferôetro de Michelson. O azul da superfície da asa da borboleta Morpho se deve à interferência ótica e uda de tonalidade de acordo co o ponto de vista do observador. (Philippe Colobi/Photo Disc/Getty ages)

3 . O Princípio de Huygens A propagação e três diensões de ondas, coo a luz pode uitas vezes ser descrita pelo principio de Huygens, segundo o qual todos os pontos de ua frente de onda se coporta coo fontes pontuais para ondas secundárias. Depois de u intervalo de tepo t a nova posição da frente de onda é dada por ua superfície tangente às onda secundárias. A lei da refração pode ser deduzida a partir do princípio de Huygens se supuseros que o índice de refração de qualquer eio é dado por n = c/v, onde v é a velocidade da luz no eio e c é a velocidade de luz no vácuo. n sen nsen (Lei de refração) Fig. A propagação de ua onda no vácuo de acordo co o principio de Huygens.

4 . Copriento de Onda e Índice de Refração eio: O copriento de onda λ n da luz e u eio depende do índice de refração n do 0 n n Eq. 0 Onde λ é o copriento de onda da luz no vácuo. Por causa dessa dependência, a diferencia de fase entre duas ondas pode variar se as ondas se propagare e eios co diferentes índices de refração. De acordo co a Eq. 0, o copriento de onda no eio é λ n = λ/n N L n Ln N L n Ln Para calcular a diferença de fase entre as duas ondas basta deterinar o ódulo da diferença entre N e N. Supondo n > n, teos: Fig. Duas ondas luinosas atravessa dois eios co diferentes índices de refração N Ln Ln L n. N n

5 Exeplo Na Fig. As duas ondas luinosas representadas por raios tê u copriento de onda de 550,0 n antes de penetrar nos eios e. Elas tê a esa aplitude e estão e fase. Suponha que o eio seja o próprio ar e que o eio seja u políero transparente co índice de refração,600 e ua espessura de,600 μ. (a) Qual é a diferença de fase entre duas ondas eergentes e copriento de onda. (b) Qual é a diferença de fase efetiva (e copriento de onda)? Dados: λ = 550,0 n n =.600 L =.600 μ a) N N N N N N L n n 6.600x0 7 5,5x0,84,600 b) A diferença de fase efetiva é a parte decial da diferença de fase real expressa e copriento de onda. A diferença de fase efetiva = 0,84 copriento de onda

6 3. O Experiento de Young No experiento de interferência de Young, a luz que passa por ua fenda e u anteparo incide e duas fentas e u segundo anteparo. A luz que passa pelas fendas do segundo anteparo se espalha na região do outro lado do anteparo e as ondas interfere ua co a outra, produzindo ua figura de interferência e ua tela de observação. A intensidade da luz e qualquer ponto da tela de observação depende da diferença entre as distâncias percorridas pelo raios de luz entre as fendas e o ponto considerado. Se a diferença é u núero inteiro de coprientos de onda, as ondas interfere construtivaente e a intensidade luinosa é áxia. Se a diferença é u núero ípar de eios coprientos de onda, as ondas interfere destrutivaente e a intensidade luinosa é ínia. y tg D D y d sen d Fazendo o eso para o áxio de orde +, y D d

7 E teros ateáticos, as condições para que a intensidade luinosa seja áxia e ínia são d senθ d senθ Núero nteiro para 0,,,... áxios: franjas claras Construtiva Eq. 0 Núero ípar λ para 0,,,... ínios: franjas escuras Destrutiva Eq. 03 Onde θ é o ângulo entre os raios luinosos e ua perpendicular à tela passando por u ponto equidistante das fendas, e d é a distância entre as fendas. Padrão de Difração para ua fenda siples Padrão de difração esperado para duas fendas

8 Exeplo Qual é a distância na tela C da figura entre dois áxios vizinhos perto do cento da figura de interferência? O copriento de onda λ da luz é 546 n, a distância entre as fendas d é 0, e a distância D entre as fendas e a tela é 55 c. Suponha que o ângulo θ da figura é suficienteente pequeno para que seja valido as aproxiações senθ tgθ θ está expresso e radianos. Dados: y =? λ = 546 n d = 0, D = 55 c x y x x x y d D y y d D D D y y d D d D D y y d D d D y y,5 0,5 0 0,

9 4. ntensidade das Franjas de nterferência No experiento de interferência de Young, duas ondas de intensidade 0 produze na tela de observação ua onda resultante cuja intensidade é dada por onde 4 0 cos, d sen. Eq. 04 Eq nterferência e Files Finos Quando a luz incide e u file fino transparente, as ondas refletidas pelas superfícies anterior e posterior do file interfere ua co a outra. Quando o file está suspenso no ar e a incidência é quase perpendicular as condições para que a intensidade da luz refletida seja áxia e ínia são

10 Onde n é o índice de refração do file. L é a espessura do file e λ é o copriento de onda da luz no ar. Quando a luz incidente na interface de dois eios co diferentes índices de refração se encontra inicialente no eio e que o índice de refração é enor, a reflexão produz ua udança de fase de π rad, ou eio copriento de onda, na onda refletida. Quando a luz se encontra inicialente no eio e que o índice de refração é aior, a fase não é odificada pela reflexão. L L λ, para 0,,,... (áxios: file claro no ar), Eq. 06 n λ n, para 0,,,... (ínios: file escuro no ar). Eq. 07

11 Exeplo 3 U feixe de luz branca, co intensidade constante na faixa de copriento de onda da luz visível ( n), incide perpendicularente e u file de água co índice de refração n =,33 e espessura L = 30 n, suspenso no ar. Para que copriento de onda λ a luz refletida pelo file se apresenta ais intensa a u observador? Dados: n =,33 L = 30 n L n nl,33 Para 0 Para 70,4n inf raverelho 30n 567,5n 85,n aarelo esverdeado Para 340,5n ultravioleta Assi, o copriento de onda para o qual a luz vista pelo observador é ais intensa é λ = 567 n

12 7. O nterferôetro de Michelson No interferôetro de Michelson ua onda luinosa é dividida e dois feixes que, depois de percorrere cainhos diferentes, são recobinados para produzir ua figura de interferência. Quando a distância percorrida por u dos feixes varia é possível edir essa variação co grande precisão e teros de copriento de onda da luz, bastando para isso contar o núero de franjas de que se desloca a figura de interferência. Se u bloco de aterial transparente de espessura L e índice de refração n é colocado na frente do espelho M, o núero de copriento de onda percorridos dentro do aterial é. L Ln N O núero de copriento de onda na esa espessura L antes que o bloco fosse introduzido era n L N a Assi, quando o bloco é introduzido a luz que volta ao espelho M sofre ua udança de fase adicional N N a Ln L L n

13 Exeplo 4 Se o espelho M de u interferôetro de Michelson sofre u deslocaento de 0,33, as franjas se desloca de 79 posições. Qual o copriento de onda da luz responsável pela figura de interferência? Dados: d = 0,33 N = 79 λ =? d N d N 0, , , ,88x0 7 x0 4 N = 79

14 Súario:. Difração;. Difração por Ua Fenda; 3. Difração por ua Abertura Circular; 4. Critério de Rayleigh; 5. Redes de Difração; 6. Difração de Raios x

15 . Difração Quando ua onda encontra u obstáculo ou abertura de diensões coparáveis ao copriento de onda ela se espalha e sofre interferência. Esse fenôeno é chaado de difração.. Difração por Ua Fenda As ondas que atravessa ua fenda estreita de largura a produze, e ua tela de observação, ua figura de difração por ua fenda que consiste e u áxio central e vários áxios secundários, separados por ínios situados e ângulos θ co o eixo central que satisfaze a relação a senθ para,, 3,... (ínios). A intensidade da onda difratada para u ângulo θ qualquer é dada por senα (θ), onde α α πa λ senθ E é a intensidade no centro da figura de difração.

16 Para Duas Fendas Quando ua onda passa por duas fendas de largura a, separadas por ua distância d, é forada ua figura de difração na qual a intensidade para u ângulo θ é dada por cos β onde β πd/λsenθ e senα α (duas fendas). Exeplo Ua fenda de largura a é iluinada co luz branca. (a) Para que valor de a o prieiro ínio para a luz verelha, co λ = 650 n, aparece e θ = 5 0? Dados: a =? λ = 650 n θ = 5 0 = (Para o prieiro ínio) asen a a sen 650n 0 sen5 650n a 0, a 5,4n a,5

17 Exeplo Deterine as intensidade dos três prieiros áxios secundário da figura de difração por ua fenda da figura abaixo, expressas coo porcentagens da intensidade do áxio central. A difração fez co que a luz se espalhasse perpendicularente à aior diensão da fenda, produzindo ua figura de interferência forada por u áxio central e áxio secundários 0,8% 0 0,8 3,5.3,4 3,5.80 3,5 3, Prieiro áxio,6% 0,6,53,4,5.80,5,5 Prieiro áxio 4,5% 0 4,5,5.3,4,5.80,5,5 Prieiro áxio 3,...,, para 3,...,, para sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen

18 3. Difração por ua Abertura Circular A difração por ua abertura circular de diâetro d produz u áxio central e áxios e ínios concêntricos; o prieiro ínio corresponde a u ângulo θ dado por senθ, λ d (prieiro ínio - abertura circular). 4. Critério de Rayleigh De acordo co o critério de Rayleigh dois objetos estão no liite de resolução quando o áxio central de difração de u coincide co o prieiro ínio do outro. Neste caso, a separação angular é dada por θ R, λ d (critério de Rayleigh). Onde d é o diâetro da abertura que a luz atravessa e θ R é o ângulo de Rayleigh.

19 A pintura pontilhada O Sena e Herblay, de Maxiilien Luce, é forada por ilhares de pontos coloridos. Podeos ver os pontos e suas cores verdadeiras se exainaros a pintura de perto; à distância, poré, os pontos não pode ser resolvidos e suas cores se istura. (Maxilen Luce, O Sena e Herblay, 890. Musée d`orsay, Paris. França. Foto de Erich Lessing/Art Resource.)

20 Exeplo 3 A figura abaixo é ua vista apliada dos pontos coloridos de ua pintura pontilhada. Suponha que a distância édia entre os centros dos pontos é D =,0. Suponha tabé que o diâetro da pupila do olho do observador é de d =,5 e que a enor separação angular entre os pontos que o olho pode resolver é dada pelo critério de Rayleight. Qual é a enor distância de observação para a qual os pontos não pode ser resolvidos para nenhua cor? Para u enor copriento da luz visível λ = 400 n. R, tg R d D R L D, L d L, Dd Dd L, L 3 3 0,5 0 9,4000 L 6, D L tg R R

21 6. Rede de Difração A rede de difração consiste e ua série de fendas (ranhuras) usadas para separar ua onda e suas coponentes, ostrando os áxios de difração associados a cada copriento de onda da radiação incidente. A difração por N ranhuras resulta e áxios (linhas) e ângulos θ tais que d senθ, para 0,,,... (áxio - linhas). Co as eias larguras das linhas dadas por l Nd cos (eias larguras). Ua rede de difração é caracterizada pela disperção D e pela resolução R, dadas pelas seguintes equações: D d cos éd R N.

22 7. Difração de Rios X O arranjo regular de átoos e u cristal se coporta coo ua rede de difração tridiensional para ondas de copriento de onda da esa orde que o espaçaento entre os átoos, coo os raios X. Para fins de análise os átoos pode ser iaginados coo estando dispostos e planos co u espaçaento d. Os áxios de difração (que resulta de ua interferência constante) ocorre nos âgulos θ de intensidade da onda, edidos e relação aos planos atôicos que satisfaze à lei de Bragg: dsen, Para,, 3,... (Lei de Bragg) Onde λ é o copriento de onda da radiação incidente.

23 A luz linearente polarizada que eerge de u polarizador ideal incide sobre u segundo polarizador, chaado analisador, cujo eixo faz u angulo φ co o eixo de polarização do prieiro polarizador. Podeos decopor a luz linearente polarizada transitida pelo prieiro polarizador e duas coponentes, ua paralela e a outra perpendicular ao eixo do analisador. A intensidade do feixe transitido será áxio quando φ = 0 e será igual a zero quando o eixo do polarizador estiver cruzado co o do analisador, ou seja, φ = 90 o.

24 A intensidade de ua onda eletroagnética e proporcional ao quadrado da aplitude da onda. A razão entre a aplitude da onda transitida e da onda incidente e igual a cos φ; portanto, a razão entre suas intensidades e igual a cos φ. A intensidade da luz que eerge do analisador e deterinada pela lei de Malus: áx cos onde áx e a intensidade áxia da luz transitida (para φ = 0) e e a intensidade transitida para u dado angulo φ. Essa lei vale soente quando o feixe que incide sobre o analisador já esta linearente polarizada. Exeplo 4 Ua luz não-polarizada de intensidade 0 incide u conjunto polarizador-analisador cujos eixos faze u angulo de 30 o entre si. Deterine as intensidades dos feixes transitidos pelos dois polarizadores P t ϕ t P cos 0 3 t P t cos 30 3 t 0 t 8

25 Lista de exercícios: Questão do trabalho (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,, ). Dois pulsos de luz atravessa caadas de plástico de espessura L ou L veja a Figura abaixo, cujos índices de refração estão indicados na figura, (a) Qual dos pulsos leva o enor tepo para chegar do outro lado? (b) E teros de L / c, qual é a diferença entre os tepos de percurso dos dois pulsos?. E ua experiência de Young executada co a luz aarela do sódio (λ = 589 n), o espaçaento entre as franjas de interferência é de 3,50 x 0-3 rad. Para que copriento de onda o espaçaento angular será 0 % aior? 3. Quando ua peça plana de ica de índice de refração l,6 é colocada na frente de ua das duas fendas e ua experiência de Young, a franja clara correspondente a = 30 é deslocada para a posição que era ocupada anteriorente pelo áxio central. Se o copriento de onda é 480 n, qual é a espessura da peça de ica? 4. O eleento sódio pode eitir luz co dois copriento de onda, λ = 589,0 n e λ = 589,59 n. Se a luz do sódio é usada e u interferôetro de Michelson de que distância deve ser deslocado u dos braços para que as franjas observadas para u copriento de onda se desloque de ua posição a ais do que as franjas observadas para o outro copriento de onda?

26 5. U file fino de índice de refração n =,40 é colocado e u dos braços de u interferôetro de Michelson, perpendicularente aos raios luinosos. Se isso faz co que as franjas se desloque de sete posições quando o copriento da luz é 589 n, qual é a espessura do file? 6. Ua câara selada, co 5,0 c de copriento e janelas de vidro, é colocada e u dos braços de u interferôetro de Michelson, coo na Figura abaixo. Ua luz de copriento de onda λ = 500 n é usada. O ar é lentaente reovido da câara co o auxílio de ua boba de vácuo. sso faz co que as franjas se desloque de 60 posições A partir desses dados, deterine o índice de refração do ar à pressão atosférica. 7. Sobre ua fenda estreita incide luz onocroática de 44 n. Nu anteparo, a,00 de distância, o afastaento linear entre o segundo ínio de difração e o áxio central é de,50 c. (a) Calcule o ângulo de difração θ deste segundo ínio, (b) Ache a largura da fenda. 8. Luz de copriento de onda 633 n incide sobre ua fenda estreita. O afastaento angular entre o prieiro ínio de difração, nu lado do áxio central, e o prieiro ínio no outro lado é,0. Qual é a largura da fenda?

27 9. Ua fenda única é iluinada por ua luz constituída pêlos coprientos de onda λ a e λ b, escolhidos de odo que o prieiro ínio de difração da coponente λ a coincida co o segundo ínio da coponente λ b. (a) Qual é a relação entre os dois coprientos de onda? (b) Nas duas figuras de difração, há coincidência de outros ínios? 0. E ua figura de difração de fenda única, a distância entre o prieiro e o quinto ínios é de 0,35. O anteparo dista 40 c da fenda e o copriento de onda da luz usada é de 550 n. (a) Encontre a largura da fenda, (b) Calcule o ângulo θ do prieiro ínio de difração.. Qual deve ser a razão entre a largura de ua fenda única e o copriento de onda para que o prieiro ínio de difração esteja a θ = 45,0?. Ua onda plana, de copriento de onda 590 n, incide sobre ua fenda co a = 0,40. Ua lente convergente delgada de distância focal +70 c é colocada entre a fenda e u anteparo e focaliza a luz sobre este anteparo, (a) Qual é a distância entre a lente e o anteparo? (b) Qual é a distância sobre o anteparo, entre o centro da figura de difração e o prieiro ínio?