BUSCA ASSÍNCRONA DE CAMINHOS MÍNIMOS

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1 BUSCA ASSÍNCRONA DE CAMINHOS MÍNIMOS Silvio do Lago Pereira Luiz Tsutou Akaine² Lucio Nunes de Lira Prof. Dr. do Departaento de Tecnologia da Inforação FATEC-SP Prof. Esp. do Departaento de Tecnologia da Inforação FATEC-SP Aluno de pós-graduação e Análise e Projeto de Sisteas DTI/ FATEC-SP slago@fatecsp.br lakaine@fatecsp.br lucio.lira@fatec.sp.gov.br Resuo Busca de cainhos ínios e grafos é u problea recorrente e aplicações práticas e coputação e por este otivo diversos algoritos para resolver este problea co diferentes desepenhos fora propostos na literatura. Neste artigo propoos ua fora siples de odificar u algorito be conhecido para busca de cainhos ínios e grafos que é baseado e produto de atrizes visando elhorar o seu desepenho co relação ao consuo de tepo de processaento. Coo era esperado os resultados dos experientos realizados ostrara que de fato a odificação proposta apesar de siples produz u algorito ais eficiente.. Introdução Atualente é difícil encontrar u otorista que nunca usou u GPS (Global Positioning Syste para encontrar u cainho até ua localização desejada. Quando u endereço de destino é inserido nu GPS este aparelho deterina a posição corrente do veículo usando inforações recebidas de satélite e busca u cainho ínio que leve da posição de orige até a posição de destino desejada. Evidenteente para encontrar este cainho o GPS precisa explorar o apa da região que engloba os pontos de orige e destino. De fato este apa é dado por u grafo cujos vértices representa localizações e cujas arestas representa vias interligando essas localizações. Adeais cada aresta é associada a u valor que representa o copriento da via correspondente no apa (e coo não existe copriento negativo esse valor deve ser positivo. A Figura ilustra essa situação. Note que ebora exista cainhos no apa que pode passar várias vezes por u eso ponto antes de chegar ao destino desejado estes cainhos não são ínios e deve ser ignorados pelo GPS. Figura Cainho ínio de carro entre dois pontos. Ebora a busca de cainhos e apas seja a aplicação ais óbvia de algoritos de busca de cainhos ínios e grafos [] há diversas situações e que o uso deste tipo de algorito pode facilitar a solução de probleas práticos. Por este otivo diversos algoritos para busca de cainhos ínios e grafos co diferentes características e desepenhos fora propostos na literatura da área de coputação. Neste contexto este artigo te coo objetivo propor ua fora siples de odificar u algorito be conhecido na área que encontra cainhos ínios usando ua abordage baseada e produto de atrizes []. Para confirar que tal odificação realente torna o referido algorito ais eficiente duas versões desse algorito (original e odificada fora ipleentadas e linguage C [] e diversos experientos coparativos fora realizados co elas. Os resultados desses experientos ostrara que e todos os cenários considerados a versão odificada proposta neste trabalho teve elhor desepenho. O restante deste artigo está organizado do seguinte odo a Seção introduz os fundaentos teóricos do algorito para busca de cainhos ínios baseado e produto de atrizes; a Seção explica a odificação proposta para esse algorito e ostra sua viabilidade teórica; a Seção apresenta e analisa os resultados epíricos do trabalho; e finalente a Seção 5 apresenta as conclusões finais do trabalho.. Fundaentação Teórica U grafo orientado co custos não-negativos G é ua tripla ( V A ω onde V = {... n} é u conjunto de + vértices A V V é u conjunto de arestas e ω A R é ua função que apeia arestas e custos (i.e. ω ( i j é o custo da aresta que vai do vértice i ao vértice j []. Assuios que ω ( i j = 0 se i = j e que ω ( i j = se i j e ( i j A. Assi u grafo G co n vértices pode ser representado por ua atriz n n onde ij é ω ( i j coo ilustrado na Figura. 5 6 Figura U grafo orientado G e sua atriz de custos. U cainho e G é ua sequência π = v0 v... vk e que cada par de vértices consecutivos ( vi v j é ua aresta de G. Por conveniência consideraos apenas cainhos acíclicos (i.e. que não tê vértices repetidos. O custo de u cainho π denotado por ϖ ( π é a soa dos custos de todas as suas arestas k ϖ ( π = ω ( vi vi. ( i= =

2 Por exeplo o custo do cainho π = 5 da Figura é ϖ ( π = ω ( v ( ( 5 7 i i vi = ω + ω = + = = no grafo O custo ínio de u cainho que vai de u vértice u até u vértice v denotado por δ ( u v é δ ( u v = in { ϖ ( π π vai de u até v} { }. ( ( Por exeplo para o grafo da Figura teos δ ( 5 = in ({ ϖ ( π π vai de até 5} { } = in ϖ ( 5 ϖ ( 5 ϖ ( 5 = in ({ 9} { } = in ({ 9 } ({ } { } = 9 δ ( 5 = in ϖ ( π π vai de 5 até ({ } { } in ( { } in ({ } = = = U cainho de custo ínio (ou cainho ínio de u até v é qualquer cainho cujo custo é δ ( u v... Produto de Matrizes e Cainhos Mínios Seja A e B duas atrizes quadradas de orde n. Então a atriz produto C = A B pode ser coputada pelo seguinte algorito PRODUTO ( An n Bn n para cada i [.. n] para cada j [.. n] Cij 0 para cada k [.. n] 5 Cij Cij + Aik Bkj 6 devolva C Para ver a relação entre produto de atrizes e cainhos ínios considere a atriz da Figura. Note que quando a chaada PRODUTO ( é feita o valor do eleento C é dado pela seguinte expressão C = 0 + a b + c d + 0 = a b + c d. ( Esta expressão indica que há dois cainhos que vão do vértice ao vértice no grafo correspondente u que passa pelas arestas de custos a e b e outro que passa pelas arestas de custos c e d. Assi para calcular o custo de u cainho ínio de até co duas arestas basta reescrever a expressão ( substituindo o operador + pela função in( e o operador por + coo a seguir C = in ( 0 + a + b c + d + 0. ( a c b d 0 a c 0 b = 0 d 0 Figura O custo ínio para ir dea é in ( a b c d + +. A partir desta observação podeos criar o algorito a seguir que dada ua atriz C de custos de cainhos ínios co até arestas e ua atriz co os custos das arestas do grafo devolve ua atriz C + de custos de cainhos ínios co até + arestas nesse grafo EXTENSÃO ( Cn n n n para cada i [.. n] para cada j [.. n] C ij + para cada k [.. n] + + Cij in Cij C ik + kj 6 devolva C + 5 ( De fato para C = representando os custos de cainhos ínios co aresta podeos usar esse algorito para coputar a seguinte sequência de atrizes C = = C = EXTENSÃO C = EXTENSÃO ( = C = EXTENSÃO ( C = EXTENSÃO ( =... n C n = EXTENSÃO ( C n = EXTENSÃO ( n =. Coo u cainho ínio nu grafo co n vértices pode ter no áxio n arestas (pois senão ele é cíclico n e não pode ser ínio segue que a atriz C n (= conté os custos de cainhos ínios para todos os pares de vértices do grafo representado por ou seja n n Cij = ij = δ ( i j. Adeais coo cada chaada da função EXTENSÃO ( consoe tepo ( O n n a atriz C O n coo segue pode ser coputada e tepo ( n n CAMINHOS-MÍNIMOS-LENTO ( C para cada [.. n ] n devolva C C EXTENSÃO ( C.. Redução do Consuo de Tepo n Coo os valores e n (= C são ínios e portanto não pode ser reduzidos e futuras extensões n segue que é u ponto-fixo ou seja EXTENSÃO ( n = para todo n. (5 Então coo o objetivo de CAMINHOS-MÍNIMOS-LENTO ( é n coputar a atriz C n (= e não as atrizes interediárias C podeos reduzir o núero de chaadas à função EXTENSÃO ( coputando a seguinte sequência = = EXTENSÃO = EXTENSÃO ( 8 = EXTENSÃO (... lg( n lg ( n/ lg ( n/ = EXTENSÃO. Coo lg( n lg( n n pela equação (5 segue que n =. (6 O algorito CAMINHOS-MÍNIMOS-RÁPIDO ( a seguir n eprega essa ideia para obter O n lg n n n CAMINHOS-MÍNIMOS-RÁPIDO ( C enquanto ( n < C EXTENSÃO ( C C 5 6 devolva C e tepo (

3 . Algoritos de Busca Ipleentados A base para ipleentação dos algoritos de busca de cainhos ínios que são coparados neste artigo é a função CAMINHOS-MÍNIMOS-RÁPIDO (. Dada ua atriz co os custos das arestas de G essa função coputa a atriz co os custos de todos os cainhos n ínios e G. Por exeplo para o grafo da Figura a atriz coputada por CAMINHOS-MÍNIMOS-RÁPIDO ( é = Note poré que ebora indique os custos de todos os cainhos ínios e G ela não ostra quais são esses cainhos. A seguir ostraos coo alterar essa função para que os cainhos ínios tabé seja coputados e depois propoos outra alteração para reduzir ainda ais o seu tepo de processaento... Matriz de Custos Transforada Dada ua atriz n n co os custos das arestas de u grafo G a transforada de n n é ua atriz tridiensional n n que apeia cada eleento ij de n n nu par ij πij tal que i πij é u cainho ínio que vai do vértice i ao vértice j de G (note que denota concatenação de sequências e denota a sequência vazia. O algorito a seguir faz esta transforação TRANSFORMADA ( n n para cada i [.. n] para cada j [.. n] se ( ij = 0 ou ( ij = ij ij senão ij ij j 5 devolva Por exeplo para o grafo apresentado na Figura a chaada TRANSFORMADA ( devolve a atriz = Coo se pode perceber representa todos os cainhos ínios co até ua aresta. Particularente por exeplo o eleento = indica que é o custo ínio de u cainho que vai do vértice ao vértice co ua aresta e que = é u tal cainho... Busca Síncrona de Cainhos Mínios Considerando a atriz transforada podeos reforular a função EXTENSÃO ( de odo que se o custo do cainho direto de i para j for aior que o custo de u cainho de i para j passando por k (a o custo ínio de π ij seja atualizado para ϖ ( πik + ϖ ( πkj e (b o cainho ínio π ij seja atualizado para π ik π kj.. EXTENSÃO-SÍNCRONA ( n n para cada i [.. n] para cada j [.. n] para cada k [.. n] 5 se ( ij > ik + kj 6 ij ik + kj ik kj 7 devolva A função EXTENSÃO-SÍNCRONA ( faz ua cópia da atriz. Depois consultando ela atualiza os eleentos de. Coo atualizações e não afeta é coo se os eleentos de estivesse sendo atualizados todos ao eso tepo (i.e. de fora síncrona. A partir dessa função e da equação (6 definios o seguinte algorito para busca de cainhos ínios CAMINHOS-MÍNIMOS-SÍNCRONO ( n n TRANSFORMADA( enquanto ( n 5 6 devolva n < EXTENSÃO-SÍNCRONA ( Por exeplo para o grafo da Figura as atrizes coputadas por CAMINHOS-MÍNIMOS-SÍNCRONO ( são exibidas na Figura (a últia delas é dada coo resposta = = = Figura Extensões síncronas da atriz transforada. Finalente co base no conceito de extensão síncrona de cainhos ínios definios a função BUSCA-SÍNCRONA ( u v n n n CAMINHOS-MÍNIMOS-SÍNCRONO ( n exiba u uv senão exiba ' cainho inexistente ' se ( n uv Por exeplo para o grafo da Figura a chaada BUSCA-SÍNCRONA ( 5 produz a saída 5... Busca Assíncrona de Cainhos Mínios Pode-se garantir que se te os custos de todos os cainhos ínios co até arestas sua extensão

4 síncrona te os custos de todos os cainhos ínios co até arestas. Essa propriedade é iportante quando precisaos encontrar cainhos ínios co até < n arestas. Poré quando estaos interessados e cainhos ínios co qualquer núero de arestas (i.e. até n arestas essa propriedade é desnecessária. De fato coo não há restrição quanto ao núero de arestas existentes no cainho ínio devolvido pela função BUSCA- SÍNCRONA ( podeos definir ua versão ais eficiente dessa função coo segue EXTENSÃO-ASSÍNCRONA ( n n para cada i [.. n] para cada j [.. n] para cada k [.. n] se ( ij > ik + kj 5 ij ik + kj ik kj 6 devolva Note que diferenteente de EXTENSÃO-SÍNCRONA ( a função EXTENSÃO-ASSÍNCRONA ( não faz ua cópia de. Logo a atualização de u eleento de pode afetar a atualização de eleentos inspecionados depois dele. Por exeplo considere a atualização da atriz transforada para o grafo da Figura. Após avaliar os cainhos e 5 a função de extensão assíncrona uda de para 5. E seguida após avaliar os cainhos e 5 ela uda de para 7. Por 0 fi após avaliar os cainhos e ela uda 5 de para 9 5. Coo veos a atualização do eleento não afeta a atualização do eleento ; as a atualização deste últio afeta a atualização do eleento 5. Assi podeos dizer que a atualização dos eleentos é assíncrona (elas ocorre e velocidades distintas enquanto e são atualizados co cainhos de arestas 5 é atualizado co u cainho de arestas. Tabé podeos ver que não é possível garantir que a atriz resultante da extensão assíncrona de tenha apenas cainhos ínios co no áxio arestas (coo seria o caso se a extensão fosse síncrona. Isso significa que o uso de extensões assíncronas pode diinuir o tepo necessário para coputação do ponto-fixo n (i.e. é possível alcançar o ponto-fixo co enos de O ( lg n extensões. Para constatar que o ponto-fixo foi obtido precisaos verificar se duas extensões assíncronas sucessivas produze a esa atriz coo resultado. Mas coo a coparação de atrizes é geralente ua operação uito deorada vaos usar a função definida a seguir PESO ( n n p 0 para cada i [.. n] para cada j [.. n] se ( ij 5 devolva p p p + ij Proposição. Duas extensões assíncronas sucessivas e são iguais se e só se PESO ( = Prova Claraente. não pode ser aior que pois a extensão assíncrona só atualiza eleentos co valores enores que aqueles que eles tê. Assi necessariaente teos PESO ( ou PESO ( = PESO (. Se PESO ( segue que. Senão se há apenas dois casos a se considerar (a =. Mas se = < < PESO ( PESO PESO ( = e (b e então o valor de algu eleento de diinuiu e e para copensar o valor de algu outro eleento de deve ter auentado e (o que é ua contradição pois a extensão assíncrona nunca auenta o valor de u eleento da atriz. Portanto o caso (a é ipossível e o caso (b é a única possibilidade. Usando a função de extensão assíncrona de cainhos ínios e a garantia da Proposição definios o seguinte algorito para busca de cainhos ínios CAMINHOS-MÍNIMOS-ASSÍNCRONO( n n p 0 TRANSFORMADA ( p PESO ( ( enquanto ( p p 5 6 p p 7 p PESO ( 8 9 n devolva EXTENSÃO-ASSÍNCRONA ( Por exeplo para o grafo da Figura as atrizes coputadas por CAMINHOS-MÍNIMOS-SÍNCRONO ( são exibidas na Figura 5 (a últia delas é dada coo resposta = = = Figura 5 Extensões assíncronas da atriz transforada. Finalente co base no conceito de extensão assíncrona de cainhos ínios definios a função BUSCA-ASSÍNCRONA ( u v n n n CAMINHOS-MÍNIMOS-ASSÍNCRONO ( n exiba u uv senão exiba ' cainho inexistente ' se ( n uv

5 Note que ebora o núero de extensões síncronas na Figura seja igual ao núero de extensões síncronas na Figura 5 o ponto-fixo é alcançado ais rapidaente quando usaos a extensão assíncrona (a segunda extensão assíncrona coputada já é o ponto-fixo. A nossa hipótese é que para grafos grandes a busca assíncrona é ais eficiente que a busca síncrona.. Resultados Epíricos Para verificar se de fato a busca assíncrona é ais eficiente para grafos grandes vários experientos fora realizados e diferentes cenários (usando o copilador Pelles C v rodando e ua áquina co Core i7 co.ghz e GB de eória. Nessa seção ostraos coo os grafos usados nos experientos fora gerados e analisaos os resultados obtidos e cada caso... Geração Autoática de Grafos Aleatórios Seja G = ( V A ω u grafo orientado coo definido na Seção. De acordo co as características da função + ω A R que apeia arestas e custos G pode ser classificado coo Grafo orientado assiétrico se ω ( u v ω ( v u para algu par de vértices u v V (Figura 6-a. Grafo orientado siétrico se ω ( u v = ω ( v u sepre que ( u v A e ( v u A (Figura 6-b. Grafo não-orientado se ω ( u v = ω ( v u para todo par de vértices u v V (Figura 6-c. Nesse caso as arestas ( u v e ( v u são consideradas idênticas. a (a grafo orientado assiétrico w u v b a a (b grafo orientado siétrico w u v (c grafo não-orientado Figura 6 Exeplos de diferentes tipos de grafos. U grafo copleto orientado (resp. não-orientado é u grafo que te µ = n ( n arestas (resp. µ = n ( n. Para u grafo G co arestas a razão d = µ é chaada densidade de G. Se d é u valor próxio de então G é u grafo denso; por outro lado se d é u valor ais próxio de 0 então G é esparso. Os diversos tipos de grafos usados nos experientos desse trabalho fora criados co as funções a seguir GRAFO-ORIENTADO-ASSIMÉTRICO ( n d para cada i [.. n] para cada j [.. n] se ( i = j 0 ij senão ij rand(99 r d n n // coloca todas as arestas possíveis 5 ( ( 6 enquanto ( r // reove r arestas para satisfazer d 7 i rand( n 8 j rand( n ( ij 9 se { 0 } 0 ij r r devolva w u v GRAFO-ORIENTADO-SIMÉTRICO ( n d para cada i [.. n] para cada j [ i.. n] se ( i = j 0 ij senão ij ji rand(99 r d n n // coloca todas as arestas possíveis 5 ( ( 6 enquanto ( r // reove r arestas para satisfazer d 7 i rand( n 8 j rand( n ( ij 9 se { 0 } 0 ij r r devolva GRAFO-NÃO-ORIENTADO ( n d para cada i [.. n] para cada j [ i.. n] se ( i = j 0 ij senão ij ji rand(99 r d n n // coloca todas as arestas possíveis 5 ( ( 6 enquanto ( r // reove r arestas para satisfazer d 7 i rand( n 8 j rand( n ( ij 9 se { 0 } 0 ij ji r r devolva.. Experiento I Busca Síncrona x Assíncrona O prieiro experiento teve coo objetivo coparar os tepos de execução dos algoritos de busca síncrona (descrito na literatura e assíncrona (proposto neste artigo considerando 0 grafos aleatórios não-orientados e copletos co núeros de vértices variando de 00 a 000 de 00 e 00. A Figura 7 apresenta as curvas para os tepos de execução dos algoritos coparados e tabé das funções de referência O ( n lg n e ( n. lg n O. Figura 7 Tepos das buscas síncrona e assíncrona. Analisando a Figura 7 constataos que a busca assíncrona é de fato ais eficiente que a busca síncrona. Por exeplo para o grafo co 000 vértices (dado por ua atriz co nove ilhões de posições a busca síncrona deorou 5.in enquanto a busca assíncrona deorou 0.8in ( 79.0% ais rápida. Adeais coparando-se as curvas dos tepos de execução co aquelas de referência observaos que o consuo de tepo da busca assíncrona (no intervalo considerado é liitado por ua função O ( n. lg n. Logo as udanças propostas pode ter reduzido a orde de coplexidade da busca.

6 .. Experiento II Confiração da Tendência O segundo experiento teve coo objetivo verificar se a tendência de consuo de tepo O. ( n lg n para a busca assíncrona observada no Experiento I se anté para grafos ainda aiores. Este experiento foi feito co 5 grafos aleatórios não-orientados e copletos co núeros de vértices variando de 00 a 500 de 00 e 00. A Figura 8 ostra os tepos de execução da busca assíncrona e a função de referência ( n. lg n O..5. Experiento IV Influência da Densidade O quarto experiento teve coo objetivo verificar se a densidade dos grafos processados te influência no desepenho do algorito de busca assíncrona. Esse experiento foi feito co 0 grafos aleatórios orientados e assiétricos cada u deles co 000 vértices co densidades variando de 0.05 a.00 de 0.05 e A Figura 0 ostra os tepos desse experiento. Figura 8 Tendência do tepo de busca assíncrona. Analisando a Figura 8 veos que a tendência observada no Experiento I é antida para grafos representados por atrizes co cerca de 0 ilhões ( de posições. Ebora esse resultado não garanta que a orde de coplexidade da busca assíncrona é enor que aquela da busca síncrona ele reforça esta conjectura... Experiento III Influência do Tipo de Grafo O terceiro experiento teve coo objetivo verificar se o tipo de grafo processado (i.e. orientado assiétrico orientado siétrico ou não-orientado te influência no desepenho da busca assíncrona. Esse experiento foi realizado co 0 grafos aleatórios copletos de cada tipo co núeros de vértices variando de 00 a 000 de 00 e 00. A Figura 9 ostra os tepos de execução da busca assíncrona e a função de referência ( n. lg n Figura 9 Influência do tipo de grafo. O. Analisando a Figura 9 constataos que o tipo de grafo processado não te influência significativa no desepenho do algorito de busca assíncrona. E todos os casos os tepos de execução para cada tipo de grafo fora praticaente os esos. Isso indica que a decisão de usar grafos aleatórios não-orientados nos dois experientos anteriores não afetou os resultados obtidos. Figura 0 Influência da densidade. Analisando a Figura 0 constataos que a densidade dos grafos afeta o desepenho da busca assíncrona. Poré ao contrário do que ocorre co outros algoritos de busca de cainhos e grafos (que e geral são ais eficientes para grafos esparsos o auento da densidade diinui o tepo da busca assíncrona. Por exeplo para o grafo co densidade igual a 0.05 a busca deorou 9.0s ; enquanto para o grafo co densidade igual a.00 ela deorou 9.s (ou seja apenas 65.7 % do tepo. 5. Conclusões Neste artigo propoos ua fora de odificar o algorito de busca síncrona de cainhos ínios e grafos visando auentar a sua eficiência co relação ao consuo de tepo. O algorito obtido a partir dessa odificação foi chaado de busca assíncrona. Abos os algoritos ipleentados e C estão disponíveis e Os resultados dos experientos realizados co os algoritos ipleentados confirara nossa conjectura de que a busca assíncrona é ais eficiente que a busca síncrona especialente quando os grafos processados são uito grandes (e.g. representados por atrizes co cerca de vinte ilhões de posições. E trabalhos futuros pretendeos investigar outras propriedades do algorito de busca assíncrona (alé da eficiência co relação ao consuo de tepo coo por exeplo consuo de eória e garantia de cainhos ínios co o enor núero possível de arestas. Referências Bibliográficas [] E. Lawler. Cobinatorial Optization Networks and Matroids. Holt Renehart and inston 976. [] R. Seidel. On the All-Pairs-Shortest-Path Proble. ACM Sy. on Theory of Cop [] T. H. Coren et al. Introduction to Algoriths rd Edition MIT Press Cabridge 00. [] B.. Kernighan; D. M. Ritchie. The C Prograing Language nd Edition Englewood Cliffs Prentice Hall New Jersey 988.