Uma Variável Booleana é uma variável com domínio {0,1} (ou, equivalentemente, {falso, verdadeiro}).

Transcrição

1 Ua Variável Booleana é ua variável co doínio {0,1} (ou, equivalenteente, {falso, verdadeiro}). Ua Fórula é ua ligação de variáveis através de conectivos lógicos, ou operadores. ex: F= x3 /\ (( x1/\ x2) \/ (x1 /\ x2)) F tabé pode ser representada coo ua árvore: x3 /\ /\ /\ x1 x2 x1 x2 Ua Valoração é ua função A : V {0,1}, onde V é o conjunto de variáveis de ua fórula (ua valoração é ua linha da tabela verdade da fórula) ex: {x1=0, x2=0, x3=0}, { x1=0, x2=0, x3=1}, etc U Modelo de ua fórula F é ua valoração das variáveis que satisfaz F, isto é, tal que F=1. No exeplo, F te dois odelos: {x1=0,x2=1,x3=0} e {x1=1,x2=0,x3=0} Problea (de decisão) SAT: Instância: Ua fórula F Pergunta: A fórula é satisfatível (ie, te (pelo enos u) odelo)? Se F possui u odelo, então F é dita SAT. Caso contrário, F é dita UNSAT. A fórula F de exeplo te dois odelos, e, logo, é SAT. A fórula F' = x1 /\ (x1 /\ x2 /\ x3) /\ (x2 \/ x3), por sua vez, é UNSAT Alguas aplicações do problea SAT: Prova de teorea P = Q se e soente se P Q é válida (ua tautologia) se e soente se P \/ Q te 2^n odelos sse ( P \/ Q) = P /\ Q é UNSAT (isto é, P /\ Q = 0 para toda valoração possível.) Verificação de circuitos Ua fórula co n variáveis é u circuito (lógico) co n entradas e ua saída. Por exeplo, seja A = ( x1 /\ x2) /\ (x3 \/ x4) e B = (x1 \/ x2) /\ ( x3 /\ x4) A e B são equivalentes se F=(A XOR B) (isto é, se F= ( A /\ B) \/ (A /\ B)) é UNSAT

2 F A B x1 x2 x3 x4 SAT é NP-Copleto Todo problea NP pode ser reduzido a SAT rapidaente (e tepo polinoial). Não se conhece algorito rápido (polinoial) para SAT. Se existir algu, P=NP. Notação: F[x] é a prograpação do literal x (isto é, de {x=1}) e F Se F = x1 /\ (x1 /\ x2 /\ x3) /\ (x2 \/ x3), F[x1] = 1 /\ (1 /\ x2 /\ x3) /\ (x2 \/ x3) = ( x2 /\ x3) /\ (x2 \/ x3). F[ x] é notação análoga {x=0}. F[A] é propagação de ua valoração e F: Se A = {x1=0,x2=1,x3=0}, então F[A] denota F[ x1][x2][ x3] Algoritos para SAT Força Bruta Para toda valoração A: Se F[A] = 1 Retorna SAT Retorna UNSAT Este algorito te coplexidade O(2^n * propagação) = O*(2^n) Sei-bruta Para alguas valorações A: Exeplo: Algorito GSAT Repita I vezes: A = valoração aleatória Repita K vezes: Escolha ua variável x da fórula Troque o valor de x e A // A(x) = 1-x Se F[A] = 1, retorne SAT Retorne UNSAT I e K são paraetros do prograa. Coplexidade: O(I*rand*K*propagação) = polinoial

3 O étodo é correto (se ele diz SAT, é porque a fórula de fato é SAT!) O étodo não é copleto (se ele diz UNSAT, F pode ainda ser SAT.). O algorito usa a ideia de busca local Se ua valoração quase satisfaz F, escolha ua variavel boa tal que ua valoração parecida tenha ais chances de satisfazer F! K K Algoritos corretos e copletos: Eficiencia (teórica) depende do forato da fórula! SAT Exponencial Não Clausal ("Vira lata") Linear SAT Exponencial "esperto" Exponencial SAT Linear Se F está e DNF, SAT é linear. F é UNSAT sse existe ua conjunção e que ua variável e sua negação aparece. A conversão de ua fórula para DNF é exponencial. Se F está e CNF, alguas técnicas espertas pode ser usadas. Transforar ua fórula para CNF é linear pela transforação de Tseitin. Transforação de Tsetin para CNF Colocar as negações apenas nas folhas, pela lei de DeMorgan; Renoear subfórulas e botto-up ( F = (x1 /\ x2) \/ [resto] ) é equivalente a ( F = y1 \/ [resto] /\ (y1 (x1 /\ x2) ) )

4 Exeplo: y1 x1 /\ x2 x2 /\ x3 x1 /\ x2 x2 x3 y1 <-> (x1 /\ x2) y1 x2 x3 y3 y1 <-> (x1 /\ x2) y2 <-> ( x2 \/ x3) y2 y1 y2 y3 y1 <-> (x1 /\ x2) y2 <-> ( x2 \/ x3) y3 <-> (y1 \/ y2) Se A e B são literais ou fórula já e CNF: y (A /\ B) => (y (A /\ B)) /\ ((A /\ B) y) => ( y \/ (A /\ B)) /\ ( (A /\ B) \/ y) => ( y \/ A) /\ ( y \/ B) /\ ( A \/ B \/ y) y (A \/ B) => (y (A \/ B)) /\ ((A \/ B) y) => ( y \/ (A \/ B)) /\ ( (A \/ B) \/ y) => ( y \/ A \/ B) /\ (( A /\ B) \/ y) => ( y \/ A \/ B) /\ ( A \/ y) /\ ( B \/ y) A fórula de exeplo, transforada, é: ( y1 \/ x1) /\ // y1 (x1 /\ x2) ( y1 \/ x2) /\ ( x1 \/ x2 \/ y1) /\ ( y2 \/ x2 \/ x3) /\ // y2 ( x2 \/ x3) (x2 \/ y2) /\ (x3 \/ y2) /\ ( y3 \/ y1 \/ y2) /\ // y3 (y1 \/ y2) ( y1 \/ y3) /\ ( y2 \/ y3) /\ y2 <-> ( x2 \/ x3) y1 <-> (x1 /\ x2) y3 <-> (y1 \/ y2) y3 y3 // y3 A transforação gera ua fórula co n+ variáveis e 1+3 cláusulas, sendo n () o núero de variáveis (de cláusulas) da fórula originial

5 DPLL: Algorito de backtracking para SAT DPLL(forula F) { f = siplifica(f); if (F == 0) retorna UNSAT; if (F == 1) retorna SAT; x = EscolheUaVariavelDeF(); F' = BCP(F,x); // F' = F[x] if (DPLL(F') == SAT) retorna SAT; F'' = BCP(F, x); // F'' = F[ x] if (DPLL(F'') == SAT) retorna SAT; retorna UNSAT; } O algorito escolhe ua variável, a troca por 1 e resolve o problea recursivaente. Se a fórula for UNSAT, troca-se a variável por 0 e o processo é repetido. Exeplo de árvore de busca do DPLL (se siplificações): ( x1 \/ x2) /\ (x2 \/ x3) /\ ( x1 \/ x2 \/ x3) /\ (x1 \/ x2 \/ x3) x1 x1 ( x2) /\ (x2 \/ x3) /\ (x2 \/ x3) (x2 \/ x3) /\ ( x2 \/ x3) x2 x2 x2 0 (x3) /\ ( x3) x3 x3 ( x3) x3 x A valoração pode ser obtida da pilha (ou de algua estrutura de dados própria). BCP (Boolean Constraint Propagation): Subrotina que, dados F e u literal (x ou x), retorna a propagação do literal e F (F[x] ou F[ x]). BCP(F, x) { Para cada cláusula C de F tq. x está e C F = Reova C de F Para cada cláusula C de F tq. x está e C F = Reova x de C retorna F }

6 Regras de siplificação: Cláusula unitária Se há ua cláusula de taanho 1, C=(l), então l pode ser propagado. Literal Puro Se x ocorre e x não ocorre, então x pode ser propagado (ou vice versa) E pseudo-codigo: siplifica(f) { enquanto F conté C = (l), C =1 ou F conté literal puro l { F = F[l]; } retorna F; } Heuristicas de raificação: Define qual variável ou literal é escolhido a cada passo. Ex: RAND() Bohn's Ideia: escolher variavel e cláusula pequena, para antecipar uso das regras das cláusuas unitárias. h_i(l) = nuero de clausulas que conte l de taanho i. H_i(x) = alfa*ax{h_i(x), h_i( x)} + beta*in{h_i(x), h_i( x)} Escolha x tal que <H_1(x)=0, H_2(x), H_3(x), etc> é (léxicograficaente) áxio sugestão: alfa =1, beta =2 favorece que ais aparece e cláusula de taanho 2 e caso de epate, favorece...de taaho 3 etc EX: ( x1 \/ x2) /\ (x2 \/ x3) /\ ( x1 \/ x2 \/ x3) /\ (x1 \/ x2 \/ x3) h_2( x1) = 1 h_2(x1) = 0 h_2(x2) = 1 h_2( x2) = 1 h_2(x3) = 1 h_2( x3) = 0 H_2(x1) = ax{0,1} + 2*in{0,1} = 1 H_2(x2) = ax{1,1} + 2*in{1,1} = 3 H_2(x3) = ax{1,0} + 2*in{1,0} = 1 x2 é escolhido MOM Escolha x que ais aparece nas cláusulas de taanho ínio Se a enor cláusula te taanho 2, escolhe a variável que ais aparece entre as de taanho 2 desepate aleatório ou por outra heuristica

7 No exeplo, as cláusulas de taanho 2 são ( x1 \/ x2) /\ (x2 \/ x3), e logo x2 é escolhido por aparecer ais nelas. (One sided) JEROSLOW-WANG Escolha literal l tal que J(l) = SOMA(l e C) 2^{- C } é áxia Quanto aior a cláusula, enor 2^- C Tende a escolher variavel e cláusulas pequenas Leva e conta o taanho de cada cláusula J(x1) = 2^-3 = 0,125 J( x1) = 2^-2 + 2^-3 = 0,375 J(x2) = 2^-2 + 2^-3 = 0,375 J( x2) = 2^-2 + 2^-3 = 0,375 J(x3) = 2^-2 = 0,25 J( x3) = 2^-3 + 2^-3 = 0,25 Escolhe qualquer u entre ( x1, x2, x2) Pode escolher x1 antes de x1 VSIDS Escolhe a variavel que ais ocorre na fórula. No exeplo, x1 ocorre 3 vezes, x2 ocorre 4 vezes, e x3 ocorre 3 vezes. x2 é escolhido Sugestão de estrutura de dados: Vetor de Vetores Manter u contador co o núero de cláusulas da fórula; Se C é reovida da fórula, clausulas--; Forula é SAT quando clausulas=0; Para cada cláusula, anter u contador co seu taanho: Se u literal é reovido da cláusula C, taanho[c]--; Se taanho[c]=1, C é cláusula unitária Se taanho[c]=0, F é UNSAT Manter a quantidade de ocorrências de cada variável Exeplo: ( x1 \/ x2) /\ (x2 \/ x3) /\ ( x1 \/ x2 \/ x3) /\ (x1 \/ x2 \/ x3) /\ (x4 \/ x5 \/ x1) F = [[-1, -2], [2, 3], [-1, 2, -3], [1, -2, -3], [4,5,-1] ] ta: [ 2, 2, 3, 3, 3 ] clausulas: 5 occ: [[3,1], [2, 2], [2, 1], [0,1], [0,1]] Problea: Para anter a estrutura, passa-se por todas as cláusulas sepre, eso as que não te relação co as que torna a fórula UNSAT. Literais Vigiados: E cada cláusula, coloca-se ponteiros e dois literais não valorados Quando valora u, procura outro não valorado para anter o ponteiro

8 Ex: x7=1 x15= 0 nada uda! x11=0 nada uda! x12= 0 x1 = 1 Esquea geral de ponteiros: Aprendizado: Obté características de cainhos ruins para evitar cainhos seelhantes no futuro. Definições: Nível de decisão de ua variável: Nivel da árvore de busca e que ua variável foi valorada As regras de siplificações não altera o nível de decisão. Variável decidida: escolhida pelo DPLL Variável iplicada: valorada por regra de siplificação

9 Grafo de iplicações: Vértice: x = v@n, sendo x ua variável, v u valor verdade, e n u nível de decisão Arco: Indica iplicações por regras de siplificação. Ex: C7 = (x1 \/ x2 \/ x3) x1=0@2 C7 x2=0@4 Conflito: Vértice que indica ua cláusula vazia (e, logo, UNSAT) C7 x3=1@4 C8 = (x5 \/ x6) x5=0@5 x6=0@5 C8 C8 k Doinante: Ua barreira : Conjunto de vértices do grafo tal que todo cainho inverso de k (u conflito) a ua variável decidida (ua folha ) conté u vértice do conjunto. Ex (do artigo): F = w1 /\ w2 /\ w3 /\ w4 /\ w5 /\ w6 = (x1 \/ x31 \/ x2) /\ (x1 \/ x3) /\ (x2 \/ x3 \/ x4) /\ ( x4 \/ x5) /\ (x21 \/ x4 /\ x6) /\ (x5 \/ x6) Doinantes: ( {x4=1, x21=0}, {x21=0, x1=0, x31=0}, etc ) Pode-se aprender (isto é, anexar à fórula) ua nova cláusula co a negeção cada doinante encontrado, indicando que a valoração naquele doinante não pode se repetir. Ex: Considerando o doinante {x4=1, x21=0}, pode-se aprender (x4 /\ x21) = ( x4 \/ x21).

10 Co o aprendizado de cláusulas, a fórula se torna dinâica. Pode-se fazer retrocesso não cronológico (backjuping): voltar no tepo (no aior nível de decisão do doinante considerado, exceto o últio) para possivelente seguir outro cainho. Ua fórula e 2-CNF é ua fórula e que cada cláusula te no áxio 2 literais. Problea 2-SAT: Problea SAT, onde a fórula de entrada está e 2-CNF. Pode ser resolvido e tepo linear: F = propagacaounitaria(f) //Aplicar cláusula unitária até não dar ais Se F =0, a fórula é UNSAT Agora, toda cláusula te taanho = 2 Se teos (A \/ B), então é verdade que ( A B) /\ ( B A). Grafo de iplicações ( não confundir co o anterior) Vértice: u literal Arco: indica iplicação, coo apresentado acia. Ex: F = ( x1 \/ x2) /\ ( x2 \/ x1) /\ (x1 \/ x3) x1 x3 x2 x2 x3 x1 Ua fórula é UNSAT se e soente se existe variavel x tal que x x e x x. Neste grafo, teos os cainhos: x1 x1 Por isso, x1 deve ser valorado co 0 (falso) x3 x3 Por isso, x3 deve ser valorado co 0 (falso) O valor de x2 é obtido de acordo co o grafo Ex. 2: F = ( x1 \/ x2) /\ ( x2 \/ x1) /\ (x1 \/ x3) /\ (x3 \/ x1) x1 x3 x2 x2 x3 x1

11 Há u cainho x x1 e há o cainho x1 x1. Logo, a fórula é UNSAT (independenteente das deais variáveis) U algorito linear copleto: 2SAT(forula F) { F = propagacaounitaria(f); se F = 0, retorne UNSAT; G = grafodeiplicações(f); Use o algorito de Tarjan ou o algorito de Kosaraju para encontrar as Coponentes Forteente Conexas (CFCs) de G; Se existe variável x tal que x e x estão na esa CFC, retorna UNSAT /* A fórula é SAT. Vaos obter a valoração */ Seja S = (S0,...,Sk) as CFCs de G e orde topológica inversa Para cada Si e S: Para cada literal l ainda não valorado e Si: Valore l coo falso (0) retorne SAT; } Pratique: HORN-SAT Cláusula de Horn: Conté no áxio u literal positivo. Ex: (x1 \/ x2 \/ x5) ( x3 \/ x2 \/ x4) Problea HORN-SAT: Problea SAT, onde a fórula te apenas cláusulas de Horn Algorito siples: F = propagacaounitaria(f) se F = 0, retorna UNSAT senão, retorna SAT // {xi = 0, para toda variável xi} satisfaz F. Problea (de otiização) MaxSAT: Instância: Fórula F e CNF Resposta: Valoração que axiiza o núero de cláusulas de F satisfeitas F = (x1) /\ ( x1 \/ x2) /\ ( x1 \/ x2) é UNSAT, as A={x1=0, x2=0} satisfaz 2 cláusulas. Problea WaxSAT: Instância: F, W : F Z+ (cada cláusula te u peso) Resposta: Valoração que axiiza a soa dos pesos das cláusulas satisfeitas

12 Ex: F = (x1, 13) /\ ( x1 \/ x2, 3) /\ ( x1 \/ x2, 1) A={x1=0, x2=0} soa: 4 (rui) A'={x1=1, x2=0} soa: 16 (ótio) Problea PWMaxSAT: Instância: F, W : F Z+ U {T} Cláusulas co peso T são ditas hard Cláusulas co peso e Z+ são ditas soft Resposta: Valoração que satisfaz todas as cláusulas hard E axiiza a soa dos pesos das cláusulas soft satisfeitas. (x1, 13) /\ ( x1 \/ x2, 3) /\ ( x1 \/ x2, T) A={x1=0, x2=0} soa: 3 (rui) A'={x1=1, x2=0} soa: 16 (bo, as não satisfaz ua hard. Logo, não é solução.) A''={x1=1, x2=1} soa: 13 (ótio) Possível aplicação: Reduções de probleas e grafos. Redução de MaxClique para PWMaxSAT v1 v2 v3 v4 v5 v6 Associa-se ua variável booleana xi a cada vértice vi do grafo xi=1 na valoração buscada se e soente se o vértice vi está na clique buscada Cria-se ua cláusula unitária (xi, 1) para cada variável xi e ua cláusula hard ( xi \/ xj, T) para cada aresta {xi,xj} que não está no grafo. No exeplo: F= (x1, 1) /\ (x2, 1) /\ /\ (x6, 1) /\ ( x1 \/ x4, T) /\ ( x1 \/ x5, T) /\ ( x1 \/ x6, T) /\ ( x3 \/ x4, T) /\ ( x4 \/ x6, T) Outros probleas co reduções eficientes: MaxCUT, TSP, SteinerTree, MinVertexCover; etc

13 Maneiras de resolver (PW)MaxSAT: 1. DPLL coo Branch and Bound Miniiza a soa dos pesos das cláusulas soft não satisfeitas (vazias) Percorre o espaço de busca coo o DPLL Guarda a elhor solução já encontrada Corta: Se a solução atual é pior que a já encontrada Por estiativas heurísticas Heurísticas e ais heurísticas 2. Busca Lexicográfica / SAT-Pr Dada ua valoração, seja B=(b(-1),...,b1,b0) a representação binária da soa dos pesos das cláusulas soft satisfeitas. Contrói-se ua fórula representando este circuito: b(-1) b1 b0 C C C Se Fc /\ b(-1) /\ Fh é SAT, então fixa-se b(-1) = 1; senão, fixa-se b(-1) = 0; Se Fc /\ b(-2) /\ Fh é SAT, então fixa-se b(-2) = 1; senão, fixa-se b(-2) = 0; Se Fc /\ b0 /\ Fh é SAT, então fixa-se b0 = 1; senão, fixa-se b0 = 0. Ao final do processo, os valores fixados e (b(-1),...,b1,b0) terão a representação binária do valor da solução ótia. 3. Fu & Malik / UNSATCores (para MaxSAT) Idéia: É SAT co cláusulas? Se não, é SAT co -1 cláusulas? etc Seja Ci ua cláusula. Seu ascaraento consiste na adição de ua nova variável bi à cláusula. Se ua dada valoração não satisfaz Ci, basta valorar bi=1 para que Ci \/ bi seja satisfeito (reovendo-se assi a necessidade de satisfazer Ci). Apenas ua cláusula pode se tornar desnecessária a cada passo do algorito.

14 Idéia do algorito: k=0; While (1) { Se F é SAT, retorna -k; Para cada Ci de /*u UNSATCORE de */ F: (1) Ci = Ci /\ bi // bi é ua variável nova (2) F = F /\ (Soa(bi)=1) // Soa(bi)=1 é u circuito co saida 1 se e soente sese o nuero de variaveis bi verdadeiras é igual a 1. k++; } UNSATCore: subconjunto das cláusulas de F (possivelente todas elas) cuja conjunção é UNSAT. Basta ascarar apenas cláusulas de UNSATCores.