Algoritimos e Estruturas de Dados III CIC210. Conteúdo. Seção Notas. Notas. Programação Dinâmica. Haroldo Gambini Santos. 3 de setembro de 2009.

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1 Algoritios e Estruturas de Dados III CIC210 Prograação Dinâica Haroldo Gabini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 3 de setebro de 2009 Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 1/16 Conteúdo 1 Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 2/16 Seção 1

2 Núeros de Fibonacci Relação de Recorrência F (n 1) + F (n 2) se n>1 F (n) = 0 se n=0 1 se n=1 {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...} Aplicações Biologia, Deograa Arquitetura, Música... Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 3/16 Núeros de Fibonacci U Algorito Siples função fibonacci( n ) se n < 2 então retorne n; senão retorne fibonacci ( n 1 ) + fibonacci ( n 2 ); Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 4/16 Núeros de Fibonacci Fn Fn 1 Fn 2 Fn 2 Fn 3 Fn 3 Fn 4 Fn 3 Fn 4 Fn 4 Fn 5 Fn 4 Fn 5 Fn 5 Fn 6 Coplexidade Exponencial! Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 5/16

3 Núeros de Fibonacci Calculando e O(n) função fibonacci( n ) anterior = 0; corrente = 0; se n < 2 então retorne n; senão para i = 1 até n 1 faça novo = anterior + corrente; anterior = corrente; corrente = novo; retorne corrente; Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 6/16 Prograação Dinâica Estratégia Botto Up Casos enores são inicialente calculados Resultados são arazenados (usualente e ua tabela) Cálculos subseqüentes utiliza valores pré-calculados Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 7/16 Prograação Dinâica Estratégia Top Down Utiliza étodos recursivos Métodos recursivos são instruentados para salvar e reutilizar resultados pré-calculados Meoização Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 8/16

4 Prograação Dinâica Aplicabilidade e probleas co: Sub-estruturas ótias A solução ótia para u deterinado problea pode ser obtida cobinando-se soluções ótias dos seus sub-probleas Sub-probleas sobrepostos Necessidade dos esos probleas sere resolvidos uitas vezes Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 9/16 DC PD Divisão e Conquista Eciente quando subprobleas são independentes Alguns subprobleas pode ser resolvidos uitas vezes Prograação Dinâica Apropriado quando subprobleas copartilha subprobleas Cada subproblea é resolvido soente ua vez Resultados são arazenados Troca-se eória por tepo de processaento Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 10/16 O Problea da Mochila Exeplo ite A B C D E taanho lucro Mochila co capacidade 17 Soluções de lucro ótio Valor ótio: 24 D E A C C A A B C A A A B B Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 11/16

5 O Problea da Mochila Ipleentação Recursiva função ochila( cap, n, taanho, lucro ) lucromax = 0; para i = 1 até n faça espaco = cap taanho[i]; se espaco 0 então lucrocoite = ochila(espaco, n, taanho, lucro) + lucro[i]; se lucrocoite > lucromax então lucromax = lucrocoite; retorna lucromax ; Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 12/16 O Problea da Mochila Ipleentação co Prograação Dinâica - Meoização 1 lucromaxcap[c] = desconhecido c; 2 função ochila( cap, n, taanho, lucro ) 3 lucromax = 0; 4 se lucromaxcap[cap] desconhecido então 5 retorna lucromaxcap[cap]; 6 senão 7 para i = 1 até n faça 8 espaco = cap taanho[i]; 9 se espaco 0 então 10 lucrocoite = ochila(espaco, n, taanho, lucro) + lucro[i]; 11 se lucrocoite > lucromax então 12 lucromax = lucrocoite; lucromaxcap[cap] = lucromax ; retorna lucromax ; Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 13/16 O Problea da Mochila Ipleentação co Prograação Dinâica - Botto Up 1 função ochila( cap, n, taanho, lucro ) 2 lucromaxcap[0] = 0; 3 para c = 1 até cap faça 4 lucromaxcap[c] = 0; 5 para i = 1 até n faça 6 se (taanho[i] c) então 7 caprestante = c taanho[i]; 8 lucrocoite = lucromaxcap[caprestante] + lucro[i]; 9 se (lucrocoite > lucromaxcap[c]) então 10 lucromaxcap[c] = lucrocoite; retorna lucromaxcap[cap]; Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 14/16

6 O Problea da Mochila - Função Recursiva Dados Ites i = {1,..., n} peso p i lucro l i Função M(p) áxio de lucro que pode ser obtido co ochila de capacidade p M(p) = ax i:p i p {M(p p i) + l i } Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 15/16 O Problea da Mochila se Repetições Função Consideração adicional: U dado ite j será incluso ou não na solução? M(p, j) = ax{ M(p p i, j 1) + l i, M(p, j 1) } Máxio de lucro que pode ser obtido COM ou SEM a inserção do ite j. Haroldo Gabini Santos Prograação Dinâica 16/16