Luciano Lessa Lorenzoni (FAESA) Hannu Tapio Ahonen (UFES) Arlindo Gomes de Alvarenga (UFES)

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1 U algorito híbrido baseado e colônia de forigas e recoziento siulado para probleas de escalonaento co restrição de recursos e últiplos odos de processaento Luciano Lessa Lorenzoni (FAESA) luciano@faesa.br Hannu Tapio Ahonen (UFES) hannu@inf.ufes.br Arlindo Goes de Alvarenga (UFES) agoes@inf.ufes.br Resuo Neste artigo apresentaos u étodo híbrido cobinando colônia de forigas e recoziento siulado para a resolução do problea de escalonaento co restrição de recursos e últiplos odos de processaento. Neste problea de escalonaento as tarefas são não preeptivas, pode ser executadas de diferentes odos e relações de precedência entre as tarefas pode existir. O problea consiste e identificar o odo e o tepo de início de processaento de cada tarefa e te coo obetivo iniizar o aior tepo de finalização dentre todas as tarefas, de fora que as restrições de recurso e de precedência sea satisfeitas. O algorito ipleentado foi testado utilizando instâncias padrões do problea geradas pelo ProGen. Os resultados coputacionais obtidos ostra u bo desepenho do algorito e coprova a eficácia da cobinação dos étodos. Palavras-chave: Problea de escalonaento co restrição de recursos e últiplos odos de processaento; Colônia de Forigas, Recoziento Siulado. 1. Introdução O problea de escalonaento está associado à alocação de recursos a u conunto de tarefas nu dado tepo. Escalonar significa designar recursos para a execução das tarefas até que todas tenha sido executadas sob as restrições ipostas co o obetivo de iniizar o copriento do escalonaento (tepo de processaento das tarefas) ou u outro critério estabelecido no contexto do problea (BLAZEWICZ ET AL., 1996). Aplicações desse problea surge e diversas situações do undo real tais coo no planeaento da produção, no gerenciaento de filas de navio no coplexo portuário, no gerenciaento de proetos, na definição de linhas de ontage e na elaboração de escalas de trabalhadores. Os probleas de escalonaento são classificados de acordo co os tipos dos recursos existentes, das características das tarefas a sere executadas e do obetivo a ser alcançado. Ua descrição dos principais odelos existentes pode ser encontrada e Blazewicz et al. (1996). E geral, os probleas de escalonaento são considerados NP-Dif'íceis e as abordagens utilizadas para a resolução dos odelos propostos tê sido elaboradas por eio de étodos de relaxação, algoritos enuerativos e algoritos heurísticos. O foco desse trabalho é o escalonaento co restrição de recursos e últiplos odos de processaento 1

2 que é considerado u dos odelos ais coplexo e, reconhecidaente NP-Difícil confore Blazewicz et al. (1983), sendo a sua resolução u desafio dada a sua coplexidade. Este artigo está organizado da seguinte fora. O problea de escalonaento é foralizado na seção 2. Na seção 3 descreveos o étodo híbrido baseado nas etasheurísticas colônia de forigas e recoziento siulado. Os experientos coputacionais são apresentados na seção 4 e finalente, na seção 5, as conclusões. 2. Escalonaento co restrição de recursos e últiplos odos de processaento No problea clássico de escalonaento co restrição de recursos co últiplos odos de processaento, u conunto de tarefas te que ser escalonado co o obetivo de iniiza dentre todas as tarefas, o aior tepo de finalização de execução das tarefas, de tal fora que satisfaça as relações de precedências entre as tarefas e as restrições de capacidade de todos os recursos. Dessa fora, ua instância do problea de escalonaento co restrição de recursos co últiplos odos de processaento consiste de u conunto de tarefas ou obs J, u conunto de Recursos R = R ren R nren, onde R ren conté os recursos renováveis e R nren os não renováveis. Ua quantidade constante c r do recurso r R está disponível. Caso o recurso r sea renovável essa quantidade está disponível e qualquer oento e caso sea não renovável essa quantidade está disponível para toda a execução do escalonaento. Para cada tarefa J, u conunto M indica os diversos odos de processaento de, p, corresponde ao tepo de processaento da tarefa, utilizando o recurso caso sea executada no odo de processaento M e q, indica a quantidade de recurso utilizada para processar, no odo. Ua relação binária «define ua orde parcial e J, indicando as precedências entre as tarefas. Assuireos o odelo não-preeptivo, ou sea, ua vez que a execução da tarefa tenha sido iniciada, não haverá interrupção e tabé não poderá haver troca do odo de processaento selecionado durante a execução da tarefa. O problea é encontrar o tepo de início de processaento t e o odo de processaento M para cada J, de odo a iniizar o aior tepo de finalização - C, dentre todas as tarefas, satisfazendo tanto as restrições de recursos (renováveis e nãorenováveis) coo as relações de precedência. Nua apresentação ais foral do problea, nós consideraos coo variáveis de decisão, alé do tepo de início de processaento t, J, as variáveis binárias do tipo zero-u y,, M, J, para as quais o valor u indica que o odo foi o selecionado para a execução da tarefa. Coo ua abreviação, denotaos o conunto de tarefas usando o recurso r R ren, nu dado instante t Ν, coo U(t) = { J t t < t + y p }. M,, 2

3 O problea agora pode ser escrito da seguinte fora: Miniizar C ax, (1) sueito a C ax = ax { C = t + y, ax p, }, (2) T M r U ( t) M y, q, c r ren r R e t Ν (3) T M y, q, c r nren r R, (4) M y, =1 J, (5) t + M y p t, ax, r, J, co «. (6) y, {0,1} M, J e (7) t Ν, J. (8) As desigualdades expressas e (3) e (4) estabelece as restrições de recursos renováveis e não renováveis, respectivaente. As equações (5) indica que exataente u dos odos de execução disponíveis da tarefa J deve ser selecionado para cada J. As relações de precedência expressas e (6) estipula que a execução da tarefa não pode ser iniciada antes que todos os seus predecessores tenha sido executados. 3. Método Híbrido Colônia de Forigas + Recoziento Siulado 3.1 Colônia de Forigas A eta-heurística Colônia de Forigas (CF) foi proposta por Dorigo et al. (1991) e Dorigo (1992) coo ua abordage ulti-agente para a resolução de probleas de otiização cobinatória. Cada foriga constrói ua solução ovendo-se através de ua seqüência finita de estados sucessivos. Os ovientos são selecionados a partir da regra de transição de estados que se baseia na eória da foriga e na quantidade de feroônio acuulada nas trilhas. O que se observa é que pontos que não fora uito visitados no início serão enos ainda co o passar do tepo. Para se evitar ua rápida convergência de todas as forigas e direção a esa região do espaço de busca, ua coponente probabilística e u ecaniso de evaporação pode ser incorporados à política que define a transição de estados. O nível de estocasticidade e a quantidade de feroônio acuulada deterinará o balanceaento entre a 3

4 exploração de novos cainhos no espaço de busca e o aprofundaento dos elhores cainhos encontrados. As decisões sobre quando as forigas deve espalhar o feroônio no abiente e o quanto de feroônio deve ser depositado depende das características do problea e do proeto de ipleentação. As forigas pode espalhar feroônio durante a construção da solução, assi cada vez que u novo estado é selecionado, o feroônio associado à transição pode ser atualizado (atualização local) e/ou, quando todas as forigas tivere gerado ua solução copleta, as transições associadas aos estados percorridos pela foriga que gerou a elhor solução, tabé pode ter os seus feroônios atualizados (atualização global). E geral, a quantidade de feroônio depositada é proporcional a qualidade da solução que foi construída (ou que está e construção). Ua descrição ais detalhada da eta-heurística colônia de forigas pode ser encontrada e Corne et al. (1999). A Figura 1 exibe, e sua fora geral, a estrutura do algorito. Algorito Colônia de Forigas; Repita Criar as forigas e posicionar cada ua nu estado inicial; Repita Para cada foriga Faça Aplicar a regra de transição de estado para increentalente construir ua solução; Aplicar a regra de atualização local do feroônio; Fi Para; Até que todas as forigas tenha construído ua solução copleta; Gerar o escalonaento associado a cada ua das forigas; Aplicar a regra de atualização global do feroônio; Guardar a elhor solução encontrada até o oento; Até que o critério de parada sea satisfeito; Fi. Figura 1 - Pseudocódigo da eta-heurística colônia de forigas Para a ipleentação específica do problea de escalonaento consideraos o grafo de transição G = (V,A) onde cada nó e V é designado por u par (, ), onde J e é u dos possíveis eleentos do conunto dos odos de processaento M associado à tarefa e o conunto A de arcos é definido coo: A = {((,), (, )) não precede e não existe tal que ««;,, J}. A cada arco teos associado o valor do feroônio τ((,), (, )) que avalia o deseo da inclusão do arco na coposição do escalonaento e, inicialente, nf forigas são posicionadas e nós, selecionados ao acaso, dentre aqueles cuas tarefas associadas não tê predecessores. Cada foriga constrói ua orde de seqüenciaento das tarefas utilizando a regra de transição de estados. Regra de transição de estados 4

5 XXVI ENEGEP - Fortaleza, CE, Brasil, 9 a 11 de Outubro de 2006 Suponha que no estado s, a foriga k tenha escolhido ua tarefa e u odo de processaento. Sea E k () o conunto de tarefas, ainda não executadas, cuas tarefas predecessoras á fora executadas. Calcule para cada tarefa E k () e para cada odo de processaento M a probabilidade do nó (',') ser a próxia escolha feita pela foriga k. No cálculo da probabilidade considera-se tanto a inforação fornecida pelo feroônio, coo ua inforação heurística, denotada por (, ). O cálculo da probabilidade pode ser feito coo ostrado a seguir. ω ((, ),(, )) (', ), ' Ek () p = ((,),(', )) (', ) k ((,),(', )) ' Ek () 0, c. c. onde e β são os parâetros que indica a iportância relativa entre o feroônio e a inforação heurística. Neste trabalho propoos considerar coo inforação heurística, alé do tepo de processaento da tarefa, o consuo dos recursos. A regra de transição de estados é ipleentada de fora a periti não só, a exploração dos elhores arcos, as tabé, a exploração de novos arcos, através de ua seleção randôica. A exploração de novos arcos possibilita a diversificação do processo de busca. A Figura 2 ostra o algorito da regra de transição de estado pseudorandôica, onde q 0 é u parâetro. Procediento Regra-Transição-Estado; Selecionar randoicaente q [0,1]; Se q q 0 Então // seleção gulosa - intensificação Selecionar a tarefa E k () e o odo dr( ) co aior valor para τ((,), (, )) η((, )) β ; Senão // exploração de novos arcos - diversificação Selecionar E k () e o odo de acordo co a roleta de probabilidades p k ((,), (,)); Fi; (9) Figura 2: Pseudocódigo da regra de transição de estado pseudorandôica. Na ipleentação do algorito tereos tanto a atualização global coo a local. As regras de atualização são descritas a seguir. Regra de atualização global Ua vez que todas as forigas tenha construído ua solução copleta, o feroônio dos arcos que faze parte da elhor solução encontrada são atualizados confore a expressão τ((,), (, )) = (1 - α) τ((,), (, )) + α τ((,), (, )), onde: τ((,), (, )) = 1/C gl, se ((,), (, )) S I * 0, caso contrário. 5

6 Aqui α (0,1) é o parâetro de evaporação global do feroônio e C gl é o tepo de finalização do elhor escalonaento encontrado até o oento e S I * é o conunto de arcos. Regra de atualização local E cada etapa da construção da solução atualiza-se o feroônio do arco visitado de acordo co a expressão: τ(,), (,)) = (1 - ρ) τ((,), (, )) + ρ τ((,), (, )), onde τ((,),(, )) = τ 0, sendo τ 0 u valor inicial do nível do feroônio e ρ (0,1) o parâetro de evaporação local do feroônio. O algorito foi aperfeiçoado co a inclusão de duas rotinas introduzidas por Sprecher et al. (1997) denoinadas Pré-Processaento e Busca Local Multi-Mode Left Shift. O préprocessaento reduz o espaço de busca, diinuindo o núero de soluções viáveis e inviáveis da população, se, contudo, afetar o conunto de soluções ótias, pela eliinação dos odos não executáveis, ineficientes e dos recursos não-renováveis redundantes, á o étodo de busca local ulti-ode left shift é baseado na definição ulti-ode left shift. U ulti-ode left shift de ua tarefa é ua ação executada sobre o escalonaento que reduz o tepo de finalização da tarefa se odificar os odos de processaento, se auentar os tepos de finalizações das outras tarefas e se violar as restrições de recursos. O resultado é u escalonaento co duração igual ou enor ao original. 3.2 Recoziento Siulado O Recoziento Siulado, ua tradução para Siulated Annealing, é u étodo de busca local proposto independenteente por Kirkpatrick et al. (1983) e Cerny (1985) e está baseado na siulação algorítica do processo físico de têpera dos ateriais. O étodo do Recoziento Siulado parte de ua solução inicial S 0 e atribui ao parâetro de controle teperatura T u valor T 0 alto. A teperatura é então reduzida lentaente, T = α r T, α r [0.8,0.99), de odo que o equilíbrio térico sea atingido e cada etapa, até que u valor pequeno de T sea atingido. Considera-se que o equilíbrio térico foi atingido quando u certo núero de configurações L fore aceitas ou nenhua elhoria ocorreu após V tentativas. Durante o processo para se atingir o equilíbrio térico novas soluções vizinhas S' são geradas a partir de S por eio de ua perturbação e S, que pode ser a substituição de u odo de processaento ou a troca de posição entre duas tarefas. No nosso caso, utilizaos a estrutura usada por Bouleien & Lecocq (2003) para a geração de S'. U novo estado S' 'e aceito coo ua nova solução se tiver u elhor custo que o estado S ou, se eso tendo u custo pio o valor exp( ), co = C T ax (S') C ax (S), for aior que u núero gerado aleatoriaente entre zero e u. À edida que T se aproxia de zero ais udanças indeseáveis são reeitadas. No início do processo é necessário a teperatura relativaente alta para evitar o bloqueio nas configurações co ótio local. Ua descrição ais detalhada da eta-heurística Recoziento Siulado pode ser encontrada e Eglese (1990). 6

7 3.3 Aplicação do étodo híbrido CF + RS ao problea O uso de busca local acoplada ao algorito CF pode ser bastante interessante por sere abordagens copleentares. De fato o algorito CF pode executar ua busca superficial no espaço de busca. As soluções produzidas pelo algorito CF pode ser então otiizadas por u algorito de busca local. Por outro lado, gerar soluções iniciais para os algoritos de busca local não é ua tarefa fácil. Os étodos de busca local cua solução inicial é gerada randoicaente para uitos probleas não te se ostrado eficiente. Na prática, CF cobina coponentes das soluções que são parte das elhores soluções encontradas até o oento co o intuito de gerar novas e proissoras soluções iniciais para os algoritos de busca local. Experientalente, te-se verificado que a cobinação de heurísticas construtivas co étodos de busca local pode produzir bons resultados (GAMBARDELLA & DORIGO, 2000). O Recoziento Siulado é aplicado ao final do algorito, tendo coo solução inicial a elhor solução construída pelas forigas. Ao incorporaros essa rotina ao algorito, construíos u étodo híbrido coposto por duas fases. Na prieira fase o obetivo é construir ua "boa" solução que sirva coo ponto de partida para a segunda fase cuo obetivo é intensificar a busca e torno da solução obtida na prieira fase. 4. Experientos coputacionais O algorito foi codificado e Pascal e executado nu coputador pessoal Pentiu 1 GHZ tendo coo base de testes, as 536 instâncias de probleas contidas na classe J10 da PSPLIB, proect scheduling proble library, desenvolvida por Kolisch & Sprecher (1997). A rotina RS teve coo solução inicial a elhor solução encontrada pelas forigas após 4000 escalonaentos sere avaliados, restando 2000 escalonaentos para a execução da busca local. Após os testes de paraetrização do algorito, fixaos nf = 3, ω = 1, β = 2, α = ρ = 1 e q o = α r = 0.9, V = 70, T o = 15 e L = 50. Co a inclusão da rotina RS, o algorito obteve ua elhora bastante significativa no seu desepenho, o desvio édio foi reduzido e 40% e o núero de soluções ótias encontradas cresceu 45%, o que coprova a eficácia da cobinação dos étodos. Os resultados obtidos fora coparados co os resultados de três estratégias relatadas e Hartann (2001) que fixa coo critério de parada a avaliação de 6000 escalonaentos. Os critérios de coparação adotados fora, desvio édio, desvio áxio, soluções viáveis e soluções ótias, todos expressos e percentage. O desvio édio corresponde à édia do desvio para todas as instâncias da classe J10 e o desvio áxio corresponde ao aior desvio dentre todas as instâncias. Já soluções viáveis e soluções ótias corresponde, respectivaente, a percentage de instâncias e que se encontrou ao enos ua solução viável e a percentage de instâncias que atingira a solução ótia. Os resultados exibidos na Tabela 1 ostra que o algorito CF+RS supera os algoritos propostos por Kolisch & Drexl (busca local) e Ozdaar (Algortio Genético) sendo inferior apenas ao de Hartann (Algorito Genético). Heurística Desvio Médio (%) Viáveis (%) Ótias (%) 7

8 Hartann CF+RS Kolisch & Drexl Ozdaar Tabela 1 - Coparação entre as abordagens - J escalonaento U copleto detalhaento de todos os experientos coputacionais realizados pode ser encontrado e Lorenzoni (2003). 5. Conclusões Neste artigo ua ipleentação híbrida das abordagens colônia de forigas e recoziento siulado para o problea de escalonaento co restrição de recursos co últiplos odos de processaento foi apresentada. Na estratégia desenvolvida a utilização do conheciento específico do problea foi crucial para a obtenção de elhores resultados. O conheciento do problea no caso do algorito Colônia de Forigas foi inserido e teros da regra de transição de estados, ais especificaente, na avaliação heurística, considerando o consuo de recursos não renováveis. Essa estratégia peritiu reduzir significativaente o desvio édio e auentar o núero de soluções viáveis encontradas. Os resultados obtidos co o étodo híbrido atesta a eficiência da rotina de intensificação aplicada a ua solução inicial de qualidade, pois o núero de soluções ótias e o desvio édio elhora significativaente. Destacaos que este trabalho está inserido nu proeto de pesquisa ais aplo que visa o desenvolviento de algoritos para probleas de escalonaento no contexto portuário, ais especificaente no gerenciaento de filas de navios e no fechaento de contratos de afretaento, onde as tarefas são as solicitações de atracaento dos navios de carga e os recursos são os berços de atracação e os canais de acesso. 8 Referências BLAZEWICZ, J.J.; LENSTRA, J.K. & RINNOOY KAN, A.H.G. Scheduling proects subect to resource constraints: classification and coplexity. Discrete Applied Matheatics 5, 11-24, BLAZEWICZ, J.J., ECKER, K. H., PESCH, E., SCHMIDT, G. & WEGLARZ, J. Scheduling Coputer and Manufacturing Processes. Springer Verlag, BOULEIMEN, K. & LECOCQ, H. A new efficient siulated annealing algorith for the resourceconstrained proect scheduling proble. European Journal of Operational Research 149, , CERNY, V. Therodynaical approach to the traveling salesan proble: An efficient siulation algorith, Journal of Optiisation Theory and Applications, 45, 41-51, CORNE, D., DORIGO, M., GLOVER, F. New Ideas in Optiization, McGraw-Hill, DORIGO, M., MANIEZZO, V. & COLORNI, A. Positive feedback as a search strategy. Technical Report , Dipartaento di Elettronica, Politecnico di Milano, IT, DORIGO, M. Optiization, Learning and Natural Algoriths. PhD thesis, Dipartaento di Elettronica, Politecnico di Milano, IT,

9 EGLESE, R.W. Siulated Annealing: A tool for Operational Research. European Journal of Research, 46, , Operational GAMBARDELLA, L.M. & DORIGO, M. An Ant Colony Syste Hybridized with a New Local Search for the Sequential Ordering Proble. INFORMS Journal on Coputing, 12(3), , HARTMANN, S. Proect scheduling with ultiple odes: A genetic algorith. Annals of Operations Research 102, , KIRKPATRICK, S., GELATT JR., C.D. & VECCHI, M.P. Optiization by siulated annealing, Science 220, , KOLISCH, R., SPRECHER, A. PSPLIB A proect scheduling library. European Journal of Research 112, , Operational LORENZONI, L.L. Problea de Escalonaento co Restrição de Recursos e Múltiplos Modos de Processaento: Novos Métodos de Resolução e ua Aplicação no Contexto Portuário. Tese de Doutorado. PPGEE/UFES, SPRECHER, A., HARTMANN, S. & DREXL A. An exact algorith for proect scheduling with ultiples odes. OR Spektru, 19, ,