A Hybrid Genetic Algorithm for the Vehicle and Crew Scheduling in Mass Transit Systems

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1 A Hybrid Genetic Algorith for the Vehicle and Crew Scheduling in Mass Transit Systes B. A. Prata Abstract The integrated vehicle and crew scheduling proble is a difficult and widely studied Cobinatorial Optiization proble. Several studies have shown that exact approaches for this proble are not useful in practical situations due to the high coputational costs involved. This paper describes a hybrid genetic algorith for vehicle and crew scheduling, which is odeled as a axial covering proble with ultiples resources. In addition, an innovative atheatical forulation is presented. Coputational results with real vehicle and crew scheduling proble instances are presented and discussed. These results indicate that the proposed approach has a considerable potential for achieving significant gains in ters of operation costs and planning ties. Keywords Evolutionary Algoriths, GRASP, Maxial Covering Proble with Multiple Resources. N I. INTRODUÇÃO O que concerne aos ônibus, o planejaento dos transportes urbanos pode ser decoposto nas seguintes principais etapas[]: definição da rede de transportes, definição da tabela de horários, prograação dos veículos, prograação das tripulações e rotação das tripulações. A prograação de veículos e de tripulações tê sido objeto de inúeras atividades de pesquisa, devido aos ganhos significativos que pode resultar da sua otiização [2,3]. Diversos pesquisadores tê relatado a forte interação entre os probleas de escalonaento de veículos e de otoristas e os ganhos e considerá-los conjuntaente [3,4,5]. O problea integrado é usualente denoinado Vehicle and Crew Scheduling Proble VCSP. Diversos trabalhos tabé relata a dificuldade e solucionar o VCSP de fora exata [4,5,6], fato que aconselha a adoção de abordagens baseadas e técnicas heurísticas. Tradicionalente, o escalonaento de veículos e otoristas é realizado de ua aneira sequencial. A prograação de veículos (Vehicle Scheduling Proble VSP) é realizada nua prieira etapa, sendo copletada pela prograação das tripulações (Crew Scheduling Proble CSP). O CSP é, e geral, ais coplexo que o VSP; portanto, não é ua estratégia adequada prograar veículos se ter e conta as tripulações, já que estas constitue o gargalo do processo. E grande parte das epresas de transporte público, sobretudo nos países desenvolvidos, os custos co tripulações são os ais significativos. Assi, deve ser dirigidos esforços para iniizar tais custos, ebora tendo sepre e conta o processo de alocação dos veículos. Diversos trabalhos apresenta odelos ateáticos para o VCSP co u único depósito [4, 6, 7, 8]. Fora efetuados testes e instâncias reais e geradas aleatoriaente. Os resultados aponta que estas forulações tende a não peritir a obtenção de soluções exatas para probleas reais de grande porte. Diversos trabalhos apresenta odelos ateáticos para o VCSP co últiplos depósitos [5, 8, 9, 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] apresenta odelos ateáticos e étodos de resolução para o VCSP co últiplos depósitos. Os resultados apresentados aponta para a coplexidade de obtenção de soluções de elevada qualidade. As abordagens baseadas e étodos exatos, tais coo Branch-and-Bound, Branch-and-Cut, geração de colunas e relaxações lagrangeanas, e alguns casos se ostra inviáveis, devido aos tepos coputacionais elevados. Outras liitações de tais abordagens consiste na elevada quantidade de parâetros a ser ajustada. Entretanto, e teros de qualidade das soluções, tais abordagens vê se ostrando as elhores reportadas na literatura. Diante da coplexidade de tratar o VCSP de fora exata, algoritos heurísticos vê sendo propostos na literatura [9, 20, 2]. Tais abordagens pria pela decoposição do problea integrado nos probleas isolados (prograação de veículos e de tripulantes), sendo buscada ua integração a posteriori. Alguns softwares tabé fora desenvolvidos para a resolução do VCSP e casos reais [22, 23, 24]. Esses sisteas eprega regras práticas usadas pelos planejadores de epresas de transporte público para a obtenção de boas soluções e teros práticos. Dada a dificuldade de obtenção de soluções de elevada qualidade para o VCSP, o uso de heurísticas se ostra bastante liitado. Deste odo, diversos trabalhos apresenta etaheurísticas para a resolução do problea e foco [25, 26, 27, 28, 29]. Ua eta-heurística Siulated Annealing é apresentada para solução do VCSP e ua aplicação real de ua epresa de transporte de liusines [25]. Tal problea te elevada coplexidade, pois os veículos são bastante diferenciados devido aos acessórios e os otoristas tabé são diferenciados de acordo co suas qualificações. Três etaheurísticas são apresentas para o problea de prograação de veículos e de tripulações e ua epresa de transporte aéreo de cargas: Siulated Annealing, Great Deluge Algorith e Record-to-Record Travel [26]. A coplexidade do problea reside nas janelas de tepo, na legislação trabalhista para os otoristas e na alta heterogeneidade da frota. U algorito evolucionário híbrido é proposto para o problea de prograação de veículos e otoristas envolvendo últiplos depósitos. A abordage híbrida cobina as técnicas de relaxação lagrangeana, geração de colunas e Algoritos Genéticos. Metaheurísticas são propostas para a prograação de B.A. Prata, Universidade Federal do Ceará (UFC), Fortaleza, Ceará, Brasil, baprata@ufc.br.

2 veículos e tripulações e transporte interunicipal co tabelas de horário irregulares [27,28]. Os objetivos avaliados são custo e regularidade dos serviços, e instâncias aleatórias disponíveis para o problea de prograação de veículos e otoristas co últiplos depósitos. O autor salienta que tal abordage pode prover o toador de decisões de inforação adicional, a qual pode enriquecer a qualidade das soluções geradas. As abordagens heurísticas reportadas padece de pouca generalidade, no sentido e que são uito específicas aos probleas para os quais fora desenvolvidas e de que não fora reportados experientos e u grande núero de instâncias. O objetivo do trabalho reportado nesse artigo é elaborar u Algorito Genético (AG) híbrido para o VCSP. Para a odelage do problea é proposta ua nova forulação baseada e u problea de cobertura co últiplos recursos (Maxial Covering Proble with Multiple Resources MCPMR). O trabalho é coposto por ais quatro seções. Na próxia, é apresentada a definição do problea. Na segunda seção, são apresentadas as novas forulações propostas para o VCSP. Na terceira seção, são apresentadas as abordagens heurísticas desenvolvidas para o VCSP. Na quarta seção, são apresentados os resultados coputacionais obtidos, e instâncias adaptadas da literatura e e probleas reais. Por fi, apresenta-se alguas conclusões, e possíveis desenvolvientos futuros para o trabalho. II. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA PROPOSTA Nesta seção são apresentadas duas forulações para o VCSP. Na prieira forulação, os tripulantes e veículos são considerados coo u único recurso, visto que os changeovers são proibidos. Na segunda forulação, tripulantes e veículos são considerados coo recursos distintos. De acordo co a revisão bibliográfica realizada, constatouse que o uso de odelos ateáticos para o VCSP é liitado, pois, eso para instâncias de pequeno porte, étodos exatos pode não obter as soluções ótias e tepo coputacional adissível. Nesse contexto, buscou-se a forulação de odelos que pudesse suplantar esta liitação, assuindo hipóteses que siplifica o problea, as que preserva a utilidade dos odelos. A seguir é apresentada a definição e a notação dos eleentos para os odelos propostos para o VCSP, baseados no problea de áxia cobertura. Seja ua atriz, denotada por A, a qual representa o conjunto de serviços gerados. O núero de linhas desta atriz representa o núero de traos (piece-of-works, isto é, enor unidade de trabalho de ua tripulação) e o núero de colunas o núero de serviços (conjunto de atividades efetuadas por ua tripulação na sua jornada diária de trabalho). O eleento a ij = se o serviço j cobre o trao i, sendo 0 caso contrário. Conjuntos: M: conjunto de traos; e N: conjunto de serviços. Parâetros: d: núero áxio de serviços peritido na solução; e c ik : parâetro igual à se as viagens k e i são copatíveis, caso contrário c ik =. i. Variáveis inerentes aos serviços das tripulações Elas são variáveis binárias, tais coo:, se o i - ésio trao não é coberto por u z i = serviço presente na solução; 0, caso contrário; i M., se o j - ésio serviço faz parte da solução; x j = 0, caso contrário; j N. ii. Variáveis inerentes aos veículos (ônibus) Elas são variáveis binárias, tais coo:, se o veículo cobre a viage k exataente y i k = após a viage i; 0, caso contrário; i,k M. Na odelage proposta, a inovação consiste no fato que os serviços são gerados diretaente sobre as viagens e não sobre blocos de viaturas definidos previaente, coo ocorre na abordage sequencial. Co base e ua tabela de horários e no regie de trabalho dos tripulantes, são gerados serviços, de odo a conceber ua atriz de serviços (atriz A, confore notação usada no artigo). Co base na esa tabela de horários, serão prograados os veículos para realizare as viagens. Assi, a prograação dos tripulantes não está atrelada à prograação dos veículos, coo ocorre na abordage sequencial. Abas as prograações (veículos e tripulações) são relacionadas co a tabela de horários. O objetivo consiste e cobrir a deanda (viagens) pelos recursos disponíveis (veículos e tripulações). Te-se, então, u problea de cobertura co últiplos recursos. Seja T u conjunto de viagens e ua tabela de horários, de odo que T = M. A relação i α k representa a copatibilidade entre as viagens i e k, ou seja, a viage k pode ser efetuada após a viage i, pelo eso veículo (c ik é o parâetro que odela esta possibilidade). As variáveis do odelo são as seguintes: [MCPMR] Maxiizar c ik y ik z i () Sujeito a: y ik i= y ik k= n i= k= i= k M (2) i M (3) a = i =,,. ijx j + zi (4) j=

3 n j= x j d (5) x j {0,} j=,, n. (6) z i 0 i=,,. (7) y ik 0 i,k M (8) co c ik = se i α k, caso contrário c ik =. A função objetivo do problea () é coposta por duas parcelas: a prieira, que procura cobrir todas as viagens co a enor quantidade de veículos possível, e a segunda, que se destina a iniizar a quantidade de traos descobertos por serviços de tripulação. Os conjuntos de restrições (2) e (3) ipõe que u veículo cubra ua viage apenas ua vez. Visto que a atriz de coeficientes das restrições de u problea de alocação é uniodular, a integralidade das variáveis y ik pode ser relaxada. Caso o i-ésio trao não possa ser coberto, o conjunto de restrições do tipo (4) iplica que z i =. E consequência desta restrição, te-se que a integralidade das variáveis z i pode ser relaxada. A restrição (5) ipõe que u núero áxio de d colunas da atriz A seja selecionado na solução. Os conjuntos de restrições (6), (7) e (8) dize respeito à definição das variáveis do odelo. Se as viagens i e k são copatíveis, isto é, se a viage k pode ser realizada após a viage i, c ik = ; caso contrário c ik =. Coo o MCPMR é u problea de axiização, quando c ik = penaliza-se a realização de viagens incopatíveis e o odelo buscará a prograação de viagens copatíveis na solução ótia. O problea consiste e ua dupla cobertura: cobertura de viagens por eio de veículos e cobertura de viagens por eio de serviços de tripulações. III. ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO PROPOSTO Foi desenvolvido u algorito híbrido GRASP/AG. O GRASP é aplicado à prograação de veículos e o AG é aplicado na prograação de tripulações. A integração do processo se dá na cobertura de viagens por últiplos recursos (veículos e tripulações), diferenteente do que ocorre na abordage tradicional. A eta-heurística GRASP [29,30] é baseada e u algorito construtivo guloso e aleatorizado o qual é refinado por u processo de busca local. Para a prograação de veículos, foi desenvolvida ua heurística GRASP, reportada no Quadro. A fase de construção é coposta por ua heurística construtiva. Ua função gulosa Γ é usada coo critério de inserção de viagens a u veículo. Para cada veículo, calculase a diferença entre o tepo de térino da últia viage alocada naquele veículo e as deais viagens. Após a solução inicial construída, te-se ua prograação de veículos. Essa prograação não leva e conta os serviços de tripulantes, por isso, na prática, não seria exequível. A fase de elhoria da heurística proposta consiste e concatenar a prograação de veículos co a prograação de tripulações, a ser realizada pelo AG. Portanto, é na fase de elhoria do algorito de prograação de veículos que reside a integração entre os dois schedulings. Tal integração consiste e distribuir, de ua fora ais equilibrada, as viagens entre os veículos. Alé disso, a fase de elhoria tenta reduzir os tepos que os veículos fica a espera de viagens, evitando changeovers desnecessários. A fase de elhoria é coposta por dois tipos de ovientos: oviento de inserção caudal e oviento de inserção de blocos. O oviento de inserção caudal consiste na realocação das últias viagens de u bloco para outro, de odo a equilibrar as viagens por veículo. O oviento de inserção de blocos te coo eta equilibrar as quantidades de viagens alocadas entre os veículos, por eio da inserção de subconjuntos de viagens (blocos) dos veículos ais utilizados para veículos enos utilizados. Quadro - Heurística GRASP para a prograação de veículos. Parâetros: nu_iter Fase de construção Moviento de inserção caudal i 0 enquanto i nu_iter faça Moviento de inserção de blocos i i + fi-do-enquanto Para a resolução do crew scheduling, foi desenvolvido u Algorito Genético híbrido, confore ilustrado no Quadro 2. O AG proposto consiste e ua adaptação do algorito proposto por Beasley e Chu [3], adaptando à forulação de áxia cobertura. Quadro 2 - Pseudocódigo do Algorito Genético proposto. Passo : Gerar aleatoriaente ua população de soluções viáveis. Passo 2: Avaliar as soluções geradas. Enquanto geração atual núero áxio de gerações, faça Passo 3: Efetuar seleção por torneio. Passo 4: Realizar o cruzaento unifore co pc=00%. Passo 5: Realizar utação da solução co p=00%. Passo 6: Aplicar os procedientos DROP e ADD. Passo 7: Avaliar a aptidão da solução gerada. Passo 8: Substituir o pior indivíduo da população pela solução gerada. Fi-do-enquanto Ipriir a elhor solução obtida. A população inicial é gerada de fora aleatória, levando e conta a viabilidade das soluções geradas, de odo que são gerados apenas indivíduos viáveis (se overcovers, ou seja, traos cobertos por ais de ua tripulação siultaneaente). A seleção dos pais a sere cruzados é efetuada por torneio binário: seleciona-se aleatoriaente 4 indivíduos da população e são realizados torneios co dois indivíduos. Os indivíduos ais aptos, isto é, aqueles co enores valores da função objetivo, serão escolhidos coo pais. A cada geração é gerada ua nova solução, por eio de cruzaento unifore. Para cada gene da solução filho a ser gerada, é realizado u experiento, regido por ua distribuição de Bernoulli, no qual ua variável aleatória discreta b recebe u valor 0 ou. Se b for igual a 0, o filho receberá o valor correspondente ao gene do prieiro pai. Se b

4 igual a, o filho receberá o valor correspondente ao gene do segundo pai. A operação de utação ocorre da seguinte fora: é gerado u núero aleatório copreendido no intervalo [0,00] e se este é enor ou igual à probabilidade de utação considerada, o operador de utação é acionado. É gerado u núero randôico r entre [0,n] e o bit correspondente ao núero aleatório gerado é invertido (por exeplo, se x r = uda-se x r para 0 e se x r = 0 uda-se x r para ). Ebora os indivíduos da população inicial seja viáveis, após as operações de recobinação e utação, esta viabilidade certaente será transgredida. Deste odo, é de fundaental iportância a correção da inviabilidade da solução, be coo a elhoria da solução corrigida. Neste sentido, fora adaptados para o problea de áxia cobertura, os procedientos de elhoria DROP e ADD [32]. Para itigar o problea da convergência preatura da população, foi desenvolvido o seguinte procediento para reposição das soluções. Se a solução gerada tiver elhor aptidão do que o indivíduo co pior aptidão na população, a solução ingressa na população no lugar do pior indivíduo. Caso a solução gerada não tenha ua elhor aptidão do que o indivíduo de pior aptidão na população, ocorrerá a substituição co ua probabilidade de 5%. Caso só seja aceitas soluções que incorra e elhoria, existe ua grande chance de o AG convergir para u ótio local antes eso da execução de grande parte das gerações do algorito. Esse ecaniso perite a anutenção da diversidade da população ao longo das gerações do AG. A seguir, são apresentados os parâetros utilizados para as heurísticas propostas. Heurística para prograação de veículos: nu_iter: nv/2. Algorito Genético: taanho da população (axpop): 00; núero de gerações (axgen): 0000; e probabilidade de utação (p ut ): 00%. IV. EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS No que se refere à forulação proposta para o VCSP co changeovers, fora efetuados experientos coputacionais e instâncias reais, advindas do sistea de transporte público de Fortaleza, situada no Nordeste do Brasil. No sistea de transportes coletivos por ônibus de Fortaleza, changeovers não são peritidos. Contudo, tal restrição foi relaxada para ua avaliação teórica do odelo proposto. A seguir, na Tabela I, são apresentados os resultados dos experientos coputacionais para o caso e que changeovers são peritidos e os veículos são alojados e u único depósito. A coluna consiste na identificação da instância, a qual é representada pelo núero da linha. A coluna 2 apresenta o núero de viagens da linha. A coluna 3 apresenta o núero de serviços gerados. Na coluna 4, é ilustrado o tepo de ciclo da linha, o qual consiste no tepo decorrido entre o início e o térino de ua viage. Deve-se ressaltar que, no sistea de transporte público por ônibus de Fortaleza, o tepo de ciclo varia ao longo do dia. Portanto, é apresentada a oda da variável tepo de ciclo. Na coluna 5, é apresentada a densidade da atriz de serviços gerados. Na coluna 6 é apresentada a quantidade áxia de colunas a copore a solução. Na coluna 7, apresenta-se o núero de colunas utilizado na solução. Na coluna 8, apresenta-se o núero de veículos obtido na solução óptia do odelo. Na coluna 9, consta o núero de traos descobertos. Na coluna 0, é apresentado o tepo de processaento para obtenção da solução óptia. Na coluna, consta o núero de nós do Branch-and-Bound (B&B). TABELA I. CARACTERÍSTICAS DAS INSTÂNCIAS E RESULTADOS DO SOLVER INSTÂNCIAS COM CHANGEOVERS.. Instância n 4. Ciclo (in) 5. ρ (%) 6. d 7. x 8. # veícu los 9. z 0. t(s). # nós (B&B) RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW605/ , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , As heurísticas fora ipleentadas no MATLAB. Os experientos fora realizados e u processador Genuine Intel.86 GHz co GB de eória RAM. Tendo e vista que os algoritos propostos consiste e processos de aostrage aleatória, optou-se por rodá-los 0 vezes, para avaliar o coportaento édio dos esos, e teros de qualidade de solução obtida e de tepo de processaento. Deve-se observar que a heurística GRASP proposta para a prograação de veículos obteve o núero ótio de veículos e todas as replicações do algorito. No que concerne ao AG desenvolvido para a prograação de tripulantes, a heurística supracitada obteve a solução ótia e 9 das 20 instâncias analisadas (a solução ótia do problea 70 não foi encontrada pelo AG). Na Tabela II é apresentada ua coparação entre as soluções obtidas pelo AG e as soluções óptias obtidas pelo B&B. Para as 200 execuções do AG, este obteve a solução ótia e 63 rodadas, tendo u aproveitaento de 8,5%. E 4 das 20 instâncias analisadas, o AG conseguiu obter a solução ótia e todas as 0 execuções do algorito, apontando para a eficácia do eso. A seguir, na Tabela III, é feita ua análise coparativa entre o desepenho coputacional (expresso e teros do tepo de processaento) do B&B e das heurísticas propostas. Co relação aos tepos de processaento, co base nos dados da Tabela III, pode-se constatar que as heurísticas apresentara desepenho superior ao B&B, e 3 das 20 instâncias analisadas.

5 TABELA II. COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO EXATO E O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO. Problea Percentual de cobertura (c) Gap (%) zip Me -lhor Pior Média Melhor Pior Média Soluções ótias e 0 execuções do GA RW406 94, 94, 9,8 92,0 0,0 2,4 2, RW504 84,4 84,4 84,4 84,4 0,0 0,0 0,0 0 RW905 85,7 85,7 85,7 85,7 0,0 0,0 0,0 0 RW3 85,3 85,3 85,3 85,3 0,0 0,0 0,0 0 RW833 87,5 87,5 87,5 87,5 0,0 0,0 0,0 0 RW05 86,5 86,5 86,5 86,5 0,0 0,0 0,0 0 RW50 84,4 84,4 84,4 84,4 0,0 0,0 0,0 0 RW407 83,6 83,6 83,6 83,6 0,0 0,0 0,0 0 RW466 85, 85, 75,7 84,2 0,0 9,5 0,9 0 RW609 87,0 87,0 8,2 82,9 0,0 5,8 4, 3 RW907 90,3 90,3 83,3 88,8 0,0 6,9,5 3 RW80 84,4 84,4 84,4 84,4 0,0 0,0 0,0 0 RW605 87,2 87,2 86,0 86,9 0,0,2 0,3 8 RW08 76,3 76,3 76,3 76,3 0,0 0,0 0,0 0 RW070 9,6 89,2 88,0 88,3 2,4 3,6 3,3 0 RW02 9,3 9,3 83,7 90,5 0,0 7,7 0,9 8 RW20 86,3 86,3 86,3 86,3 0,0 0,0 0,0 0 RW4 82, 82, 82, 82, 0,0 0,0 0,0 0 RW36 87,3 87,3 87,3 87,3 0,0 0,0 0,0 0 RW93 87,5 87,5 87,5 87,5 0,0 0,0 0,0 0 TABELA III. COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO ENTRE O BRANCH- AND-BOUND E AS ABORDAGENS PROPOSTAS. Instância tzip(s) tga(s) Gap (%) Melhor Pior Média Melhor Pior Média RW ,0 8800,0 6000,0 RW ,0-60,0-80,0 RW ,0-75,0-75,0 RW ,8-93,3-97,8 RW ,0 00,0 40,0 RW ,3-65,7-78, RW ,9-88,9-88,9 RW ,3 733,3 300,0 RW ,0 2800,0 000,0 RW ,0 5800,0 2200,0 RW ,0 3725,0 2425,0 RW ,3-83,3-83,3 RW ,7 5257, 885,7 RW ,0 450,0 50,0 RW ,0 3700, ,0 RW ,0 4750,0 4800,0 RW ,7 66,7 0,0 RW , 227,4 228,6 RW ,0 7600,0 2300,0 RW ,2 357, 28,6 V. CONCLUSÕES Neste trabalho fora apresentadas novas forulações para a prograação integrada de veículos e de tripulações e sisteas de transporte público, baseadas no Maxiu Covering Proble MCP. No elhor conheciento do autor, não existe nenhu outro trabalho que reporte ua forulação para o Vehicle and Crew Scheduling Proble baseada no MCP. Nas 20 instâncias analisadas, pode-se constatar que o tepo coputacional édio requerido pelo B&B, para a obtenção da solução ótia, é de apenas 3,5 segundos. Deste odo, a nova forulação proposta representa u ganho do ponto de vista prático, pois pode subsidiar o planejaento operacional e epresas de transporte público. O GRASP/GA desenvolvido para o VCSP co changeovers apresentou u desepenho satisfatório, visto que foi obtido u gap édio de 0,7% para as 20 instâncias analisadas. A abordage proposta se ostrou eficiente para a resolução prática do problea e estudo, podendo ser aplicadas no planejaento operacional de sisteas de transporte público, incorrendo e reduções de custos e de tepos de planejaento. Ebora o algorito GRASP/GA tenha apresentado u bo desepenho e coparação ao B&B, não foi possível copará-lo co outras abordagens presentes na literatura. Isso se deve ao fato de que a abordage proposta no presente artigo é a prieira baseada e u MCPMR. Deste odo, não se pode ter ua coparação justa entre os resultados obtidos por outras forulações. O desenvolviento de ua edida de coparação entre resultados obtidos pela abordage proposta neste artigo e outras abordagens é objeto de investigação para estudos futuros. Este artigo reporta apenas ua parte de u projeto de pesquisa ais aplo. Tendo e vista a natureza ultiobjetivo de probleas de prograação de veículos e tripulações e sisteas de transporte público, os autores estão desenvolvendo odelos e algoritos que leve e consideração a natureza ulticritério dos probleas reais neste doínio. REFERÊNCIAS [] Ceder, A. Urban transit scheduling: fraework, review and exaples. Journal of Urban Planning and Developent, v. 28, pp , [2] Daduna, J. R. e Paixão, J. M. P. Vehicle Scheduling for public ass transit an Overview. In: Daduna, J. R., Branco, I. e Paixão, J. M. P. (Eds.) Coputer-Aided Transit Scheduling, Lecture Notes in Econoics and Matheatical Systes, Springer, vol. 430, pp , 995. [3] Wren, A. e Rosseau, J. M. Bus Driver Scheduling an Overview. In: Daduna, J. R., Branco, I. e Paixão, J. 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