XLVI Pesquisa Operacional na Gestão da Segurança Pública

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1 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL ODELOS AEÁICOS PARA O PROBLEA DE CORE DE ESOQUE INEGRADO AO PLANEJAENO DA PRODUÇÃO E INDÚSRIAS DE PAPEL Sônia Cristina Poltroniere Silva Faculdade de Ciências Universidade Estadual Paulista (UNESP - Bauru) soniacps@fc.unesp.br Silvio Alexandre de Arauo Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas Universidade Estadual Paulista (UNESP São José do Rio Preto) sarauo@ibilce.unesp.br ell Cristina Poldi Instituto de Ciências e ecnologia Universidade Federal de São Paulo (UNIFESP São José dos Capos) kell.poldi@gail.co RESUO U iportante problea de prograação da produção surge e indústrias de papel integrando o problea de corte de estoque ao diensionaento de lotes. O problea de diensionaento de lotes deve deterinar a quantidade de bobinas ubos de diferentes tipos de papel a sere produzidos e cada áquina ao longo de u horizonte de planeaento finito. Estes ubos são então cortados para atender a deanda de itens para cada período. Neste trabalho trataos os probleas de corte de estoque e de diensionaento de lotes de fora integrada procurando iniizar custos co produção e estoque dos ubos coo tabé a perda de papel durante o processo de corte. Várias odelagens para o problea integrado são consideradas e os odelos fora resolvidos heuristicaente usando u pacote de otiização. Versões relaxadas dos odelos tabé fora resolvidas co o obetivo de obter liitantes inferiores para o problea. Resultados coputacionais são apresentados e discutidos. PALAVARAS CHAVE: Problea de Corte de Estoque Diensionaento de Lotes Probleas Integrados. ABSRAC An iportant production prograing proble arises in paper industries integrating the cutting stock proble with lot sizing. he lot sizing proble deterines the quantit of ubos of different tpes of paper to be produced on each achine over a finite planning horizon. hese ubos are then cut in order to eet the deand of ites for each period. In this work we treat the integrated cutting stock and lot sizing proble to iniize costs of production and inventor of ubos as well the tri loss generated during the cutting process. Several atheatical odels for the integrated proble are considered and these odels were solved heuristicall using an optiization package. Relaxed versions of the odels were also solved with the obective of obtaining lower bounds for the proble. Coputational results are presented and discussed. EYWORDS: Cutting Stock Proble Lot Sizing Proble Integrated Probles. 3652

2 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL. Introdução O problea de corte de estoque consiste na otiização do processo de corte de unidades aiores (obetos) que estea disponíveis para a produção de u conunto de unidades enores (itens) co o obetivo de atender a deanda desses itens e satisfazer algu critério de otiização coo por exeplo iniizar a perda de aterial gerada pelo corte ou o custo total dos obetos cortados. As foras e edidas dos obetos e dos itens são be especificadas. ais probleas vê sendo investigados nas últias décadas desde os trabalhos pioneiros de Gilore e Goor ( ) que propusera a técnica de geração de colunas viabilizando a resolução de probleas reais. E indústrias de anufatura coo por exeplo indústrias oveleira papeleira e etalúrgica o problea de corte de estoque aparece coo u subproblea fundaental de u problea de planeaento da produção ais aplo chaado problea de diensionaento de lotes (rigeiro et al. 989) que consiste e deterinar a quantidade de produtos a sere produzidos e cada período ao longo de u horizonte de tepo finito de odo a atender certa deanda e otiizar ua função obetivo coo por exeplo iniizar custos atrasos etc. E Poltroniere et al. (2008) é feito u estudo aplicado à indústria de papel e que os probleas de diensionaento de lotes e corte de estoque são considerados de fora integrada. O obetivo do presente trabalho consiste na resolução de diferentes odelos ateáticos para o problea proposto e Poltroniere et al. (2008). Alé do odelo proposto pelos autores e 2008 que considera a abordage de Gilore e Goor (963) para o problea de corte de estoque neste trabalho consideraos tabé a abordage de antorovich (960) e de Valério de Carvalho ( ) que é baseada nu odelo de fluxo e redes. Os odelos são ipleentados nu pacote de otiização resolvidos de fora heurística e os resultados são coparados co os obtidos e Poltroniere et al. (2008). Alé disso alguas relaxações são resolvidas co o intuito de obter liitantes inferiores para o problea integrado o que peritirá testar a qualidade das soluções heurísticas. 2. Revisão bibliográfica de probleas integrados Farle (988) foi o prieiro autor a publicar u estudo sobre o problea de corte de estoque integrado ao problea de planeaento e prograação da produção co aplicações na indústria de roupa. Respício e Captivo (2002) apresentara u odelo de prograação inteira integrando o problea de corte de estoque unidiensional ao problea de planeaento co aplicações e indústrias papeleiras. U odelo siplificado é proposto e resolvido por u algorito do tipo branch-and-price. enon e Schrage (2002) considerara o problea coposto de alocação de pedidos às áquinas e corte de bobinas e indústrias de papel para u único período de planeaento. Correia et al. (2004) estudara u problea de planeaento da produção e otiização do corte de bobinas e resas co aplicações nua indústria papeleira portuguesa. Os autores propusera u étodo de solução heurística baseado na enueração lexicográfica dos padrões de corte que são selecionados e usados coo colunas nu odelo de prograação linear. abé otivados por aplicações e indústria de papel Poltroniere et al. (2008) propusera u odelo ateático para tratar os probleas de diensionaento de lotes e corte de estoque de fora integrada nu horizonte de planeaento dividido e períodos. Fora propostos dois étodos heurísticos para a solução baseados na relaxação Lagrangiana das restrições de integração que se ostrara apropriados para tratar o problea integrado. Nessas heurísticas o problea de corte de estoque foi resolvido considerando-se a antecipação do corte de itens quando apropriado. Considerando a indústria oveleira Graani e França (2006) propusera u odelo para o problea integrado que deterina quais e coo os vários produtos finais (esas prateleiras guarda-roupas etc.) deve ser produzidos nu dado período. Desta decisão segue u pedido de u deterinado núero de itens (retângulos enores) que deve ser cortados de placas disponíveis e estoque (retângulos aiores). Foi proposto u étodo de solução baseado no problea de cainho ínio. Graani et al. (2009) estendera o odelo proposto e 2006 para considerar as decisões sobre os produtos finais. Os custos de preparação fora antidos e 3653

3 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL apenas o estoque de produtos finais é peritido. Fora propostos étodos de decoposição para resolver o problea integrado. E Graani et al. (200) os custos de preparação não fora considerados ne as frequências inteiras dos padrões de corte. Entretanto considerou-se o estoque de produtos finais e de itens. O problea é resolvido usando geração de colunas. Ghidini (2008) tabé propôs u odelo para o problea integrado que perite a antecipação de alguns produtos e a arazenage no estoque. Fora desenvolvidas duas heurísticas para resolver ua siplificação do odelo ateático proposto. Santos et al. (20) tabé resolvera o problea integrado considerando os padrões de corte usados pela indústria e padrões de corte n- grupos aplicados e u conunto de dados reais fornecidos pela fábrica. E Vanzela et al. (202) foi siulado parcialente a prática de ua fábrica e proposto u odelo integrado. Nos dois últios trabalhos tê-se restrições referentes à capacidade da serra e teros de núero de ciclos da serra. Silva et al. (204) propõe dois odelos de prograação inteira para resolver os probleas de corte bidiensional e diensionaento de lotes de fora integrada. O prieiro odelo é ua extensão do odelo proposto e Silva et al. (200) e o segundo odelo é ua extensão do odelo de Dckhoff (98). Nos dois odelos tanto a antecipação da produção de itens quanto o estoque de sobras são peritidas e o obetivo é iniizar custos de produção e de estoque e o núero de placas iniciais usadas. Duas heurísticas são apresentadas e os resultados coputacionais discutidos. otivados por desafios que surge na indústria de papel allrath et al. (204) apresenta várias abordagens para odelar e resolver os probleas de corte de estoque unidiensional e bidiensional. O obetivo é iniizar o núero de bobinas e o núero de padrões de corte não peritindo qualquer superprodução. São propostas abordagens de geração de colunas para tratar dois casos: o PCE co bobinas de diferentes larguras e estoque e quantidades liitadas e o PCE co subprodução peritida as a ser iniizada. 3. odelos ateáticos para o problea integrado de corte de estoque e diensionaento de lotes Poltroniere et al. (2008) propusera u odelo ateático inteiro isto para tratar os probleas de diensionaento de lotes e corte de estoque de fora integrada nu horizonte de planeaento dividido e períodos. O problea de corte foi odelado usando a abordage de Gilore e Goor (963) supondo diferentes bobinas e estoque e quantidades liitadas coo está apresentado na seção 3.. Nas seções 3.2 e 3.3 são apresentadas as odelagens integradas considerando-se as abordagens de antorovich (960) e de Valério de Carvalho ( ) respectivaente. 3.. odelo integrado usando a abordage de Gilore e Goor (LCGG) No processo de produção e corte de papel o Problea de Diensionaento de Lotes (PDL) deve ser considerado para decidir qual deve ser o peso de ubos (bobinas grandes) a ser produzido e cada período de u horizonte de planeaento. Os ubos são produzidos e áquinas paralelas que são capacitadas e tê desepenhos próprios. Posteriorente os ubos são cortados e bobinas enores de larguras dadas (que pode ser cortadas na sequência e retângulos) para atender a deanda co o obetivo de iniizar a perda. Diferentes tipos de papel (graatura) deve ser produzidos para atender a deanda e a udança de u tipo para outro causa perda relevante de atéria-pria (custo de preparação) e perda de tepo de áquina (tepo de preparação) que são sequências dependentes. Por siplicidade são considerados custo de preparação e tepo de preparação independentes da sequência. Alé disso se perda de generalidade supõe-se que cada ubo consiste de apenas u tipo de papel. Na odelage considera-se u ubo de graatura k e largura Ls c (essa largura depende da áquina e que o ubo foi produzido) coo u núero de bobinas-estre todas elas de eso peso específico ρ definido previaente coo ilustrado na Figura. k 3654

4 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL L s L s ρ... xs Figura : U ubo de graatura k discretizado e u núero de bobinas-estre. Para descrever o odelo ateático consideraos a seguinte notação e os seguintes dados. Índices: t =... : núero de períodos no horizonte de planeaento k =... : núero de graaturas =... : núero de áquinas (áquina produz bobinas-estre de largura L ) =... N : núero de padrões de corte para as bobinas-estre do tipo i =... Nf : núero de itens deandados {... Nf } = S() S(2)... S( ) e que S( k) { i tal que o ite i te graatura k} =. Parâetros: c : custo de produção da bobina-estre de graatura k na áquina no período t h : custo/ton de estocar bobinas-estre de graatura k no período t s : custo de preparação da áquina para produzir bobina-estre de gra. k no período t cp : custo/c de perda de papel de graatura k durante o processo de corte no período t it σ : custo/ton de estocar itens finais do tipo i no período t C : capacidade (ton) da áquina no período t t d : vetor da deanda de itens finais de graatura k no período t ρ : peso específico da bobina-estre de graatura k k η k : vetor de pesos dos itens finais de graatura k (o peso do ite final ik é ηik D : deanda (ton) de papel a ser produzido da graatura k no período t b : peso da bobina-estre de graatura k produzida na áquina ( b L ρ ) = k = ρ l ) f : peso do papel desperdiçado na preparação da áquina para produzir bobina de graatura k a : vetor associado ao padrão de corte para a bobina-estre de largura L. Sua diensão é S( k ) e cada coponente a i representa o núero de itens do tipo i ( ) i S k cortados pelo padrão da bobina-estre de largura L p : perda de papel (c) no padrão de corte usado na bobina-estre de largura L Q : núero grande. Variáveis de decisão: x : núero de bobinas-estre de graatura k produzidas na áquina no período t w : estoque de bobinas-estre de graatura k áquina estocadas no fi do período t z : indica a produção ou não da bobina-estre graatura k na áquina no período t : núero de bobinas-estre de graatura k produzida na áquina no período t cortadas usando o padrãode corte k i 3655

5 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL e : vetor de itens finais de graatura k estocados no final do período t. Sua diensão é S( k ) e cada coponente i estoque no final do período t. e representa o núero de itens finais i i S ( k ) e U odelo para o problea de corte integrado à prograação da produção o qual chaareos de LCGG-Lote Corte Gilore Goor é proposto: iniizar sueito a ( c x hbw s z ) t= = k = = ( b x b w b w ) ( b x f z ) k= it t= k= i S ( k) σ η ik e i k t C t = D t= k= cp F( k t) t =... =... t =... () (2) (3) x Q. z =... t =... (4) N a = = N = = x e w k t e k t w = d t =... =... t =... (5) (6) w 0 = 0 e k0 = 0 =... (7) x 0 w 0 e inteiros =... t =... (8) z { 0 } =... t =... (9) 0 e inteiros e 0 =... N =... t =... (0) O parâetro D não é u dado do problea pois depende da perda que ocorre durante o processo de corte. Por definição ele deve ser parâetro D = η. Por outro lado o ( ) d perda k ik i i S D pode ser expresso e teros das variáveis que deterina o núero de bobinas estre do tipo k que deve ser cortada no período t isto é D = N = = b As restrições de balanceaento de estoque (2) descreve que a quantidade total de papel produzido (ton) de cada graatura e cada período ais o estoque do período anterior deve atender a deanda ais o estoque para o próxio período. As restrições (3) respeita as capacidades das áquinas e qualquer período. Observe que as variáveis x e w estão ultiplicadas por b = L ρ k pois a deanda de papel é dada e peso. Nas restrições (4) teos z = no caso de x > 0. Se x = 0 então z = 0. E (5) teos as equações de balanceaento de estoque de itens. Note que N = = a fornece u vetor co o total de itens de cada tipo cortados no período t. As restrições (6) liita o núero de bobinas-estre. 3656

6 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL cortadas àquelas que fora produzidas anteriorente. São estas as restrições de integração que envolve decisões relativas à produção e ao corte de ubos odelo integrado usando a abordage de antorovich (LC) antorovich (960) introduziu ua forulação ateática para o problea de corte de estoque supondo apenas u tipo de obeto e estoque de largura L co o obetivo de iniizar o núero de obetos (bobinas no caso específico da indústria de papel) cortados para atender a ua deanda. O odelo integrado proposto e Poltroniere et al. (2008) usando a abordage de antorovich é apresentado a seguir. Alé da notação das variáveis de decisão e dos dados utilizados na seção 3. para a forulação usando a abordage de antorovich considere NB u liitante superior conhecido para o núero de bobinas disponíveis de graatura k produzidas na áquina no período t. Considere tabé as variáveis binárias... NB e Cut que indica se a bobina = de graatura k produzida na áquina no período t é ou não usada no corte que representa o núero de vezes que o ite i é cortado na bobina. i O odelo LC-Lote Corte antorovich é dado por: iniizar sueito a : ( c x hbw s z ) t= = k = NB NB Nf cp LCut li t= k = = = = = i= Conunto de restrições (2) - (4) i σ it t= k= i S ( k ) η ik e i () = = Nf i i= NB = Cut NB Cut i L x { 0 } e Cut e i k t i w 0 e i k t = d i w =... NB =... NB i =... Nf t =... =... t =... =... t =... =... t =... (2) (3) (4) (5) i 0 e inteiros i =... Nf =... NB =... t =... (6) Conunto de restrições (7) - (9) odelo integrado usando a abordage de Valério de Carvalho (LCVC) Valério de Carvalho (999) propôs ua forulação alternativa para o problea de corte considerando obetos idênticos e estoque. rata-se de u problea de fluxo ínio co restrições adicionais ipondo a satisfação da deanda. Segundo o autor o odelo linear obtido pela relaxação das variáveis de integralidade é equivalente ao odelo de Gilore e Goor (96) e portanto os liitantes inferiores e abos os casos são iguais. A extensão desse odelo considerando-se vários tipos de obetos e estoque é apresentada e Valério (2002) cua abordage utilizaos no problea integrado de Poltroniere et al. (2008) coo segue. Alé da notação das variáveis de decisão e dos dados utilizados na seção 3. considere Lax a largura da aior bobina e estoque o conunto de vértices V = { 0... Lax} e o A = ( d e) : 0 d < e Lax e e-d = li para cada i Nf significando que conunto de arcos { } 3657

7 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL existe u arco orientado entre dois vértices se há u ite do taanho correspondente. Considere tabé arcos extras entre ( d d ) d = 0... L ax relativos às perdas no processo de corte das bobinas. O núero de variáveis é polinoial dado e função da largura das bobinas e do núero de itens e é da orde O( Nf Lax ). Observa-se que fora ipleentados alguns dos critérios de redução propostos e Valério de Carvalho ( ). Então deterinar u padrão de corte válido para a bobina de largura L é odelado coo o problea de deterinar u cainho entre os vértices 0 e L no grafo G = ( V A). Os arcos que fora u cainho define u padrão de corte e o copriento dos arcos que constitue o cainho define os taanhos dos itens a sere cortados. Sea a variável de decisão que representa o núero de itens de largura i cortados no padrão de corte. O odelo LCVC-Lote Corte Valério de Carvalho é dado por: kit iniizar sueito a : ( c x hbw s z ) t= = k = Lax Nf Lax cp L Fl l i k li t t= k= = = i= = ( li ) A Conunto de restrições (2) - (4) σ it t= k = i S ( k ) η ik e i (7) kit ( i ) A ( o) A Lax k li t = ( li ) A kot e Fl = = Fl 0 i k t e i se = 0 se = L =... caso contrário = d i i =... Nf k... t = =... t =... (8) (9) Fl = x w k t w =... t =... (20) kit 0 e i 0 e inteiros ( i ) A =... t =... (2) Conunto de restrições (7) - (9). 4. étodos de solução para o problea integrado propostos por Poltroniere et al. (2008) Para resolver o problea integrado ()-(0) fora propostos dois étodos denoinados heurísticas Lote/Corte e Corte/Lote baseadas na relaxação lagrangiana das restrições de integração (6) que são adicionadas à função obetivo () ponderadas pelas variáveis duais γ. Assi o problea ()-(0) é decoposto e dois subprobleas: diensionaento de lotes (PDL) e corte de estoque (PCE) que são abordados separadaente e iterativaente á que a solução exata é ipossível de se obter na prática por várias razões. O PDL é capacitado e u abiente co áquinas paralelas distintas que é NP-copleto (aes et al. 99). As restrições do PCE possue dois fatores que torna essa forulação uito difícil: a condição de integralidade das variáveis e o grande núero de variáveis (ua variável para cada padrão de corte). Alé disso na prática os dados contê iprecisões que pode ser atenuadas usando estratégias coo horizonte rolante e abordagens estocásticas. Para resolver o PDL definido pelas restrições (2)-(4) (8) e (9) foi realizada ua adaptação do étodo proposto por oledo (998). A solução obtida supre o PCE co os ubos a sere cortados. O PCE ultiperíodo (restrições (5) acopladas por causa do estoque de itens finais e i ) é coposto por subprobleas independentes u para cada graatura. Esses 3658

8 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL subprobleas fora resolvidos nu horizonte dividido e períodos usando étodo siplex co geração de colunas proposto por Gilore e Goor (96 963) e considerando a condição de integralidade relaxada. Para possibilitar a antecipação de itens durante o processo de corte foi desenvolvida ua abordage heurística peritindo novas cobinações de itens. 4.. Breve descrição das heurísticas A heurística Lote/Corte resolve inicialente o PDL cua função obetivo é iniizar os custos de produção e estoque e os custos de preparação obtido de () considerando-se apenas os teros que envolve as decisões de produção e estoque das bobinas-estre sueito às restrições (2)-(4) (8) e (9). A solução obtida pelo PDL fornece o estoque de bobinas-estre para o PCE ultiperíodo que é resolvido co o obetivo de iniizar os custos co a perda de papel e de estoque de itens finais sueito à (5) (6) e (0). É realizado u núero áxio de iterações definido previaente. Na prieira iteração assue-se γ = 0 e nas deais iterações γ são dadas pelas variáveis duais associadas a (6) obtida pelo PCE na iteração anterior. Note que a produção de ubos no diensionaento de lotes deve fornecer a quantidade de papel de graatura k no período t suficiente para atender a deanda de itens no estágio de corte incluindo ua porcentage adicional para cobrir eventuais perdas. Coo a perda de papel é desconhecida D θ η d sendo θ ua estiativa da perda no processo de corte. considera-se = ( ) i S ( k ) ik i A heurística Corte/Lote resolve prieiraente o problea de corte baseado na deanda de itens as co u núero livre de ubos supostaente disponíveis. Portanto a solução do problea de corte produz o núero necessário de bobinas-estre para atender a deanda de qualquer graatura. Então o problea de diensionaento de lotes que considera custos de preparação capacidades de áquina custos de produção e preparação etc. é resolvido produzindo ua nova prograação da produção que será entrada para o próxio problea de corte de estoque e assi por diante. U núero liitado de iterações desse processo é realizado e a elhor solução obtida é considerada. 5. Resultados coputacionais Nesta seção inicialente apresentaos detalhes sobre os exeplares utilizados. Posteriorente apresentaos os resultados obtidos pelas heurísticas de Poltroniere et al. (2008) descritas na Seção 4 be coo de alguas heurísticas baseadas na resolução co o pacote Apl/Cplex 2.6 dos odelos apresentados na Seção 3. Por fi na Seção 5.3 versões relaxadas dos odelos fora resolvidas co o obetivo de obter liitantes inferiores para o problea. Para os testes coputacionais foi utilizado coputador co processador Intel (R) Core () Corel i co 35 GHz 35 GHz e 32 GB de eória RA sob a platafora do Windows Geração de dados Para ua avaliação inicial do coportaento das heurísticas fora utilizados 9 exeplares retirados da Classe de exeplos gerados e Poltroniere et al. (2008). ais exeplares tê as seguintes características: Nf = 5 tipos de itens deandados = 2 graaturas = 8 períodos = 2 áquinas sendo que a áquina produz ubos de largura L = 540 c e a áquina 2 ubos de largura L 2 = 460 c peso específico ρ k = 2 kg / c. Para cada exeplar tentando siular observações co dados reais os parâetros definidos na seção 3. fora gerados coo descrito a seguir: c [ ] b sendo b = L ρk s [ ] c h [ ] f [00 005] b c = cp = 0 i = 05 h i S( k) = σ L li [0 03] d i [0 300]. Se d i 50 então faça d i =

9 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL As capacidades das áquinas de produção fora geradas coo segue: D f b t= = k = Ct = Cap sendo Cap = φ. = b A constante φ te a função de anter a utilização da capacidade das áquinas e torno de u percentual deseado. 5.2 Soluções heurísticas Inicialente apresenta-se na abela os resultados obtidos pelas heurísticas desenvolvidas e Poltroniere et al. (2008) e descritas de fora resuida na Seção 4. O PCE ultiperíodo foi resolvido de duas aneiras. A prieira não considera as variáveis de estoque de itens resolvendo-se subprobleas de corte independentes (colunas LC_se e CL_se). A segunda aneira para cada graatura resolve-se o PCE ultiperíodo utilizando a Heurística de Antecipação de Itens proposta pelos autores peritindo o corte antecipado de itens baseado nas variáveis duais associadas às restrições de balanceaento de estoque de itens (colunas LC_co e CL_co). Na coluna F.O. tê-se o valor da função obetivo e na coluna Folga te-se a porcentage e que a deanda de papel foi auentada e cada ua das heurísticas. Esse auento é necessário para que sea possível encontrar soluções factíveis no processo de corte ou sea para que se tenha bobinas suficientes para o corte de todos os itens deandados. Observase que o tepo coputacional das heurísticas é relativaente baixo sendo que o aior deles foi de 3523 segundos ao aplicar a heurística Lote/Corte co antecipação de itens no corte (LC_co) no exeplo 5. abela : Resultados das heurísticas de Poltroniere et al. (2008). LC_se LC_co CL_se CL_co Exeplos F.O. Folga F.O. Folga F.O. Folga F.O. Folga % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Na abela 2 são apresentados os resultados obtidos co a resolução dos odelos utilizando o pacote coputacional Cplex 2.6. E todos os exeplos a deanda das bobinas foi auentada e 0%. Para a resolução dos odelos LC e LCVC considera-se os odelos originais co variáveis inteiras e o tepo coputacional foi liitado e 600 segundos na tentativa de obter ua solução exata. Para o odelo LC foi considerado liite superior para o Dki núero de obetos NB = i =. t b No odelo LCGG prieiraente é resolvida a relaxação linear de fora ótia e posteriorente considerando-se soente as colunas da solução ótia da relaxação linear é dado u liite de 600 segundos para que o pacote encontre ua solução inteira. 3660

10 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL abela 2: Soluções obtidas co a resolução dos odelos. LCGG LC LCVC Exeplos F.O. epo (s) F.O. epo (s) F.O. epo (s) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ não foi encontrada solução factível no liite de tepo dado ~ aproxiadaente Destaca-se na abela 2 os resultados obtidos ao se resolver o odelo LCGG pois nu tepo coputacional aproxiado de 5 segundos encontra-se soluções uitas vezes elhores do que as encontradas pelas heurísticas desenvolvidas e Poltroniere et al. (2008). Deve-se observar que co exceção dos casos e que a folga das heurísticas da abela é de 0% os resultados não são totalente coparáveis pois nos odelos apresentados na abela 2 a folga foi sepre de 0%. O odelo LC não consegue provar a otialidade para nenhu exeplo as encontra soluções factíveis para 3 exeplos dentro do tepo disponível. Já o odelo LCVC não consegue encontrar soluções factíveis e 600 segundos. 5.3 Relaxações Versões relaxadas dos odelos apresentados na Seção 3 tabé fora resolvidas co o obetivo de prover liitantes inferiores para os exeplos e consequenteente ter u parâetro de teste para a qualidade das heurísticas. Na abela 3 alé dos padrões de corte que á estava relaxados nas tabelas apresentadas anteriorente relaxaos tabé as variáveis binárias de preparação de áquina que passara a sere consideradas contínuas entre 0 e be coo as variáveis relativas ao problea da ochila que representa a quantidade de cada ite presente e cada padrão de corte. Dentre os liitantes inferiores obtidos pelos odelos destaca-se aqueles obtidos pelo odelo LCVC. Alé disso vale destacar que esses liitantes não estão uito distantes das soluções heurísticas apresentadas nas abelas e 2 o que perite observar a qualidade das heurísticas. O tepo coputacional para o odelo LCGG é uito próxio do apresentado na abela 2 pois a aior parte do tepo é gasta no processo de geração de colunas. O processo de arredondaento (da abela 2) leva u tepo insignificante devido ao núero restrito de colunas consideradas. abela 3: Solução da relaxação linear (inclusive das variáveis relativas ao problea da ochila). LCGG LC LCVC Exeplos F.O. epo(s) F.O. epo(s) F.O. epo(s) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

11 SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Co o intuito de obter liitantes inferiores ainda ais apertados na abela 4 tê-se os resultados dos odelos LC e LCVC ao tentar resolver o problea co as variáveis de preparação binárias e as restantes contínuas (inclusive as variáveis relativas ao problea da ochila). Observa-se que neste caso não faz sentido a aplicação do odelo LCGG pois seria ua solução heurística á que ne todas as colunas estaria disponíveis no processo de arredondaento. Alé disso só é possível garantir que se te u liitante inferior quando os odelos LC e LCVC resolve o problea de fora ótia o que ocorreu para todas as instâncias nu tepo coputacional bastante baixo. Novaente destaca-se os liitantes obtidos pelo odelo LCVC. abela 4: Solução do problea co variáveis de preparação binárias e as deais contínuas. LC LCVC Exeplos F.O. epo(s) F.O. epo(s) Conclusões e perspectivas futuras Este trabalho considerou o odelo para o problea integrado corte de estoque e diensionaento de lotes proposto por Poltroniere et al. (2008). rês odelagens ateáticas fora ipleentadas e resolvidas heuristicaente usando o pacote Apl/Cplex 2.6. Versões relaxadas dos odelos fora tabé resolvidas co o obetivo de obter liitantes inferiores para a solução do problea integrado. As soluções heurísticas obtidas usando o pacote coputacional Cplex 2.6 ostrara-se satisfatórias sendo que para alguns exeplos os resultados obtidos fora elhores que os obtidos por Poltroniere et al. (2008). Os resultados apresentados ostra que as relaxações consideradas fornecera bons liitantes inferiores para o problea integrado. Coo propostas futuras pretende-se desenvolver étodos de solução para auxiliar na resolução dos odelos ateáticos de fora exata e/ou heurística via pacote de otiização. Os testes coputacionais deverão ser realizados para u conunto aior de dados considerando probleas aiores. Alguns testes iniciais realizados e Poldi e Arauo (204) ostra que o problea de corte de estoque ultiperíodo que aparece no contexto do problea integrado pode ser be resolvido quando o odelo de fluxo e arcos é utilizado. Assi podeos utilizar estes odelos ateáticos de fora conunta co as heurísticas propostas e Poltroniere et al. (2008). Referências bibliográficas Correia.H. Oliveira J.F. Ferreira J.S. Reel and sheet cutting at a paper ill. Coputers & Operations Research Dckhoff H. A new linear prograing approach to the cutting stock proble. Operations Research 29(6) Farle A.A. atheatical Prograing odels for Cutting-Stock Probles in the Clothing Industr. Operational Research Societ Gilore P.C. Goor R.E. A linear prograing approach to the cutting stock proble. Operations Research

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