NOVOS MODELOS E ALGORITMOS PARA A PROGRAMAÇÃO INTEGRADA DE VEÍCULOS E TRIPULAÇÕES

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1 NOVOS MODELOS E ALGORITMOS PARA A PROGRAMAÇÃO INTEGRADA DE VEÍCULOS E TRIPULAÇÕES RESUMO Bruno de Athayde Prata Centro de Tecnologia Universidade Federal do Ceará Teresa Galvão Dias Departaento de Engenharia Industrial e Gestão Faculdade de Engenharia - Universidade do Porto Jorge Pinho de Sousa INESC Porto, Faculdade de Engenharia Universidade do Porto A prograação integrada de veículos e otoristas e transportes públicos de passageiros é u problea difícil de Otiização Cobinatória, objeto de investigação continuada ao longo dos últios anos. Diversos trabalhos tê ostrado que abordagens exatas de resolução para este problea não são úteis na prática, devido ao elevado custo coputacional envolvido. Este artigo apresenta novos odelos para o problea de prograação integrada de veículos e tripulantes, baseado no Problea de Máxia Cobertura. São tabé propostas técnicas etaheurísticas para o problea. Experientos coputacionais são apresentados e discutidos. Os resultados obtidos aponta para a possibilidade de, co o uso da abordage proposta, se obter ganhos significativos e teros de custos de operação. ABSTRACT The integrated vehicle and crew scheduling proble is a hard and widely studied Cobinatorial Optiization proble. Several studies have shown that exact approaches for this proble are not useful in practical situations due to the high coputational costs involved. This paper describes new atheatical integrated odels for vehicle and crew scheduling. These odels are based on the Maxiu Covering Proble forulation. In addition, etaheuristics are proposed for the proble. Coputational results with real vehicle and crew scheduling proble instances are presented and discussed. These results indicate that the proposed approach has a considerable potential for achieving significant gains in ters of operation costs. 1. INTRODUÇÃO No que concerne aos ônibus, o planejaento dos transportes urbanos pode ser decoposto nas seguintes etapas (CEDER, 2002): definição da rede de transportes, definição da tabela de horários, prograação dos veículos, prograação das tripulações e rotação das tripulações. A prograação de veículos e de tripulações tê sido objeto de inúeras atividades de pesquisa, devido aos ganhos significativos que pode resultar da sua otiização (DADUNA e PAIXÃO, 1995; WREN e ROSSEAU, 1995). Por outro lado, diversos pesquisadores tê relatado a forte interação entre os probleas de escalonaento de veículos e de otoristas e os ganhos e considerá-los conjuntaente (FRIBERG e HAASE, 1999; GAFFI e NONATO, 1999; FRELING et al., 1999). O problea integrado é usualente denoinado Vehicle and Crew Scheduling Proble VCSP. Vários trabalhos tabé relata a dificuldade e solucionar o VCSP de fora exata (FRIBERG e HAASE, 1999; GAFFI e NONATO, 1999; FRELING et al., 1999; FRELING et al., 2003), fato que aconselha a adoção de técnicas heurísticas para a sua resolução. Abordagens baseadas e étodos exatos, tais coo Branch-and-Bound, Branch-and-Cut, geração de colunas e relaxações lagrangeanas são apresentadas por Friberg e Haase (1999), Gaffi e Nonato (1999), Haase et al. (2001), Freling et al. (2001), Fischetti et al. (2001), 973

2 Freling et al. (2003), Huisan (2004), Huisan et al. (2005), Weider (2007), Groot e Huisan (2008) e Mesquita e Paias (2008). As abordagens baseadas e étodos exatos, e alguns casos, se ostra inviáveis, devido aos tepos coputacionais elevados. Outras liitações de tais abordagens consiste na elevada quantidade de parâetros a ser ajustada. Abordagens baseadas e heurísticas e eta-heurísticas são reportadas e Ball et al. (1983), Falkner e Ryan (1992), Patrikalakis e Xerocostas (1992), Wren e Gualda (1999), Valouxis e Housos (2002), Rodrigues et al. (2006), Laurent e Hao (2007) e Steinzen et al. (2007). Estas abordagens padece de pouca generalidade, no sentido e que são uito específicas aos probleas para os quais fora desenvolvidas e de que não fora reportados experientos e u grande núero de instâncias. O objetivo do trabalho reportado neste artigo foi elaborar novos odelos ateáticos para o VCSP, baseados no Problea de Máxia Cobertura (Maxiu Covering Proble MCP) e, co base nesses odelos, desenvolver novas abordagens para a sua resolução. O trabalho é coposto por ais quatro seções. Na segunda seção, são apresentadas as novas forulações propostas para o VCSP. Na terceira seção, são apresentadas as abordagens heurísticas desenvolvidas para o VCSP. Na quarta seção, são apresentados os resultados coputacionais obtidos, e instâncias adaptadas da literatura e e probleas reais. Por fi, na quinta seção, apresenta-se alguas conclusões e possíveis desenvolvientos futuros. 2. ABORDAGEM PROPOSTA: PROBLEMA DE MÁXIMA COBERTURA 2.1 Prograação de veículos e tripulações se changeovers Dada ua atriz A, co a ij {0,1}, o Maxiu Covering Proble (MCP) consiste e cobrir a aior quantidade de linhas da atriz A co ua quantidade de colunas da atriz A enor ou igual a u valor previaente estipulado d. Neste odelo, as trocas de tripulante por veículo (changeovers) são proibidas, sendo que cada coluna corresponde ao serviço de u otorista. Cada linha representa u trao, isto é viage do ônibus. Considera-se as seguintes variáveis de decisão binárias: z i = 1, se o i - ésio trao é coberto por u serviço presente na solução 0, caso contrário, i M 1, se o j - ésio serviço faz parte da solução x j = 0, caso contrário, j N O objetivo consiste e iniizar o núero de traos descobertos. Assi, ua variante do MCP, aplicada ao VCSP se changeovers, pode ser forulada coo segue: z i i= 1 Miniizar z = Sujeito a: n a ij x j + j=1 z = 1 i = 1,,. i (1) (2) 974

3 n j =1 x j d x j {0,1} j= 1,, n. z i 0 i= 1,,. (3) (4) (5) A função objetivo (1) procura iniizar o núero de traos descobertos. Caso o i-ésio trao não possa ser coberto, o conjunto de restrições do tipo (2) iplica que z i = 1. E conseqüência, te-se que a integralidade das variáveis z i pode ser relaxada. A restrição (3) ipõe que u núero áxio de d colunas da atriz A seja selecionado na solução. Note-se que as variáveis do tipo z pode ser consideradas coo variáveis auxiliares, pois, na verdade, não se caracteriza efetivaente coo decisões. Se z i = 1, então ocorre u leftover. 2.2 Prograação de veículos e tripulações co changeovers Na odelage proposta, a inovação consiste no fato que os serviços são gerados diretaente sobre as viagens e não sobre blocos de viaturas definidos previaente, coo ocorre na abordage seqüencial tradicional. Co base e ua tabela de horários e e restrições laborais, são gerados serviços de pessoal tripulante, de odo a conceber ua atriz de serviços (atriz A). Co base na esa tabela de horários, são prograados os veículos para realizare as viagens. Assi, a prograação dos tripulantes não está atrelada à prograação dos veículos, coo ocorre na abordage seqüencial. Abas as prograações (veículos e tripulações) são relacionadas co a tabela de horários. O objetivo seria cobrir a deanda (viagens) co os recursos disponíveis (veículos e tripulações). Te-se, então, u problea de cobertura co últiplos recursos. As variáveis de decisão (binárias) deste odelo associadas aos serviços são as definidas na seção 2.1: z i e x j. As variáveis de decisão (binárias) associadas aos veículos são as seguintes: 1, se o veículo cobre a viage k exactaente após a viage i y ik = 0, caso contrário, i,k M Maxiizar Sujeito a: i= 1 k= 1 i= 1 z i i= 1 c ik y ik y 1 k M ik y 1 i M ik k= 1 n a ijx j + j=1 n j=1 x j d z = 1 i = 1,,. i (6) (7) (8) (9) (10) 975

4 x j {0,1} j= 1,, n. z i 0 i= 1,,. y ik 0 i,k M co c ik =1 se i α k, caso contrário c ik = (11) (12) (13) A função objetivo do problea (6) é coposta por duas parcelas: a prieira, que procura cobrir todas as viagens co a enor quantidade de veículos possível, e a segunda, que se destina a iniizar a quantidade de traos descobertos por serviços de tripulação. Os conjuntos de restrições (7) e (8) ipõe que u veículo cubra ua viage apenas ua vez. Visto que a atriz de coeficientes das restrições de u problea de alocação é uniodular, a integralidade das variáveis y ik pode ser relaxada. Caso o i-ésio trao não possa ser coberto, o conjunto de restrições do tipo (9) iplica que z i = 1. E conseqüência desta restrição, tese que a integralidade das variáveis z i pode ser relaxada. A restrição (10) ipõe que u núero áxio d de colunas da atriz A seja selecionado na solução. Os conjuntos de restrições (11), (12) e (13) dize respeito à definição das variáveis do odelo. 3. META-HEURÍSTICAS PARA O VCSP 3.1 GRASP Procurando obter u procediento eficiente e flexível para resolver o VCSP se changeovers, desenvolveu-se ua abordage eta-heurística do tipo GRASP, ipleentada e MATLAB (vide Quadro 1). Quadro 1: Heurística GRASP para a variante do MCP. Parâetros: α, nu_iter, nu_sol enquanto i nu_iter faça Fase de construção Algorito de elhoria Atualiza elhor solução encontrada i i +1 fi-do-enquanto Para a fase de construção, a heurística clássica de Chvátal, procediento desenvolvido para o Set Covering Proble (SCP), foi adaptada ao MCP. Para a fase de busca local, foi adaptado o algorito de elhoria de Beasley e Chu (1998) para o Set Partitioning Proble (SPP). O parâetro α que regula a construção gulosa aleatorizada da eta-heurística GRASP foi calibrado de fora reativa, tal coo proposto por Prais e Ribeiro (2000). No que concerne ao núero de iterações GRASP, este parâetro, apesar de ipactar a qualidade das soluções geradas, não é de difícil calibração. No sentido de gerir o trade-off entre qualidade da solução gerada e tepo de processaento, adotou-se u valor nu_iter = 200. O parâetro nu_sol diz respeito ao núero de vezes que é executado o algorito de elhoria. E outras palavras, nu_sol representa a quantidade de soluções vizinhas pesquisadas no processo de busca local. Após experientos, adotou-se u valor nu_sol =, pois se verificou que valores elevados de nu_sol incorria e aiores tepos de processaento e não trazia benefícios proporcionais a esse acréscio de tepo. 976

5 3.2 GRASP / Algorito Genético Foi desenvolvida ua abordage heurística para o VCSP co changeovers. Tendo e vista o grande núero de variáveis do problea, a abordage heurística proposta segue o princípio da decoposição desenvolvido por Steinzen et al. (2007), segundo o qual o vehicle scheduling e o crew scheduling são decopostos, as há ua concatenação entre os dois probleas. Para a prograação de veículos, foi desenvolvida ua heurística GRASP (vide Quadro 2). A fase de construção é coposta por ua heurística onde ua função gulosa Γ é usada na inserção de viagens e cada veículo. Para cada veículo, calcula-se a diferença entre o tepo de térino da últia viage alocada naquele veículo e as deais viagens. A fase de elhoria é coposta por dois tipos de ovientos: oviento de inserção caudal e oviento de inserção de blocos. O oviento de inserção caudal consiste na realocação das últias viagens de u bloco para outro, de odo a equilibrar as viagens por veículo. O oviento de inserção de blocos te coo eta equilibrar as quantidades de viagens alocadas entre os veículos, por eio da inserção de subconjuntos de viagens (blocos) dos veículos ais utilizados para veículos enos utilizados. Quadro 2: Heurística GRASP para a prograação de veículos. Parâetros: nu_iter Fase de construção Moviento de inserção caudal i 0 enquanto i nu_iter faça Moviento de inserção de blocos i i +1 fi-do-enquanto Para a resolução do crew scheduling, foi desenvolvido u Algorito Genético (AG) híbrido (vide Quadro 3). O AG proposto consiste e ua adaptação do algorito proposto por Beasley e Chu (1998) à forulação de áxia cobertura. A codificação adotada para o AG foi a binária. Quadro 3: Algorito Genético proposto. Passo 1: Gerar aleatoriaente ua população de soluções viáveis. Passo 2: Avaliar as soluções geradas. Enquanto geração atual núero áxio de gerações, faça Passo 3: Efetuar seleção por torneio. Passo 4: Realizar o cruzaento unifore co probabilidade p c =100%. Passo 5: Realizar utação da prole co probabilidade p =100%. Passo 6: Aplicar os procedientos DROP e ADD. Passo 7: Avaliar a aptidão da solução gerada. Passo 8: Substituir o pior indivíduo da população pela solução gerada. Fi-do-enquanto Ipriir a elhor solução obtida Ebora os indivíduos da população inicial seja viáveis, após as operações de recobinação e utação, esta viabilidade certaente será transgredida. Por isso é necessário corrigir a 977

6 inviabilidade da solução, be coo elhorar a solução corrigida. Neste sentido, fora adaptados para o problea de áxia cobertura, os procedientos de elhoria propostos para o SPP por Beasley e Chu (1998). Para itigar o problea da convergência preatura da população, foi desenvolvido o seguinte procediento para reposição das soluções. Se a prole gerada tiver elhor aptidão do que o indivíduo co pior aptidão na população, a prole ingressa na população no lugar do pior indivíduo. Caso a prole gerada não tenha ua elhor aptidão do que o indivíduo de pior aptidão na população, ocorrerá a substituição co ua probabilidade de 5%. Os parâetros utilizados nas heurísticas propostas são os seguintes: heurística para prograação de veículos: nu_iter: nv/2 ; AG: taanho da população (axpop): 100; núero de gerações (axgen): 10000; e probabilidade de utação (p ): 100%. 4. RESULTADOS COMPUTACIONAIS 4.1 Instâncias utilizadas Fora realizados experientos coputacionais co instâncias para o VCSP se changeovers e co changeovers. Deve-se observar a iportância de se considerar estas duas variantes do VCSP, já que, de acordo co suas regras de operação, o sistea de transporte público pode operar co a perissão da troca de otoristas entre veículos, be coo co a sua proibição. Logo, a abordage proposta pode se adequar a diferentes casos de estudo. A seguir, na Figura 1, é apresentada ua visão esqueática dos testes coputacionais. As variantes estudadas para o VCSP são se changeovers (C1) e co changeovers (C2). As instâncias estudadas fora de três grupos: SPP (NWXX), SCP (4.XX) e real world instances (RWXXX). No que concerne aos étodos de resolução, fora adotados u algorito de Branch-and-Bound (B&B) disponibilizado pelo solver utilizado, o GRASP e o GRASP/AG desenvolvidos neste trabalho. Figura 1: Síntese dos testes coputacionais. NWXX 4.XX RWXXX C1 x x variante C2 x B&B x x x étodo de GRASP x x resolução GRASP/AG x 4.2 Branch-and-Bound Para o caso do VCSP se changeovers, fora adaptadas instâncias dos probleas SPP e SCP disponíveis na biblioteca de Pesquisa Operacional OR-Library ( As instâncias fora divididas e dois grupos: NWXX, para os probleas adaptados do SPP, e 4.XX, para os probleas adaptados do SCP. A conversão das instâncias dos probleas supracitados foi feita da seguinte fora: fora utilizadas as atrizes A de cada instância, sendo ignorados os custos inerentes às colunas. Atribuiu-se u valor do núero áxio de colunas equivalente a 0.2. Os experientos fora realizados co o software LINGO, co o odelo dado pelas equações (1) a (5). Caso a solução ótia não fosse obtida e 3600 segundos, o solver era parado e guardava-se a elhor solução obtida. Os experientos fora realizados e u 978

7 processador Genuine Intel 1.86 GHz co 1GB de eória RAM. As características das instâncias são as seguintes (vide Tabelas 1 e 2): núero de linhas da atriz A (), núero de colunas da atriz A (n), núero áxio de colunas a sere utilizadas na solução (d) e densidade da atriz A (ρ). O valor de ρ é obtido pela divisão do núero de eleentos da atriz A iguais a 1 pelo núero total de eleentos de A. Estas inforações consta nas colunas 1 a 5 das Tabelas 1 e 2. A coluna 6 apresenta o valor da solução obtida para o problea co relaxação da integralidade das variáveis x e a coluna 7, o tepo de processaento para resolução do problea relaxado. Na coluna 8 consta o núero de iterações do algorito siplex para resolução do problea relaxado. Na coluna 9 está a solução obtida para o problea binário; na 10, o tepo de processaento para resolução do problea binário; na 11, o núero de nós do algorito Branch-and-Bound; e na coluna 12, o nuero de ierações. O duality gap, apresentado na coluna 13, é o desvio percentual relativo entre o zip e o zlp. Tabela 1: Características das instâncias e resultados do solver instâncias adaptadas do SCP. 1. instância n 4. d 5. ρ (%) 6. zlp 7. tzlp(s) 8. núero de iterações 9. zip 10. tzip(s) 11. # nós (B&B) 12. núero de iterações 13. duality gap (%) , , , , , , , , , , No que se refere à forulação proposta para o VCSP co changeovers, fora efetuados experientos coputacionais e instâncias reais, advindas do sistea de transporte público de Fortaleza, no Nordeste do Brasil. No sistea de transportes coletivos por ônibus de Fortaleza, changeovers não são peritidos. Contudo, tal restrição foi relaxada para ua avaliação teórica do odelo proposto. Na Tabela 3, são apresentados os resultados dos experientos coputacionais para o caso e que changeovers são peritidos e os veículos são alojados e u único depósito. A coluna 1 consiste na identificação da instância, representada pelo núero da linha. A coluna 2 apresenta o núero de viagens da linha. A coluna 3, o núero de serviços gerados. Na coluna 4, é ilustrado o tepo de ciclo da linha. No sistea de transporte público por ônibus de Fortaleza, este tepo varia ao longo do dia. Portanto, é apresentada a oda da variável tepo de ciclo. Na coluna 5, é apresentada a densidade da atriz de serviços gerados; na 6, a quantidade áxia de colunas a copore a solução; na 7, o núero de colunas utilizado na solução. Na coluna 8, apresenta-se o núero de veículos obtido na solução ótia do odelo; na 9, consta o núero de traos descobertos; na 10, o tepo de processaento para obtenção da solução ótia; e na coluna 11, consta o núero de nós do B&B. Os experientos fora realizados e u processador Genuine Intel 1.86 GHz co 1GB de eória RAM. 979

8 Tabela 2: Características das instâncias e resultados do solver instâncias adaptadas do SPP. 1. instância n 4. d 5. ρ (%) 6. zlp 7. tzlp(s) 8. núero de iterações 9. zip 10. tzip(s) 11. # nós (B&B) 12. núero de iterações 13. duality gap (%) NW , NW ,30 0, NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW ,18 0, NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , NW , Tabela 3: Características das instâncias e resultados do solver instâncias co changeovers. 1. Instância n 4. tepo de ciclo (in) 5. ρ (%) 6. d 7. x 8. # veículos 9. z 10. t(s) 11. # nós (B&B) RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW605/ , RW , RW , RW , RW , RW , RW , RW ,

9 4.3 GRASP Nas Tabelas 4 e 5, são apresentadas as soluções obtidas pela heurística GRASP, be coo sua perforance coputacional, expressa e teros de tepo de processaento. Tabela 4: Soluções obtidas pela heurística GRASP proposta instâncias adaptadas do SCP. Instância percentual de cobertura (c) gap (%) tepo zip elhor pior édia elhor pior édia édio (s) ,0 89,0 87,0 87,9-1,0 1,0 0,1 601, ,5 90,0 88,5 88,7-1,5 0,0-0,2 634, ,5 88,5 88,0 88,2 0,0 0,5 0,3 623, ,0 88,5 87,5 88,4-0,5 0,5-0,4 653, ,5 89,5 88,0 88,7-1,0 0,5-0,2 618, ,0 89,5 87,0 87,75-0,5 2,0 1,3 599, ,0 89,0 87,5 88,25 0,0 1,5 0,8 585, ,0 89,0 87,0 88,15 2,0 4,0 2,8 608, ,5 89,5 86,5 87,5-1,0 2,0 1,0 597, ,5 88,0 86,0 87 1,5 3,5 2,5 612 Tabela 5: Soluções obtidas pela heurística GRASP proposta instâncias adaptadas do SPP. Instância percentual de cobertura c (%) gap (%) tepo édio zip elhor pior édia elhor pior édia (s) NW41 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,1 NW32 94,7 94,7 94,7 94,7 0,0 0,0 0,0 0,1 NW40 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,1 NW08 87,5 87,5 83,3 84,2 0,0 4,2 3,3 20,3 NW15 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 6,3 NW21 100,0 100,0 96,0 98,8 0,0 4,0 1,2 9,9 NW22 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,1 NW12 81,5 81,5 81,5 81,5 0,0 0,0 0,0 0,1 NW39 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 1,1 NW20 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,2 NW23 89,5 89,5 78,9 83,2 0,0 10,5 6,3 11,7 NW37 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,7 NW26 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,1 NW10 79,2 79,2 75,0 75,4 0,0 4,2 3,8 39,0 NW34 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 1,5 NW43 94,4 94,4 94,4 94,4 0,0 0,0 0,0 1,4 NW42 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,3 NW28 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,7 NW25 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,7 NW38 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 5,0 NW27 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,6 NW24 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 8,7 NW35 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 8,4 NW36 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 4,8 NW29 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 4,8 NW30 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,7 NW31 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 25,9 NW19 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 9,0 NW33 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,2 NW07 100,0 100,0 100,0 100,0 0,0 0,0 0,0 97,8 Co relação ao conjunto de dados do SPP adaptados para o MCP (instâncias NWXX), podese observar que, para as 30 instâncias analisadas, o algorito GRASP conseguiu obter a solução ótia para todos os probleas (pelo enos ua vez nas 10 rodadas realizadas). E 26 destas instâncias, o algorito obteve a solução ótia e todas as 10 execuções. 981

10 Co relação ao conjunto de dados do SCP adaptados para o MCP, pode-se ainda observar que, para as 10 instâncias testadas, as quais não possue a solução ótia deterinada, e duas o algorito obteve o eso valor de zip, e duas o algorito obteve resultados piores do que o de zip e e 6 instâncias, o algorito obteve elhores resultados do que zip. Tais resultados deonstra a eficácia da abordage proposta, e teros de conseguir obter soluções de qualidade para conjuntos de dados co diferentes características (quantidades de linhas e colunas, densidades, núero áxio de colunas). Nos testes realizados nas instâncias adaptadas do SPP, e 14 dos 30 conjuntos de dados observou-se que o GRASP obteve u tepo de processaento édio inferior a 1 segundo. Nos testes efetuados co as instâncias adaptadas do SCP, o GRASP utilizou u tepo de processaento cerca de 6 vezes enor do que o étodo exato, e, ainda assi, conseguiu obter elhores soluções. 4.4 GRASP/AG Confore relatado anteriorente, o GRASP destina-se à prograação dos veículos e o AG destina-se à prograação de tripulações. Para cada instância, as heurísticas para prograação de veículos e de tripulações fora rodadas e seqüência, sendo chaadas no eso bloco de execução. Na Tabela 6 é apresentada ua coparação entre as soluções obtidas pelo AG e as soluções ótias obtidas pelo B&B. Para as 200 execuções do AG, este obteve a solução ótia e 163 rodadas, consubstanciando e u aproveitaento de 81,5%. E 14 das 20 instâncias analisadas, o AG conseguiu obter a solução ótia e todas as 10 execuções do algorito, apontando para a eficácia do eso. Tabela 6: Coparação entre o étodo exato e o Algorito Genético proposto. Problea percentual de cobertura (c) gap (%) Soluções ótias e zip elhor pior édia elhor pior édia 10 execuções do GA RW406 94,1 94,1 91,8 92,0 0,0 2,4 2,1 1 RW504 84,4 84,4 84,4 84,4 0,0 0,0 0,0 10 RW905 85,7 85,7 85,7 85,7 0,0 0,0 0,0 10 RW13 85,3 85,3 85,3 85,3 0,0 0,0 0,0 10 RW833 87,5 87,5 87,5 87,5 0,0 0,0 0,0 10 RW015 86,5 86,5 86,5 86,5 0,0 0,0 0,0 10 RW501 84,4 84,4 84,4 84,4 0,0 0,0 0,0 10 RW407 83,6 83,6 83,6 83,6 0,0 0,0 0,0 10 RW466 85,1 85,1 75,7 84,2 0,0 9,5 0,9 10 RW609 87,0 87,0 81,2 82,9 0,0 5,8 4,1 3 RW907 90,3 90,3 83,3 88,8 0,0 6,9 1,5 3 RW810 84,4 84,4 84,4 84,4 0,0 0,0 0,0 10 RW605/606 87,2 87,2 86,0 86,9 0,0 1,2 0,3 8 RW081 76,3 76,3 76,3 76,3 0,0 0,0 0,0 10 RW070 91,6 89,2 88,0 88,3 2,4 3,6 3,3 0 RW102 91,3 91,3 83,7 90,5 0,0 7,7 0,9 8 RW201 86,3 86,3 86,3 86,3 0,0 0,0 0,0 10 RW411 82,1 82,1 82,1 82,1 0,0 0,0 0,0 10 RW316 87,3 87,3 87,3 87,3 0,0 0,0 0,0 10 RW913 87,5 87,5 87,5 87,5 0,0 0,0 0,

11 Deve observar-se que a heurística GRASP proposta para a prograação de veículos obteve o núero ótio de veículos e todas as replicações do algorito. No que concerne ao AG desenvolvido para a prograação de tripulantes, a heurística supracitada obteve a solução ótia e 19 das 20 instâncias analisadas (a solução ótia do problea 70 não foi encontrada pelo AG). 5. CONCLUSÕES Neste trabalho fora apresentadas novas forulações para a prograação integrada de veículos e de tripulações e sisteas de transporte público, baseadas no Maxiu Covering Proble MCP. Tanto quanto é do conheciento dos autores, não existe nenhu outro trabalho que reporte forulações deste tipo para este problea. Por outro lado, procurando obter-se u procediento eficiente e flexível para resolver o problea, desenvolveu-se ua abordage eta-heurística do tipo GRASP, cujo desepenho, nos experientos realizados, foi uito bo, visto que foi obtido u gap édio de 0,6%, para as 40 instâncias analisadas. Para o caso do VCSP co changeovers, nas 20 instâncias analisadas, pode-se constatar que o tepo coputacional édio requerido pelo B&B, para a obtenção da solução ótia, é de apenas 13,5 segundos. Deste odo, a nova forulação proposta representa u ganho do ponto de vista prático, constituindo u instruento interessante no apoio ao planejaento operacional e epresas de transporte público. O AG desenvolvido para o VCSP co changeovers apresentou u desepenho satisfatório, visto que foi obtido u gap édio de 0,7% nas 20 instâncias analisadas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ball, M.; Bodin, L.; Dial, R. (1983) A atching based heuristic for scheduling ass transit crews and vehicles. Transportation Science, vol. 17, p Beasley, J. E.; Chu, P.C. (1998) Constraint handling in genetic algoriths: the set partitioning proble. Journal of Heuristics, vol. 11, p Ceder, A. (2002) Urban transit scheduling: fraework, review and exaples. Journal of Urban Planning and Developent, v. 128, p Daduna, J. R., Paixão, J. M. P. (1995) Vehicle Scheduling for public ass transit an Overview. In: Daduna, J. R.; Branco, I.; Paixão, J. M. P. (Eds.) Coputer-Aided Transit Scheduling. Lecture Notes in Econoics and Matheatical Systes, Springer, vol. 430, p Falkner, J. C.; Ryan, D. M. (1992) EXPRESS: Set partitioning for bus crew scheduling in Christchurch. In: Desrochers, M.; Rosseau, J. M. (Eds.) Coputer-Aided Transit Scheduling: Proceedings of the Fifth International Workshop, Springer, p Fischetti, M.; Lodi, A.; Martello, S.; Toth, P. (2001) A polyhedral approach to siplified crew scheduling and vehicle scheduling probles. Manageent Science, vol. 47, n. 6, p Freling, R., Wagelans, A. P. M., Paixão, J. M. P. (1999) An overview of odels and techniques for integrating. In: Wilson, N. H. M. (Ed.) Coputer-aided Transit Scheduling, Lecture Notes in Econoics and Matheatical Systes, Springer, v. 471, p , Springer. Freling, R.; Huisan, D.; Wagelans, A.P.M. (2001) Applying an integrated approach to vehicle and crew scheduling in practice. In: Voβ, S.; Daduna, J. R. (Eds.) Coputer-aided Transit Scheduling, Lecture Notes in Econoics and Matheatical Systes, Springer, v. 505, p , Springer. Freling, R., Huisan, D., Wagelans, A. P. M. (2003) Models and algoriths for integration of vehicle and crew scheduling. Journal of Scheduling, v. 6, p Friberg, C., Haase, K. (1999) An exact branch and cut algorith for the vehicle and crew scheduling proble. In: Wilson, N. H. M. (Ed.) Coputer-aided Transit Scheduling, Lecture Notes in Econoics and Matheatical Systes, Springer, v. 471, p , Springer. Gaffi, A., Nonato, M. (1999) An integrated approach to ex-urban crew and vehicle scheduling proble. In: Wilson, N. H. M. (Ed.) Coputer-aided Transit Scheduling, Lecture Notes in Econoics and Matheatical Systes, Springer, v. 471, p , Springer. 983

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