SIMULATED ANNEALING APLICADO À PROGRAMAÇÃO DA TRIPULAÇÃO NO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO

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1 SIMULATED ANNEALIN APLICADO À PRORAMAÇÃO DA TRIPULAÇÃO NO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO Prof. Dr. ustavo Peixoto Silva Departamento de Engenharia de Produção, Administração e Economia Universidade Federal de Ouro Preto Campus Universitário, s/n CEP gpsilva@em.ufop.br Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto Campus Universitário, s/n CEP marcone@iceb.ufop.br Acadêmico José Maria do Carmo Bento Alves Departamento de Engenharia de Produção, Administração e Economia Universidade Federal de Ouro Preto Campus Universitário, s/n CEP jmalves@uai.com.br ABSTRACT This paper proposes a implementation to solve Brazilian crew scheduling problem through the metaheuristic Simulated Annealing. This implementation considers three different movements: task inclusion, task change and piece of duty change. Such movements are used to perform a more efficient search into the solutions space. With this optimization system it is expected to solve real problems reducing operational costs, since most of the Brazilian public transportation companies do not apply this kind of tool. KEYWORDS: Crew Scheduling, Simulated Annealing, Public Transport. 1. INTRODUÇÃO O Problema de Programação de Tripulações (PPT) de um Sistema de Transporte Público consiste em determinar o número mínimo necessário de tripulações (motoristas e cobradores), tal que a programação dos veículos (conjunto de viagens atribuídas a cada veículo) seja realizada com sucesso. A solução deste problema também envolve o seqüenciamento das atividades de cada tripulação, gerando um conjunto de jornadas de trabalho, cujo custo operacional total seja mínimo. Este problema se torna complexo devido às restrições operacionais vigentes nas empresas e às cláusulas contidas nas Convenções Coletivas de Trabalho. A importância do estudo do PPT se deve pelo impacto desta componente nos custos totais das empresas que atuam no sistema (Bouzada 2002). O PPT tem sido largamente estudado sendo que a abordagem mais explorada é aquela que o formula como um problema de recobrimento ou de particionamento (set covering ou set partitioning model) e utiliza a técnica de geração de colunas para resolvê-lo (Smith e Wren 1988, Desrochers e Soumis 1989, Desrochers et al. 1992, Fores 1996, Barnhart et al 1998, Haase e Friberg 1999). A variedade de trabalhos deriva das diferentes possibilidades de se encontrar uma solução inteira a partir da solução do Problema de Programação Linear. As técnicas mais exploradas são a de branch-and-bound, branch-and-price e a relaxação lagrangeana, as quais permitem formas alternativas de implementação. Os sistemas heurísticos foram os primeiros a serem utilizados na resolução do PPT (Elias 1964). Tais sistemas consistem na automação do trabalho antes realizado ENEEP 2002 ABEPRO 1

2 manualmente. Entretanto eles não foram capazes de detectar possibilidades de otimização. Manington e Wren (1975) iniciaram a inclusão de procedimentos de otimização neste tipo de sistema (Wren e Rousseau 1995). Com o surgimento de metaheurísticas tais como Algoritmos enéticos (oldberg 1989), Busca Tabu (lover 1989, lover 1990), Simulated Annealing (Kirkpatrick et al., 1983) entre outras, abriu-se um novo horizonte na resolução de problemas NP-difíceis como o PPT. Embora tais métodos não garantam a obtenção do ótimo global, eles permitem incluir com facilidade qualquer tipo de restrição. Dentre os trabalhos metaheurísticos mais relevantes que envolvem a programação da tripulação destacamos: Clement e Wren (1995), Wren e Wren (1995), Kwan, et al. (1999) e Shen e Kwan (2001). Mais recentemente, com o desenvolvimento teórico no campo da otimização, e o rápido avanço tecnológico, tornou-se possível abordar os problemas de programação de veículos e tripulação de forma integrada. Wren e ualda (1999) resolvem inicialmente o problema de programação de veículos incluindo restrições referentes à tripulação. Posteriormente o PPT é resolvido de tal maneira que as restrições trabalhistas sejam satisfeitas com facilidade. Para obter uma indicação do benefício obtido com a integração dos dois problemas, Freling et al. (1999) resolvem o PPT independentemente e propõem uma formulação matemática para o problema integrado. Este modelo se baseia na técnica de geração de colunas com aplicação de relaxações lagrangeanas. Neste caso, o problema principal, correspondente à relaxação lagrangeana, contém as restrições trabalhistas. Os subproblemas, que são problemas de caminho mínimo, correspondem à factibilidade das jornadas. Resultados de aplicações práticas deste modelo são apresentados em Freling et al. (2001). Embora o PPT tenha sido largamente estudado e aplicado nos países mais desenvolvidos, suas técnicas de resolução são pouco difundidas e raramente aplicadas à nossa realidade. Isso se deve, em parte, pelo estágio primário em que se encontram as empresas do setor de transporte público no Brasil. Por outro lado, as principais restrições presentes neste problema estão relacionadas ao cumprimento das legislações trabalhistas e às normas operacionais vigentes nas empresas que atuam no sistema. Tais fatores impedem que um modelo desenvolvido no Reino Unido, por exemplo, seja aplicado no Brasil. Este trabalho apresenta um procedimento heurístico para solucionar o PPT, tomando como base a metaheurística Simulated Annealing. Tal escolha se justifica visto que as metaheurísticas têm sido pouco exploradas na resolução deste problema. Elas se mostram promissoras por facilitarem a inclusão de restrições operacionais, muitas vezes impossíveis de serem consideradas em modelos de programação matemática. Por outro lado, essa metaheurística é robusta, de fácil implementação, e produz soluções de boa qualidade, as quais ainda podem ser posteriormente refinadas por outros métodos de otimização (Dowsland 1993). Com a implementação desta proposta pretende-se criar um modelo para um caso brasileiro e encontrar uma técnica eficiente de resolução do respectivo PPT. Assim, é esperado alcançar os seguintes objetivos: i) desenvolver um modelo que possa atender às necessidades de um caso brasileiro, ii) difundir a utilização de técnicas de otimização na operação do sistema de transporte público, possibilitando a redução dos seus custos operacionais, e iii) empregar metaheurísticas ainda pouco exploradas na resolução do PPT. Este trabalho está organizado como segue: na seção 2 a metaheurística Simulated Annealing é apresentada, na seção 3 é explicado como é feita a programação diária da tripulação. Na seção 4 mostra-se como a metaheurística está sendo aplicada na resolução do PPT. Finalmente, na seção 5, comenta-se sobre os resultados esperados. 2. SIMULATED ANNEALIN ENEEP 2002 ABEPRO 2

3 Simulated Annealing é uma classe de metaheurística proposta originalmente por (Kirkpatrick et al., 1983) sendo uma técnica de busca local probabilística, que se fundamenta em uma analogia com a termodinâmica, ao simular o resfriamento de um conjunto de átomos aquecidos. Esta técnica começa sua busca a partir de uma solução inicial qualquer. O procedimento principal consiste em um loop que gera aleatoriamente, em cada iteração, um único vizinho s da solução corrente s. A cada geração de um vizinho s de s, é testada a variação do valor da função objetivo, isto é, = f(s ) f(s). Se < 0, o método aceita a solução e s passa a ser a nova solução corrente. Caso 0 a solução vizinha candidata também poderá ser aceita, mas neste caso, com uma probabilidade e - /T, onde T é um parâmetro do método, chamado de temperatura e que regula a probabilidade de aceitação de soluções com custo pior. A temperatura T assume, inicialmente, um valor elevado T 0. Após um número fixo de iterações (o qual representa o número de iterações necessárias para o sistema atingir o equilíbrio térmico em uma dada temperatura), a temperatura é gradativamente diminuída por uma razão de resfriamento α, tal que T n α T n-1, sendo 0 < α < 1. Com esse procedimento, dá-se, no início uma chance maior para escapar de mínimos locais e, à medida que T aproxima-se de zero, o algoritmo comporta-se como o método de descida, uma vez que diminui a probabilidade de se aceitar movimentos de piora (T 0 e - /T 0). O procedimento pára quando a temperatura chega a um valor próximo de zero e nenhuma solução que piore o valor da melhor solução é mais aceita, isto é, quando o sistema está estável. Os parâmetros de controle do procedimento são a razão de resfriamento α, o número de iterações para cada temperatura (SAmax) e a temperatura inicial T PRORAMAÇÃO DIÁRIA DA TRIPULAÇÃO No transporte público, usualmente a programação da tripulação é feita após a programação dos veículos. Nesta as viagens são reunidas em Blocos. Um bloco apresenta a seqüência de viagens que um determinado veículo tem que realizar em um dia, começando e terminando na garagem. Cada bloco mostra também as Oportunidades de Troca (OT). A OT é um intervalo de tempo suficiente para haver a troca das tripulações. A cada oportunidade de troca está associado um Horário de Troca (HT) e um Ponto de Troca (PT), os quais representam, respectivamente, a hora e o local onde poderá haver uma troca de tripulação. A partir do bloco de um veículo são criadas as Tarefas. Cada tarefa é um conjunto de viagens reunidas de maneira que haja apenas duas OT: uma no início e outra no final da tarefa. Assim, durante sua realização não é possível que haja troca de tripulação. A programação de uma tripulação é formada por um conjunto de tarefas, chamado de Jornada. As jornadas são divididas em dois tipos: Pegada Simples ou Dupla Pegada. No primeiro tipo as tarefas são realizadas de uma única vez e os intervalos de tempo entre as tarefas são iguais ou menores que 2 horas. Caso ocorra um intervalo maior que duas horas a jornada é classificada como dupla pegada. Este intervalo não é contabilizado na remuneração da tripulação. Ao se reunir as tarefas formando as jornadas deve-se levar em conta inúmeras restrições operacionais e trabalhistas, tais como: a) A troca da tripulação só pode ocorrer em pontos preestabelecidos; b) A tripulação só pode operar veículos de um mesmo grupo de linhas; c) A jornada diária de trabalho é de 7:10 horas, podendo ser acrescida de no máximo 2:00 horas extras; d) Uma tripulação tem direito a 30 minutos de descanso durante sua jornada diária de trabalho, podendo este período ser fracionado em intervalos menores, desde que um deles seja maior ou igual a 15 minutos. Restrições deste tipo ENEEP 2002 ABEPRO 3

4 tornam problemas reais intratáveis computacionalmente, justificando a utilização de metaheurísticas na resolução dos mesmos. 4. SIMULATED ANNEALIN APLICADO NA RESOLUÇÃO DO PPT Como foi dito anteriormente a técnica SA começa a partir de uma solução inicial, caminha por uma estrutura de vizinhanças minimizando a função objetivo. Nesta seção descreveremos como esta técnica será empregada para solucionar o PPT As Estruturas de Vizinhanças Simulated Annealing pode ser convenientemente caracterizado como uma forma de busca em uma vizinhança, onde cada solução s S tem um conjunto associado de vizinhos, N(s) S chamado de vizinhança de s. Qualquer solução s N(s) pode ser alcançada diretamente de s a partir de um movimento. Movimento 1 Inserir Tarefa. Este movimento consiste em atribuir uma tarefa de uma tripulação i a uma tripulação j. Para gerar esse movimento são sorteadas duas tripulações quaisquer, i e j, com a condição que a tripulação i tenha pelo menos uma tarefa. A seguir, sorteia-se uma tarefa da tripulação i, sobre a qual faz-se o movimento. Na figura 1 o movimento é explicado detalhadamente. Em (a) temos as duas tripulações antes do movimento formando uma solução s. Em (b) ocorre o movimento, nesta figura mostra-se que a tarefa escolhida passa da tripulação i para a j e que, portanto, as ligações anteriores entre as tarefas deixam de existir (linhas tracejadas da figura). Já em (c) podemos ver as tripulações i e j constituindo a nova solução s vizinha de s. (a) Tarefa Escolhida (b) (c) Figura 2: Movimento Inserir Tarefa Movimento 2 Trocar Duas Tarefas. Este movimento consiste em trocar duas tarefas p e q, escolhidas aleatoriamente, entre duas tripulações i e j. Para gerar esse movimento são sorteadas duas tripulações quaisquer, i e j, com a condição que as duas tenham pelo menos uma tarefa. A seguir, sorteia-se uma tarefa de cada tripulação, e faz-se a permutação das tarefas entre os tripulantes. Na figura 2 que ilustra o movimento, temos em (a) as duas tripulações de uma solução s antes da troca. Em (b) ocorre o movimento. Nesta figura são mostradas as duas tarefas escolhidas, as quais mudam de tripulação. Em (c) podemos ver as novas programações das tripulações i e j constituindo uma nova solução s vizinha de s. Movimento 3 Trocar Dois Pedaços de Jornada. Este movimento consiste em sortear duas tarefas p e q de duas tripulações distintas i e j. Uma nova programação para a tripulação i é obtida compondo-se sua programação anterior (excluindo-se o pedaço de jornada que se inicia na tarefa p) com o pedaço de jornada da tripulação j que se inicia na tarefa q. De forma similar obtém-se uma programação para a tripulação j. Para gerar esse movimento são sorteadas duas tripulações quaisquer i e j, com a condição que as duas tenham pelo menos uma tarefa. A seguir, ENEEP 2002 ABEPRO 4

5 sorteia-se uma tarefa de cada tripulação, sobre as quais faz-se o movimento. Na fig. 4 são mostradas as jornadas das tripulações i e j antes (a), durante (b) e após o movimento (c). (a) 1 ª Tarefa Escolhida 2 ª Tarefa Escolhida (b) (c) Figura 3: Movimento Trocar Duas Tarefas (a) 1 ª Tarefa Escolhida 2 ª Tarefa Escolhida (b) (c) Figura 4: Trocar Dois Pedaços de Jornadas 4.2. A Função Objetivo A função a ser minimizada, que avalia a programação da tripulação, tem os seguintes objetivos: i) Eliminação de inviabilidades Esta parte da função objetivo procura eliminar completamente todas as inviabilidades da programação da tripulação. São consideradas as seguintes inviabilidades: (a) Sobreposição de Tarefas: uma tripulação não pode realizar mais de uma tarefa ao mesmo tempo; (b) Troca de Pontos Proibida: uma tripulação não pode realizar duas tarefas consecutivas na qual o ponto de troca do final da primeira seja diferente do ponto de troca do início da segunda, e o intervalo entre elas seja menor do que o tempo necessário para ir de um ponto a outro; (c) Horas Excedentes: por determinações trabalhistas uma tripulação não pode exercer mais que 9:10 horas de atividades diárias; (d) Folga Acumulada Deficiente: durante a realização de uma jornada de trabalho a tripulação tem direito a uma folga de 30 minutos destinada à refeição. Por acordo feito pelos trabalhadores, esta folga pode ser dividida e distribuída no decorrer do dia, conquanto que uma das frações seja de pelo menos 15 minutos. A função de inviabilidade (f(s)) de uma solução s é avaliada por: m n f s ) = i= 1 j= 1 ( α (1) i B ij ENEEP 2002 ABEPRO 5

6 em que n: número de tripulações; m: número de tipos de inviabilidades; α i : peso relativo à inviabilidade i; B ij : valor da inviabilidade i na programação da tripulação j. ii) Redução de custos Esta segunda parte da função objetivo tem por finalidade minimizar os custos operacionais da programação corrente. Considera-se os seguintes custos: (a) Duplas Pegadas: o algoritmo procura reduzir o número de tripulações que têm jornadas do tipo dupla pegada; (b) N-uplas Pegadas: quando na jornada diária de uma tripulação ocorre mais de um intervalo entre tarefas maior que 2 horas, esta jornada é caracterizada como uma n-upla pegada, sendo sua ocorrência indesejável; (c) Horas Extras: o número de horas que superam 7:10 horas e não ultrapassam 9:10 horas diárias é considerado hora extra. Este montante é minimizado; (d) Troca de Pontos Permitida: uma troca de pontos é permitida quando uma tripulação realiza duas tarefas consecutivas, cujo ponto de troca do final da primeira é diferente do ponto de início da segunda, e o tempo para ir de um para o outro é menor que o intervalo entre elas. Apesar de permitida é desejável que não haja muitas trocas desse tipo; (e) Troca de Veículos: quando uma tripulação realiza uma tarefa em um veículo e, após o término desta, troca de veículo e realiza uma outra tarefa. (f) Número de Tripulantes: o número total de tripulações deve ser minimizado até o ponto que o número de horas extras não seja excessivamente grande. A função de redução de custo (g(s)) relativa a uma solução s é avaliada por: g( s) p n = i= 1 j= 1 β C + n (2) em que n: número de tripulações; p: número de tipos de custos; β i : peso que reflete a importância do custo i; C ij : Valor do custo i na programação da tripulação j. i ij iii) Maximização da utilização da mão-de-obra esta última parte da função objetivo tem a finalidade de aproveitar ao máximo o tempo de cada tripulação. Ela é formada por apenas um componente, a Ociosidade. Esta é a soma dos tempos que uma tripulação deixa de trabalhar nas 7:10 horas diárias, descontado o intervalo de 30 minutos para refeição. A função que mensura a utilização da mão-de-obra (h(s)) é calculada por: n O i i= 1 h( s) = σ (3) em que n: número de tripulações; σ : peso que reflete a importância da ociosidade; O i : valor da ociosidade da tripulação i; A fórmula representativa da função objetivo total a ser minimizada é dada por: FO ( s) = f ( s) + g( s) + h( s) (4) em que s: solução corrente; f(s): função de inviabilidade da solução s; g(s): função custo da solução s; h(s): função utilização da mão-de-obra na solução s; ENEEP 2002 ABEPRO 6

7 4.3. Esquema do Algoritmo Passo 1 erar as tarefas. Tomando como base a programação dos veículos, o algoritmo particiona os blocos nas OT s, agrupando as viagens em tarefas. Passo 2 Obter uma solução inicial. Estima-se um número de tripulações, muito maior do que o necessário, e a elas são distribuídas, aleatoriamente, as tarefas que foram geradas no passo anterior. Passo 3 Minimizar a função objetivo (4) usando a técnica de Simulated Annealing. A técnica Simulated Annealing é usada para minimizar a função objetivo (4), procurando eliminar as inviabilidades operacionais, minimizar os custos da programação e maximizar a utilização da mão-de-obra. Passo 4 Aumentar se necessário o número de tripulações. Se a melhor solução encontrada no passo anterior tiver alguma inviabilidade, o número de tripulações escolhido pode não ter sido suficiente, assim é preciso elevar a quantidade de tripulações e retornar ao passo 3. Passo 5 Parar se a solução for satisfatória. Se a solução for considerada satisfatória sob o ponto de vista do usuário parar, senão reaquecer o sistema a partir da solução corrente e retornar ao passo RESULTADOS ESPERADOS Este trabalho propõe uma implementação da metaheurística Simulated Annealing para resolver o PPT, considerando-se a realidade operacional de empresas brasileiras de transporte público. A implementação proposta conta com três movimentos distintos, os quais deverão ser explorados para a obtenção da combinação mais eficiente, levando-se em conta o tempo de processamento e a acuidade das soluções obtidas. Este trabalho conta com a participação de uma empresa de transporte público que opera no município de Belo Horizonte e da BHTRANS, empresa gestora do transporte público no município. Assim, pretende-se realizar um estudo de caso considerando os dados e as regras operacionais vigentes na empresa prestadora do serviço de transporte público. Os resultados serão analisados sob diferentes óticas, ou seja, do ponto de vista da empresa de transporte e da empresa gestora do sistema de transporte público municipal. Apesar das dificuldades inerentes à resolução do PPT, espera-se obter uma redução significativa nos custos referentes à mão-de-obra operacional. Tal pressuposto se deve aos levantamentos previamente realizados, mostrando que a totalidade das empresas que operam no município de Belo Horizonte não utilizam qualquer tipo de sistema computacional para definir os turnos de trabalho das tripulações. 6. REFERÊNCIAS BIBLIORÁFICAS Barnhart, C.; Johnson, E. L.; Nemhauser,. L.; Savelsbergh, M. W. P.; Vance, P. H. (1998) Branch-and-price: column generation for solving huge integer programs. Operations Research, v.46, p Bouzada, C. F (2002) Análise das despesas administrativas no custo do transporte coletivo por ônibus no município de Belo Horizonte. Dissertação de mestrado, Escola de overno, Fundação João Pinheiro, Belo Horizonte. Clement e Wren (1995) reedy genetic algorithms, optimizing mutantis and bus driver scheduling. In: Daduna, J. R.; Branco, I.; Paixão, J. M. P. (eds.), p ENEEP 2002 ABEPRO 7

8 Constantino, A. A. e A.. Novaes. (1995) Escalonamento de Tripulação por Computador: Revisão de Modelos e Algoritmos. Anais do IX Congresso de Pesquisa e Ensino em Transporte, ANPET, São Carlos, v. 3, p Daduna, J. R.; Branco, I.; Paixão, J. M. P. (eds.) (1995) Computer-Aided Transit Scheduling. Springer-Verlag, Berlin. Desrochers, M; ilbert, J.; Sauve, M.; Soumis, F. (1992) CREW-OPT: Subproblem modeling in a column generation approach to urban crew scheduling. In Desrochers, M.; Rousseau, J. M. (eds.), p Desrochers, M.; Rousseau, J. M. (eds.) (1992) Computer-Aided Transit Scheduling. Springer-Verlag, Berlin. Desrochers, M. e F. Soumis. (1989) A Column eneration approach to the urban transit crew-scheduling problem. Transportation Science, v. 23, n. 1, p Dowsland, K.A. (1993) Simulated Annealing, In Reeves, C.R. (ed.), Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems, Blackwell Scientific Publications, Elias, S. E.. (1964) The use of digital computers in the economic scheduling for both man and machine in public transport. Technical Report 49, Kansas State University Bulletin, Kansas, EUA. Fores, S. (1996) Column generation approach for bus driver scheduling. PhD Thesis, University of Leeds, Leeds, UK. Freling, R.; Huisman, D.; Wagelmans, A. P. M. (2001) Applying an integrated approach to vehicle and crew scheduling in practice. In Voß, S; Daduna, J. (eds.), p Freling, R.; Wagelmans, A. P. M.; Paixão, J. M. P. (1999) An overview of models and techniques for integrating vehicle and crew scheduling. In Wilson, N. H. M. (ed.), p lover, F. (1989) Tabu search: Part I. ORSA Journal on Computing, 1, p lover, F. (1990) Tabu search: Part II. ORSA Journal on Computing, 2, p oldberg, D. E. (1989) enetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley, Berkeley. Haase, K.; Friberg, C. (1999) An exact algorithm for the vehicle and crew scheduling problem. In Wilson, N. H. M. (ed.), Springer-Verlag, Berlin, p Kirkpatrick, S.; D. C. ellat e M. P. Vecchi. (1983) Optimization by Simulated Annealing. Science, p Kwan, A. S. K.; Kwan, R. K.; Wren, A. (1999) Driver scheduling using genetic algorithms with embedded combinatorial traits. In: Wilson, N. H. M. (ed.), Springer-Verlag, Berlin, p Manington, P. D.; Wren, A. (1975) Experiences with a bus scheduling algorithm which saves vehicles. In: Workshop on Automated Techniques for Scheduling of Vehicle Operators for Urban Public Transportation Services, Chicago. Mingozzi, A.; M. A. Boschetti; S. Ricciardelli e L. Bianco. (1999) A set Partitioning Approach to the Crew Scheduling Problem. Operations Research, v. 47, n. 6, p Shen, Y.; Kwan, R. S. K. (2001) Tabu Search for driver scheduling. Berlin, In Voß, S; Daduna, J. (eds.), p Smith, B. M.; Wren, A. (1988) A bus crew scheduling system using a set covering formulation. Transportation Research, v.22a, p Voß, S; Daduna, J. (eds.) (2001) Computer-Aided Scheduling of Public Transport, Springer-Verlag, Berlin. Wilson, N. H. M. (ed.) (1999) Computer-Aided Transit Scheduling, Springer-Verlag, Berlin. Wren, A. (1972) Bus scheduling: an interactive computer method. Transportation Planning and Technology, v.1, p ENEEP 2002 ABEPRO 8

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