Novas Aplicações da Formulação de Injeção de Corrente em Sistemas Elétricos de Potência

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1 Novas Aplicações da Forulação de Injeção de Corrente e Sisteas Elétricos de Potência Carlos Aparecido Ferreira DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA ELÉTRICA. Aprovada por: Prof. ander Menengoy da Costa, D. Sc. (orientador) Prof. Ricardo Bernardo Prada, D. Sc. Prof. Danilo Pereira Pinto, D. Sc. Prof. André Luís Marques Marcato, D. Sc. JUIZ DE FORA, MG BRASIL DEZEMBRO DE 003

2 FERREIRA, CARLOS APARECIDO Novas Aplicações da Forulação de Injeção de Corrente e Estudos de Sisteas Elétricos de Potência [Juiz de Fora] 003 XII, 9 p. 9,7 c (UFJF, M.Sc., Engenharia Elétrica, 003) Tese Universidade Federal de Juiz de Fora.. Sisteas Elétricos de Potência. Forulação de Injeção de Corrente 3. Controle de Tensão 4. Fluxo de Potência de Segunda Orde 5. Ponto de Máxio Carregaento I. UFJF II. Título (série). ii

3 Ao Deus de Jesus Cristo, de Aor e Misericórdia iii

4 Agradecientos Aos eus pais Carlos Huberto Ferreira e Neuza Maria de Lia Ferreira pelo aor e pela dedicação aos filhos. Aos eus irãos Caio, Tá e Cláudia pelo aor e pela aizade. Ao professor ander Menengoy da Costa pela correção, seriedade, ética, respeito, copetência, atenção, paciência e aizade. Ao professor Francisco José Goes pela iniciação científica e aos colegas do PET. Ao Engº. Luciano Contin Goes Leite pelo apoio técnico e pela aizade. A todos os professores e funcionários da Faculdade de Engenharia pela fundaental contribuição à inha foração. Aos aigos Jagner, Áthila, Rafael, Felipe, Ricardo, Elerson, Débora, Márcio, Marina, Geraldinho e Gilson. À vó, tio Antônio, tia Márcia, Tatõe e Lucélia. Ao Sr. Hélio C. Raos pelos conselhos e pela orientação espiritual. À dona Hercília pelo exeplo de vida e à Rita pela presteza. À Tati pela ternura, pelo copanheiriso, pelos conselhos e pela paciência. Aos professores, colegas e funcionários da Escola Municipal Aélia Mascarenhas, Escola Estadual Prof. Cândido Mota Filho, Escola Estadual Delfi Moreira e do Colégio Técnico Universitário. Aos Engenheiros da ELETROBRÁS George Alves Soares, Fernando Dias Perrone e anda Alves dos Santos pelo apoio e pelos conselhos na reta final deste trabalho. Aos colegas das ELETROBRÁS, e especial Bráulio, Leonardo, Marcel e iviane pelo apurado senso de huor, e por todas as tratativas. Aos copanheiros do JUDAC e do E.F.C. Ao povo Brasileiro pelos sofridos ipostos. iv

5 Resuo da tese de estrado apresentada à UFJF coo parte dos requisitos necessários à obtenção do grau Mestre e Ciências (M.Sc). Novas Aplicações da Forulação de Injeção de Corrente e Sisteas Elétricos de Potência Carlos Aparecido Ferreira 003 Orientador: ander Menengoy da Costa Prograa: Engenharia Elétrica Este trabalho apresenta novas aplicações da forulação de fluxo de potência via equações de injeção de corrente e diferentes áreas de estudo relacionadas aos sisteas elétricos de potência. Os tópicos abordados são a odelage do controle de tensão no problea do fluxo de potência continuado, o fluxo de potência de segunda orde e o étodo direto de obtenção do ponto de áxio carregaento. A odelage de dispositivos de controle de tensão no fluxo de potência continuado perite avaliar o perfil de tensão nas barras à edida que o carregaento do sistea varia. Através do fluxo de potência de segunda orde obté-se elhores características de convergência no cálculo do fluxo de potência. O étodo direto não soente fornece a arge de carregaento da rede elétrica, as tabé possibilita que valiosas inforações possa ser extraídas das coponentes do autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da atriz Jacobiana no ponto de áxio carregaento. A utilização da forulação de injeção de corrente reduz consideravelente o esforço coputacional. Esse ganho deve-se, principalente, à estrutura da atriz Jacobiana, constituída basicaente de eleentos da atriz aditância nodal, que peranece constantes durante todo processo iterativo. As etodologias desenvolvidas constitue-se e valiosas ferraentas de análise nas áreas de planejaento e operação. Alé disso, este trabalho contribui de ua fora significativa para o estudo de estabilidade de tensão, be coo apresenta resultados relevantes que claraente indica a possibilidade plena da utilização da forulação de injeção de corrente e várias outras áreas de estudo e sisteas elétricos de potência. v

6 Abstract of thesis presented to UFJF as partial fulfillent of the requireents for the degree of Master of Science (M.Sc). New Applications of Current Injection Power Flow Forulation in Power Electrical Systes Carlos Aparecido Ferreira 003 Supervisor: ander Menengoy da Costa Departent: Engenharia Elétrica This wor presents new applications of current injection power flow forulation in different areas related to power electrical systes. The subjects under study are the voltage control odeling in the continuation power flow, the second order power flow and finally, the direct ethod for obtaining the axiu loading point. The voltage control odeling incorporated into the continuation power flow proble perits to evaluate the voltage profile for all buses as the loading is varied. The second order power flow iproves the convergence characteristics of the power flow calculation. The direct ethod not only provides the loading argin, but also aes possible to extract valuable inforation fro the left eigenvector associated with the null eigenvalue of the Jacobian atrix at the axiu loading point. The use of the current injection forulation leads to a substantial saving in ters of coputational effort. This gain occurs, ainly, due to the Jacobian atrix structure, coposed basically of the nodal adittance atrix eleents, which are ept constant during all the iterative process. The proposed ethodologies ay play a vital role on the planning and operation areas. Besides, this wor contributes to the voltage stability study, as well as, presents relevant results that clearly indicate the possibility of using the current injection forulation in several different topics on power electrical systes. vi

7 Índice Introdução. Considerações Gerais. Motivações e Objetivos.3 Principais Contribuições do Trabalho 4.4 Publicações Decorrentes do Trabalho 5.5 Estrutura do Trabalho 5 Conceitos Preliinares 6. Controle de Tensão no Problea do Fluxo de Potência 6.. Introdução 6.. Controle Autoático de Tap (CAT) 7... Modelage Mateática 7... Liites dos Taps 9..3 Controle Secundário de Tensão (CST)..3. Fatores de Participação..3. Modelage Mateática..3.3 Liites de Geração de Potência Reativa 3. Fluxo de Potência Continuado 5.. Introdução 5.. Princípios Básicos 5..3 Etapa de Predição Forulação Convencional Polar Forulação de Injeção de Corrente 8..4 Etapa de Correção Forulação Convencional Polar Forulação de Injeção de Corrente..5 Fluxograa.3 Fluxo de Potência de Segunda Orde 3.3. Introdução 3.3. Método de Iwaotto 4.4 Método Direto de Obtenção do Ponto de Máxio Carregaento 7 vii

8 .4. Introdução 7.4. Metodologia Solução via Forulação Convencional Polar Fluxograa 3 3 Novas Aplicações da Forulação de Injeção de Corrente Metodologia Proposta para Inserção do Controle de Tensão no Fluxo Potência Continuado Caso Básico Inclusão do Controle Autoático de Tap - CAT Inclusão do Controle Secundário de Tensão - CST Exeplo Metodologia Proposto para o Fluxo de Potência de Segunda Orde Princípios Básicos: Barras do Tipo PQ Inclusão das Barras do Tipo P Metodologia de Solução Exeplo Metodologia Proposta para Obtenção do Ponto de Máxio Máxio Carregaento Algorito Básico: Barras do Tipo PQ Inclusão das Barras do Tipo P Exeplo 56 4 Resultados 6 4. Considerações Preliinares 6 4. Controle de Tensão IEEE-4 Barras IEEE-30 Barras IEEE-57 Barras IEEE-8 Barras IEEE-300 Barras Resuo Fluxo de Potência de Segunda orde IEEE-300 Barras 80 viii

9 4.3.. Caso Base - iável Caso Não-Solúvel Sistea Sudeste Brasileiro Caso Inviável Caso Não-Solúvel Contingência Caso Não-Solúvel Esforço Coputacional Método Direto de Obtenção do Ponto de Máxio Carregaento Ponto de Máxio Carregaento Análise do Autovetor à Equerda Desepenho Coputacional 94 5 Conclusões Considerações Gerais Sugestões para Estudos Futuros 96 Apêndice Forulações do Fluxo de Potência 98 A. Fluxo de Potência Convencional 98 A.. Coordenadas Polares 98 A.. Coordenadas Retangulares 99 A... Representação de Barras do Tipo PQ 99 A... Inclusão das Barras do Tipo P 0 A. Fluxo de Potência ia Equações de Injeção de Corrente 0 A.. Representação de Barras do Tipo PQ 0 A.. Inclusão das Barras do Tipo P 03 A..3 Atualização das Tensões 05 Apêndice Derivadas de Segunda Orde na Forulação Convencional Polar 06 Apêndice 3 Derivadas de Segunda Orde na Forulação Convencional Retangular 08 ix

10 Apêndice 4 Derivadas de Segunda Orde na Forulação de Injeção de Corrente 0 Apêndice 5 Dedução do Terceiro Tero Referente à Forulação Convencional Retangular 3 Apêndice 6 Modelo de Segunda Orde Referente à Forulação de Injeção de Corrente 8 Apêndice 7 Relação entre as Forulações Polar e de Injeção de Corrente 0 Referências Bibliográficas 3 x

11 Lista de Figuras Figura. Possibilidades de Aplicação da Forulação de Injeção de Corrente e Sisteas Elétricos de Potência 3 Figura. Sistea Teste 3 Barras - A 7 Figura. Sistea Teste 4 Barras - A Figura.3 Curva de Perfil de Tensão 6 Figura.4 Fluxograa do Fluxo de Potência Continuado Figura.5 Regiões de Solução do Fluxo de Potência 4 Figura.6 Fluxograa do Método Direto 33 Figura 3. Sistea Teste 5 Barras - A 34 Figura 3. Perfil de Tensão da Barra 4 43 Figura 3.3 Tap do Transforador entre as Barras 3 e 4 44 Figura 3.4 Perfil de Tensão da Barra 3 44 Figura 3.5 Potência Reativa Gerada na Barra 44 Figura 3.6 Potência Reativa Gerada na Barra 45 Figura 3.7 Sistea Teste 4 Barras B 56 Figura 4. Perfil de Tensão da Barra 9 63 Figura 4. Tap do Transforador entre as Barras 4 e 9 63 Figura 4.3 Perfil de Tensão da Barra 4 64 Figura 4.4 Potências Reativas Geradas nas Barras 3 e 8 64 Figura 4.5 Perfil de Tensão da Barra 9 66 Figura 4.6 Tap do Transforador situado entre as Barras 4 e 9 66 Figura 4.7 Perfil de Tensão da Barra 67 Figura 4.8 Perfil de Tensão da Barra 6 67 Figura 4.9 Potências Reativas Geradas nas Barras, 5 e 68 Figura 4.0 Perfil de Tensão da Barra 4 68 Figura 4. Potência Reativa Gerada na Barra 3 69 Figura 4. Perfil de Tensão da Barra 3 70 Figura 4.3 Perfil de Tensão da Barra 50 7 Figura 4.4 Tap dos Transforadores entre as Barras 0-5 e Figura 4.5 Perfil de Tensão da Barra 0 7 xi

12 Figura 4.6 Potências Reativas Geradas nas Barras 9 e 7 Figura 4.7 Perfil de Tensão da Barra Figura 4.8 Tap do Transforador Situado entre as Barras 38 e Figura 4.9 Perfil de Tensão da Barra Figura 4.0 Potências Reativas Geradas nas Barras 46 e Figura 4. Perfil de Tensão na Barra Figura 4. Potências Reativas Geradas nas Barras 4, 7, 73, 76, 70, 74 e Figura 4.3 Perfil de Tensão da Barra Figura 4.4 Tap do Transforador entre as Barras 900 e Figura 4.5 Perfil de Tensão da Barra Figura 4.6 Perfil de Tensão da Barra Figura 4.7 Gerações de Potência Reativa nas Barras 63, 7055 e Figura 4.8 Evolução da Função Objetivo F - IEEE 300 Barras / Case Base 8 Figura 4.9 Evolução da Função Objetivo - IEEE 300 / Não-Solúvel 8 Figura 4.30 Evolução da Função Objetivo F Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Inviável 84 Figura 4.3 Evolução da Função Objetivo F Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Não-Solúvel 86 Figura 4.3 Evolução da Função Objetivo F Sistea Sudeste Brasileiro / Contingência 87 Figura 4.33 Perfil de Tensão da Barra 5 / IEEE4 89 Figura 4.34 Perfil de Tensão da Barra 30 / IEEE Figura 4.35 Perfil de Tensão da Barra 3 / IEEE Figura 4.36 Perfil de Tensão da Barra 47 / IEEE 8 90 Figura 4.37 Perfil de Tensão da Barra 650 / IEEE Figura 4.38 Perfil de Tensão da Barra 9033 / Sistea Sudeste Brasileiro 9 Figura 4.39 Coponentes do Autovetor à Esquerda Referentes à Tensão / Sistea Sudeste Brasileiro 9 Figura 4.40 Coponentes do Autovetor à Esquerda Referentes ao Ângulo / Sistea Sudeste Brasileiro 93 Figura A5. Sistea Teste 3 barras B 3 Figura A6. Sistea Teste 3 barras C 8 xii

13 Lista de Tabelas Tabela. Sinal do Resíduo de Tensão / CAT 0 Tabela. Sinal do Resíduo de Tensão / CST 4 Tabela 3. Dados de Linha / Sistea Teste 5 Barras A 40 Tabela 3. Dados de Barra / Sistea Teste 5 Barras A 40 Tabela 3.3 CAT / Sistea Teste 5 Barras A 4 Tabela 3.4 CST / Sistea Teste 5 Barras A 4 Tabela 3.5 Dados de Linha / Sistea Teste 3 Barras C 49 Tabela 3.6 Dados de Barra / Sistea Teste 3 Barras C 49 Tabela 3.7 Dados de Linha / Sistea Teste 4 Barras B 56 Tabela 3.8 Dados de Barra / Sistea Teste 4 Barras B 56 Tabela 4. Características dos Sisteas Testes 6 Tabela 4. CAT / IEEE4 6 Tabela 4.3 CST / IEEE 4 6 Tabela 4.4 CAT / IEEE Tabela 4.5 CST / IEEE Tabela 4.6 CAT / IEEE Tabela 4.7 CST / IEEE Tabela 4.8 CAT / IEEE 8 73 Tabela 4.9 CST / IEEE 8 73 Tabela 4.0 CAT / IEEE Tabela 4. CST / IEEE Tabela 4. Resuo das Siulações 79 Tabela 4.3 alores de µ - IEEE Barras / Caso Base 80 Tabela 4.4 Coparação do Resultado do Fluxo de Potência-IEEE 300/Caso Base 8 Tabela 4.5 alores de µ IEEE 300 / Não-Solúvel 8 Tabela 4.6 Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência IEEE 300 / Não-Solúvel 83 Tabela 4.7 alores de µ - Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Inviável 83 Tabela 4.8 Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência - Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Inviável 84 xiii

14 Tabela 4.9 alores de µ Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Não-Solúvel 85 Tabela 4.0 Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência - Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Não-Solúvel 85 Tabela 4. alores de µ Sistea Sudeste Brasileiro / Contingência 86 Tabela 4. Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência - Sistea Sudeste Brasileiro / Contingência 87 Tabela 4.3 Tepo Coputacional / Fluxo de Potência de Segunda Orde 87 Tabela 4.4 Ponto de Máxio Carregaento (%) 88 Tabela 4.5 Análise do Autovetor à Esquerda Associado ao Autovalor Nulo 93 Tabela 4.6 Alterações no Sistea Sudeste 730 Barras 94 Tabela 4.7 Tepo Coputacional / Obtenção do Ponto de Máxio Carregaento 94 xiv

15 p.u. CAT CST n n P n PQ nl Sibologia Sistea e por unidade Controle autoático de tap Controle secundário de tensão Núero total de barras do sistea; Núero de barras do tipo P do sistea; Núero de barras do tipo PQ do sistea; Núero de linhas de transissão do sistea; I Corrente elétrica no rao no sentido de para ; I Corrente elétrica no rao no sentido de para ; a Tap do transforador do rao ; I Corrente elétrica injetada na barra ; Ir Coponente real da corrente elétrica injetada na barra ; I Coponente iaginária da corrente elétrica injetada na barra ; I r Resíduo da coponente real da corrente elétrica injetada na barra ; I Resíduo da coponente iaginária da corrente elétrica injetada na barra ; I Coponente real da corrente elétrica especificada injetada na barra ; esp r I Coponente iaginária da corrente elétrica especificada injetada na barra ; esp I Coponente real da corrente elétrica calculada injetada na barra ; calc r I Coponente iaginária da corrente elétrica calculada injetada na barra ; Y G B calc Matriz aditância nodal Y = G + jb; Matriz condutância nodal; Matriz susceptância nodal; y Aditância série do rao y = g+ jb; g b sh b Condutância série do rao ; Susceptância série do rao ; Susceptância shunt total do rao ; Módulo da tensão na barra ; esp alor especificado do ódulo da tensão na barra ; xv

16 calc alor calculado do ódulo da tensão na barra ; Correção do ódulo da tensão na barra ; θ Ângulo da tensão na barra ; θ Correção do ângulo da tensão na barra ; r Coponente real da tensão na barra ; Coponente iaginária da tensão na barra ; r Correção da coponente real da tensão na barra ; Correção da coponente iaginária da tensão na barra ; W J J P J I J R γ Autovetor noralizado à esquerda; Matriz Jacobiana genérica representando a linearização das equações do fluxo de potência; Matriz Jacobiana na forulação polar; Matriz Jacobiana na forulação injeção de corrente; Matriz Jacobiana na forulação retangular; Carregaento adicional do sistea; P Potência ativa líquida calculada na barra ; Q Potência reativa líquida calculada na barra ; esp P Potência ativa líquida especificada na barra ; esp Q Potência reativa líquida especificada na barra ; calc P Potência ativa líquida calculada na barra ; calc Q Potência reativa líquida calculada na barra ; P Resíduo de potência ativa líquida na barra ; Q Resíduo de potência reativa líquida na barra ; QG ax, Liite áxio de potência reativa gerada pela barra ; PG Potência ativa gerada pela barra ; QG Potência reativa gerada pela barra ; α Fator de participação do gerador i para o gerador j; i, j 0 PD 0 Q Potência ativa deandada pela barra que consta nos dados de entrada do sistea; Potência reativa deandada pela barra que consta nos dados de entrada do sistea; P Potência ativa deandada pela barra ; D xvi

17 Q Potência reativa deandada pela barra ; D P Fluxo de potência ativa da barra para a barra ; P Fluxo de potência ativa da barra para a barra ; Q Fluxo de potência reativa da barra para a barra ; Q Fluxo de potência reativa da barra para a barra ; ρ Passo para o parâetro da continuação; µ Fator de otiização de passo; BC Barra de tensão controlada ou barra piloto; φ Conjunto de barras adjacentes à barra, incluindo a própria barra ; H H J P J I J R Contador de iterações; Matriz Hessiana genérica; Matriz Hessiana na forulação polar; Matriz Hessiana na forulação injeção de corrente; Matriz Hessiana reduzida retangular; [ x] t etor [ x ] transposto ; As atrizes serão apresentadas e negrito e os vetores e negrito sublinhado. xvii

18 Capítulo Introdução. Considerações Iniciais Os sisteas elétricos de potência vê operando e condições cada vez ais sobrecarregadas. O cresciento da deanda de energia elétrica e da coplexidade dos sisteas não está sendo acopanhado por investientos, seja por otivos de orde econôica, abiental ou política. As incertezas e indefinições quanto ao odelo adotado para o setor elétrico são fatores que estão inibindo investientos nos últios anos. Considerando-se a perspectiva de cresciento econôico e a necessidade de se universalizar o acesso à energia elétrica, são necessários investientos e geração, transissão, distribuição, e prograas de conservação de energia elétrica e e pesquisa. É iprescindível o desenvolviento de ferraentas coputacionais de análise eficazes, robustas, que preveja a atuação de dispositivos de controle, que forneça indicativos sobre a arge de carregaento dos sisteas e que oriente os investientos dos escassos recursos econôicos. A ferraenta básica de análise e sisteas elétricos de potência é o cálculo do fluxo de potência. O cálculo do fluxo de potência é aplaente utilizado nas áreas de planejaento e operação. O problea consiste, basicaente, no cálculo das tensões nas barras e dos fluxos de potência e u sistea de transissão, dado u nível de carga especificado e u prograa de geração estabelecido. Tradicionalente, o problea é abordado sob u enfoque estático, considerando-se tanto as equações algébricas de potência, expressas e coordenadas polares ou retangulares das tensões, quanto as inequações referentes aos liites das variáveis envolvidas. Iportantes contribuições te sido dadas ao tea ao longo dos anos [,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, ]. U problea que surge no estudo do fluxo de potência, utilizando-se os étodos convencionais de solução, é quando o processo de convergência diverge ou anté-se oscilatório. Assi, não se pode assegurar que as condições de operação dadas não tê solução a partir da estiativa inicial, ou que o étodo falha na convergência, ebora exista solução. De odo a contornar tal dificuldade, utiliza-se o fluxo de potência de segunda

19 orde, no qual a solução das equações convencionais do fluxo de potência é tratada coo sendo u problea de prograação não-linear, cujo objetivo é iniizar ua função objetivo baseada nos resíduos de potência. Alé dos coponentes básicos dos sisteas elétricos de potência, existe dispositivos de controle que influencia as condições de operação, devendo desta fora ter suas equações incorporadas à forulação básica do problea de fluxo de potência. A inserção de dispositivos de controle é, portanto, u problea chave na solução do fluxo de potência. O transforador e fase, o transforador defasador e a excitação dos geradores são os dispositivos ais couns utilizados para controlar a tensão nua barra PQ, o fluxo de potência ativa nu rao e a tensão nua barra P, respectivaente. Por outro lado, a análise do fluxo de potência é tabé de sua iportância nos estudos relacionados à estabilidade de tensão, definida coo sendo a habilidade do sistea elétrico de potência e anter as tensões e níveis aceitáveis, tanto e condições norais de operação, coo após u distúrbio [3]. O principal fator que causa a instabilidade de tensão é a inabilidade do sistea e atender a deanda reativa após u distúrbio [4]. A ocorrência de probleas relacionados à estabilidade de tensão se deve ao fato dos sisteas elétricos estare operando cada vez ais próxios de seus liites. E [5, 6] são apresentadas ferraentas, critérios e etodologias para a análise do problea.. Motivações e Objetivos Usualente, o problea do fluxo de potência é expresso e função das equações de potência escritas e teros das coordenadas polares ou retangulares das tensões. Neste contexto, já existe odelos ateáticos desenvolvidos para o fluxo de potência de segunda orde, para o controle de tensão e para várias ferraentas de análise da estabilidade de tensão, dentre elas o fluxo de potência continuado, o ponto de áxio carregaento e a análise odal. A solução do problea de fluxo de potência via equações de injeção de corrente é apresentada e [7]. Nessa abordage, ua variável dependente adicional, introduzida para cada barra do tipo P, juntaente co ua equação adicional de restrição da tensão. A principal vantage desse étodo é que os blocos (x) fora da diagonal da atriz Jacobiana, são os eleentos da atriz aditância nodal, peranecendo constantes Q, é

20 durante todo o processo iterativo. Os eleentos diagonais são atualizados a cada iteração segundo o odelo de carga adotado. As referências [8, 9] apresenta a forulação auentada de solução do fluxo de potência, constituída das equações de injeção de corrente expressas e coordenadas retangulares, acrescidas do conjunto de equações referentes aos controles. A forulação de injeção de corrente apresenta a esa característica de convergência do étodo convencional baseado e equações de potência. ários dispositivos FACTS e controles são incorporados ao problea do fluxo de potência utilizando-se a forulação auentada. E [0] odela-se o fluxo de potência continuado integralente e função da forulação de injeção de corrente. Por outro lado, a odelage do ponto de áxio carregaento e da análise odal utiliza esta forulação juntaente co a forulação convencional de solução do fluxo de potência e coordenadas polares. A Figura. situa o trabalho proposto no contexto geral das possibilidades de aplicação da forulação de injeção de corrente e sisteas elétricos de potência. Possibilidades de Trabalhos Futuros Estiação de Estados Análise Dinâica Otiização Outras Áreas Forulação de Injeção de Corrente Análise Estática e Sisteas Elétricos de Potência Fluxo de Potência Continuado [0] Ponto de Máxio Carregaento [ 0 ] Controle de Tensão Fluxo de Potência de a Orde Ponto de Máxio Carregaento Análise Modal [0] Figura.: Possibilidades de Aplicação da Forulação de Injeção de Corrente e Sisteas Elétricos de Potência Tendo e vista a necessidade de desenvolviento de novas técnicas e etodologias para a solução dos probleas atuais, be coo a grande vantage coputacional já apresentada pela forulação de injeção de corrente frente à convencional, te-se e conforidade co o exposto na Figura., que o principal objetivo deste trabalho é dar 3

21 continuidade à pesquisa no sentido de avaliar a utilização da forulação de fluxo de potência via equações de injeção de corrente e diferentes tópicos de estudo relacionados aos sisteas elétricos de potência. Neste contexto, destaca-se: a) Modelage do controle de tensão no fluxo de potência continuado, peritindo avaliar os efeitos que tal controle exerce, tanto no que se refere ao auento da arge de carregaento, quanto na anutenção do perfil de tensão das barras; b) Cálculo do fluxo de potência de segunda orde, de odo a obter ua elhoria nas características de convergência do processo iterativo; c) Obtenção do ponto de áxio carregaento e consequenteente, das coponentes do autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da atriz Jacobiana..3 Principais Contribuições do Trabalho As principais contribuições deste trabalho de pesquisa são: Ipleentação do controle secundário de tensão via injeção de potência reativa feito por geradores e copensadores síncronos, be coo o controle de tensão via variação de taps dos transforadores no problea do fluxo de potência continuado, alé da avaliação dos efeitos de tais controles na estabilidade de tensão; Desenvolviento de ua nova etodologia para o cálculo do fluxo de potência de segunda orde, via forulação de injeção de corrente expressa e teros das coordenadas retangulares das tensões; Desenvolviento de ua nova etodologia para a obtenção do ponto de áxio carregaento, via forulação de injeção de corrente expressa e teros das coordenadas retangulares das tensões. 4

22 .4 Publicações Decorrentes do Trabalho Influência de Controles e Liites na Estabilidade de Tensão dos Sisteas Elétricos de Potência. Anais do SBPC, Recife, Brasil, 003; A Second Order Power Flow Based on Current Injections Equations. Subetido ao International Journal of Electrical Power & Energy Systes; Controle de Tensão no Fluxo de Potência Continuado Modelagens e Efeitos na Estabilidade de Tensão. Subetido à revista da Sociedade Brasileira de Autoática; oltage Stability Tools in Ters of Current Injection Power Flow Forulation. Subetido ao International Journal of Electrical Power & Energy Systes;.5 Estrutura do Trabalho O trabalho é dividido e cinco partes, sete apêndices e referências bibliográficas. Todo síbolo utilizado no texto, figura e/ou expressões te seu respectivo significado descrito na lista de síbolos. O segundo Capítulo apresenta ferraentas já existentes que são a base para os desenvolvientos apresentados no terceiro capítulo. O terceiro Capítulo apresenta novas aplicações da forulação de injeção de corrente e sisteas elétricos de potência. Ao final da apresentação de cada etodologia é apresentado u exeplo nuérico. No quarto Capítulo são apresentados e analisados os resultados obtidos, coparando-se as etodologias propostas co as convencionais. O quinto Capítulo apresenta as principais conclusões obtidas e sugestões de teas a sere pesquisados e trabalhos futuros. Os apêndices tê coo objetivo copleentar alguas partes do texto e deduzir expressões ateáticas. 5

23 Capítulo Conceitos Preliinares. Controle de Tensão no Problea do Fluxo de Potência.. Introdução E sisteas elétricos de potência, os ódulos das tensões sofre grande influência das variações das cargas. Caso não haja atuação de dispositivos de controle, à edida e que se auenta o carregaento, os valores das tensões pode alcançar níveis inaceitáveis, causando vários prejuízos para equipaentos, cargas e consuidores. As tensões e ua rede elétrica que opera sob condições confiáveis, não pode variar significativaente e relação a seus valores noinais. O trataento dispensado aos dispositivos de controle de tensão é u problea de sua iportância na solução do fluxo de potência. Os taps dos transforadores e a excitação dos geradores são dispositivos freqüenteente utilizados para controlar a tensão de ua barra. Por outro lado, deve-se tabé considerar nos étodos de solução do fluxo de potência os liites operacionais das grandezas envolvidas, de odo a se obter u ponto de operação que corresponda à operação real do sistea. Iportantes contribuições na área de controles e fluxo de potência te sido apresentadas ao longo dos últios anos [9,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. A incorporação de tais dispositivos e liites e u prograa de fluxo de potência pode ser feita utilizando-se a técnica dos ajustes alternados [30], onde após cada iteração as correções nas variáveis de controle são obtidas externaente à atriz Jacobiana. Essa estratégia não funciona adequadaente quando o sistea opera próxio do seu ponto de áxio carregaento, tendo coo conseqüência u elevado núero de iterações e, até eso, ua divergência no processo. E [9] é apresentada ua fora alternativa, adotada 6

24 neste trabalho, que consiste e odificar a atriz Jacobiana, incluindo as equações do controle desejado, de odo a obter as variáveis de controle via solução direta. O controle de tensão ve sendo utilizado por várias concessionárias de energia elétrica européias, coo é o caso da Electricité de France [3], da Red Eléctrica del Spaña [3], e da italiana ENEL [33]. E [34] é apresentado u estudo no sistea Belgo. No Brasil, trabalhos ve sendo realizados sobre a possibilidade de adoção de estratégias de controle de tensão e deterinadas regiões, coo no leste de Minas Gerais [35], na área do Rio de Janeiro[36] e na região Sul do País [37]... Controle Autoático de Tap (CAT) No CAT, a variação do tap de u transforador é usada para controlar a tensão e ua barra de carga terinal ou reota do transforador.... Modelage Mateática Neste caso, insere-se as equações de controle à atriz Jacobiana, incluindo os taps dos transforadores coo novas variáveis de estado e forando u sistea de equações auentado. A atuação deste controle no processo iterativo ocorre quando o resíduo áxio de potência reativa for enor que ua tolerância pré-estabelecida. A Figura. ilustra ua topologia siples, na qual o tap do transforador controla a tensão na barra. A barra cujo ódulo da tensão é controlada é denoinada do tipo PQ. Assi sendo, o sistea de equações a ser resolvido a cada iteração do étodo de Newton-Raphson é apresentado na equação (.). 3 PQ :a PQ θ Figura.: Sistea Teste 3 Barras - A 7

25 P H H H3 N N N3 a P H H H3 N N N P 3 a θ P P θ 3 H3 H3 H33 N3 N3 N 33 P3 a θ3 Q = Q M M M3 L L L3 Q a Q Q 3 M M M3 L L L 3 3 a a Q3 M3 M3 M33 L3 L3 L33 a (.) Observa-se da equação (.) que a atriz Jacobiana convencional é acrescida de ua linha e ua coluna. A linha adicional conté os eleentos nulos, exceto na coluna relativa à tensão da barra PQ a ser controlada. Essa linha é obtida a partir da linearização da seguinte equação: resultando: onde: = (.) esp calc = (.3) = (.4) esp calc Os eleentos da coluna adicional corresponde às derivadas parciais das equações de potência e relação à nova variável de estado, a. Essa coluna é não nula apenas nas posições relativas ao rao no qual o transforador está situado, pois: P a Q a 3 3 = = 0 P a Q a P a P = a Q = a P = a (.5) (.6) (.7) (.8) 8

26 fora: Q a Q = a Considerando-se que e transforadores g = 0, te-se: Q a Q a P a = b senθ = a b + b P a cosθ = b senθ = a b + b cosθ A cada iteração atualiza-se o valor do tap: (.9) (.0) (.) (.) (.3) h h h a + = a + a (.4) Consequenteente, atualiza-se a atriz aditância nodal a cada iteração da seguinte Y = Y ( a ) y + ( a ) y h h+ Y = Y + ay a y (.5) h h+ Y = Y... Liites dos Taps Os transforadores de tap variável possue liites operacionais ínio e áxio para a faixa de operação do tap. A verificação dos liites de tap dos transforadores, para u dado carregaento γ, te início assi que o CAT coeçar a atuar. Se o liite é violado, o transforador te seu tap fixado no liite violado e, portanto, a barra de tensão controlada é convertida de PQ para PQ, deixando de ter o ódulo de tensão especificado no problea de fluxo de potência. Após u transforador ter seu tap fixo, deve-se testar, a cada iteração posterior, a possibilidade de voltar a ter tap variável. Isso é feito através da verificação do sinal do resíduo de tensão da barra de tensão controlada. Seja u sistea genérico no qual u transforador co tap variável é conectado entre as barras e, onde o valor do tap é referido à barra. À edida que o valor do tap 9

27 do transforador auenta, há ua tendência do ódulo da tensão auentar na barra e diinuir na barra. Portanto, se a barra controlada for a barra e o tap violar o seu liite áxio, o tap será especificado no valor do liite violado e o ódulo da tensão da barra tenderá a diinuir. Consequenteente, o resíduo de tensão nesta barra será aior que zero, esp calc ou seja, = > 0. Por outro lado, se o valor do tap diinuir, a tendência será do ódulo da tensão diinuir na barra e auentar na barra. Resuidaente, te-se na Tabela. os sinais dos resíduos de tensão para transforador co liite de tap violado. Tabela.: Sinal do Resíduo de Tensão / CAT Barra Controlada Liite do tap iolado Barra Barra = esp calc = esp calc Mínio > 0 < 0 Máxio < 0 > 0 Na Tabela., a barra controlada é considerada coo sendo ua barra terinal do transforador. Caso o transforador controle a tensão e ua barra reota, deve-se inforar ao problea de fluxo de potência se a tensão dessa barra reota se coporta coo ua barra ou. Isso pode ser feito através da execução de dois fluxos de potência co os valores dos taps dos transforadores fixos. Se a tensão da barra reota variar no eso sentido da variação do tap, a barra se coporta coo ua barra. Caso contrário, se coporta coo ua barra. O retorno do controle autoático de tap ocorrerá se o sinal de erro da tensão na barra controlada violar os valores apresentados na Tabela.. Caso isso ocorra, o transforador volta a atuar dentro da sua faixa operacional e a barra controlada é, então, reconvertida para o tipo PQ. 0

28 ..3 Controle Secundário de Tensão (CST) O controle secundário de tensão consiste no ajuste coordenado da tensão e deterinadas barras do sistea, denoinadas de barras piloto. Este controle pode ser feito através de ajuste individual nos reguladores de tensão dos geradores, copensadores estáticos, copensadores síncronos e ajuste de taps e transforadores. Estes equipaentos controla a tensão da barra piloto através de fatores de participação. O CST ipleentado neste trabalho usa suporte de reativos obtido através de geradores/copensadores síncronos e regie peranente, barras do tipo P, para controlar a tensão nas barras piloto, barras do tipo PQ...3. Fatores de Participação Seja u sistea co n P e n PQ barras do tipo P e PQ, respectivaente. Assi, são necessárias ( n n ) equações relacionando as potências reativas geradas pelas barras do P PQ tipo P. Para dois geradores genéricos i e j tais equações são do tipo: Q G αi, jqg 0 i = (.6) j Os fatores de participação pode ser definidos neste trabalho de duas aneiras diferentes, apresentadas a seguir. a) Distribuição Igualitária de Potência Reativa Os fatores de participação são considerados unitários. Logo, os geradores contribue co o eso valor de potência reativa, independente de sua capacidade. Evidenteente, os geradores co enor capacidade, violarão prieiraente seus liites. b) Distribuição Proporcional de Potência Reativa Cada gerador participante do CST, contribui de acordo co sua capacidade de geração de potência reativa. Para os geradores i e j, os fatores de participação são dados pelas relações entre as potências reativas áxias que pode ser supridas pelos geradores. Q α i, j = Q G G ax, i ax, j (.7)

29 Segundo essa etodologia todos os geradores participantes do CST atinge seus liites áxios ou ínios de potência reativa siultaneaente. Essa é a aneira ais utilizada para se definir os fatores de participação...3. Modelage Mateática Neste caso, insere-se as equações de controle à atriz Jacobiana, incluindo as potências reativas geradas das barras do tipo P coo novas variáveis de estado e forando u sistea de equações auentado. A Figura. apresenta ua topologia siples, na qual as potências reativas geradas nas barras e controla a tensão na barra 3. Q G P 3 4 Q G PQ θ P Figura.: Sistea Teste 4 Barras - A O sistea de equações linearizado referente à Figura (.), a ser resolvido a cada iteração do Método de Newton Raphson, é dado por: P H H H3 H4 N N N3 N4 0 0 θ P H H H3 H4 N N N3 N4 0 0 θ P 3 H3 H3 H33 H34 N3 N3 N33 N θ3 P4 H4 H4 H43 H44 N4 N4 N43 N θ 4 Q M M M3 M4 L L L3 L4 0 = Q M M M3 M4 L L L3 L4 0 Q 3 M3 M3 M33 M34 L3 L3 L33 L Q4 M4 M4 M43 M44 L4 L4 L43 L Q G y α QG (.8)

30 Observa-se da equação (.8) que a atriz Jacobiana convencional é acrescida de duas linhas e duas colunas adicionais. Os eleentos das colunas adicionais corresponde às derivadas parciais das equações de potência e relação às novas variáveis de estado, Q G e Q G. A prieira linha adicional, nula exceto na posição relativa a tensão da barra PQ, é a linearização da seguinte equação: resultando: onde: resultando: onde: = (.9) esp calc 3 3 = (.0) 3 3 = (.) esp calc A segunda linha adicional é a linearização da seguinte equação: A cada iteração, os resíduos Q = α Q (.) G G y = Q α Q (.3) G G y = Q + α Q (.4) G G Q e Q referentes às barras do tipo P, são dados por: Q = Q Q = Q + Q Q Q esp calc calc G G D Q = Q Q = Q + Q Q Q esp calc calc G G D (.6) (.7)..3.3 Liites de Geração de Potência Reativa A potência reativa injetada e ua deterinada barra de geração possui liites operacionais ínio e áxio. O odelo utilizado neste trabalho considera fixos esses liites. Contudo, os liites de geração de potência reativa depende do despacho de potência ativa, be coo da tensão de operação do gerador. A representação ais realística destes liites requer a deterinação da curva de capabilidade do gerador síncrono [4]. 3

31 A fi de evitar retardaentos, não convergências ou divergências do processo iterativo, a verificação dos liites de potência reativa te início quando o áxio resíduo de potência reativa for enor que ua tolerância pré-estabelecida. A partir de então, calculase, a cada iteração, as potências reativas geradas das barras P e P, a fi de verificar se está sendo ou não violada a capacidade de geração dos geradores. Se o liite de algu gerador tiver sido violado, verifica-se a cada etapa subsequente, a possibilidade do eso voltar a operar dentro de seus liites através da verificação do sinal do resíduo de tensão da barra controlada. Seja u sistea genérico no qual a potência reativa injetada e ua barra, do tipo P, controle a tensão e ua barra reota, tipo PQ. À edida que auenta a geração de reativos da barra, há ua tendência da tensão auentar na barra. Portanto, se a geração da barra atingir seu valor áxio, a tensão na barra tenderá a diinuir. Consequenteente, o resíduo de tensão nessa barra será aior que zero, ou seja, esp calc = > 0, confore indicado na Tabela.. Por outro lado, se a geração de reativos da barra diinuir, a tendência é da tensão diinuir na barra. Logo, se a geração da barra atingir seu valor ínio, a tensão na barra tenderá a auentar. Portanto, o esp calc resíduo de tensão nessa barra será enor que zero, ou seja, = < 0, confore indicado na Tabela.. Tabela.: Sinal do Resíduo de Tensão / CST Liite de Reativo iolado Mínio < 0 Máxio > 0 A barra voltará a seu tipo original quando fore violados os valores da Tabela.. Ua característica iportante do CST é que a barra PQ só deixará de ser de tensão controlada, se os liites de todos os geradores responsáveis pelo controle da sua tensão fore violados. Havendo pelo enos u gerador operando dentro de seus liites, a tensão se anté no valor especificado e, consequenteente, o erro de tensão será nulo. 4

32 . Fluxo de Potência Continuado.. Introdução O fluxo de potência continuado resulta da aplicação do étodo da continuação ao problea do fluxo de potência, de odo a eliinar a singularidade da atriz Jacobiana no ponto de áxio carregaento do sistea, possibilitando a obtenção copleta do perfil de tensão das barras, à edida que se varia o carregaento. É ua das ferraentas ais eficazes no estudo de estabilidade de tensão, consistindo e u étodo indireto de obtenção do ponto de áxio carregaento do sistea. E [38] é apresentado o odelo ateático referente ao fluxo de potência continuado, utilizando coo parâetros da continuação o carregaento adicional do sistea e o ódulo da tensão nua deterinada barra. No entanto, outras grandezas do sistea, tais coo as perdas, os fluxos de potência e raos e as potências ativa e reativa geradas pode ser utilizadas coo parâetros de continuação [39, 40]. E [4] investiga-se o coportaento do sistea ediante a variação na aditância/ipedância de ua deterinada linha de transissão, utilizando o étodo de continuação paraetrizado por u escalar 0 µ. Este escalar pré-ultiplica a aditância série da linha, ou seja, µ = 0 representa a retirada total da linha e µ = representa o caso base. E [4] é apresentada ua abordage para o fluxo de potência continuado, na qual são utilizadas as equações de injeção de corrente. Para a obtenção de cada ponto do perfil de tensão, esta nova abordage apresenta a esa trajetória de convergência da forulação convencional do fluxo de potência continuado expresso e teros das equações de potência. No entanto, seu desepenho coputacional é extreaente superior... Princípios Básicos A Figura.3 ilustra u perfil de tensão obtido através do étodo de fluxo de potência continuado. Noralente, as soluções correspondentes à parte superior da curva, são os pontos de operação estáveis do sistea, ao passo que as soluções correspondentes à parte inferior são os pontos de operação instáveis. Ebora as soluções instáveis possa não 5

33 ter significado prático, u par de soluções do fluxo de potência, para ua deterinada condição de carga, pode fornecer iportantes inforações sobre a condição de estabilidade do sistea. Diversos índices usados para avaliar as condições de estabilidade de tensão são baseados nestas soluções [5, 43]. Ponto Estiado Ponto Corrigido Região Estável A Predição (etor Tangente) B Correção B Marge de Carregaento Região Instável Carregaento Máxio γ Figura.3: Curva de Perfil de Tensão O fluxo de potência continuado consiste de duas etapas básicas: predição e correção [38], confore apresentado na Figura.3. A partir da solução correta A, a etapa de predição fornece, através do vetor tangente, a condição inicial B para o processo iterativo de obtenção da solução correta B. A correção é realizada utilizando-se o étodo iterativo de Newton Raphson. A aplicação do étodo da continuação ao problea do fluxo de potência requer a inclusão da variável γ, que representa o carregaento adicional do sistea, confore ostrado e (.8) e (.9). P = P 0 ( + γ) (.8) D D Q = Q 0 ( + γ) (.9) D D As equações (.30) e (.3) utilizadas no fluxo de potência continuado, refere-se às forulações convencional polar e injeção de corrente, respectivaente. O Apêndice apresenta as forulações básicas para solução do problea do fluxo de potência. 6

34 F P P( θ,, γ) ( θ,, γ) = Q( θ,, γ) Ir( r,, γ) FI( r,, γ) = I (,, γ) r (.30) (.3) A cada etapa de predição é feita a escolha do parâetro da continuação. Noralente, a escolha é feita ediante a análise da variação de cada estado entre os dois últios pontos corrigidos (A e B da Figura.3). Tradicionalente utiliza-se ou γ coo parâetros da continuação, entretanto, confore já citado, outras grandezas, tais coo perdas e fluxos tabé pode ser utilizadas. A seguir serão apresentadas ais detalhadaente as etapas de predição e correção...3 Etapa de Predição..3. Forulação Convencional Polar O vetor tangente [dθ d dγ] t é calculado a partir de (.30). O sistea de equações linearizado a ser resolvido na etapa de predição, caso o parâetro da continuação seja o carregaento adicional γ, é dado por: P J d 0 P θ Q d = 0 dγ ρ t t 0 0 onde J P é a atriz Jacobiana polar confore (A.5). dγ (.3) A linha adicional da equação (.3) ipõe a variação do parâetro da continuação, = ρ. A coluna adicional conté as derivadas das potências e relação à variável γ. Para ua barra genérica l te-se: Pl = P 0 D l (.33) Ql 0 QD = l (.34) 7

35 Caso o parâetro da continuação seja a tensão, onde é a barra co aior variação da tensão entre os dois últios pontos corrigidos, então o sistea de equações a ser resolvido é dado por: P Q dθ 0 d 0 J P M M M Q d = 0 M M M dn 0 Q n dγ ρ γ t L L A linha adicional ipõe a variação do parâetro da continuação, d (.35) = ρ, para a etapa de correção, enquanto a coluna adicional conté as derivadas das potências e relação à variável γ. Co o vetor tangente calculado através de (.3) ou de (.35), atualiza-se as variáveis de estado. Assi, a partir da solução correta A, apresentada na Figura.3, obté-se a estiativa B : B d θ θ dθ = + γ γ dγ A (.36)..3. Forulação de Injeção de Corrente O vetor tangente [d r d dγ] t é calculado a partir do sistea de (.3). O sistea de equações linearizado a ser resolvido na etapa de predição, caso o parâetro da continuação seja o carregaento adicional γ, é dado por: 8

36 r d 0 J r I d = 0 dγ ρ t t 0 0 onde J I é a atriz Jacobiana injeção confore (A.48). (.37) A linha adicional do sistea de equações (.37) ipõe a variação do parâetro da continuação, dγ = ρ. A coluna adicional conté as derivadas das correntes e relação à variável γ. Para ua barra genérica l te-se: P Q 0 0 l Dl l Dl rl = γ l I P + Q 0 0 rl Dl rl Dl l = l (.38) (.39) Caso o parâetro da continuação seja a tensão, onde é a barra co aior variação da tensão entre os dois últios pontos corrigidos, então o sistea de equações a ser resolvido é dado por: γ M dr 0 M M M dr I 0 n γ M M dr 0 n I r J I d γ = 0 M M M d 0 r M M γ d n 0 M dγ ρ r n r 0 L L 0 0 L L 0 0 (.40) 9

37 A linha adicional ipõe a variação do parâetro da continuação, d = ρ, segundo a equação (A.33). A coluna adicional conté as derivadas das correntes e relação à variável γ. Co o vetor tangente calculado através de (.37) ou de (.40), aplica-se a transforação de coordenadas dada por (A.33) e (A.49) e, então, atualiza-se as variáveis de estado através de (.36)...4 Etapa de Correção..4. Forulação Convencional Polar O sistea de equações linearizado a ser resolvido na etapa de correção, a cada iteração do Método de Newton Raphson, caso o parâetro da continuação seja o carregaento adicional γ, é dado por: J θ P P = Q (.4) Confore pode ser observado, a etapa de correção quando o parâetro da continuação é o carregaento adicional γ, é siplesente a execução de u fluxo de potência convencional polar a partir do ponto estiado. Caso o parâetro da continuação seja a tensão, então o sistea de equações a ser resolvido é dado por: P Q θ P Q M M M J P Q = Q M M M n Qn Q n γ 0 t L L (.4) 0

38 A linha adicional ipõe variação nula do parâetro da continuação, ua vez que seu valor já foi especificado na etapa de predição. Após o cálculo do vetor de correções, através de (.4) ou (.4), atualiza-se as variáveis de estado e ua dada iteração h+: B. h+ h h θ θ θ = + γ γ γ (.43) Assi, ao final do processo iterativo, o ponto correto B é obtido a partir da estiativa..4. Forulação de Injeção de Corrente O sistea de equações linearizado a ser resolvido na etapa de correção, a cada iteração do Método de Newton Raphson, caso o parâetro da continuação seja o carregaento adicional γ, é dado por: I r J I = I r (.44) Neste caso, a etapa de correção é siplesente a execução de u fluxo de potência a partir do ponto estiado. Caso o parâetro da continuação seja a tensão, então o sistea de equações a ser resolvido é dado por: M r I M M M r I I n γ M M rn I n r J I = I γ r M M M r Ir M M M n Ir n γ 0 r n r 0 L L 0 0 L L 0 0 (.45)

39 A linha adicional ipõe variação nula do parâetro da continuação, segundo a equação (A.33). Após o cálculo do vetor de correções, através de (.44) ou (.45), aplica-se a transforação de coordenadas dada por (A.33) e (A.49) e, então, atualiza-se as variáveis de estado através de (.43). Ao final do processo iterativo, o ponto correto B é obtido a partir da estiativa B...5 Fluxograa O fluxograa apresentado na Figura.4 ilustra todos os passos necessários para a obtenção do perfil de tensão através do fluxo de potência continuado [0]. Inicialente, o parâetro da continuação é sepre o carregaento adicional γ. À edida que se aproxia do ponto de áxio carregaento, a tensão passa a variar ais que o carregaento do sistea, passando a ser o parâetro da continuação. A etapa de divisão do passo é necessária, ua vez que a distância entre os pontos estiado e corrigido pode coproeter o sucesso da correção. Solução do caso base Predição por carregaento Coando Si Não Correção por carregaento ar_γ > ar_? Parar? Convergência noral obtida? Divisão do passo γ por ar_γ > ar_? Parar? Arquivos gráficos e resultados Escolha da barra Predição por Correção por Convergência noral obtida? Passo γ atingiu seu valor ínio ou foi dividido por ais de 0 vezes? Passo atingiu seu valor ínio ou foi dividido por ais de 0 vezes? Divisão do passo por Todas as barras fora utilizadas? Arquivos gráficos e resultados Figura.4: Fluxograa do Fluxo de Potência Continuado

40 .3 Fluxo de Potência de Segunda Orde.3. Introdução Ebora uitos avanços tenha sido conseguidos no sentido de elhorar a eficiência e a robustez dos étodos de solução do fluxo de potência, alguns probleas ainda são observados e uitas situações práticas. Prieiraente, há situações e que o sistea possui u ponto de operação, as o étodo falha na sua obtenção. Esta situação ocorre quando: a) O sistea é al condicionado e os étodos de fluxo de potência não consegue encontrar a solução devido à dificuldades nuéricas; b) O sistea torna-se al condicionado devido ao auento no carregaento, não acopanhado por investientos e transissão e geração; E segundo lugar, há situações e que não existe solução real, o que pode ocorrer após ua contingência. Finalente, tabé é possível que o sistea adita últiplas soluções. As situações citadas anteriorente pode ser elhor entendidas utilizando-se o conceito das regiões de segurança [44]. A Figura.5 define três partes distintas, na qual a região viável, ou região segura, é o conjunto de pontos onde as equações do fluxo de potência possue solução e todos os deais parâetros do sistea, tais coo, fluxos nas linhas, tensões nas barras, dentre outros, estão dentro de seus liites operacionais. Esta é a região desejada para operação do sistea. Na região inviável, ou de eergência, as equações do fluxo de potência tabé possue solução, contudo u ou ais liites são violados. Obviaente, deseja-se sepre operar o sistea na região viável. Entretanto, e uitos casos, é possível que a rede opere na região inviável por u certo tepo, até que edidas seja toadas para levá-la à região viável. Por outro lado, a região de não-solucionabilidade ostrada na Figura.5 é constituída por u conjunto de pontos onde as equações do fluxo de potência não possue solução real. Qualquer tentativa de operar o sistea nesta região resultaria, provavelente, nua instabilidade ou colapso de tensão. A fronteira entre as regiões de solucionabilidade e de nãosolucionabilidade é denotada por. Nesta fronteira, as equações do fluxo de potência apresenta apenas ua solução e a atriz Jacobiana é singular. 3

41 Região Não-Solúvel Região Inviável Região iável Fronteira Figura.5 : Regiões de Solução do Fluxo de Potência Co o objetivo de superar as dificuldades de convergência e fornecer inforações adicionais sobre o resultado obtido, que não seja siplesente u aviso de não convergência ou divergência, e [45] o étodo convencional de solução do fluxo de potência e coordenadas retangulares é tratado coo u problea de prograação não- linear, onde são deterinadas a direção e a agnitude da solução, co o objetivo de iniizar ua deterinada função objetivo. Essa função torna-se zero se o problea possui solução real a partir da condição inicial fornecida, ou assue valor positivo caso não haja solução real. Nesse étodo, explora-se a copleta expansão e série de Taylor até o terceiro tero, das equações de potência e coordenadas retangulares. A etodologia proposta e [45] será denoinada neste trabalho de Método de Iwaoto. Por outro lado e [46] é apresentada ua etodologia baseada e [45], poré utilizando-se as coordenadas polares..3. Método de Iwaoto Este ite apresenta de ua fora bastante sucinta o étodo descrito e [45], para solução do fluxo de potência de segunda orde via forulação convencional e coordenadas retangulares. As equações (A.6) e (A.7) pode ser escritas da seguinte fora: Px ( ) (.46) S= ( ) Qx onde: 4

42 [... ] t x = r r rn n Expandindo-se a equação (.46) e teros da série de Taylor, te-se: S esp = Sx ( ) + J x+ H x (.47) A equação (.46) é quadrática e função das coponentes real e iaginária das tensões. No Apêndice 5 é deonstrada a seguinte igualdade, válida para a forulação convencional retangular: coo: H x S x = ( (.48) ) Logo, a expansão da equação (.46) e teros da série de Taylor pode ser reescrita onde J é a atriz Jacobiana convencional retangular e S esp = Sx ( ) + J x+ S( x) (.49) S( x)é o terceiro tero da série que representa as equações de potência calculadas para o vetor de increentos e ua dada iteração. A solução da equação (.49) pode ser obtida através de prograação não-linear. Seja µ o fator de otiização de passo. Aplicando-se este fator ao vetor de correções da equação (.49) te-se: esp S = Sx ( ) + J( µ x) + S( µ x) (.50) ou: esp = ( ) + µ ( ) + µ ( ) (.5) S Sx J x S x onde: A equação (.5) pode ser reescrita coo: a+ µ b+ µ c= 0 (.5) esp a= S Sx ( ) (.53) b= J x= a (.54) c= S( x) (.55) O fator µ é calculado co o objetivo de se iniizar a seguinte função quadrática e função dos resíduos de potência: 5

43 n F = (a + µ b + µ c ) i= i i i (.56) A solução ótia é dada por: F = 0 µ (.57) resultando: onde: g + g + g + g = (.58) 3 0 µ µ 3µ 0 g n 0 = i= a b n ( i a i i) i= g = b + c g g 3 n = 3 bc i i i= n = c i= i i i (.59) (.60) (.6) (.6) Quando a solução encontrada for u ponto factível de operação, µ assue valor próxio da unidade. Caso contrário, se a solução não corresponder a u ponto factível, µ assue valores próxios de zero, indicando que o atual vetor de increentos não pode ser odificado co o objetivo de iniizar a função objetivo F. A correção das variáveis de estado e ua dada iteração é dada por: x h+ x h h = + µ x h (.63) 6

44 .4 Método Direto de Obtenção do Ponto de Máxio Carregaento.4. Introdução O ponto de áxio carregaento é caracterizado pela singularidade da atriz Jacobiana. É possível obtê-lo diretaente, se o traçado das curvas de continuação. O étodo tradicional para obtenção direta deste ponto utiliza u processo iterativo no qual são utilizadas, alé das equações do fluxo de potência, outras equações que caracteriza este ponto [47]. Este processo iterativo sofre grande influência dos valores iniciais das variáveis de estado [47, 48, 49, 50]. E [0], é utilizada a forulação de injeção de corrente para estiar o ponto de áxio carregaento. Posteriorente, é aplicada a transforação A7.8, passando-se a utilizar a forulação convencional polar no processo iterativo de obtenção do ponto de áxio carregaento. Nas referências [5, 5] a obtenção direta do ponto de áxio carregaento é abordada coo sendo u problea de otiização, resolvido pelo étodo de pontos interiores, no qual deseja-se axiizar o carregaento do sistea. Os ultiplicadores de Lagrange corresponde às coordenadas do autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da atriz Jacobiana no ponto de áxio carregaento..4. Metodologia As seguintes condições são verdadeiras no ponto de áxio carregaento: I - O deterinante da atriz Jacobiana J é nulo; II - A atriz Jacobiana possui u autovalor nulo; T III - As equações Jw = 0 e J v= 0 tê solução não trivial, onde w e v são os autovetores à esquerda e à direita da atriz J, respectivaente, associados ao autovalor nulo. 7

45 Os estudos realizados para a obtenção do ponto de áxio carregaento de sisteas elétricos de grande porte, indica que a elhor opção é a utilização da terceira condição. Assi, o conjunto de equações não-lineares a ser utilizado é dado por: onde: Fx (, γ) = 0 T Gx (, γ, w) = J w = 0 w 0 (.64) Fx (, γ ) = 0: representa as equações do fluxo de potência, garantindo que a solução seja u ponto de operação do sistea; T Jw = 0: conjunto de equações lineares forado pelo produto da atriz Jacobiana transposta e seu autovetor à esquerda associado ao autovalor crítico, garantindo que a atriz seja singular; w 0: garante que o autovetor à esquerda não seja nulo, evitando que a solução da equação seja trivial. A equação utilizada neste trabalho para atender a esta condição é dada por [47]: Sendo assi, te-se: n ( wi ) = 0 i = (.65) Fx (, γ) 0 = T Gx (, γ, w) = Jw = 0 = n ( wi ) 0 i = (.66) O sistea representado e (.66) é u conjunto de equações não-lineares a ser resolvido pelo étodo de Newton-Raphson. As variáveis deste sistea são as n coponentes de x, as n coponentes de w e o parâetro de carregaento γ. Linearizando-se este conjunto de equações te-se, atricialente: T T T F F F w w 0 x x x F F ( F( x, γ ) ) = 0 x n - ( wi ) 0 w 0 i = x w γ (.67) 8

46 A aior dificuldade na foração da atriz apresentada e (.67) é o cálculo do produto T F w. Ao invés de deterinar a Hessiana e depois ultiplicá-la pelo autovetor, x pode-se prieiraente calcular o produto da atriz Jacobiana transposta pelo autovetor w e depois derivar o resultado e relação a x: T T F F w = x x x w (.68) U ponto iportante a destacar é a deterinação das condições iniciais para x, γ e w. A etodologia epregada na obtenção do ponto estiado consiste e adicionar carga ao sistea e parcelas increentais da carga noinal. Quando o fluxo de potência não ais convergir, te-se a estiativa inicial para x e γ coo sendo o últio ponto co convergência noral. Garante-se, dessa fora, que o ponto estiado esteja próxio do ponto de áxio carregaento. Calcula-se, então, a atriz Jacobiana nesse ponto estiado e, finalente, seu autovetor a esquerda w associado ao autovalor crítico. Os autovetores à esquerda de ua atriz são iguais aos autovetores à direita desta atriz transposta. Assi, para obter o autovetor à esquerda estiado w, basta calcular a atriz Jacobiana transposta no ponto estiado e e seguida obter o autovalor crítico e o seu correspondente autovetor. Por autovalor crítico, entende-se o autovalor real co seu ódulo ais próxio de zero dentre todos os autovalores de J..4.3 Solução via Forulação Convencional Polar Tradicionalente, utiliza-se para a obtenção direta do ponto de áxio carregaento, equações de potência escritas e teros das coordenadas polares das tensões. Assi, F(x,γ) = 0 é expressa e função das potências ativa e reativa injetadas nas barras, e o vetor x corresponde aos ódulos e aos ângulos das tensões nas barras. Desta fora, o algorito pode ser descrito da seguinte fora: Passo : Calcular o ponto estiado ( est, θ est, γ est ) utilizando-se a forulação convencional polar, confore as equações (A.4) ou (A.5). 9

47 Passo : Montar a atriz Jacobiana, J P, no ponto estiado; Passo 3: Calcular o autovetor estiado à esquerda w est da atriz J P, associado ao seu autovalor crítico; Passo 4: Calcular o vetor de resíduos ostrado no lado esquerdo da equação (.67). Caso todos os coponentes desse vetor seja enores que ua tolerância pré-deterinada, executar o Passo 6. Senão, increentar o contador de iterações, h= h+, e resolver o sistea de equações (.67), onde: = x F w x F JP t t = P Hw T F w Jw T = P x (.69) (.70) (.7) t ( F( x, γ) ) [ P P L Pn Q Q L Qn] (.7) = H t Pé a transposta da atriz Hessiana convencional e coordenadas polares e F é dado pelas equações (.33) e (.34). Passo 5: Atualizar as variáveis de estado e voltar ao Passo 4: h+ h h θ = θ + θ h+ h h = + w = w + w h+ h h γ = γ + γ h+ h h (.73) Passo 6: Montar a atriz Jacobiana polar no ponto de áxio carregaento e, então, deterinar o autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo. As coordenadas do autovetor à esquerda referentes ao autovalor nulo da atriz Jacobiana no ponto de áxio carregaento, fornece as sensibilidades de cada barra co relação à injeção de potência ativa e reativa, ou seja, após o térino do processo iterativo, o 30

48 vetor w resultante fornece a relação das barras ais indicadas para que seja feitas injeções de ativos e/ou reativos no intuito de fornecer suporte para as tensões do sistea [53]. Apresentados os passos básicos, deseja-se agora desenvolver a equação genérica (.68). Para isso, seja as equações do fluxo de potência convencional polar descritas no Apêndice. Te-se, então: P Pn Q Qn L L θ θ θ θ M O M P O M w T F θn w = x P M (.74) O M w n + n M O M P Pn Q Q n L L n n n n Logo: T F w x = P P Q Q w + L + w + w + L + w θ θ θ θ M M M M P P Q Q w + L + w + w + L + w n n n n+ n+ n n n n n+ n+ n n n n n (.75) ou ainda: T F w x r = r = M = r n + n P Q w M M M (.76) P Q w n n i j i + w n+ j i= θ j= θ n n i j i + w n+ j i= n j= n Logo, a atriz Hessiana ultiplicada pelo autovetor w resulta e ua atriz cujas linhas são foradas pelas derivadas parciais de cada u dos r i eleentos de r pelas variáveis x. Assi: 3

49 r r r r L L θ θn n M O M T M O M F w = x x M O M M O M rn+ n rn+ n rn+ n r n+ n L L θ θn n Alguns eleentos de (.77) na fora explícita são dados por: (.77) r P Q P Q θ θ θ θ θ θ n n n n j j = wj + wn+ = w j + w n+ j= = j= = (.78) r P Q P Q θ θ θ θ θ θ θ θ n n n n j j = wj + wn+ = wj + wn+ j= = j= = (.79) r P Q P Q n n n n n+ j j = wj + wn+ = w j + w n+ j= = j= = (.80) As derivadas de segunda orde da forulação convencional polar são apresentadas no Apêndice..4.4 Fluxograa A Figura.6 apresenta o fluxograa básico utilizado pelo étodo direto, independente da forulação utilizada. O prieiro passo é a solução do caso base e, e seguida, inicia-se o processo de estiação, que fornece a condição inicial para o processo iterativo de obtenção do ponto de áxio carregaento. Por fi, é feita análise do autovetor a esquerda, no sentido de se deterinar edidas para suporte de tensão do sistea. 3

50 Solução do caso base Carregaento adicional Coando Si Não Solução do fluxo de potência Convergência noral obtida? Ponto estiado = últio ponto co convergência noral Cálculo de W est Processo iterativo de obtenção do ponto de áxio carregento Cálculo do autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo Figura.6: Fluxograa do Método Direto 33

51 Capítulo 3 Novas Aplicações da Forulação de Injeção de Corrente 3. Metodologia Proposta para Inserção de Controle de Tensão no Fluxo de Potência Continuado 3.. Caso Básico A topologia apresentada na Figura 3. é siples, poré útil no entendiento da abordage ateática utilizada para inclusão do controle de tensão no problea do fluxo de potência continuado. Sendo γ o parâetro da continuação, os sisteas de equações referentes às etapas de predição e correção, ainda se a atuação de controles, são dados por (3.) e (3.), respectivaente. As atrizes Jacobianas apresentadas contê duas linhas e duas colunas adicionais referentes às barras do tipo P, e ua linha e ua coluna adicional referente ao fluxo de potência continuado. Q G P PQ 3 5 Q G :a θ P PQ 4 Figura 3. : Sistea Teste 5 Barras - A 34

52 r B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 r B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 3 B3 B3 B33 B34 B35 G3 G3 G33 G34 G B4 B4 B43 B44 B45 G4 G4 G43 G44 G dr 0 d 0 r d 0 5 r B5 B5 B53 B54 B55 G5 G5 G53 G54 G dr 4 0 r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 d 0 r5 d 0 r d = 0 G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 d 0 3 d 0 r 4 3 G3 G3 G33 G34 G35 B3 B3 B33 B34 B d 0 5 dq 0 r4 G4 G4 G43 G44 G45 B4 B4 B43 B44 B dq 0 r dγ ρ 5 G5 G5 G53 G54 G55 B5 B5 B53 B54 B r r r B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 r P B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 P 3 B3 B3 B33 B34 B35 G3 G3 G33 G34 G r3 r P3 Q 3 4 B4 B4 B43 B44 B45 G4 G4 G43 G44 G r 4 r4 P4 Q 4 r 5 B5 B5 B53 B54 B55 G5 G5 G53 G54 G r4 5 r 5 P5 Q 5 r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 r r P r = G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 r 3 P r 3 G3 G3 G33 G34 G35 B3 B3 B33 B34 B r P 3 + Q 3 3 r4 G4 G4 G43 G44 G45 B4 B4 B43 B44 B Q 3 Q r 4 4 r P4 + Q 4 γ G5 G5 G53 G54 G55 B5 B5 B53 B54 B r 5 5 P 5 + Q 5 r r (3.) (3.) 35

53 Caso o parâetro da continuação seja 3 ou 4, a única odificação seria nos eleentos não nulos da últia linha da atriz Jacobiana. 3.. Inclusão do Controle Autoático de Tap - CAT Considerando-se que o tap do transforador do sistea teste apresentado na Figura 3., controle a tensão na barra 4 e sendo γ o parâetro da continuação, os sisteas de equações referentes às etapas de predição e correção são dados por (3.3) e (3.4), respectivaente. B B B B B G G G G G B B B B B G G G G G B B B B B G G G G G r r a 4 4 B4 B4 B43 B44 B45 G4 G4 G43 G44 G a dr 0 d 0 r 5 B5 B5 B53 B54 B55 G5 G5 G53 G54 G d 0 r3 dr4 0 r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 0 d 0 r5 d 0 r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 0 d 0 = d 0 3 r 3 r3 G3 G3 G33 G34 G35 B3 B3 B33 B34 B d 0 4 a d 0 5 r 4 r4 G4 G4 G43 G44 G45 B4 B4 B43 B44 B dq 0 a dq 0 r da 0 5 G5 G5 G53 G54 G55 B5 B4 B53 B54 B dγ ρ r r r (3.3) 36

54 r B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 0 r B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 0 P 3 3 P B3 B3 B33 B34 B35 G3 G3 G33 G34 G a 3 r B4 B4 B43 B44 B45 G4 G4 G43 G44 G r P3 Q 3 a 3 3 r 5 B5 B5 B53 B54 B55 G5 G5 G53 G54 G r4 P4 Q 4 r3 4 4 r 4 5 r 5 r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 0 r 5 P5 Q r r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 0 P = r 3 r 3 r3 P G3 G3 G33 G34 G35 B3 B3 B33 B34 B a r 5 r 3 3 P3+ Q 3 4 r4 G4 G4 G43 G44 G45 B4 B4 B43 B44 B Q 3 3 a Q r 4 4 r 5 G5 G5 G53 G54 G55 B5 B4 B53 B54 B P4 + Q a γ r 5 5 r P 5 + Q r r (3.4) A equação adicional referente ao CAT é a linearização da equação de tensão referente à barra 4, do tipo PQ: resultando: onde: = (3.5) esp calc 4 4 = 4 = 4 + r4 4 r (3.6) 4 = 0 (3.7) A coluna adicional conté as derivadas de estado a. Tais derivadas são dadas por : a a r I e = g b + a ( g + b ) r r = g + b a ( b g ) r r I e relação à nova variável de r (3.8) (3.9) 37

55 a a r = g b r = g + b r A cada iteração atualiza-se a atriz aditância nodal da seguinte fora: (3.0) (3.) Y = Y ( a ) y + ( a ) y h h Y = Y + ay a y (3.) h h Y = Y Inclusão do Controle Secundário de Tensão - CST Considere que no sistea apresentado na Figura 3., alé do CAT ostrado na seção 3.., a tensão da barra 3 seja controlada através da injeção de reativos dos geradores e. Sendo γ o parâetro da continuação, os sisteas de equações referentes às etapas de predição e correção são dados por (3.3) e (3.4), respectivaente. B B B B B G G G G G B B B B B G G G G G B B B B B G G G G G r r a 4 4 B4 B4 B43 B44 B45 G4 G4 G43 G44 G d 0 r a d 0 r 5 dr 3 0 B5 B5 B53 B54 B55 G5 G5 G53 G54 G dr 4 0 r d r 0 G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B d 0 d 0 r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 0 = d 3 0 r d 0 3 r3 4 G3 G3 G33 G34 G35 B3 B3 B33 B34 B a d 5 0 r 4 r da 0 4 G4 G4 G43 G44 G45 B4 B4 B43 B44 B dqg 0 a 0 G dq r5 G5 G5 G53 G54 G55 B5 B4 B53 B54 B dγ ρ r r α, (3.3) 38

56 r B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 0 r P B B B3 B4 B5 G G G3 G4 G5 0 0 P 3 3 B3 B3 B33 B34 B35 G3 G3 G33 G34 G a 3 r3 r P 3 Q B4 B4 B43 B44 B45 G4 G4 G43 G44 G a r 4 r 4 P r 4 Q B5 B5 B53 B54 B55 G5 G5 G53 G54 G r 4 5 r5 r P5 Q 5 5 r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B r P r G G G3 G4 G5 B B B3 B4 B5 0 0 = r 3 P r 3 r 3 4 G3 G3 G33 G34 G35 B3 B3 B33 B34 B a 5 r 3 3 P3+ Q 3 r 4 r a G4 G4 G43 G44 G45 B4 B4 B43 B44 B a QG r 4 4 P 4+ Q r Q 5 G G5 G5 G53 G54 G55 B5 B4 B53 B54 B γ r 5 5 P 5+ Q 5 r r α, (3.4) A prieira equação adicional referente ao CST é a linearização da equação de tensão referente à barra 3, do tipo PQ: = (3.5) esp calc 3 3 resultando: onde: = 3 = 3 + r3 3 r (3.6) 3 = 0 (3.7) A outra equação é a linearização da relação existente entre as potências reativas geradas pelas barras e, do tipo P: resultando: Q = α Q (3.8) G, G y = Q α Q (3.9) G, G onde: y = Q + α Q (3.0) G, G 39

57 3..4 Exeplo Seja a topologia apresentada na Figura 3., co os dados de linha e de barra apresentados nas Tabelas 3. e 3., respectivaente. O tap do transforador situado entre as barras 3 e 4 controla a tensão na barra 4 e p.u., enquanto que a potência reativa injetada nas barras e controla a tensão na barra 3 e p.u.. A tolerância utilizada para a convergência do processo iterativo é 0-5 p.u. O liite operacional do tap do transforador é de 0,9 a, p.u. e o passo para o parâetro da continuação é 0, (0%). Tabela 3. : Dados de Linha / Sistea Teste 5 Barras -A Barra De Barra Para r (p.u.) X (p.u.) b sh (total) (p.u.) 3 0,0 0,03 0,0 3 0,0 0,03 0, ,00 0,0 0, ,0 0,03 0,0 Tabela 3.: Dados de Barra / Sistea Teste 5 Barras - A Barra Tipo Tensão Ângulo (p.u.) (º) P G Q G P D Q D (p.u.) (p.u.) (p.u.) (p.u.) P,00 0 0,40 0 0,00 0,00 P,00 0 0,40 0 0,00 0,00 3 PQ,00 0 0, ,5 4 PQ,00 0 0,00 0 0,40 0,05 5 θ,00 0 0,00 0 0,00 0,00 Considerando-se que os liites áxios de geração de potência reativa dos geradores e seja p.u. e 0,8 p.u., respectivaente e que o fator de participação seja o calculado e teros da equação (.7), te-se: α, =,5 As Tabelas 3.3 e 3.4 apresenta a solução do caso base, sendo necessárias 3 iterações para a convergência do processo iterativo. 40

58 Tabela 3.3: CAT / Sistea Teste 5 Barras - A K a inicial a final BC esp (p.u.) calc (p.u.) 3 4 0,965,0058 4,0,0 Tabela 3.4: CST / Sistea Teste 5 Barras - A Q G Q Gin Q Gax esp calc Gerador (p.u.) (p.u.) (p.u.) BC (p.u.) (p.u.) 0,0776 -,0,0 3,0,0 0, ,8 0,8 Confore pode ser observado, o tap dos transforadores e as gerações de potência reativa não atingira seus valores áxios. O sistea de equações a ser resolvido na estiação do próxio ponto, segundo a equação (3.3) é dado por: 30, , , dr , , ,99 0 d 0 r ,94 0, , , ,5d 0 r ,06 9, , ,07dr , d 0 r5 0, , ,0 0 0 d 0 0 0, , ,0 0 d 0 = 0 0 9, ,4 0, , ,45 d , ,06 0,08 0 0, ,4 d , d , , da , dq G ,5 0 dqg dγ 0, Resolvendo o sistea acia te-se: 4

59 dr 0, r,0083,0083 d r ,0075 r,0075 d r 0, r 3 3,0000 dr -0, r4 0, ,0000 d r 0, r 5 5, d θ 0,33398 d , θ 0,34999 = = = 0 d , θ 3 3-0,646 d , θ , d θ da 0, a, 0065 a,0065 dq G 0,0893 Q G 0,3669 Q G 0,3669 dqg 0,0344 QG 0,0935 QG 0,0935 dγ 0, γ 0, γ 0, A partir desse ponto pode-se iniciar o processo iterativo de obtenção da solução correta. Substituindo-se os valores nuéricos no sistea de equações (3.4), te-se: 30, , , r , , , r ,93 0, , , ,67.0 r ,06 9, , ,076 r , r5 7 0, , , , , , = , ,7 0, , , , ,06 0, 0 0, , , , , a , Q G ,5 0 QG γ 0 Resolvendo o sistea acia te-se: 4

60 6 r 4.0 r,0083, r 4.0,0075 r, r r , r r4 0, ,0000 r 0, r 5 5, θ 0, = 6 0, θ 0,34968 = = 0 0-0, θ 3 3-0, , θ 4 4 -, θ a 7.0 a,0065 a,0065 Q G 0,00093 Q 0,3688 G Q 0,3688 G QG 0, QG 0,095 QG 0, 095 γ 0 γ 0, γ 0, Esse já é o ponto da curva de perfil de tensão procurado, para a tolerância préestabelecida. Confore pode ser observado, o tap e as potências reativas não violara seus liites. Procedendo-se da esa aneira obté-se todos os pontos da curva de perfil de tensão. As Figuras 3. e 3.4 apresenta o perfil de tensão das barras 4 e 3, respectivaente. A tensão na barra 4 anté-se no valor especificado até u carregaento adicional de 450%, quando o tap do transforador atinge seu liite, confore ostra a Figura 3.3. Da esa aneira a tensão da barra 3 anté-se no valor especificado até u carregaento adicional de 70 %, quando os geradores e atinge seus liites áxios de geração de potência reativa, confore apresentado nas Figuras 3.5 e ,8 Tensao (p.u.) 0,6 0,4 0, Carregaento Adicional (%) Figura 3.: Perfil de Tensão da Barra 4 43

61 ,,08 Tap (p.u.),06,04, Carregaento Adicional (%) Figura 3.3 : Tap do Transforador entre as Barras 3 e 4 0,95 Tensao (p.u.) 0,9 0,85 0,8 0, Carregaento Adicional (%) Figura 3.4: Perfil de Tensão da Barra 3 0,9 0,8 0,7 QG (p.u.) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Carregaento Adicional (%) Figura 3.5: Potência Reativa Gerada na Barra 44

62 0,8 0,7 0,6 QG (p.u.) 0,5 0,4 0,3 0, 0, Carregaento Adicional (%) Figura 3.6: Potência Reativa Gerada na Barra 3. Metodologia Proposta para o Fluxo de Potência de Segunda Orde O objetivo é propor u novo étodo para cálculo do fluxo de potência de segunda orde, seguindo as principais idéias apresentadas e [45], as utilizando a forulação de injeção de corrente expressa e coordenadas retangulares das tensões. Essa nova etodologia apresenta ua grande robustez ateática, alé de reduzir o esforço coputacional para o cálculo da solução do fluxo de potência de segunda orde. 3.. Princípios Básicos: Barras do tipo PQ Seja a coponente iaginária da corrente injetada e ua barra genérica, confore a equação (A.37). Sua expansão e teros da série de Taylor, desprezando-se os teros de orde superior a dois resulta e: I sp I = I ( ) + r + + B r + G + r r + r Ω Φ r r I I I (3.) r + r + r r Aplicando-se o fator µ ao vetor de increentos da equação (3.), e considerando-se a equação (.5), te-se: a I = I (3.) 45

63 b = ( B + G ) = a Ω I r r I r (3.3) c I I I I I = r r + r + r + Φ r r r r (3.4) Toando-se a coponente real da corrente injetada e ua barra genérica, confore a equação (A.36) e procedendo-se de aneira siilar, a expansão e série de Taylor e a aplicação do fator µ resulta e: a Ir = I (3.5) r r r b = ( G B ) = a Ω Ir r r Ir r (3.6) c I I I I r r r r I = r r r + r + r + Φ r r r r (3.7) Assi, segundo a etodologia proposta, as coponentes dos vetores a, b e c referentes a ua barra genérica são dadas por: t a = [ I I ] r t b = [ I I ] r t c = [ c c ] I Ir O Apêndice 6 apresenta u exeplo ilustrando o cálculo das coponentes do vetor c de ua fora detalhada. 3.. Inclusão das Barras do Tipo P Para ua deterinada barra, do tipo P, observa-se dos sisteas de equações (A.47) e (A.48) que o resíduo de potência reativa Qé agora ua variável dependente. Assi, há três variáveis,, Q, associadas à barra. O principal objetivo é r desenvolver u novo étodo para resolver o fluxo de potência de segunda orde, utilizandose a forulação de injeção de corrente expressa soente e teros das coordenadas retangulares da tensão r e. Para isto, é necessário eliinar a variável Q do conjunto 46

64 de equações referentes a cada barra P, co o propósito de tornar possível a coparação dos resultados obtidos através do novo étodo proposto co aqueles obtidos através de [45]. Ua siples anipulação ateática co o objetivo de eliinar a variável Qnas equações (A.47) ou (A.48) leva à seguinte equação correspondente à barra, do tipo P: P P P P P = r + + r + r Ω r (3.8) A expansão da equação (3.8) e teros da série de Taylor resulta nas seguintes coponentes dos vetores a, b e c: ap = P (3.9) b = a (3.30) P c = ( G + B ) + ( G B ) = P(, ) P r r r r φ De aneira análoga, a expansão da equação (A.8) resulta: p esp calc (3.3) a = ( ) ( ) = (3.3) b = a (3.33) c = + = (3.34) ( ) (, ) r r Assi, segundo a etodologia proposta, as coponentes dos vetores a, b e c referentes a ua barra genérica, do tipo P são dadas por: a [ ] t = P b P t = [ ] = a c = [ P (, ) (, )] t r r 3..3 Metodologia de Solução O algorito proposto pode ser resuido através dos seguintes passos: Passo : Montar a atriz aditância nodal Y; Passo : Calcular as injeções de corrente I = YE; 47

65 Passo 3 : Deterinar os resíduos de potência das barras da rede elétrica; Passo 4 : Se o áxio resíduo de potência é enor que ua deterinada tolerância, então o processo convergiu. Senão, deterinar o vetor de increentos utilizando-se a equação (A.47) ou (A.48) e increentar o contador de iterações, h= h+ ; barras; Passo 5 : Deterinar os vetores a, b e c considerando-se os diferentes tipos de h h h h Passo 6 : Calcular os escalares g 0, g, g e g 3 utilizando-se as equações (.59), (.60), (.6) e (.6), respectivaente; passo Passo 7 : Resolver a equação (.58) a fi de se deterinar o fator de otiização de h µ ; Passo 8 : Atualizar as tensões: h+ h h r r h r = + µ h+ h h (3.35) Passo 9 : Caso o valor de µ calculado no Passo 7 seja enor que u deterinado valor pré-especificado, adite-se que a elhor solução tenha sido encontrada, eso que os resíduos de potência não seja enores que as tolerâncias adotadas. O valor ínio considerado para µ neste trabalho é 0,. Caso contrário, retornar ao Passo. É iportante destacar que a inserção do fator de otiização de passo µ não odifica os procedientos convencionais para inserção de controles e consideração de liites no problea de fluxo de potência Exeplo Considere a topologia apresentada na Figura A6. e os dados de linha e de barra apresentados nas Tabelas 3.5 e 3.6, respectivaente. Utilizando-se o étodo convencional de 48

66 solução do fluxo de potência, a solução diverge. Utilizando-se o fluxo de segunda orde proposto, ua elhor solução é obtida, confore será ostrado a seguir. Tabela 3.5 : Dados de Linha / Sistea Teste 3 Barras - C Barra De Barra Para r (p,u,) X (p,u,) 0,05 0,0 0, 3 0,05 0,0 0, 3 0,05 0,0 0, b sh (total) (p,u,) Tabela 3.6: Dados de Barra / Sistea Teste 3 Barras - C Barra Tipo Tensão (p.u.) Ângulo (º) P G (p.u.) Q G (p.u.) P D (p.u.) Q D (p.u.) θ, PQ,00 0,3 0, PQ,00 0,3,5 0 0 A tolerância adotada para o processo iterativo é de algorito apresentado anteriorente, te-se: 5 0 p.u.. Seguindo os passos do Passo : h = 0. A atriz aditância nodal é dada por:,353 j9,3,76+ j4,706,76+ j4,706 Y=,76 j4,706,353 j9,3,76 j4, ,76+ j4,706,76+ j4,706,353 j9,3 Passo : As correntes injetadas nas barras são dadas por: 0,4 j0,459 I= 0,07 j0,38 + 0,07+ j0,38 Passo 3: Os resíduos de potência na barra são P =,94 e Q = 0,083. Na barra 3 são P3 =,94 e Q3 =,76. Passo 4: Coo o áxio resíduo de potência não é enor que a tolerância, deterina-se o vetor de increentos através de A.47 ou A.48 e increenta-se o contador de iterações: h =. De A.47 te-se: 49

67 ,706,77 4,706,77 r ,77 4,706,77 4, ,706,77 8,99,43 4,706,77 r 0,4 =,77 4,706,8 9,694,77 4,706 0,6 4,706,77 4,706,77 8,99,43 r 0,5 3,77 4,706,77 4,706,8 9,694 0,96 3 Logo: 0 r + j = 0,4 j0,6 0,5 j0,96 Passo 5: Os vetores a, b e c são dados por: a = [ 0 0,08,8 0,9,9] t b = [ 0 0,08,8 0,9,9] t c = [ 0 0, 0,57 0 0,07 0,004] t Passo 6: Os escalares g 0, g, g e g 3 calculados utilizando-se as equações (.59), (.60), (.6) e (.6), respectivaente, são dados por: g g g g 0 3 = 4,79 = 4,997 =,077 = 0,7 Passo 7: Resolvendo-se a equação (.58) obté-se as raízes µ =,67+ j4,098 µ =,67 j4,098 e µ =, ; Passo 8: Toando-se µ =,056, atualiza-se as tensões através da equação (3.35). Te-se, então:,06+ j0,06 0º = 0,850 j0,8 0,880 5,0º = 0,763 j0,07 0,790 5,8º 50

68 Passo 9: Coo µ > 0,; retorna-se ao Passo. Ao final de 4 iterações, obté-se que a elhor solução é dada por:,06 0º = 0,69 9,69º 0,543 8,85º µ =0,000 F =0, Metodologia Proposta para Obtenção do Ponto de Máxio Carregaento O objetivo deste tópico é propor u novo étodo para obtenção do ponto de áxio carregaento de u sistea elétrico de potência confore proposto e [0], poré, utilizando-se a forulação de injeção de corrente tabé no processo iterativo Algorito Básico: Barras do Tipo PQ Tradicionalente, utiliza-se para a obtenção direta do ponto de áxio carregaento, equações de potência escritas e coordenadas polares das tensões, confore apresentado no ite.4. O objetivo é apresentar ua nova etodologia na qual seja utilizadas equações de corrente, expressas e teros das coordenadas retangulares das tensões. Assi, F(x,γ) = 0 é expressa e função das coponentes iaginária e real das correntes injetadas nas barras e o vetor x corresponde às coponentes real e iaginária das tensões nas barras. O processo via forulação de injeção de corrente pode ser descrito através do seguinte algorito: Passo : Calcular o ponto estiado ( est, est, est r γ ), utilizando-se a forulação de injeção de corrente, confore as equações (A.47) ou (A.48); Passo : Montar a atriz Jacobiana de injeção de corrente, J I, no ponto estiado; Passo 3: Calcular o autovetor estiado à esquerda w est da atriz J I, associado ao seu autovalor crítico; 5

69 Passo 4: Calcular o vetor de resíduos ostrado no lado esquerdo da equação (.67). Se todos os coponentes desse vetor são enores que ua tolerância pré-deterinada, executar o Passo 6. Senão, increentar o contador de iterações, h= h+, e resolver o sistea de equações (.67), onde: = x F w x F JI T T = I Hw T F w Jw T = I x (3.36) (3.37) (3.38) t ( F( x, γ ) ) I I L I I n r I r L I (3.39) rn = H T I é a transposta da atriz Hessiana injeção de corrente e F é dado pelas equações (.38) e (.39). Passo 5: Atualizar as variáveis de estado e voltar ao Passo 4: = + γ = γ + γ h+ h h r r r h+ h h = + h+ h h w = w + w h+ h h (3.40) Passo 6: Montar a atriz Jacobiana injeção, J I, no ponto de áxio carregaento e, a partir de então, a atriz Jacobiana polar JPequivalente, através da equação (A7.8). A seguir, calcular o autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da atriz Jacobiana J P. As coordenadas desse autovetor fornece as sensibilidades de cada barra co relação à injeção de potência ativa e reativa. Apresentados os passos básicos através da forulação de injeção de corrente, desejase agora desenvolver a equação (.68). Para isso, toando-se coo base as equações do fluxo de potência via injeção de corrente descritas no Apêndice, Te-se: 5

70 T F w x = L L M O M O M r n O M M O M L L n r rn r r r r n r rn n n n n w M (3.4) w n + n Logo: T F w x = M M M M n r rn w + L + wn + wn+ + L + wn+ n r r r r n r rn w + L + wn + wn+ + L + wn+ n n n n n (3.4) ou ainda: T F w x r = r = M = r n + n M M M (3.43) n n i rj wi + wn+ j i= r j= r n n i rj wi + wn+ j i= j= n n Logo, a atriz Hessiana ultiplicada pelo autovetor w resulta e ua atriz cujas linhas são foradas pelas derivadas parciais de cada u dos r i eleentos de r pelas variáveis x. Assi: 53

71 r r r r L L r r n n M O M M O M T F w = x x M O M M O M rn+ n rn+ n rn+ n rn+ n L L r r n n Alguns eleentos de (3.44) na fora explícita são dados por: (3.44) r I n n n n j r j r = wj + wn+ = w j + w n+ r j j r = r = r = r = r (3.45) r I I n n n n j r j r = wj + wn+ = wj + w n+ r j j r = r = r = r r = r r (3.46) r I I n n n n n+ l j r j r = wj + wn+ = w j + w n+ j j l = l = l = l = l l (3.47) As derivadas de segunda orde da forulação de injeção de corrente são apresentadas no Apêndice Inclusão das Barras Tipo P Para ua deterinada barra, do tipo P, observa-se das equações (A.47) e (A.48) que o resíduo de potência reativa Q é ua variável dependente. Assi, há três variáveis r,, Q, associadas à barra. Deseja-se desenvolver ua etodologia utilizandose a forulação de injeção de corrente expressa soente e teros das coordenadas retangulares da tensão r e. Portanto, é necessário eliinar a variável Q do conjunto de equações referentes a cada barra P. Procedendo-se desta fora, observa-se que cada barra do tipo P na forulação de injeção de corrente deve ser representada da esa fora que na forulação retangular, apresentada no Apêndice. Assi, os sisteas de equações (A.47) e (A.48), assue as seguintes foras: 54

72 r P Q r P + Q B G B G L B G L B n G r n r G B G B L G B L G n B n P Q B G B G L B G L B n G n r r P + Q G B G B L G B L G n B n M M M M M M M M M = M H N H N L H N L Hn N n r P L 0 0 r L M M M M M M M M M M Bn Gn Bn Gn L Bn Gn L Bnn G nn rn n r G n P n Q n Bn Gn Bn L Gn Bn L Gnn Bnn n n n n r n n P n+ Q n n n (3.48) r P Q r P Q r B B L B L B n G G L G L G n M B B L B L B n G G L G L Gn r P M M O M O M M M O M O M M M H H L H L Hn N N L N L N r n n r M M O M O M M M O M O M n M P n Q n n n Bn Bn L Bn L Bnn Gn Gn L Gn L G nn = rn r G G L G L G n L L L L L L n P + Q G M L G L G n L L L L L Ln r M M O M P + Q O M M M O M O M M 0 0 L r L L L M M M O M O M M M O M O M M Mn Mn Mn Mnn Ln Ln Ln L nn L L L L n M r n n P n+ Q n n n (3.49) Confore pode-se observar as atrizes Jacobianas apresentadas tê diensão n e apresenta derivadas referentes a forulação retangular. Logo, a atriz Hessiana tabé conté derivadas de segunda orde referentes à forulação convencional retangular. Tais derivadas são apresentadas no Apêndice 3. 55

73 3.3.3 Exeplo è PQ P P 3 4 Figura 3.7 Sistea Teste 4 Barras B Seja a topologia apresentada na Figura 3.7, co os dados de linha e de barra apresentados nas Tabelas (3.7) e (3.8), respectivaente. Deseja-se obter o ponto de áxio carregaento, utilizando-se a etodologia proposta. A tolerância utilizada para solução do processo iterativo é 0-5 p.u. Tabela 3.7 : Dados de Linha / Sistea Teste 4 Barras - B Barra De Barra Para r (p,u,) X (p,u,) 3 0,0 0,0 0, ,0 0,0 0,0 4 0,03 0,05 0,03 b sh (total) (p,u,) Tabela 3.8: Dados de Barra / Sistea Teste 4 Barras - B Barra Tipo Tensão (p.u.) Ângulo (º) P G (p.u.) Q G (p.u.) P D (p.u.) Q D (p.u.) θ 0, P,0 0 3, PQ, ,5 4 P, ,5 0,5 Passo : h = 0. O ponto estiado é dado por: 0,98 0º,0 9,47º = 0,748 33,40º 3,5 γ =, Passo : A atriz Jacobiana injeção, segundo (3.49), é dada por: 56

74 r r 3 3 P P P P r r r r 3 r P4 P4 P4 P4 P4 P F r r 3 r = x Ir I r I r r r r r r 3 r 3 r 3 r 3 r 3 r3 0 0 r r 3 r r 4 4 ou ainda, considerando-se as derivadas apresentadas no Apêndice : B a 0 B3 0 G b 0 G3 0 0 G r + B + Ir 0 G r 4+ B 4 0 B r + G + I 0 B r 4+ G 4 B3 0 B33 a3 B34 G3 0 G33 b3 G 34 F 0 G r4 4+ B 4 4 G r4 43+ B 4 43 G r4 44+ B Ir 0 B 4 r4 4+ G 4 4 B r4 43+ G 4 43 B r4 44+ G I 4 = x G c 0 G3 0 B d 0 B3 0 0 r G3 0 G33 c3 G34 B3 0 B33 d3 B r Substituindo-se os valores nuéricos obté-se: ,90 0 3,53 0 0, ,44 0 3,48 0,4 0,4 9,90 0 7, 4,95 0,99 0,7 0,49 F 0 5,35 3,08 3,96 0 7,66 3,9 0,4 = 0 x 5, 0 0, ,90 0 0, , ,99 0 0,5 0,49 9,90 0,46 4, , ,07 57

75 Passo 3: O autovetor estiado à esquerda, w est, da atriz J I, associado ao seu autovalor crítico é: est w = [ 0 0,50 0, 0, ,555 0,39 0,066] t Passo 4: Os eleentos do vetor de resíduos ostrado no lado esquerdo da equação (.67) são dados por: T F T w = Jw I = x t [ 0 0,55 0,3 0, ,580 0,45 0,070] ( F( x, γ ) ) [ 0 0 0, , , ] t = n - ( wi ) = 0 i = Coo a tolerância não foi atingida, increenta-se o contador de iterações, h = e resolve-se o sistea de equações (.67). Confore citado na seção.4, a aior dificuldade na T F foração desse sistea de equações é o cálculo do produto w. Ao invés de deterinar a x atriz Hessiana e depois ultiplicá-la pelo autovetor, pode-se prieiraente calcular o produto da atriz Jacobiana transposta pelo autovetor w e depois derivar o resultado e relação a x. O produto da atriz Jacobiana transposta pelo autovetor w é dado por: t B a 0 B 0 G c 0 G w 0 G r + B + Ir 0 G r4 4+ B r w B3 0 B33 a3 G r4 43+ B 4 43 G3 0 G33 c3 0 w3 0 G r 4+ B 4 B34 G r4 44+ B Ir 0 0 G 4 34 r w 4 4 F w = x G b 0 G3 0 B d 0 B3 0 w5 0 B + G + I 0 B + G w r r G3 0 G33 b3 B r G 4 43 B3 0 B33 d3 0 w + 0 B 8 r 4 G 4 G34 B r4 44 G 4 44 I 0 0 B 4 34 w Finalente: 58

76 r r r r w + w 5 0 w+ w5 0 w+ w5 0 w+ w5 0 r r r r 3 r r 3 r r r 3 r 3 P P P4 P P4 0 w + w 6 0 w+ w w+ w 4 r r r r 4 r r 4 r 4 r 4 3 r 3 3 r 3 P 3 4 r 3 3 r 3 3 r 3 P 3 4 r 3 w3+ w7 0 w 3+ w 7 w3+ w4+ w7 w3+ w7 0 w3+ w7 w3+ w4+ w7 r 3 r r 3 r r 3 r 3 r 3 r 4 r 3 r 4 r 3 r 4 r 3 r 3 r 3 3 r 3 3 r 3 4 r 3 4 r 3 4 P P4 P4 P4 4 P P4 P 4 0 w+ w4 w4 w 7+ w 8 0 w+ w4 w4 0 T F r 4 r r 4 r r 4 r 3 r 4 r 4 r 4 r 4 r 4 3 = w x r r r r w+ w5 0 w+ w5 0 w + w 5 0 w+ w5 0 r r r 3 r P P4 P P P w+ w4 0 w 3+ w 6 0 w+ w 4 r 4 r r 3 3 r 3 3 r P r 3 3 r 3 3 r P 3 4 w3+ w7 0 w3+ w7 w3+ w7+ w4 w3+ w7 0 w 3+ w 7 w3+ w7+ w4 3 r 3 r 3 r 3 3 r 3 3 r 4 3 r 4 3 r P P4 P4 P P4 P4 P4 4 0 w+ w4 w4 0 0 w+ w4 w4 w4+ w 8 4 r 4 r 4 r As derivadas de segunda orde das forulações retangular e injeção de corrente são apresentadas no Apêndice 3 e no Apêndice 4, respetivaente. Substituindo-se os valores nuéricos te-se: 59

77 e ainda: F = , , ,53,75 0 4,3,7 3,00 0,5,50 T F T 0 9,78 0,30,43 0,53 3,00 0 w = Hw = I 0 x ,53 0 9,97 0 9,78 3,00 0 6,74,50,75 0,3,8 0,53 3, ,78 0,30,43 t [ 0 0 4,6 3, ,9 0] Passo 5: Resolvendo-se o sistea de equações (.67) te-se: 0,980+ j0 0,836 j0,695 r + j = 0,409 j0,50 0,645 j0,849 t [ 0 0,466 0,44 0, ,5 0,069 0,09] w = γ =0, Retorna-se, então, ao Passo 4. Após 5 iterações, obté-se: 0,98 0º,0 33,64º = 0,64 44,38º 46,69º γ =,88 ou 8,8% Passo 6: o autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da atriz Jacobiana polar no ponto de colapso é dado por: t [ 0 0,409 0,564 0, ,47 0] w = As quatro prieiras coponentes desse autovetor fornece as sensibilidades das barras e relação à injeção de potência ativa, ao passo que as outras quatro coponentes fornece as sensibilidades das barras e relação a injeção de potência reativa. 60

78 Capítulo 4 Resultados 4. Considerações preliinares As siulações fora realizadas utilizando-se os sisteas testes apresentados na Tabela 4., que apresenta as principais características de cada rede utilizada. O sistea de 730 barras corresponde à região Sudeste Brasileira. A tolerância adotada para a convergência dos processos iterativos é de 0-5 p.u.. O liite operacional utilizado para o tap é de 0,9 a,. O odelo de carga utilizado é do tipo potência constante. O carregaento dos sisteas quando efetuado, é feito e todas as barras co carga, antendo-se constante o fator de potência, sendo suprido soente pela barra de referência. Os liites de potência reativa das barras do tipo P são considerados e alguas siulações. Tabela 4.: Características dos Sisteas Testes Sistea Núero de Circuitos Núero de Barras tipo P Carga (MW) Carga (MAr) IEEE ,5 IEEE ,4 6, IEEE ,8 336,4 IEEE IEEE ,9 7787, Barras ,3 6573,9 4. Controle de Tensão Neste trabalho as barras piloto são escolhidas coo sendo aquelas que apresenta aior variação da tensão no ponto de áxio carregaento, e relação ao caso base. Ua vez deterinadas as barras piloto, escolhe-se os transforadores e geradores responsáveis pelos controles. Os transforadores e geradores responsáveis pelos controles 6

79 fora escolhidos nas vizinhanças das barras piloto, observando-se os diagraas dos sisteas testes. Resultados de análise odal ou de análise de sensibilidade indica que os dispositivos controladores deve, realente, ser escolhidos na vizinhança da barra piloto [35]. A seguir, serão apresentados os efeitos que tais controles causa no perfil de tensão das barras. 4.. IEEE-4 Barras A estratégia de controle adotada é que o tap do transforador conectado entre as barras 4 e 9 controle a tensão na barra 9 e p.u., enquanto que a potência reativa injetada nas barras 3 e 8 controle a tensão na barra 4 e p.u., considerando que o fator de participação entre os geradores α seja unitário, ou seja 3,8 Q = Q. G3 G8 As Tabelas 4. e 4.3 apresenta os resultados da siulação para esta estratégia de controle, considerando o caso base, sendo necessárias 4 iterações para a convergência. Tabela 4.: CAT / IEEE4 a inicial a final BC esp (p.u.) calc (p.u.) 4 9 0,969 0,96 9,0,0 Q G Tabela 4.3: CST / IEEE 4 Q Gin Q Gax esp calc Gerador (p.u.) (p.u.) (p.u.) BC (p.u.) (p.u.) 3 0,08 0 0,4 4,0,0 8 0,08-0,06 0,4 A Figura 4. apresenta o perfil de tensão da barra 9. Co os controles atuando, a tensão da barra 9 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 6

80 40%, quando o tap do transforador situado entre as barras 4 e 9 atinge seu valor áxio, confore pode ser visto na Figura 4.., Co Controles Se Controles 0,9 Tensao (p.u.) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.: Perfil de Tensão da Barra 9,5,,05 Tap 0,95 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.: Tap do Transforador entre as Barras 4 e 9 A Figura 4.3 apresenta o perfil de tensão da barra 4. Co os controles atuando, a tensão da barra 4 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 4%, quando o gerador 3 atinge seu liite áxio de geração de reativo. Coo o fator de participação entre os geradores é unitário, o gerador 8 atinge seu liite antes do gerador 3, confore ostra a Figura 4.4. Definindo-se o fator de participação segundo a equação (.7), os esos resultados são obtidos, poré co os dois geradores violando seus liites para u eso valor de carregaento. 63

81 ,05 Co Controles Se Controles 0,95 0,9 Tensao (p.u) 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.3: Perfil de Tensão da Barra 4 0,4 QG3 (p.u.) 0,3 0, 0, Carregaento Adicional (%) 0,5 0, QG8 (p.u.) 0,5 0, 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.4: Potência Reativas Geradas nas Barras 3 e 8 Dos resultados anteriores, verifica-se u auento na arge de carregaento de 76,5% para 77,43%. Confore pode ser observado através das curvas pontilhadas, se a atuação dos controles há ua degradação peranente das tensões nas barras. 4.. IEEE-30 Barras A estratégia de controle adotada é que os taps dos transforadores situados entre as barras 6-9, 4 -, 6 0 e 8 7, controle as tensões das barras 9,, 4 e 7, respectivaente, enquanto que a potência reativa injetada nas barras, 5 e controle a tensão na barra 6 e a potência injetada na barra 3 controle a tensão na barra 4. As tensões das barras piloto são controladas e p.u. e os fatores de participação entre os geradores são calculados e teros da equação (.7), ou seja, α,5 =,5 e α 5, =,67. 64

82 As Tabelas 4.4 e 4.5 apresenta os resultados da siulação, considerando-se o caso base, sendo necessárias 5 iterações para convergência do processo iterativo. Tabela 4.4 : CAT / IEEE 30 a inicial a final BC esp (p.u.) calc (p.u.) 6 9 0,978 0,9636 9,0000, ,93,0487,0000, ,969,000 4,0000 0, ,968,0308 7,0000,0000 Q G Tabela 4.5 : CST / IEEE 30 Q Gin Q Gax esp calc Gerador (p.u.) (p.u.) (p.u.) BC (p.u.) (p.u.) 0,998-0,4 0,5 5 0,394-0,4 0,4 6,0000,0000 0,4365-0,06 0,4 3-0, ,06 0,4 4,0000,0000 Confore exposto, fora utilizadas 6 barras piloto para este sistea. Estudos para deterinação de áreas de influência, possivelente, apontaria que esse é u núero elevado para u sistea de 30 barras, sendo poré utilizado para efeitos de verificação da etodologia. A Figura 4.5 apresenta o perfil de tensão da barra 9. Co os controles atuando, a tensão da barra 9 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 46%, quando o tap do transforador situado entre as barras 6 e 9 atinge seu valor áxio, confore pode ser visto na Figura

83 ,,05 Co Controles Se Controles 0,95 Tensao (p.u.) 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.5: Perfil de Tensão da Barra 9,4,,,08,06 Tap,04,0 0,98 0,96 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.6: Tap do Transforador situado entre as Barras 4 e 9 A Figura 4.7 apresenta o perfil de tensão da barra. Co a atuação dos controles, a tensão da barra anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 43 %, quando o tap do transforador situado entre as barras 4 e atinge seu valor áxio. 66

84 ,,05 Co Controles Se Controles 0,95 Tensao (p.u.) 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.7: Perfil de Tensão da Barra Analogaente, a tensão da barra 7 peranece e p.u. até o carregaento adicional atingir 33%, quando o tap do transforador situado entre as barras 8 e 7 atinge seu valor áxio. Por outro lado, a tensão da barra 4 não é controlada, ua vez que o tap do transforador situado entre as barras as barras 6 e 0, no caso base já viola seu liite áxio, confore apresentado na Tabela 4.4. A Figura 4.8 apresenta o perfil de tensão da barra 6. Co os controles atuando, a tensão da barra 6 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 4%, quando os geradores atinge seus liites de geração de potência reativa. Coo os fatores de participação fora definidos e função dos liites áxios, os três geradores violara seus liites para u eso valor de carregaento, confore pode ser visto na Figura 4.9.,05 Co Controles Se Controles 0,95 0,9 Tensao (p.u.) 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.8: Perfil de Tensão da Barra 6 67

85 QG 0,5 0,4 0,3 0, ,4 QG5 0,3 0, ,5 QG 0, 0,5 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.9: Potências Reativas Geradas nas Barras, 5 e A Figura 4.0 apresenta o perfil de tensão da barra 4. Co a atuação dos controles, a tensão da barra 4 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir %, quando o gerador situado na barra 3 atinge seu liite de geração de potência reativa, confore pode ser visto na Figura 4..,05 Co Controles Se Controles 0,95 Tensao (p.u.) 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.0: Perfil de Tensão da Barra 4 68

86 0,3 0,5 0, 0,5 QG3 0, 0,05 0-0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.: Potência Reativa Gerada nas Barras 3 Co a estratégia de controle adotada, há u auento na arge de carregaento de 58,9% para 6,35%. Quando não há atuação dos dispositivos de controle, as tensões das barras coeça a cair a partir do caso base, confore ilustra as curvas pontilhadas IEEE- 57 Barras As barras 3, 3 e 33 são indicadas a tere tensão controlada. Poré, pelo fato de sere vizinhas, será efetuado o controle de tensão apenas na 3. As outras barras piloto escolhidas são a 50 e a 0. A estratégia de controle adotada é, então, que os taps dos transforadores situados entre as barras 34 3, 0-5 controle as tensões nas barras 3 e 50, respectivaente, e p.u., enquanto que as injeções de potência reativa nas barras 9 e controla a tensão na barra 0 tabé e p.u., co fatores de participação calculados e teros da equação (.7), ou seja, α 9, = 0,06. As Tabelas 4.6 e 4.7 apresenta os resultados da siulação para essa estratégia de controle, considerando-se o caso base, sendo necessárias 4 iterações para convergência do processo iterativo. Tabela 4.6: CAT / IEEE 57 a inicial a final BC esp (p.u.) calc (p.u.) ,975,059 3,0000, ,930,006 50,0000,

87 Tabela 4.7: CST / IEEE 57 Q G Q Gin Q Gax esp calc Gerador (p.u.) (p.u.) (p.u.) BC (p.u.) (p.u.) 9 0,0836-0,03 0,09 0,0000,0000,3877 -,5,5 A Figura 4. apresenta o perfil de tensão da barra 3. Co os controles atuando, a tensão da barra 3 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 0%, quando o tap do transforador situado entre as barras 34 e 3 atinge seu valor áxio, confore pode ser visto na Figura 4.4. Co Controles Se Controles 0,9 0,8 Tensao (p.u.) 0,7 0,6 0,5 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.: Perfil de Tensão da Barra 3 A Figura 4.3 apresenta o perfil de tensão da barra 50, cuja tensão anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 7%, quando o tap do transforador situado entre as barras 0 e 5 atinge seu valor áxio, confore pode ser visto na Figura

88 ,,05 Co Controles Se Controles Tensao (p.u.) 0,95 0,9 0,85 0,8 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.3: Perfil de Tensão da Barra 50,5 Tap TR 34-3,4,, Tap TR 0-5,, Carregaento Adicional (%) Figura 4.4: Tap dos Transforadores entre as Barras 0-5 e 3-3 A Figura 4.5 apresenta o perfil de tensão da barra 0. Co os controles atuando, a tensão da barra 0 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir %, quando os geradores atinge seus liites de geração de potência reativa. Coo os fatores de participação fora definidos e função dos liites áxios, os dois geradores violara seus liites para u eso valor de carregaento, confore pode ser visto na Figura

89 ,05 Co Controles Se Controles 0,95 Tensao (p.u.) 0,9 0,85 0,8 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.5: Perfil de Tensão da Barra 0 0,09 0,088 QG9 0,086 0,084 0, ,5 QG,45,4, Carregaento Adicional (%) Figura 4.6: Potências Reativas Geradas nas Barras 9 e Para a estratégia de controle adotada, há u auento na arge de carregaento de 40,4% para 40,97%. Se a atuação dos dispositivos de controle, as tensões das barras se degrada progressivaente, desde o caso base, confore ilustra as curvas pontilhadas IEEE- 8 Barras A estratégia de controle adotada é que o tap do transforador conectado entre as barras 38 e 37 controle a tensão da barra 38, enquanto que a potência reativa gerada nas barras 4, 70, 7, 73, 74, 76 e 77 controle a tensão na barra 75. Alé disso, a potência reativa gerada nas barras 46 e 49 controla a tensão na barra 47. As tensões das barras 7

90 piloto são controladas e p.u. e os fatores de participação entre os geradores são unitários. As Tabelas 4.8 e 4.9 apresenta os resultados da siulação para essa estratégia de controle, considerando-se o caso base, sendo necessárias 6 iterações para convergência. Tabela 4.8 : CAT / IEEE 8 M a inicial a final BC esp (p.u.) calc (p.u.) ,938 0, ,0000,0000 Tabela 4.9 : CST / IEEE 8 Q G Q Gin Q Gax esp calc Gerador (p.u.) (p.u.) (p.u.) BC (p.u.) (p.u.) 4 0, ,805-0, 0,3 7 0, ,805-75,0000, ,09-0,06 0, ,3-0,08 0,3 77 0,805-0, 0,7 46 0, ,0000, ,0963-0,85, A Figura 4.7 apresenta o perfil de tensão da barra 38, cuja tensão anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 3%, quando o tap do transforador situado entre as barras 38 e 37 atinge seu valor ínio, confore pode ser visto na Figura ,9 Tensao (p.u.) 0,8 0,7 0,6 0,5 0, Carregaento do Sistea (%) Co Controles Se Controles Figura 4.7: Perfil de Tensão da Barra 38 73

91 0,98 0,96 Tensao (p.u.) 0,94 0,9 0,9 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.8: Tap do Transforador situado entre as barras 38 e 37 A Figura 4.9 apresenta o perfil de tensão da barra 47. Co os controles atuando, a tensão da barra 47 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 36%, quando o gerador situado na barra 49 atinge seu liite áxio de geração de potência reativa. Coo o fator de participação entre os geradores é unitário, o gerador situado na barra 46 atinge seu liite antes do gerador da barra 49, confore ostra a Figura 4.0. Definindo-se o fator de participação segundo a equação (.7), os esos resultados são obtidos, poré co os dois geradores violando seus liites para o eso valor de carregaento.,05 Co Controles Se Controles 0,95 0,9 Tensao (p.u.) 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.9 : Perfil de Tensão da Barra 47 74

92 0,8 QG46 0,6 0,4 0, ,5 QG49,5 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.0: Potência Reativas Geradas nas Barras 46 e 49 A Figura 4. apresenta o perfil de tensão da barra 75. Co os controles atuando, a tensão da barra 75 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir 3%, quando o gerador situado na barra 4 atinge seu liite áxio de geração de potência reativa. Coo os fatores de participação são unitários, os geradores co liites áxios enores viola prieiraente tais liites. Assi, a barra 4 será a últia a ter seu liite violado, confore pode ser verificado na Figura 4.. Co Controles Se Controles 0,95 0,9 Tensao (p.u.) 0,85 0,8 0,75 0,7 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.: Perfil de Tensão na Barra 75 75

93 QG QG70 0,3 0,3 0,3 0,9 QG7 e QG73 QG76 0,5 0, , Carregaento Adicional (%) QG74 0, 0, , QG77 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.: Potências Reativas Geradas nas Barras 4, 7, 73, 76, 70, 74 e 77 Para a estratégia de controle adotada, há u auento na arge de carregaento de 60,36% para 6,09%. Novaente, as curvas pontilhadas ostra que se a atuação do CAT ou do CST, há ua degradação progressiva das tensões das barras IEEE-300 Barras As barras 9033, 903 e 9038 são indicadas a tere tensão controlada. Poré, coo estão conectadas à barra 9003, optou-se por efetuar o controle de tensão nessa últia. A outra barra piloto escolhida é a 56. A estratégia de controle adotada é então que o tap do transforador conectado entre as barras 900 e 9006 controle a tensão na barra 9003 e 0,983 p.u., enquanto que a potência reativa gerada nas barras 63, 7055 e 7057 controle a tensão na barra 56 e 0,94 p.u., considerando que os fatores de participação entre os geradores seja calculados e teros da equação (.7), ou seja, α 63,7055 = e α 7057,7055 = 3,6. As Tabelas 4.0 e 4. apresenta os resultados da siulação para esta estratégia de controle, considerando o caso base, sendo necessárias 4 iterações para a convergência. Tabela 4.0: CAT / IEEE 300 M a inicial a final BC esp (p.u.) calc (p.u.) ,9668, ,983 0,983 76

94 Tabela 4.: CST / IEEE 300 Q G Q Gin Q Gax esp calc Gerador (p.u.) (p.u.) (p.u.) BC (p.u.) (p.u.) 63 0,07-0,5 0, ,07 0 0,5 56 0,94 0, ,745-0,9 0,9 A Figura 4.3 apresenta o perfil de tensão da barra 9003, cuja tensão anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir,%, quando o tap do transforador situado entre as barras 900 e 9006 atinge seu valor áxio, confore pode ser visto na Figura 4.4. A curva pontilhada indica que se a atuação do controle a tensão decai progressivaente a níveis inaceitáveis a partir do caso base.,05 Co Controles Se Controles Tensao (p.u.) 0,95 0,9 0 0,5,5,5 Carregaento Adicional (%) Figura 4.3: Perfil de Tensão da Barra 9003,,,09,08 Tap,07,06,05,04,03 0 0,5,5,5 Carregaento Adicional (%) Figura 4.4: Tap do Transforador entre as Barras 900 e

95 A Figura 4.5 apresenta o perfil de tensão da barra Meso não sendo controlada diretaente, sua tensão segue a tendência de variação da tensão da barra O eso coportaento é notado para as tensões das barras 903 e 9038.,05 Co Controles Se Controles Tensao (p.u.) 0,95 0,9 0,85 0,8 0 0,5,5,5 Carregaento Adicional (%) Figura 4.5: Perfil de Tensão da Barra 9033 A Figura 4.6 apresenta o perfil de tensão da barra 56. Co os controles atuando, a tensão da barra 56 anté-se no valor especificado até o carregaento adicional atingir,35%, quando os geradores atinge seus liites áxios de geração de reativo. Coo os fatores de participação fora definidos e função dos liites áxios, os 3 geradores viola seus liites para u eso valor de carregaento, confore pode ser visto na Figura ,95 0,9 0,85 Tensao (p.u.) 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 Co Controles Se Controles 0,55 0 0,5,5,5 Carregaento Adicional (%) Figura 4.6: Perfil de Tensão da Barra 56 78

96 QG63 0,5 0,3 QG7055 0, 0 0,5,5,5 0,5 0,3 QG7059 0, 0 0,5,5,5 0,9 0,8 0,7 0 0,5,5,5 Carregaento Adicional (%) Figura 4.7: Gerações de Potência Reativa nas Barras 63, 7055 e Resuo A Tabela 4. apresenta, para cada sistea sob estudo, os valores do carregaento áxio adicional obtidos se e co a atuação dos controles, alé do carregaento áxio possível co a anutenção dos ódulos das tensões nos valores especificados nas barras pilotos. SEP / IEEE γ ax(%) Se Controles Tabela 4. : Resuo das Siulações γ ax (%) Co Controles BP γ ax (%) Co BP = esp 4 76,5 77, ,00 9 4,00 4,00 6 4, ,9 6, ,00 43,00 4 0, ,00 0, ,4 40,97 3 0, , , ,36 6, , ,00 300,46,46 56, , 79

97 Confore indicado na Tabela 4., há ua tendência de auento das argens de carregaento quando o CST e o CAT atua. Contudo, o aior interesse por parte das concessionárias de energia elétrica é na anutenção do ódulo das tensões das barras piloto nos valores especificados para diferentes cenários de carregaento. Nas siulações realizadas, as tensões das barras piloto anté-se e seus valores especificados, BP = esp, enquanto os liites dos taps ou de potência reativa não são atingidos. 4.3 Fluxo de Potência de Segunda Orde Nas siulações apresentadas a seguir, a classificação do caso sob análise é feita co base na Figura.5. O valor liite adotado para µ é 0,. Assi, se o valor de µ é inferior ao liite, o processo é interropido, assuindo-se que a elhor solução possível foi obtida IEEE Barras Caso Base iável Utilizando-se o étodo convencional expresso e coordenadas retangulares obté-se a convergência do processo iterativo e quatro iterações. O eso núero de iterações é requerido caso se utilize o fator de otiização de passo µ, confore pode ser observado na Tabela 4.3, que tabé apresenta os valores de µ obtidos através dos étodos de Iwaoto e proposto. É interessante notar que µ assue valor unitário ao final do processo iterativo, ua vez que o ponto de operação localiza-se na região solúvel. Tabela 4.3: alores de µ - IEEE Barras / Caso Base h Iwaoto Proposto 0 0,885 0,9447,05,0438 0,9980,0039 3,0000,0000 A Figura 4.8 apresenta a evolução da função objetivo para os três étodos e análise. Observa-se que os étodos de segunda orde apresenta u desepenho elhor coparado ao étodo convencional. É interessante notar que o valor final da 80

98 função objetivo tende à zero, confirando que o ponto de operação pertence à região solúvel Convencional Iwaoto Proposto 0-5 F Iteração Figura 4.8 : Evolução da Função Objetivo F - IEEE 300 Barras / Case Base Através da Tabela 4.4 observa-se que as tensões e três barras quaisquer e a potência gerada pela barra de referência são as esas, indicando que a solução obtida via étodo proposto é idêntica àquela obtida através dos étodos de Iwaoto e convencional. Tabela 4.4 : Coparação do Resultado do Fluxo de Potência - IEEE 300 / Caso Base 9033 θ θ θ 9038 P G7049 Q G7049 Método (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) (p.u.) Convencional 0,988-5,33 0,937-5,06 0,9396-4,4 4,5595 0,883 Iwaoto 0,988-5,33 0,937-5,06 0,9396-4,4 4,5595 0,883 Proposto 0,988-5,33 0,937-5,06 0,9396-4,4 4,5595 0, Caso Não-Solúvel A fronteira Σ para o sistea sob análise, é atingida caso ocorra u carregaento adicional de 3,64%. Co o objetivo de caracterizar u ponto de operação na região nãosolúvel, efetuou-se u carregaento adicional de 5%. Para essa situação, o étodo convencional diverge, enquanto utilizando-se os étodos de fluxo de potência de segunda orde, a elhor solução possível é obtida. 8

99 A Tabela 4.5 apresenta ua coparação dos valores de µ obtidos através dos étodos proposto e de Iwaoto. Abos os étodos obté a elhor solução co sete iterações. É iportante notar que o valor final de µ tende a zero, ua vez que o caso sob análise não possui solução. Tabela 4.5: alores de µ IEEE 300 / Não-Solúvel h Iwaoto Proposto 0 0,3 0,69 0,06 0,045 0,94 0, ,800 0,76 4 0,594 0, ,37 0, ,0993 0,0997 A Figura 4.9 apresenta a evolução da função objetivo F para os três étodos. Observa-se que o étodo proposto apresenta ua característica de convergência uito seelhante à do étodo de Iwaoto. A função objetivo F assue u valor final não nulo positivo, ua vez que não há solução para a situação sob análise Convencional Iwaoto Proposto 0 6 F Iteração Figura 4.9 : Evolução da Função Objetivo - IEEE 300 / Não-Solúvel Através da Tabela 4.6 observa-se que a elhor solução obtida através dos dois étodos de segunda orde são ligeiraente diferentes. É uito iportante destacar que 8

100 ebora os pontos obtidos seja infactíveis, a partir de tais pontos é possível restaurar a solução do fluxo de potência a partir de inforações fornecidas pelo autovetor à esquerda associado ao autovalor nulo da atriz Jacobiana [54]. Tabela 4.6 : Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência IEEE 300 / Não-Solúvel 9033 θ θ θ 9038 P G7049 Q G7049 Método (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) (p.u.) Iwaoto 0, ,054 0,84-68,60 0,89-67,78 5,45 5,9 Proposto 0,80-68,6 0,84-68,3 0,836-67,93 6,6 6, Sistea Sudeste Brasileiro Caso Inviável Para o sistea Sudeste Brasileiro, a fronteira Σ é atingida caso ocorra u carregaento adicional de 5,33 %. Co o objetivo de caracterizar u ponto de operação na região inviável, efetuou-se u carregaento adicional de 5,30%. Para essa situação, o étodo convencional converge e 6 iterações. O fator de otiização de passo µ pode ser utilizado co o objetivo de elhorar a característica de convergência do processo iterativo. A Tabela 4.7 apresenta os valores de µ obtidos através das duas etodologias de segunda orde. A convergência foi obtida co 5 iterações. O valor final de µ é próxio da unidade, coo se espera de u ponto de operação na região solúvel. Tabela 4.7: alores de µ - Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Inviável h Iwaoto Proposto 0 0,905,033,0434,030,0058,009 3,009,0076 4,0830,0670 De acordo co a Tabela 4.8, a tensão e três barras quaisquer e a potência gerada pela barra de referência são as esas, corroborando que a etodologia proposta fornece o eso ponto obtido através dos étodos convencional e de Iwaoto. 83

101 Tabela 4.8 : Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência - Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Inviável 37 θ θ θ 35 P G50 Q G50 Método (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) (p.u.) Convencional 0,638 6,5 0,766,68 0,757 4,033 4,669 5,388 Iwaoto 0,638 6,5 0,766,68 0,757 4,033 4,669 5,388 Proposto 0,638 6,63 0,766,68 0,757 4,033 4,669 5,388 A Figura 4.30 apresenta a evolução da função objetivo F para os três étodos. Novaente pode ser observado que os dois étodos de segunda orde apresenta características de convergência siilares. O valor final da função objetivo F é zero, ua vez que o ponto de operação pertence à região solúvel Convencional Iwaoto Proposto F Iteração Figura 4.30 : Evolução da Função Objetivo F Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Inviável Caso Não-Solúvel Co o objetivo de caracterizar u ponto de operação na região não-solúvel, efetuou-se u carregaento adicional de 6%. Para essa situação, o étodo convencional diverge, enquanto utilizando-se os étodos de fluxo de potência de segunda orde, a elhor solução possível é obtida. 84

102 A Tabela 4.9 apresenta os valores de µ obtidos via abos os étodos de segunda orde. É iportante observar que o étodo de Iwaoto obté a elhor solução co seis iterações, enquanto cinco são necessárias ao étodo proposto, via forulação de injeção de corrente. Coo se trata de u ponto de operação na região não-solúvel, o valor final de µ tende a zero. Tabela 4.9: alores de µ Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Não-Solúvel h Iwaoto Proposto 0 0,869,030,0477,049,0, ,8588 0, ,683 0, , A Tabela 4.0 ostra que as elhores soluções obtidas através de cada étodo são ligeiraente diferentes. A evolução da função objetivo F é apresentada na Figura 4.3. A função objetivo F assue u valor final não-nulo, ua vez que o ponto de operação encontra-se na região não-solúvel. Tabela 4.0 : Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência - Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Não- Solúvel 37 θ θ θ 35 P G50 Q G50 Método (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) (p.u.) Iwaoto 0,589 0,7394 0,689 7,93 9,76 9,76 44,45 7,6345 Proposto 0,576 0,469 0,6845 6,9689 9,59 9,59 44,448 7,695 85

103 Convencional Iwaoto Proposto F Iteração Figura 4.3 : Evolução da Função Objetivo F Sistea Sudeste Brasileiro / Caso Não-Solúvel Contingência - Caso Não-Solúvel Resultados de análise odal apresentados e [0] indica que a linha de transissão entre as barras 35 e 37 é ua linha crítica. A perda dessa linha de transissão leva o sistea à região não-solúvel. Portanto, não é possível obter solução para esse caso via étodo convencional. Utilizando os étodos de Iwaoto e o proposto, a elhor solução é alcançada co quatro e três iterações respectivaente, confore é apresentado na Tabela 4.. µ tende a zero ao final do processo iterativo, coo se espera de u caso se solução. Tabela 4.: alores de µ Sistea Sudeste Brasileiro / Contingência h Iwaoto Proposto 0 0,9997,000 0,9967 0,9985 0,44 0, ,747 0, ,06 - A Tabela 4. ostra as elhores soluções obtidas por cada u dos étodos, enquanto a Figura 4.3 apresenta a evolução da função objetivo F para os três étodos. A função objetivo F assue u valor final não-nulo positivo confirando que se trata de u ponto de operação na região de não solucionabilidade. 86

104 Tabela 4. : Coparação dos Resultados do Fluxo de Potência - Sistea Sudeste Brasileiro / Contingência 37 θ θ θ 35 P G50 Q G50 Metodo (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) ( º ) (p.u.) (p.u.) Iwaoto 0,5905,97 0,808 33,097 0, ,37,78-5,09 Proposed 0,584,644 0, ,008 0, ,87,70-5, Convencional Iwaoto Proposto 0 - F Iteração Figura 4.3 : Evolução da Função Objetivo F Sistea Sudeste Brasileiro / Contingência Esforço Coputacional A Tabela 4.3 apresenta a relação entre os tepos coputacionais despendidos pelas forulações proposta via injeção de corrente e Iwaoto, denotadas por T p e T I, respectivaente. É claraente notável que o étodo proposto, via forulação de injeção de corrente, apresenta u desepenho coputacional superior ao étodo de Iwaoto. A elhor perforance coputacional apresentada pela forulação de injeção de corrente se deve ao fato de os eleentos diagonais da atriz Jacobiana peranecere constantes durante todo o processo iterativo. Tabela 4.3: Tepo Coputacional / Fluxo de Potência de Segunda Orde Sistea Operação T TP Caso Base,38 IEEE Caso Inviável,355 Caso Não-Solúvel,368 Caso Base,35 Sudeste Caso Inviável,396 Brasileiro Caso Não-Solúvel,694 Contingência,65 87

105 4.4 Método Direto de Obtenção do Ponto de Máxio Carregaento A seguir serão apresentados os resultados de siulações para obtenção direta do ponto de áxio carregaento. Os pontos de áxio carregaento obtidos pelo étodo direto proposto, via injeção de corrente, são coparados co aqueles obtidos através do étodo direto convencional e coordenadas polares e co os resultados do fluxo de potência continuado. Adicionalente, são apresentados resultados da análise das coponentes do autovetor à esquerda Ponto de Máxio Carregaento A Tabela 4.4 apresenta os pontos de áxio carregaento obtidos pelo étodo direto convencional e coordenadas polares e pelo étodo direto proposto, via injeção de corrente. Confore pode ser observado, os esos resultados são obtidos utilizando-se abas as etodologias. Tabela 4.4: Ponto de Máxio Carregaento (%) Sistea Elétrico Convencional Polar Injeção de Corrente Se Liites Co Liites Se Liites Co Liites IEEE-4 300,670 76,5 300,670 76,5 IEEE-30 94,9 58,86 94,9 58,86 IEEE-57 78,587 40,44 78,587 40,44 IEEE-8 90,308 60,357 90,308 60,357 IEEE-300 3,640,463 3,640, Barras 5,38 5,05 5,353 5,05 As argens de carregaento obtidas através dos étodos diretos coincide co aquelas obtidas via fluxo de potência continuado, confore pode ser visto nas Figuras 4.33, 4.34, 4.35, 4.36, 4.37 e Nessas Figuras são apresentados os perfis de tensão das barras críticas, apresentadas e [0], obtidas através da análise odal. A linha pontilhada representa a situação na qual não são considerados os liites de potência reativa dos geradores. O passo ρ utilizado para o parâetro da continuação é de 0,0 p.u. e a forulação de injeção de corrente foi utilizada. É iportante destacar, que curvas idênticas são obtidas quando se utiliza o fluxo de potência continuado convencional polar 88

106 [0]. Alé disso, abas forulações apresenta esa trajetória de convergência no fluxo de potência continuado, o que não acontece no étodo direto de obtenção do ponto de colapso., Se Liites Co Liites 0,9 Tensão (p.u.) 0,8 0,7 0,6 0,5 76,5 300,66 0,4 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.33 : Perfil de Tensão da Barra 5 / IEEE4 0,9 Se Liites Co Liites 0,8 0,7 Tensão (p.u.) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 58,9 94,9 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.34 : Perfil de Tensão da Barra 30 / IEEE 30 89

107 0,9 Se Liites Co Liites 0,8 0,7 Tensão (p.u.) 0,6 0,5 0,4 0,3 40,44 0, 78,59 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.35 : Perfil de Tensão da Barra 3 / IEEE 57,05 Se Liites Co Liites 0,95 0,9 Tensão (p.u.) 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 60,36 0, Carregaento Adicional (%) 90,9 Figura 4.36: Perfil de Tensão da Barra 47 / IEEE 8 90

108 0,9 Se Liites Co Liites 0,8 0,7 Tensão (p.u.) 0,6 0,5 0,4,46 3,64 0,3 0, 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.37: Perfil de Tensão da Barra 650 / IEEE 300 0,9 Se Liites Co Liites 0,8 Tensão (p.u.) 0,7 0,6 0,5 0,4 5,05 5,35 0,3 0, Carregaento Adicional (%) Figura 4.38: Perfil de Tensão da Barra 9033 / Sistea Sudeste Brasileiro Confore pode ser verificado, as argens de carregaento diinue consideravelente quando se considera os liites de potência reativa. Para o sistea IEEE 30, por exeplo, se considerar os liites de potência reativa, a arge de carregaento é de 94,9%, enquanto que considerando-se tais liites a arge é reduzida para 58,9%. 9

109 4.4. Análise do Autovetor à Esquerda De odo a explorar o Passo 6 do algorito proposto, a Figura 4.39 apresenta as coponentes do autovetor à esquerda referentes ao ódulo da tensão, associado ao autovalor nulo da atriz Jacobiana, para o sistea Sudeste Brasileiro. isando facilitar a identificação das barras críticas, a parte inferior da figura focaliza apenas a região onde é observada aior aplitude das coponentes. Confore pode ser observado, as barras críticas refere-se às posições 650, 65 e 649, correspondendo às barras 37, 39 e 35, respectivaente. Nesta siulação foi desativada a verificação dos liites de potência reativa. Figura 4.39: Coponentes do Autovetor à Esquerda Referentes à Tensão / Sistea Sudeste Brasileiro Por outro lado, a Figura 4.40 apresenta as coponentes do autovetor à esquerda referentes ao ângulo da tensão, indicando que os geradores críticos estão localizados nas barras 808, 809 e 90. As posições correspondentes são 497, 498 e 568, respectivaente. Para facilitar a identificação das barras críticas, as duas regiões onde fora observadas as aiores aplitudes das coponentes são destacadas. 9

110 Figura 4.40: Coponentes do Autovetor à Esquerda Referentes ao Ângulo / Sistea Sudeste Brasileiro Procedendo-se de aneira análoga, pode-se obter as barras e os geradores críticos para os deais sisteas sob análise. A Tabela 4.5 sintetiza os resultados obtidos considerando-se ativada ou não a verificação dos liites de potência reativa. As inforações fornecidas são valiosas no sentido de reforçar a estabilidade de tensão dos sisteas. Tabela 4.5 : Análise do Autovetor à Esquerda Associado ao Autovalor Nulo Sistea Se Liites Co Liites Barras Críticas Geradores Críticos Barras Críticas Geradores Críticos IEEE 4 9,4, 0 8, 6, 3 4, 0,3 6, 8, 3 IEEE 30 30, 9, 6 3,, 8 30, 6, 9 3,, 5 IEEE 57 3, 33, 3 9, 8, 3, 33, 3 9, 6, 8 IEEE 8 38, 44, 47,, 6 44, 45, 43, 9, 5 IEEE , 903, , 76, 33 56, 63, 64 63, 707, Barras 37, 39, , 809, 90 37, 39, , 809, 97 A Tabela 4.6 apresenta alterações no sistea de 730 barras, correspondente à região Sudeste Brasileira, no intuito de reforçar a estabilidade de tensão. 93