CRITÉRIOS PARA A ANÁLISE DA GEOMETRIA DE REDES GEODÉSICAS POR COMPONENTES PRINCIPAIS

Transcrição

1 5 CRITÉRIOS PARA A ANÁLISE DA GEOMETRIA DE REDES GEODÉSICAS POR COMPONENTES PRINCIPAIS Criteria for analysing geodetic network geoetry by eans of ain coponents REGINALDO DE OLIVEIRA QUINTINO DALMOLIN Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências da Terra Departaento de Geoática Curso de Pós-Graduação e Ciências Geodésicas e-ail: qdalolin@ufpr.br RESUMO O presente trabalho te coo objetivo analisar o coportaento da atriz variância-covariância dos parâetros ajustados de ua rede geodésica a partir da configuração geoétrica dada pelas suas coponentes principais. Copara-se os resultados obtidos co os parâetros aproxiados iniciais e os parâetros ajustados finais co o intuito de avaliar a influência da estiativa dos valores iniciais e situação de planejaento de redes geodésicas. O teste de esfericidade co os critérios de otialidade foi aplicado ao conjunto de valores próprios a fi de verificar se a rede sob análise apresenta as características de hoogeneidade e isotropiso. ABSTRACT This paper ais at analysing the variance-covariance atrix behaviour of paraeters which are adjusted to a geodetic network fro geoetric configuration obtained by its principal coponents. The results obtained with the first paraeters are copared to the results obtained by the last paraeters, aiing at evaluating the estiative influence of the first results in relation to geodetic network. A spherical test with optiization criteria was applied to the group of eigenvalues so as to check whether or not the network under analysis presents characteristics of hoogenity and isotropis. Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

2 6 1. INTRODUÇÃO A análise de coponentes principais é baseada na estrutura da atriz variância-covariâncias de u conjunto de p de variáveis, através de k, ( k < p ) cobinações destas variáveis. O conjunto de variáveis originais é transforado e u novo conjunto de variáveis não correlacionadas chaadas coponentes principais. Essas novas variáveis são cobinações lineares das variáveis originais e são derivadas e orde decrescente de iportância. Assi sendo, a prieira coponente principal é a cobinação linear noralizada co variância áxia. Seu objetivo é e geral: (1) reduzir o núero de variáveis e () analisar quais conjuntos de variáveis explica a aior parte da variabilidade total revelando que tipo de relacionaento existe entre elas. Algebricaente, as coponentes principais são cobinações lineares de p variáveis aleatórias X1, X, K, X p. Geoetricaente estas cobinações lineares representa a seleção de u novo sistea de coordenadas obtido rotacionando o sistea original que possui X1, X, K, X p coo eixos coordenados. Os novos eixos representa as direções co áxia variabilidade e fornece ua descrição da estrutura de covariância. Coponentes principais depende da atriz covariância Σ de X1, X, K, X p e seu desenvolviento não requer suposição de noralidade. Por outro lado, coponentes principais obtidas de população noral ultivariada pode ser interpretadas e teros de elipsóide, ou hiper-elipsóide de confiança. As coponentes principais pode ser úteis e Ciências Geodésicas e aplicações coo: (a) detecção e identificação de outliers ( MARQUES, 1994), isto é, identificação de observações que apresenta inconsistência co o resto dos dados; (b) fornecer eleentos que possibilite copor odelos de análise da sensibilidade de ua rede geodésica (NIEMEIER, 1985 a ) (c) obter eleentos de otiização para as redes na detecção de ovientos da crosta terrestre ( CROSSILA e MARCHESINI, 1983 ) Na questão da análise de redes geodésicas o interesse aior recai sobre o significado geoétrico das coponentes principais. No presente trabalho usar-seá o tero coponentes principais para a representação geoétrica das esas.. VALORES E VETORES PRÓPRIOS Dois tipos de Problea de Valor Próprio são definidos: o Problea de Valor Próprio especial e o Problea de Valor Próprio generalizado ( ZURMÜHL, 1950, p.10). Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

3 Dada ua atriz quadrada A de orde n, sobre R (conjunto dos núeros reais). Diz-se que u escalar λ R é u valor próprio de A se existe u vetor não nulo R para o qual (A-λI) = 0, 0 (1) Os valores próprios e vetores próprios de A são exataente aqueles que satisfaze a equação (1). Assi, a única aneira de sere obtidos vetores próprios, co 0 é ter det[(a-λ.i)]=0 () Ipondo a condição (), deterina-se, prieiraente, os valores próprios λ que satisfaze a equação (1) e, depois, os vetores próprios a eles associados. Te-se o polinôio característico da atriz A, P(λ)=det(A-λ.I) (3) P(λ) = (a 11 -λ).(a -λ)...(a nn -λ) + teros de grau enor que n (4) P(λ) é chaado polinôio característico da atriz A e o conjunto de todos os valores próprios da atriz A, é chaado de espectro de A. Os vetores próprios são deterinados após a substituição do valor próprio e (1). O vetor próprio, associado a u valor próprio, não é único, ou seja, se i é u vetor próprio, qualquer escalar c ultiplicado por i será solução de (1). t Obté-se os vetores próprios noralizados pela noralização i = 1. i Os vetores próprios desta fora noralizados são chaados versores. Se ao invés da atriz identidade e (1) tiveros ua atriz C, haverá coo apliação do valor próprio especial, o Problea de Valor Próprio geral definido por: (A - λc) = 0, (5) e que A e C possue as esas diensões, n x n. E particular, no caso e que C for não-singular será possível reconduzir (5) a u Problea de Valor Próprio especial. Co efeito,pré-ultiplicando direita abos os ebros de (5) por C -1 (C -1 A-λC -1 C) = 0, (6) fazendo C -1 A = D e ainda coo C -1 C = I te-se (D-λI) = 0 (7) 3. MATRIZ COVARIÂNCIA E ELIPSE DE ERROS Parte das inforações a respeito da precisão de ua rede geodésica está contida na atriz covariância do vetor dos parâetros ajustados Σ xa = σˆ Q 0 x (8) onde + Q = ( t x A PA) (9) 7 Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

4 8 O sinal + indica a pseudo-inversa e Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003. Q x é chaado de atriz dos cofatores de variância. Toda odificação realizada na geoetria da rede e na precisão das edidas interfere diretaente sobre a equação (9) e desta fora os critérios de análise recae sobre esta atriz. Ua representação gráfica para Q x, (figura 1), pode ser obtida através da expressão, t + ( x xˆ) Qx ( x xˆ) = c (10) que representa a equação de u grupo de elipses ou elipsóides centrados e xˆ, na qual o grupo de parâetros c é relacionado à distribuição qui quadrado dado por, c = χ u, 1 α (11) onde u é o núero de parâetros e α é o nível de significância. A expressão dos sei eixos a e b, e do ângulo Θ de orientação da elipse são dadas por (MORAES, 001,p.186) e que q, xixi q e yiyi aleatórias x i e y. i O ângulo Θ, (co 1 a = σax = σˆ 0 (q + q + W) = σˆ yiyi xixi 0 λax (1) 1 b = σin = σˆ 0 (q + q W) = σˆ yiyi xixi 0 λ in (13) 1 q yixi Θ = arctan q q yiyi xixi xixi yiyi yixi W = (q q ) + 4q e q são as variância e covariâncias das variáveis xiyi Θ π ) é o aziute da direção do sei eixo a e Θ + π / é o aziute da direção do sei eixo b. 4. REPRESENTAÇÃO GEOMETRICA DAS COMPONENTES PRINCIPAIS A decoposição de ua atriz quadrada e valores próprios λ i e vetores próprios i é chaada de decoposição espectral. A decoposição espectral da atriz dos cofatores de covariância é representada por: Q t x = MΛM (14) onde

5 M é a atriz ortogonal cujas colunas são vetores próprios de Q x Λ é a atriz diagonal forada pelos valores próprios de Q x Então, M 11 1 u 1 u Q x = (15) u1 1 M u L L L L 1u λ1 M uu λ O M λu 11 u1 1 M u L 1u L L M L uu t 9 Entre os valores próprios de Q x existe a seguinte relação λ1 λ L λu. A partir da decoposição espectral de Qx deterina-se a decoposição espectral de Σ xa, visto que estas duas atrizes possue os esos vetores próprios e os valores próprios se diferencia pelo fator de variância da unidade de peso a posteriori. Os valores próprios de Σ xa são σˆ 0λ1 σˆ 0λ L σˆ 0λ u. Através da (15 ) obté-se u hiperelipsóide de diensão u u, onde os sei-eixos fica definidos pelos vetores próprios e a prieira coponente principal é dada segundo (NIEMEIER, 198, p. 77) por: p (16) 1 = 1 λ1 Co base na (16) observa-se que λ 1 fixa o copriento do sei eixo aior do elipsóide de erros dado pela (15), visto que 1 é u vetor unitário. Por definição duas ou ais coponentes principais são independentes entre si, visto que cada coponente principal te na sua foração vetores próprios que são independentes entre si. Para as redes geodésicas significa a direção θ nas quais os parâetros são pior deterinados (figura 1). A interpretação geoétrica da prieira coponente principal, dada na figura 1, é a representação unidiensional do sei-eixo aior de copriento λ1 de u elipsóide de confiança, e os eleentos de 1 são os cossenos diretores da projeção destes e relação à base original. Estatisticaente a prieira coponente principal fornece a áxia separação possível entre as variáveis e esta separação é encontrada na direção fornecida pela orientação do vetor 1, ou seja, a áxia variância λ 1 se encontra nesta direção. Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

6 30 Y FIGURA 1 - REPRESENTAÇÃO GEOMETRICA DAS COMPONENTES PRINCIPAIS PARA O CASO // y t -1 a x a (x - x ) Q (x - x ) = c Y 1 Y y a θ // x O x a BIVARIADO Fonte: Adaptada de Moraes (001, p.130) X 5. CRITÉRIOS DE OTIMALIDADE A acurácia de ua rede é tanto elhor quanto enor for o valor próprio áxio obtido da atriz Q x. WELSH et al. ( 1980b, p57) apresenta alguns dos ais iportantes critérios de optialidade para redes geodésicas : u! det( Q x ) = λ1 λ K λi K λu = λi = ínio (17) i= 1 u! tr ( Q x ) = λ1 + λ + L + λi + L + λu = λi = ínio (18) i= 1! λ áxio = ínio (19) Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

7 λ! áxio = 1 (0) λínio! λ áxio λínio = ínio (1) p 1 = 1 λáxio () A condição (17) é denoinada critério volue de confiança e deve ser ínio. A expressão (18) significa que a soa dos quadrados dos sei eixos deve ser ínia. A expressão (17) apesar de ser u dos critérios te a desvantage de que eixos isolados pode ser uito grandes, então coo condição adicional usa-se a condição (18). A condição (19) significa que o quadrado do sei-eixo aior deve ser ínio. A condição (0) é conhecida coo a condição de isotropia, ou seja, a edida de acurácia do ponto é a esa e todas as direções. A (1) é a condição de hoogeneidade, ou seja, as elipses se degenera e ua circunferência. A () fornece a direção e o copriento do eixo principal do elipsóide de confiança e teros da prieira coponente principal. Segundo CROSSILLA e MARCHESI (1983, p. 308) de todas as possíveis configurações de ua rede geodésica a elhor é aquela que satisfaz as condições (17), (18), (19) e (0). Ua rede que é soente hoogênea, figura (a), as elipses (ou elipsóides) de erro locais são os esos e todos os pontos. Ua rede que é apenas isotrópica, figura (b), as elipses (ou elipsóides) varia de ponto para ponto, ebora seja todas reduzidas a círculos (redes bi-diensionais) ou esferas (redes tri-diensionais). Assuindo-se ua rede geodésica bidiensional coo sendo hoogênea e isotrópica, figura (c), então as elipses de erro locais reduze-se a círculos de eso raio. FIGURA REDE HOMOGÊNEA E ISOTRÓPICA 31 (a) (b) (c) Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

8 3 6. TESTE DA IGUALDADE DE VALORES PRÓPRIOS A fi de verificar se p valores próprios são iguais entre si sob o nível de significância α aplica-se o teste da igualdade de valores próprios, e u subconjunto contendo b valores próprios consecutivos (JACKSON, 1991, p ) cuja hipótese nula é: H 0 : λk+ 1 = λk + = L = λk + b e a estatística do teste é dada por: k+ b k b + λ j ν ln( j) bln ~ χ λ + (b 1)(b )/ j k 1 j k 1 b + (3) = + = + na qual ν designa o núero de graus de liberdade associado co a atriz covariância e χ te (b-1)(b+)/ graus de liberdade. Se a estatística calculada for aior que χ ( b 1)(b+ )/, para u deterinado nível de significância a hipótese H 0 é rejeitada Para o caso bivariado, o teste da igualdade dos valores próprios é dado por: H0 : λ 1 = λ cuja estatística do teste é * (n )( λ1 λ F = ) (4) 8λ1λ onde a estatística * F a ser testada segue ua distribuição F central co o núero de graus de liberdade no nuerador igual a e no denoinador igual a n, sendo n o núero de observações. Co base no teste de igualdade de valores próprios acia citados pode-se toar decisões quanto a qualidade da rede, visto que na prática os valores próprios da atriz de covariância dificilente serão iguais e valores absolutos. Então pode-se testar, se as diferenças entre valores próprios de ua atriz de covariâncias são significativas. 7. APLICAÇÃO Coo aplicação ajustou-se ua rede horizontal a partir de 7 observações de distância (figura 3). Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

9 Y FIGURA 3 REDE HORIZONTAL X 3 33 As observações fora feitas co a esa precisão ( σ i = 1 ). As coordenadas dos pontos fixos (considerados isentos de erro) e as coordenadas dos pontos aproxiados são dados na tabela 1. TABELA 1 COORDENADAS DA REDE HORIZONTAL Coordenadas Fixas Pontos x() y() Pontos Coordenadas aproxiadas A atriz covariância global e as subatrizes que fornece subsídios para análise do ajustaento pelo étodo dos ínios quadrados e da qualidade da rede estão descritas abaixo t Q = = x ( A PA), As subatrizes que fornece a situação da acurácia local são: Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

10 Q x5 = e Qx6 = As atrizes que define a decoposição espectral copleta da atriz Q x são, M= e Λ = O núero de valores próprios fornece a diensão do hiperelipsóide de confiança. Neste caso são 4 coponentes principais. Aplicando (15) e (16) a prieira coponente principal é dada por : 0 0 p 1 = ,5166 0,8563 A fi de verificar se a rede é hoogênea e isotrópica aplicou-se o teste da igualdade de valores próprios cuja hipótese nula é: H0 : λ 1 = λ = λ3 = λ4 A estatística (16) co ν = 3 e b = 4 forneceu o resultado e a u nível de significância de 5% o valor crítico é χ 9,0. 95 = Da desigualdade <16.9 te-se que a hipótese nula não é rejeitada e, portanto ua rede hoogênea e isotrópica. Co esta situação as subatrizes que fornece a acurácia local da rede, apresenta círculos de erros para cada ponto ajustado e para a acurácia global ua hiperesfera de erro. Quando o peso é fixado, a influência do vetor dos parâetros aproxiados X o na qualidade global da rede co iteração e se iteração está ostrado na tabela. Indicando, que no planejaento de segunda orde, necessita-se de estiativas elhoradas para o vetor dos parâetros iniciais, de fora que os pesos das observações seja obtidos co o ínio de influência da atriz planejaento ª Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

11 TABELA INFLUÊNCIA DE X 0 NA QUALIDADE GLOBAL DA REDE CRITÉRIO SEM ITERAÇÃO COM ITERAÇÃO λ áxio 6, Deterinante 0,903 0,116 Traço 8,515,4354 λáxio λínio 1,1096 1,993 Estiativas elhoradas para os parâetros iniciais pode ser obtidas por exeplo, por transporte de coordenadas co base e observações provisórias ou então extraídas de ua carta. As estiativas para x0 serão elhoradas após se efetivar o ajustaento co iterações. Através da aplicação da estatística (3) os valores próprios da situação se iteração define ua hiperesfera de erro, fato que ocorre tabé quando aplicase iteração. Co o uso dos critérios de optialidade poré verifica-se que a elhora no vetor dos parâetros aproxiados iplica nua elhor concepção da rede. Decopondo espectralente a subatriz Q x5 e aplicando a (15) teos, M = e Λ = aplicando a (15) as coponentes principais são escritas através da equação (16) da seguinte fora: a) prieira coponente principal p 1 = analisando as coponentes do vetor (cosseno diretor) observa-se que este encontra-se no segundo quadrante da circunferência trigonoétrica co u ângulo de rotação, e relação ao eixo original, de 95,37 0,e copriento do sei eixo aior da elipse de Os parâetros x 5 e y5 estão pior deterinados na direção 95,37 0 e relação à base original cuja direção apresenta a variância áxia de b) segunda coponente principal p = analisando as coponentes do vetor (cosseno diretor) observa-se que este encontra-se no prieiro quadrante da circunferência trigonoétrica co u ângulo de rotação, e relação à base original, de 5, Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

12 36 direção que representa a elhor deterinação dos parâetros co variância ínia de A figura (4) ostra a representação geoétrica das elipses de erro local, elipses estas que se degenera e círculos de erro e vista da aplicação pela estatística (3). FIGURA 4 ELIPSES DE ERRO LOCAL Y O X As coponentes principais se apresenta de acordo co a análise global ou local requerida. 8. CONCLUSÃO A análise de coponentes principais fornece subsídios ateáticos e estatísticos que auxilia na avaliação de redes geodésicas. As expressões das coponentes principais perite verificar a posição da elipse ou elipsóide ou então hiperelipsóde de erros através da análise das coponentes dos vetores próprios. As expressões das coponentes principais perite a análise da acurácia global ou local da rede facilitando a distinção entre estes dois conceitos. Para se ter ua situação ótia é necessário que os critérios de optialidade dados por (17), (18), (19) e (0) seja satisfeitos, e coo critério adicional aplicar (1) nas elipses de acurácia global. A influência da qualidade do vetor dos parâetros aproxiados é constatado. Fato que deve ser considerado e situações de planejaento de redes geodésicas, e especial planejaento de segunda orde, e que ua iteração não pode ser realizada. A integração do critério da igualdade de valores próprios e de optialidade fornece elhores subsídios para toar decisões a respeito da qualidade de ua rede geodésica. Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.

13 O resultado obtido da aplicação da estatística dada por (3) perite avaliar a estiativa dos valores iniciais aplicados para aplicação do étodo paraétrico. Pode-se, e casos particulares, verificar a necessidade de iteração no étodo paraétrico. O teste da esfericidade dado pela expressão (3) e (4), dependendo da diensão do elipsóide, perite avaliar a condição de isotropia e hoogeneidade da rede a u dado nível de confiança. A fi de verificar se algu ponto é interno a hiperesfera, ou seja, situa-se na região de aceitação a u dado nível de significância o teste dado e (10) deve ser aplicado. REFERÊNCIAS CROSSILA, F.; MARCHESI, C. (1983). Geodetic network optiization for the detection of crustal oveents using a ekoeter. Bolletino di Geodesia e Science Affini, Firenze, v. 4, n. 3, p MARQUES, J. M. (1994) O étodo da análise de coponentes principais na detecção e identificação de outliers últiplos e fototriangulação. Curitiba, Tese (Doutorado e Ciências Geodésicas) Departaento de Geociências, Universidade Federal do Paraná. MORAES, C. V. (001) Aprioraento da concepção do odelo geodésico para a caracterização de estreas no espaço geoétrico. Curitiba, 001. Tese (Doutorado e Ciências Geodésicas) Departaento de Geociências, Universidade Federal do Paraná. NIEMEIER, W. (198) Principal coponent analysis and geodetic networks soe basic considerations. In: BORRE, K; WELSCH, W. M. (Hrsg.): Proceedings Survey Control Netwiork. Schriftenreihe Veressungswesen der Hochschule der Bundeswerh München, n. 7, p NIEMEIER, W. (1985 a) Netzqualität und Optiierung. In: PELZER, H. (Hrsg). Geodätische Netze in Landes-und Ingenieurveressung II. Stuttgart: K. Wittwer, v. 13, p ZURMÜHL, R. (1950). Matrizen: eine Darstellung für Ingenieure. Berlin: Springer. WELSCH, W. ; HEUNECCKE, O. ;KUHLMANN, H. (00). Auswertung geodätischer Überwachungsessungen. Heidelberg: Wichann. (Handbuch Ingenieurgeodäsie). JACKSON, J.E. (1991). A user s guide to principal coponents. New York. J. Wiley. 37 (Recebido e 10/10/0. Aceito para publicação e 5/11/0.) Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 9, n o 1, p.5-37, 003.