A Equação da Membrana

Transcrição

1 A Equação da Mebrana Vaos considerar aqui ua aproxiação e que a célula nervosa é isopotencial, ou seja, e que o seu potencial de ebrana não varia ao longo da ebrana. Neste caso, podeos desprezar a estrutura espacial da célula e tratá-la coo u ponto. A ebrana coo u capacitor A ebrana neuronal é forada por duas caadas de lipídeos que separa os eios condutores intra e extracelular por ua fina caada isolante. Portanto, a ebrana neuronal atua coo u capacitor (veja a figura abaixo). A diferença de potencial entre as placas do capacitor é a voltage através da ebrana, V = V intra V extra. A relação entre a voltage V estabelecida entre as placas de u capacitor quando ua quantidade de carga Q é distribuída ao longo de suas placas é dada pela capacitância C: Q = CV. 1

2 Quando a voltage V varia no tepo, há ua variação na quantidade de carga Q arazenada dos dois lados da ebrana. Essa variação teporal de Q corresponde a ua corrente (I C = dq/dt) que flui para/ou das placas do capacitor, carregando-o ou descarregando-o. E teros da equação anterior, a corrente I C é dada por: I C dv ( t) = C. (1) dt É iportante notar que nunca existe u oviento de cargas através da ebrana isolante. O que ocorre é ua redistribuição de cargas nos dois lados da ebrana causada pela corrente I C que flui pelo resto do circuito. A Resistência da Mebrana: As proteínas que cruza a ebrana de u neurônio atua coo poros, ou canais iônicos, por onde corrente elétrica (íons) pode passar (íons entrando ou saindo). Ua ilustração disso é dada na figura abaixo: 2

3 Cada canal iônico (seletivo a ua dada espécie iônica) pode ser odelado por u resistor ôhico r colocado e paralelo co o capacitor que representa a ebrana (veja a figura abaixo). Segundo esta representação, a corrente iônica através de u canal pode ser escrita e teros da lei de Oh: Esta equação pode ser reescrita e teros da condutância g do canal, coo é ais cou e neurofisiologia: A condutância de u único canal iônico funciona coo u eleento binário, tendo valor nulo (g = 0) se o canal estiver fechado ou não nulo (= g) se o canal estiver aberto. Se o canal estiver aberto, os íons para os quais o canal é seletivo passarão através dele por difusão. Por exeplo, se o canal for u canal de K + haverá u fluxo de íons de potássio de dentro para fora da célula, pois há ua aior concentração de íons K + dentro da célula do que fora dela. Por outro lado, se o canal for u canal de Na + haverá u fluxo de íons de sódio do exterior para o interior da célula, pois a concentração de íons de sódio é aior fora da célula do que dentro dela. 3

4 Coo visto na aula passada, esse fluxo iônico causará ua separação de cargas entre os dois lados da ebrana que produzirá ua diferença de potencial elétrico através dela. No equilíbrio, o valor dessa diferença de potencial é dado pelo potencial de Nernst (E íon ) do íon. E = íon RT zf [ Íon] ln [ Íon] fora dentro. Pode-se odelar a existência desse potencial de equilíbrio para a corrente de ua dada espécie iônica através de u canal iônico co a seguinte odificação na equação para I acia: í Note que quando V = E íon a corrente iônica pelo canal é zero (equilíbrio), ou seja, só existe corrente iônica passando pelo canal quando V E íon. E teros de u circuito elétrico, a equação acia pode ser representada pela colocação de ua bateria e série co a resistência que representa o canal iônico. A voltage da bateria é o potencial de Nernst para a espécie iônica à qual o canal é seletivo (veja a figura abaixo). 4

5 Exercício: Observe na figura que o posicionaento das placas da bateria depende do íon específico. Explique porque isso é assi e porque cada bateria ostrada está co o posicionaento das suas placas indicado pela figura. As figuras acia representa u único canal iônico de u dado tipo (de sódio, potássio ou cloreto). Poré, a esa representação pode ser usada para representar todos os canais iônicos de u dado tipo e ua célula isopotencial. Para entender isto, suponha que a célula isopotencial tenha N canais iônicos para u dado tipo de íon. Então, o odelo ôhico para esse conjunto de canais iônicos é o ostrado na figura abaixo. Cada canal iônico é representado por ua resistência e série co ua bateria cuja voltage é o potencial de Nernst do íon e as N resistências estão arranjadas e paralelo na ebrana. O potencial E íon é o eso para cada resistor na figura acia porque o potencial de Nernst de u íon depende apenas da valência do íon, da teperatura e das concentrações do íon dentro e fora da célula. Ele não depende do núero N íon de canais iônicos na célula. 5

6 Coo E íon é o eso para todas as resistências e paralelo na figura acia, podeos representar o sistea de N resistores e paralelo da figura acia pelo sistea equivalente da figura abaixo. Nesta figura, o valor de R é dado pela conhecida fórula para a resistência equivalente para u conjunto de resistores e paralelo: 1 R = ! r 1 r 2 r N 1 r N Esta expressão pode ser reescrita e teros de condutâncias coo: G = g 1 + g 2 +!+ g N 1 + g N. (2) A condutância equivalente para o conjunto de N canais iônicos de u dado íon na ebrana de ua célula isopotencial é dada pela soa das condutâncias dos canais individuais. A partir de agora, vaos passar a usar condutâncias para representar canais iônicos, ao invés de resistências. Desta fora, o conjunto de N canais iônicos incrustados na ebrana de ua célula isopotencial será representado pelo eleento de circuito abaixo. 6

7 A cada instante de tepo t, ua parte dos N canais iônicos de ua dada espécie estará aberta e a outra parte estará fechada. Chaando de n a (t) o núero de canais abertos no tepo t (de aneira que o núero de canais fechados é N n a ), o valor de G íon na figura acia é dado por (note que a condutância de u canal fechado é zero): G íon (t) = g = n a (t)g, canais abertos e t onde 0 n a (t) N. A condutância da população de N canais iônicos de u dado íon depende de t: G íon = G íon (t). Isto iplica que o odelo de circuito equivalente para essa população deve ser o da figura abaixo (a seta sobre o síbolo de resistência indica que ela é variável). 7

8 Mebranas co canais iônicos cujas condutâncias varia no tepo são chaadas de ativas (por extensão, chaa-se os canais desse tipo de canais ativos e suas respectivas condutâncias de condutâncias ativas). Por outro lado, ebranas co canais iônicos cujas condutâncias não varia no tepo são chaadas de passivas (igualente, teos canais passivos e condutâncias passivas). A aior parte das propriedades iportantes dos neurônios coo os potenciais de ação, por exeplo decorre dos efeitos não-lineares causados pelos canais ativos. Portanto, u iportante tea e neurociência coputacional é coo odelar condutâncias ativas e os efeitos não-lineares introduzidos por elas. Poré, vaos deixar a odelage de condutâncias ativas e seus efeitos para aulas futuras. Nesta aula, vaos nos restringir ao estudo das propriedades de ua ebrana passiva. O odelo de circuito para ua condutância passiva é o da figura abaixo: 8

9 Coo observado anteriorente, quando o potencial de ebrana V for igual ao potencial de Nernst E íon não há corrente líquida do íon correspondente passando através dos canais iônicos da ebrana (o sistea está e equilíbrio). Portanto, só há corrente líquida de u dado tipo de íon passando pela ebrana se a voltage de ebrana V for diferente do potencial de Nernst do íon E íon. Desta fora, a corrente iônica passando pelos canais iônicos de ua dada espécie iônica pode ser escrita coo: I R = V (t) E íon = G íon ( V (t) E íon ). R (3) íon Se o potencial de ebrana V for aior que o potencial de Nernst E íon do íon, a corrente líquida do íon será positiva; já se o potencial de ebrana for enor que o potencial de Nernst do íon, a corrente líquida do íon será negativa, isto é, ocorrerá na direção oposta à do caso anterior. A direção da corrente iônica é invertida quando V passa por E íon. Por este otivo, E íon tabé é chaado de potencial de reversão do íon. Cobinando os eleentos de circuito vistos até agora e u único odelo de circuito elétrico para ua ebrana neuronal passiva, teos o circuito abaixo (no caso do desenho, considerou-se apenas os canais de sódio e potássio): 9

10 A Corrente de Mebrana Quando ua corrente I passa pela ebrana, teos ua situação coo a da figura abaixo (vaos definir o sentido positivo de corrente coo sendo de dentro para fora da célula; vaos tabé considerar soente u canal iônico para não sobrecarregar a figura): Aplicando a lei das correntes de Kirchoff ao nó superior dessa figura: I dv ( t) = IC + I R = C + G( V ( t) E).. (4) dt Note que o odelo construído corresponde a u circuito RC. Podeos estiar o tepo característico τ desse circuito para u neurônio típico, coo feito a seguir: 10

11 Propriedades ateriais da ebrana: Desenrolando u pedaço de u neurônio cilíndrico de raio a, veos que a sua ebrana corresponde a u condutor de copriento b e seção reta de área A. Da figura, teos que A = 2πaL. A resistência desse pedaço de ebrana é: onde b R = ρ, A - ρ é a resistividade elétrica do aterial (unidades: Ω.c); - 1/ρ é a condutividade elétrica σ (unidades: S/c). Para ua dada ebrana de espessura b, define-se a sua resistência específica R por: R = ρb (unidades: Ω.c2), ou seja, para se saber a resistência da ebrana de ua célula de área A cuja ebrana te resistência específica R deve-se dividir R por A. Define-se a capacitância específica C de ua ebrana coo a capacitância de ua área unitária (unidades: µf/c2). Ou seja, para se saber a capacitância da ebrana de ua célula de área A deve-se ultiplicar C por A. 11

12 Alguns valores típicos para essas variáveis são: C = 1 µf/c2; R = 10 kω.c2; G = 1/R = 100 µs/c2; b = 0,1 10 µ. Exeplo: Para ua célula esférica co diâetro de 10 icrôetros, a sua capacitância total é: C = C.A = C.4πr 2 = (10-6 F/c 2 )4π(5x10-4 c) 2 = 3,14 x F = 3,14 pf, e a sua resistência total é: R = R /A = (10x10 3 Ωc 2 )/(4π.(5x10-4 c) 2 ) = 3,2 x 10 9 Ω = 3,2 GΩ. Nota: Cada ebrana possui suas propriedades ateriais, que são independentes da fora da célula. Poré, as propriedades elétricas de ua dada célula depende da sua geoetria. Co os valores de C e de R dados acia, podeos calcular a constante de tepo de ua ebrana neuronal típica: τ = R C = RC =10 s. (5) Note que a constante de tepo da ebrana neuronal não depende do taanho e da geoetria da célula. Injeção de Corrente Externa Vaos supor que se injeta corrente I inj através de u icroeletrodo diretaente dentro da célula isopotencial, coo na figura abaixo. 12

13 Coo podeos descrever a dinâica do potencial de ebrana V (t) e resposta a essa corrente? Usando o odelo de circuito elétrico construído acia, esta situação pode ser representada pela figura a seguir: Por conservação de corrente, a corrente de ebrana deve ser igual à corrente injetada: I = I inj : dv ( t) C G V = dt ( ( t) E) I ( t) + inj. Multiplicando abos os lados por R e usando τ = RC: dv ( t) τ = V ( t) + E RIinj( t). dt + (6) 13

14 Esta é a chaada equação da ebrana. Ela descreve coo o potencial de ebrana varia no tepo e decorrência de injeção de corrente na célula para o caso de ua ebrana passiva. A equação da ebrana é ua equação diferencial ordinária de prieira orde co coeficientes constantes. Definindo-se ua condição inicial V (0), a solução da equação da ebrana nos dará ua única curva para V versus t. Se a corrente injetada for nula, a solução da equação da ebrana é (tente ostrar coo exercício): V τ ( E V (0)) e t ( t) = E. (7) Qualquer que seja a condição inicial, o potencial de ebrana decai exponencialente para E co o tepo. Por isso, podeos chaar E de potencial de ebrana de repouso neste caso. Se V (0) = E, o potencial de ebrana peranece no valor de repouso indefinidaente. Vaos supor agora que a corrente injetada é do tipo degrau: e t = 0 injeta-se u valor de corrente I 0 que é antido constante por u longo tepo. A teoria das equações diferenciais nos ostra que a solução ais geral da equação da ebrana é do tipo: V t t) = v0 e + ( v τ, (8) onde ν 0 e ν 1 depende das condições iniciais. Substituindo esta fora geral de solução na equação da ebrana obteos a igualdade: v E + =. 1 RI

15 Vaos ipor a seguinte condição inicial: V (0) = E. Isto nos dá: E = v. 0 + v1 v0 = RI0 Substituindo ν 0 e ν 1 na solução geral (equação 8) teos: V onde se definiu V = RI 0. t t ( t) = RI 0 1 τ e + E = V 1 τ e E, + (9) U longo tepo após a aplicação do degrau de corrente (e antendo-se a corrente constante), o potencial de ebrana atinge o valor assintótico, V ( ) = V + E = RI 0 + V (0). É costue representar o potencial de ebrana de ua célula e relação ao seu potencial de repouso V rep (isto é, redefine-se o zero do potencial de aneira que ele coincida co o potencial de repouso da célula). Fazendo isso, pode-se definir ua nova variável: V = V t) V, (10) ( rep e notando que neste caso V rep = E, a solução da equação da ebrana para o degrau de corrente torna-se: V e = V t τ 1. (11) A constante V = RI 0 é chaada de potencial estacionário, pois é o valor estacionário para o qual a diferença (V (t) V rep ) tende assintoticaente e resposta ao degrau de corrente. E geral, ede-se a corrente injetada e ua célula e teros da área da ebrana estiulada, ou seja, ede-se a densidade de corrente (as unidades ais couns são µa/c 2 ). 15

16 Para ua ebrana típica (R = 10 kω.c 2 ) estiulada co ua corrente de 5 µa/c 2, o potencial estacionário vale: V = RI 0 = (R /A)(J 0.A) = R J 0 = (10 4 Ω.c 2 ).(5 x 10-6 A/c 2 ) = 5 x 10-2 V. E ilivolts (a unidade ais usada), deve-se ultiplicar o resultado acia por 10 3 : V = 50 V. Lebrando que V = V V rep, podeos agora escrever o valor do potencial estacionário edido e relação ao potencial externo coo (supondo, por exeplo, que V rep = 70 V): V = V + V rep = 50 V 70 V = 20 V. O gráfico abaixo ostra soluções nuéricas da equação da ebrana para diferentes valores do degrau de corrente injetado (R = 2 MΩ). O gráfico acia ostra as respostas do odelo de ebrana coo u circuito RC para quatro diferentes valores de J 0 (u negativo e três positivos). Na escala arbitrária de tepo usada, o estíulo degrau é aplicado e t = 20 e desligado e t =

17 Note que se I 0 for positiva, V = RI 0 será positivo. Isto quer dizer que a célula foi despolarizada (V > V rep ). Já se I 0 for negativa, V será negativo, iplicando que a célula foi hiperpolarizada. Note que isso corresponde aos experientos de hiperpolarização e despolarização encionados na aula 2. Para entender isso, vejaos o diagraa da ebrana a seguir. Ua I 0 positiva corresponde a ua corrente de ebrana positiva, I > 0. Pela convenção adotada, ua corrente de ebrana positiva indica corrente saindo da célula e isto só ocorre quando a ebrana está despolarizada, isto é, o interior da célula está ais positivo do que no repouso. Isto está de acordo co o esperado, pois quando I 0 > 0 o icroeletrodo injeta corrente diretaente no interior da célula, provocando u auento de cargas positivas no interior e despolarizando a célula. Já ua I 0 negativa (I indo de fora para dentro da célula) corresponde a ua retirada de cargas positivas do interior da célula pelo icroeletrodo, hiperpolarizando a célula. 17