Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos

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1 Métodos Nuéricos Iterativos Métodos Nuéricos Iterativos Capítulo 3. Métodos Nuéricos Iterativos 1. Métodos nuéricos Sepre que se pretende resolver u problea cuja solução é u valor nuérico, é habitual ter de se considerar, para alé de conceitos ais abstratos (que fornece u odelo consistente para a análise do problea), conceitos de natureza ais prática relacionados co os cálculos a efetuar ou co os núeros necessários à realização de tais cálculos. Por exeplo, suponha-se que se pretende deterinar o volue V de u paralelepípedo a partir dos coprientos das três arestas que o define A, B e C. O odelo abstrato consiste na expressão ateática V = A.B.C, que perite calcular o volue a partir dos coprientos daquelas arestas. No entanto, para se aplicar aquela expressão, é necessário antes fazer a edição de cada ua das três arestas. Ora, a edição de cada ua das arestas está associada u erro (erros iniciais). Desta fora, o processo de edição fornece apenas valores aproxiados dos coprientos das arestas, sendo eventualente possível obter-se ua caracterização dos erros iniciais (vindos das edições). Ao efetuar-se, de seguida, o cálculo do volue (V = A.B.C), o resultado será u valor que apenas poderá ser considerado ua aproxiação do volue exato do paralelepípedo, o qual terá associado u erro que dependerá dos erros coetidos no processo de edição ocorrido no início. A situação descrita neste exeplo, de não se conseguir obter u valor nuérico exato coo solução de u problea, é a ais cou para uitos deles. No entanto, esta situação não é necessariaente á, pois para a grande aioria dos probleas bastará apenas obter u valor nuérico suficienteente próxio do valor exato. De ua fora siples, os étodos nuéricos conduze co eficiência a soluções aproxiadas de u odelo ateático (e de u sistea real). Os odelos ateáticos usa os étodos nuéricos para a obtenção de soluções nuéricas para probleas reais quando, por ua qualquer razão, não se pode ou não se deseja usar étodos analíticos. Coputação Científica 65

2 Métodos analíticos versus étodos nuéricos Métodos Nuéricos Iterativos 2. Métodos analíticos versus étodos nuéricos U étodo analítico para resolver u odelo ateático é qualquer étodo baseado na análise ateática rigorosa, cuja aplicação conduz a ua solução verdadeira (exata), tabé conhecida coo solução analítica do odelo. Por sua vez, u étodo nuérico para resolver u odelo ateático é qualquer étodo baseado nua análise ateática rigorosa, cuja aplicação, na grande aioria dos casos, siplesente conduz a ua solução aproxiada (não exata), tabé conhecida coo solução nuérica. E alguns casos (raros) pode-se obter ua solução exata, usando u étodo nuérico. Por exeplo, as soluções exatas da equação não linear x 2 5x + 3 = 0 pode ser obtidas usando a conhecida fórula quadrática (étodo analítico): x 1,2 = b b2 4ac 2a Esta fórula dá ua solução analítica x 1,2 = Por sua vez, a fórula de iteração (étodo nuérico). x n+1 = 5x n 3, n=0,1,2,...; x 0 =4.5 pode tabé ser aplicada para aproxiar ua das duas soluções da equação quadrática dada. Este étodo pode soente dar ua solução nuérica (aproxiada). E geral a diferença entre soluções analíticas e soluções nuéricas pode ser resuida na seguinte frase: soluções analíticas são exatas enquanto soluções nuéricas são aproxiadas. 3. Necessidade de se usar étodos nuéricos Porque é que algué aprenderia étodos nuéricos? Os étodos nuéricos são necessários? A partir da distinção apresentada entre étodos analíticos e étodos nuéricos, facilente pode-se ser levado a concluir que é suficiente usar étodos analíticos na resolução de odelos ateáticos. Por outras palavras, que não há necessidade de aprender étodos nuéricos pois eles conduze soente a soluções aproxiadas. Tal conclusão é enganadora. Precisaos de aprender étodos nuéricos pelas seguintes razões: Porque existe situações e que é preferível u étodo nuérico ao étodo analítico, ainda que este exista; por exeplo, quando a solução para u problea envolve vários cálculos, os quais pode ser uito deorados. Porque a aioria dos probleas reais são, e geral, coplexos e envolve fenóenos não lineares, pelo que é cou os conhecientos de ateática não sere suficientes para a descoberta de ua solução para u problea real. 66 Coputação Científica

3 Métodos Nuéricos Iterativos Necessidade de se usar étodos nuéricos Porque quando os dados do problea requere u trataento que inclua, por exeplo, diferenciação ou integração, terá de ser feito através de u étodo nuérico. Ua vez que, e geral, o odelo ateático é deasiado coplexo para ser tratado analiticaente, deve-se construir odelos aproxiados ou obter soluções aproxiadas. No prieiro caso, iplica alterar e siplificar o odelo por fora a torná-lo tratável, e assi obter ua solução exata de u sistea ou odelo aproxiado. No entanto, tal solução é "suspeita" pelo facto de ocorrere siplificações do odelo, pelo que terão que fazer várias experiências para ver se as siplificações são copatíveis co os dados experientais. No segundo caso, iplica usar étodos nuéricos e assi produzir soluções aproxiadas para o sistea real. No entanto, tais soluções são apenas aproxiações, as que pode ser elhoradas à custa de esforço coputacional. 4. Métodos iterativos Os étodos iterativos estão associados aos conceitos de iteração (ou aproxiação sucessiva) e de aproxiação local. E sentido lato, iteração significa a repetição sucessiva de u processo. A aproxiação local consiste e aproxiar ua função por outra que seja de anuseio ais siples. Por exeplo, aproxiar ua função não linear por ua função linear nu deterinado intervalo do doínio das funções. U étodo iterativo caracteriza-se por envolver os seguintes eleentos: aproxiação inicial, que consiste nua prieira aproxiação para a solução do problea nuérico, e teste de parage, que é o instruento por eio do qual o procediento iterativo é finalizado. Define-se sequência de núeros, { x k } k = 1, 2,, coo sendo ua transforação do conjunto dos inteiros positivos no conjunto dos reais. O núero real associado a k é designado por x k. A sequência resultante x k = f( x k 1,... ) chaa-se sequência iterativa gerada por f. Esta sequência diz-se definida por iteração se a função f é independente de k. Este processo iterativo gera ua sucessão de aproxiações x k, cada ua co erro associado, e k = a - x k sendo a u zero da função f; isto é, f(a) = 0. A sequência iterativa diz-se convergente se li k x k = α Coputação Científica 67

4 Métodos iterativos Métodos Nuéricos Iterativos ou seja, li k e k = 0. U étodo iterativo é definido por ua equação iterativa, co a qual se constrói aproxiações à solução do problea. A ipleentação da equação iterativa obriga ao conheciento de ua aproxiação inicial e à definição de u conjunto de condições que garanta que a aproxiação calculada, nua certa iteração, se encontra suficienteente próxia da solução. Quando estas condições fore verificadas, pode-se parar o processo. Desta fora, antes de se iniciar o processo iterativo, deve-se ter resposta para as seguintes questões: 1. Interessa saber se o étodo iterativo converge ou não para a solução procurada. Desta fora, deve ser analisadas as condições necessárias e/ou suficientes de convergência do étodo. 2. Tendo a garantia da convergência do étodo, deve-se saber qual a razão de convergência: seja {x k } ua sucessão convergente para a; se existire constantes positivas P e C tais que, α x k+1 li k α x k P = C então diz-se que a sucessão {x k } é convergente para a de orde P co ua constante de convergência assiptótica igual a C: a) P = 1, convergência linear/1ª orde (C < 1); dígitos ganhos por iteração: constante. b) P > 1, convergência super-linear; dígitos ganhos por iteração: auenta. c) P = 2, convergência quadrática/2ª orde; dígitos ganhos por iteração: duplica. Quanto aior for a orde de convergência de u étodo iterativo enor será, e princípio, o núero de iterações necessárias para atingir ua dada precisão. No entanto a rapidez depende tabé do esforço coputacional requerido e cada iteração. 3. A ipleentação de u étodo iterativo exige a realização de u núero infinito de operações para se chegar à solução. No entanto, face aos recursos liitados disponíveis, o processo iterativo te de ser terinado após u núero finito de operações. Esta parage te de ser feita co a ajuda de condições que, sendo verificadas, dão elhor garantia de que se está perto da solução. O valor obtido na últia iteração é a elhor aproxiação calculada. Estas condições define o que é designado por critério de parage de u processo iterativo. 68 Coputação Científica

5 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares 5. Probleas co equações não lineares 5.1. Fora geral do problea Ua equação não linear na variável x é representada na fora f(x) = 0, e que f : R R é ua função contínua não linear e x R. A variável x diz-se independente e a variável y = f(x) é a variável dependente. Resolver a equação f(x) = 0 consiste e calcular as raízes da equação ou os zeros da função f(x). Na representação gráfica da função f(x) no plano XOY, os pontos de interseção da curva f(x) co o eixo dos XX define as raízes reais de f(x) = 0. Pode-se esperar que ua equação não linear tenha raízes reais e/ou coplexas Características do problea Existe dois tipos de de equações não lineares: as algébricas e as transcendentes. As equações algébricas envolve apenas as operações aritéticas básicas, sendo a fora polinoial u caso particular, p n (x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 = 0 e que os coeficientes a i (i = 0,, n) são núeros reais ou coplexos. Do grupo das equações algébricas faze parte as diofantinas, que são equações polinoiais co apenas soluções inteiras, e que ne sepre tê solução. Por exeplo, x n + y n = z n não te solução inteira para n > 2. Tabé as equações polinoiais lineares, quadráticas, cúbicas e quárticas faze parte deste conjunto de equações, as quais tê fórulas resolventes, uas ais coplicadas do que outras. As equações transcendentes envolve tabé funções trigonoétricas, exponenciais, logaríticas, entre outras, para alé das polinoiais. São exeplos de equações transcendentes, f( x) = x e x = 0, f( x) = x + ln(x) = 0, f( x) = (2x + 1) 2 4 cos(π x) = 0. Se, para u dado valor p da variável x, pretende-se calcular o correspondente valor de f(p), o problea diz-se direto. O problea diz-se inverso, se o objetivo é deterinar os valores de x que satisfaze a equação f(x) = 0. O problea direto não oferece qualquer dificuldade, apenas o problea inverso requer, na grande aioria dos casos, a utilização de u étodo nuérico Zeros (raízes) e ultiplicidade Se f(a) = 0 diz-se que a é ua raiz da equação f(x) = 0 ou que a é u zero da função f(x). U zero de ua função pode ser de vários tipos. Por exeplo, a) siples: f(a) = 0 b) duplo: f(a) = f'(a) = 0 Coputação Científica 69

6 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos c) triplo: f(a) = f'(a) = f''(a) = 0 Definição: A ultiplicidade de u zero a da função f(x) é o supreo dos valores k tais que, li x α f (x) = c < ( é o aior valor de k) k x α Se = 1 o zero diz-se siples, se = 2 o zero diz-se duplo, Exeplos: a) a = 0 é u zero siples da função f(x) = sen(x) porque, sen(x) li x 0 x = 1 b) a = 0 é u zero duplo da função f(x) = 1 cos(x) porque, 1 cos(x) li x 0 x 2 = 1 2 Nota: a ultiplicidade de u zero pode não ser u núero inteiro, ne sequer finita. Teorea: Se a for u zero da função f(x) e se f(x) for vezes diferenciável e a então a ultiplicidade de a é se e só se, Exeplos: f(α) = f'(α) =... = f ( 1) (α) = 0, as f (α) 0. a) para f(x) = sen(x), f(0) = 0 as f'(0) 0, portanto = 1. b) para f(x) = 1 - cos(x), f(0) = f'(0) = 0 as f''(0) 0, portanto = Coputação Científica

7 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares 5.4. Utilização de étodos iterativos A aior parte dos étodos nuéricos para a resolução da equação não linear f(x) = 0 pertence à classe dos étodos iterativos. Os étodos iterativos para resolver o problea f(x) = 0 pode ser classificados e dois grandes grupos: os étodos de encaixe e os étodos de intervalo aberto. Os prieiros caracteriza-se por definir, e cada iteração, u intervalo que conté a raiz e construir, para a iteração seguinte, outro intervalo encaixado neste e que continue a conter a raiz. Os intervalos, coo aparece encaixados uns nos outros, tê aplitudes sucessivaente enores. Coo exeplos de étodos de encaixe são o da Bissecção e o da Falsa Posição. No grupo dos étodos de intervalo aberto não é necessário definir u intervalo que contenha a raiz. O processo iterativo pode ser iniciado co ua única aproxiação à raiz, ou eso duas. A convergência destes étodos depende dos valores iniciais atribuídos na prieira iteração. Deste grupo de étodos faze parte o do Ponto Fixo, o de Newton-Raphson e o da Secante. Independenteente do étodo utilizado, é possível e uitos casos obter-se u ajorante para o erro. Teorea: Seja a a raiz exata e x k u valor aproxiado da raiz da equação f(x) = 0 co a, x k [a, b]. Se f(x) for diferenciável e [a, b] e f'(x) > 0, x [a, b], então, α x k f(x k ) Deonstração: Pelo teorea do Valor Médio, f(α) f(x k ) α x k f '( ), (α, x k ) aplicando ódulo, e portanto, α x k f(x k ) f'( ) α x k f(x k ) (f(a) = 0) (fazendo = f'( ) Localização e separação das raízes Para se aplicar u étodo iterativo, na resolução de ua equação não linear, é necessário conhecer ua aproxiação inicial. Alé disto, para certos étodos, para haver convergência a Coputação Científica 71

8 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos aproxiação inicial deve estar suficienteente próxia da raiz. Deste trabalho de análise feito à priori depende do sucesso na resolução nuérica do problea proposto. Desta fora, antes de se aplicar u étodo iterativo para resolver a equação f(x) = 0, é necessário obter ua aproxiação inicial, o que exige a separação das possíveis raízes e intervalos tão pequenos quanto possível. O étodo ais prático consiste e analisar a representação gráfica de f(x) ou a cobinação dos teros que fora a sua expressão analítica. Se o gráfico de f pode ser esboçado facilente, então são obtidas geoetricaente estiativas para raízes. Se a equação f(x) = 0 pode ser escrita na fora g(x) = h(x), onde g e h são facilente representadas graficaente, então os pontos a tais que g(a) = h(a) verifica f(a) = 0. O processo consiste no seguinte: 1º escolher u intervalo [a, b] onde se estia estar u zero da função (ou seja, que contenha u ponto de interseção das duas funções); 2º verificar que existe u ponto de interseção das duas funções no intervalo (a, b). Confirar esta observação, co base nos dois resultados seguintes: 1. Se f(x) é ua função real e contínua e [a, b], sendo a e b núeros reais, tendo f(a) e f(b) sinais contrários (f(a).f(b) < 0), então existe pelo enos ua raiz real entre a e b. 2. Se f'(x) existe, é contínua e anté o sinal no intervalo [a, b], então existe no áxio ua raiz e [a, b]. Portanto, se estas duas condições se verificare, então existe ua raiz e [a, b] e é única. Por exeplo, para f(x) = x - e x, 1º escolher o intervalo (-1, 0) coo contendo o ponto de interseção das duas funções; 2º verificar que existe u ponto de interseção de x co e x no intervalo (-1, 0), co base nos dois resultados encionados: f(x) C((-1, 0)) f(-1) = > 0 e f(0) = -1 < 0 f'(x) = -1 e x < 0 e todo o intervalo (-1, 0) 72 Coputação Científica

9 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Chaa-se núeros de Rolle da equação f(x) = 0, definida e D R, ao conjunto dos pontos fronteira de D e dos zeros da função derivada de f. Se ordenados por orde crescente, então entre dois núeros de Rolle consecutivos existe no áxio ua raiz real da equação Estiativa para o erro de truncatura Seja { x k } k = 1,2,..., ua sequência de aproxiações convergindo para ua raiz real siples a de f(x) = 0, obtidas usando u étodo iterativo. Deduz-se ua expressão que dá u liite para o erro na aproxiação x k para a. Pelo teorea do valor édio, f( x k ) f(α) = (x k α) f'( k ), sendo k [ in{x k,α}, ax {x k,α} ]. Então, k = α x k verifica k = f(x k ) f'( k ). Se f é contínua e [a, b] contendo a e f'(a) 0 então existe N r (a) = [ a - r, a + r ] [a, b] tal que x N r (a). Alé disso, existe ua constante M 1 > 0 sendo f'(x) M 1 para x N r (a). Dado que { x k } converge para a existe k' tal que se k > k', x k a < r, e consequenteente k a < r, isto é, k N r (a). Donde, k f(x k ) M Critérios de parage Note-se que há duas possíveis interpretações coputacionais para o problea colocado co a equação f(x) = 0. Ua é calcular u valor x k uito próxio de a onde f(a) = 0. Outra é calcular x k tal que f(x k ) é uito pequeno (uito próxio de zero). Assi, critério de parage dos étodos iterativos para calcular ua raiz de f(x) = 0 conté três parâetros: 1, 2 e kax. O objetivo é terinar o processo após o cálculo de x k quando x k x k 1 1 ( ou x k x k 1 1 x k ) ou f(x k ) 2 ou k = kax. O prieiro parâetro, e 1, serve para verificar a proxiidade de x k e relação a a (u zero da função), o segundo, e 2, para verificar se f(x k ) está próxio de 0 (f(x k ) 0), e o terceiro, k, para controlar o núero de iterações (se atingiu o núero áxio de iterações predefinido, kax). Coputação Científica 73

10 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos 5.8. Método da Bissecção Fórula geral Este étodo é baseado no teorea do valor interédio e consiste no seguinte: partindo de u intervalo [a, b] que conté a raiz, construir ua sucessão de intervalos, sendo cada u deles a etade do intervalo anterior que conté a raiz. Seja [a, b] D e f(a).f(b) < 0. Então (a, b) conté ua raiz real de f(x) = 0. Seja I 0 = [a, b] e x 0 o ponto édio de I 0. Se f(a).f(x 0 ) < 0 então a raiz está e (a, x 0 ) senão está e (x 0, b). Suponha que f(a).f(x 0 ) < 0. Seja I 1 = [a, x 0 ] e seja x 1 o ponto édio de I 1. Se f(a).f(x 1 ) < 0 então a raiz está e (a, x 1 ) senão está e (x 1, x 0 ) Algorito para o étodo da Bissecção Objetivo: Calcular ua raiz real de f(x) = 0 e [a, b], a (a, b) Parâetros de entrada: a, b, e 1, e 2 R +, kax N; co f(a).f(b) < 0 fa f(a) k 0 repita (a + b) / 2 f f() se fa.f < 0 então { a (a, ) } b senão { a (, b) } a fa f fi_se k k + 1 se ( a b < e 1 ) ou ( f < e 2 ) ou (k > kax) então escolher a (a, b) interroper fi_se fi_repita { a (a, b) e a b < e 1 ou f < e 2 ou k > kax } 74 Coputação Científica

11 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Note-se que: - Só é necessário calcular o valor de f(x) ua vez por iteração. - E aritética de reais é extreaente iprovável atingir o valor exato da raiz, pelo que não é necessário testar a igualdade. Para u dado erro absoluto e, e cada iteração k, utilizou-se o teste: b k a k 2 1 de odo que o erro coetido seja inferior a etade da aplitude do intervalo. Deste odo, sendo c k os sucessivos pontos édios, c 1 α b a ; 2 c 2 α b a 2 2 ;... ; c n α b a 2 n é possível estiar o núero n de iterações necessárias, para garantir ua aproxiação da raiz co u erro absoluto áxio de e 1 : ou seja, b a 2 n 1 2 n b a ln ( ln(2 n ) ln ( (b a)/ 1 ) (b a) / 1) n ln 2 1 Por exeplo, aplicando o étodo da bissecção à equação f(x) = x - e x, co e 1 = 10-6 e considerando [a, b] = [-1, 0], obtivera-se os seguintes resultados: k a k b k k a k b k Analisando os resultados obtidos, pode-se concluir que: - a raiz da equação e estudo encontra-se no intervalo , ); - o ponto édio deste intervalo é que é u valor aproxiado da raiz co u erro absoluto que não excede 10-6 ; Coputação Científica 75

12 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos - O processo terinou na iteração k = 20, e que ou seja, b a 2 n = , n ln ( (b a) / 1) ln 2 = As vantagens do étodo da Bissecção são: - converge sepre (desde que exista raiz no intervalo inicial); - possibilidade de prever u ajorante para o erro coetido ao fi de u certo núero de iterações; - custo coputacional de cada iteração uito baixo. As desvantagens do étodo da Bissecção são: - A aior desvantage reside no facto da sua convergência ser uito lenta (uitas iterações) quando coparada co a dos outros étodos. A orde de convergência do étodo da Bissecção é linear (P = 1) e a constante de convergência é igual a 1/2 (C = 1/2) Método da Falsa Posição (ou da Corda Falsa) Fórula geral Este étodo pode ser encarado coo u elhoraento do étodo da Bissecção. E vez de se deterinar o ponto édio, é deterinado u ponto c k resultante da interseção da secante que passa pelos pontos (a k, f(a k )) e (b k, f(b k )) co o eixo dos XX. A partir da equação da secante, y f(b k ) = f(b k ) f(a k ) b k a k ( x b k) e fazendo y = 0 e substituindo x por c k obté-se, c k = b k f(b k ) f(b k ) f(a k ) (b k a k) Note-se que os sucessivos cálculos desta fórula não provoca efeitos de cancelaento subtrativo pois f(b k ) e f(a k ) tê sinais contrários. 76 Coputação Científica

13 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Algorito para o étodo da Falsa Posição Objetivo: Calcular ua raiz real de f(x) e [a,b], a (a,b) Parâetros de entrada: a, b, e 1, e 2 R +, kax N; co f(a).f(b) < 0 fa f(a) k 0 repita = b f(b) (b a) f(b) f(a) f f() se fa.f < 0 então { a (a, ) } b senão { a (, b) } a fa f fi_se k k + 1 se ( a b < e 1 ) ou f < e 2 ) ou (k > kax) então escolher a (a, b) interroper fi_se fi_repita { a (a, b) e a b < e 1 ou f < e 2 ou k > kax } Método do Ponto Fixo Fórula geral Pretende-se deterinar a solução a de ua equação não linear da fora, x = g(x). Dada ua equação na fora f(x) = 0 é sepre possível fazer, x = x + f(x), e que g(x) = x + f(x). De ua fora ais geral pode-se considerar, g(x) = x + c(x).f(x) onde c(x) é ua função contínua, não nula e liitada no intervalo [a,b], contendo a raiz a de f(x). Coputação Científica 77

14 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos Definição: U ponto fixo de ua função g(x) é u núero real a tal que a = g(a). Dada ua aproxiação inicial x 0 [a, b], o étodo do Ponto Fixo consiste nua sucessão de aproxiações { x k } a tal que, x k+1 = g(x k ), k = 0, 1, 2,... Geoetricaente, os pontos fixos de ua função y = f(x) são os pontos de intersecção de y = g(x) co y = x. Assi, se f(x) = 0 x = g(x), então deterinar a raiz de f(x) = 0 e [a, b] é o eso que procurar o ponto fixo de g(x) e [a, b]. Por exeplo, o cálculo de a consiste na sucessão de aproxiações: x k+1 = 1 2( a x k + x k ) Experiente-se para a = 16, coeçando co x 0 = 10: O étodo utilizado te por base a equação, x = g(x) = 1 2( a x + x ) que é equivalente a x 2 = a e consiste na pesquisa de u ponto fixo da função g(x). Para a = 16 a função g(x) te dois pontos fixos, e x = 4 e x = -4. Ao partir-se de ua estiativa inicial negativa, o étodo encontra a raiz negativa de Coputação Científica

15 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Coo funciona? A partir de ua aproxiação inicial x 0, ua sucessão de aproxiações da fora x k+1 = g(x k ) converge para u ponto fixo da função g(x). Porque funciona? Teorea: Seja g(x) ua função contínua e {x k } ua sucessão de aproxiações gerada pelo étodo do Ponto Fixo, x k+1 = g(x k ). Se li k g(x). x k = α então a é u ponto fixo de Quando existe ponto fixo? Teorea: Seja g(x) C([a, b]). Se para todo o x [a, b] se verifica-se que g(x) [a, b] (isto é, g é ua contração), então g(x) te pelo enos u ponto fixo e [a, b]. Quando é único o ponto fixo? Teorea: Se g'(x) está definida e [a, b] e existe ua constante positiva 0 < L < 1, tal que g'(x) L para todo o x [a, b], então g(x) te u único ponto fixo e [a, b] Convergência Quando converge o étodo do ponto fixo? Teorea do Ponto Fixo: Seja g(x), g'(x) C([a, b]): g(x) [a, b], para todo o x [a, b], g'(x) < 1, para todo o x [a, b], x 0 [a, b]. Então a sucessão { x k } gerada por x k+1 = g(x k ), k = 0, 1, 2,..., converge para o único ponto fixo a [a, b]. Coputação Científica 79

16 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos Coo converge o étodo do ponto fixo? Convergência onótona quando 0 < g' 0 (x) < 1: Convergência oscilante quando -1 < g' 0 (x) < 0 : Quando diverge o étodo do ponto fixo? Teorea: Seja g : D R R. Se g, g' C(D), g(x) co u ponto fixo a [a, b] D, g'(x) > 1 para todo o x D, x 0 [a, b] (co x 0 a). Então a sucessão { x k } gerada por x k+1 = g(x k ), k = 0, 1, 2,..., não converge para o ponto fixo a [a, b]. 80 Coputação Científica

17 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Coo diverge o étodo do ponto fixo? Divergência onótona quando g'(x) > 1: Divergência oscilante quando g'(x) < -1 : Quando converge, qual a orde de convergência do étodo do ponto fixo? Considereos que g(x), g'(x) C([a, b]) e que o étodo do ponto fixo é convergente para a. 1) No caso de g'(a) 0, e coo g'(a) < 1, então o étodo do ponto fixo apresenta orde de convergência linear sendo g'(a) a constante assiptótica de convergência. Coputação Científica 81

18 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos 2) Para o caso de g'(a) = 0 e g''(a) 0, o étodo do ponto fixo apresenta orde de convergência quadrática sendo g''(a) /2 a constante assiptótica de convergência. 3) De u odo geral, assuindo que g(x) C n ([a, b]), se g'(a) = g''(a) =... = g (n-1) (a) = 0, as g (n) (a) 0 prova-se que o étodo do Ponto Fixo apresenta orde de convergência n Algorito do étodo do Ponto Fixo Majoração do erro: x n+1 α 1 L L x n+1 x n (co L < 1) Critério de parage: 1 L L x n+1 x n 1 x n+1 α 1 Objetivo: Calcular raiz real siples de f(x) = 0, a Parâetros de entrada: x 0, e 1, e 2 e kax; garantia de convergência k 0 repita k k + 1 x 1 g(x 0 ) se ( x 1 - x 0 < e 1 ) ou ( f(x 1 ) < e 2 ) ou (k = kax) então a x 1 { aproxiação obtida } interroper fi_se x 0 x 1 fi_repita Exeplo Deterinar, co u erro absoluto inferior a 5x10-5, o zero da função f(x) = 1 + x + e x no intervalo [-2, -1]. k x k x k+1 = g(x k ) d k x k x k+1 = g(x k ) d x x x x x x x x x Coputação Científica

19 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Método de Newton-Raphson Fórula geral E cada iteração x k, a curva y = f(x) é aproxiada pela sua tangente e a interseção desta co o eixo dos XX é a nova aproxiação x k+1. A equação tangente à curva no ponto (x k, f(x k )) é, y = f(x k ) + f'(x k ) (x x k ) e a interseção desta co o eixo dos XX deterina a nova aproxiação, x k+1 = x k f(x k ) f'(x k ). A partir de ua aproxiação inicial x 0 esta fórula gera ua sucessão { x k } que, e certos casos, deverá convergir para u zero da função. Por exeplo, para a função f(x) = x 2 a, 2 f(x k ) x x k+1 = x k f '(x k ) = x k k a 2 x k = 1 2( a x k + x k ) e para o caso particular de a = 16, co x 0 = 10 (aproxiação inicial), a sucessão das aproxiações tende para u zero de f(x) = x k x k Newton-Raphson coo caso particular do étodo do Ponto Fixo Dada ua equação f(x) = 0, pode-se passar para a fora x = g(x) através da relação, g(x) = x + c(x).f(x) onde c(x) é ua função contínua, não nula e liitada no intervalo [a,b], contendo a raiz a de f(x). Pretende-se definir c(x) de odo a que o étodo do Ponto Fixo (no caso de convergir) tenha ua orde de convergência pelo enos quadrática (orde 2). Assuindo que f(x) e c(x) são diferenciáveis e [a, b], g'(x) = 1 + c'(x).f(x) + c(x).f'(x) Coputação Científica 83

20 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos e calculando no ponto a, g'(a) = 1 + c'(a).f(a) + c(a).f'(a). Para que a convergência seja quadrática, deveos ter g'(a) = 0. E coo f(a) = 0 então, c(α) = 1 f '(α) Assi, basta escolher, c(x) = 1 f '(x) assuindo que f'(x) 0 e todo o intervalo [a, b]. Substituindo, teos a nova fora, f( x) g(x) = x f '( x) que corresponde ao étodo de Newton-Raphson, x k+1 = x k f(x k ), k=0, 1,2,... f '(x k ) e que, por esta construção, se convergir é quadrático O étodo de Newton-Raphson a partir da série de Taylor Suponha-se que f C 2 ([a, b]), que o Método de Newton-Raphson é convergente e considere-se o desenvolviento de Taylor de orde 1 e torno de x k : f( x) = f (x k ) + f'(x k )( x x k) + f ''( k ) Calculando e x = a, donde, 0 = f(α) = f (x k ) + f'(x k )( α x k) + f ''( k ) ( f(x α = x k k ) )) ( 2) f ''( f '(x k ) k 2f '( x k ) ( α x k) 2 ( x x k) 2, k (x,x k ) e assi obteos a nova aproxiação x k+1 e o erro coetido. 2 ( α x k) 2, k (α,x k ) Note-se que assuiu-se que a - x k é pequeno para todo o k, incluindo a aproxiação inicial k = Orde de convergência do étodo de Newton-Raphson Teorea: A razão de convergência do étodo de Newton-Raphson é igual a 2 (convergência quadrática). 84 Coputação Científica

21 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Prova-se, pela expressão anterior, α x k+1 = f ''( k ) 2 f'(x k ) (α x k) 2 que, no caso de o étodo convergir, li k α x k+1 α x k 2 = f ''(α) 2 f '(α) e a convergência é quadrática co constante de convergência assiptótica igual a 1 2 Observação: Se o zero de f não for siples a orde de convergência do étodo degrada-se. Deonstra-se que, no caso dos de ultiplicidade 2 a convergência é apenas linear U ajorante do erro absoluto Pela expressão anterior, te-se α x k+1 = f ''( k ) 2 f'(x k ) (α x k )2, k ( α, x k) e k+1 = f ''( k ) 2f '( x k ) e k 2 Se identificar-se u ajorante da segunda derivada f ''(α) f'(α) M 2 f ''( x), x [a,b] e u inorante da prieira derivada, para todo o intervalo, 0 < 1 f '( x), x [a,b] é siples calcular e k+1 M e k Ua estiativa do erro absoluto Assuindo que f C([a, b]) e que o Método de Newton-Raphson é convergente, pelo Teorea do Valor Médio (TVM), f(x k ) f(α) x l α donde, assuindo ainda que f '(x) 0, x ( α, x k) = f '( k ), k ( α, x k) Coputação Científica 85

22 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos então, x k α = f(x k ) f '( k ). Por outro lado, da expressão do próprio étodo, x k x k+1 = f(x k ) f '(x k ) Para k suficienteente grande, x k+1 a, donde, k x k, e portanto, x k x k+1 x k α Assi, pode-se estiar, e k x k+1 x k E teros algoríticos, é ais cóodo calcular, e k 1 x k x k 1 De facto, para o exeplo anterior k x k e k e k-1 x k - x k Critérios de convergência do étodo de Newton-Raphson Teorea: Seja f C 2 ([a, b]). Se (i) f(a).f(b) < 0 (ii) f'(x) 0 para todo o x [a, b] (iii) f''(x) não uda de sinal e [a, b] (iv) f(a) f '(a) < b a e f(b) f '(b) < b a Então para qualquer x 0 [a, b], a sucessão { x k } gerada pelo étodo de Newton-Raphson converge para o único zero de f e [a, b]. Observações: (i) + (ii) garante a existência de ua só solução e [a, b]; (ii) + (iii) garante que a função é onótona, convexa ou côncava; (iv) garante que as tangentes à curva e (a, f(a)) e (b, f(b)) interseta o eixo dos XX e (a, b). 86 Coputação Científica

23 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Algorito para o étodo de Newton-Raphson Objetivo: Calcular raiz real siples de f(x) = 0, a Parâetros de entrada: x 0, e 1 (liite do erro absoluto), e 2 e kax; garantia de convergência k 0 f 0 f(x 0 ) repita x 1 x 0 f 0 / f'(x 0 ) k k + 1 f 0 f(x 1 ) se ( x 1 x 0 < e 1 ) ou ( f 0 < e 2 ) ou (k = kax) então { ver secção } a x 1 { aproxiação obtida } interroper fi_se x 0 x 1 fi_repita Vantagens e desvantagens do étodo de Newton-Raphson As vantagens são as seguintes: Quando converge, te convergência quadrática. Necessita apenas de u ponto, para estiativa inicial. As desvantagens são as seguintes: Exige ua boa aproxiação inicial; caso contrário pode divergir, ou encontrar outra raiz. Exige o cálculo da derivada e cada iteração, o que pode ser lento ou eso ipossível. Exige que a derivada (no denoinador) nunca se anule. Note-se que, eso para valores da derivada próxios de zero, a intersecção da tangente co o eixo dos XX é u ponto uito afastado Alguns casos patológicos do étodo de Newton-Raphson Para a função f(x) = x 3 2x + 2, se escolheros x 0 = 0, o étodo calcula x 1 = 1, gerando a sucessão de aproxiações: 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,... Para a função f( x) = 3 x o étodo gera ua sucessão tal que, x k+1 = - 2 x k. Para a função f( x) = x, obté-se x k+1 = - x k de odo que, para qualquer x 0, o étodo gera a sucessão: x 0, - x 0, x 0, - x 0, x 0, - x 0, Todo o ponto de inflexão provoca u afastaento da raiz. Coputação Científica 87

24 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos Método da Secante Ua desvantage da utilização do étodo de Newton-Raphson é a necessidade de calcular a derivada da função envolvida. Quando a expressão da derivada é coplexa e o cálculo de valores da derivada pouco eficiente, quando coparado co o cálculo de valores da função, o uso do étodo da Secante poderá ser preferido ao do étodo de Newton-Raphson Fora geral Para calcular a raiz da equação f(x) = 0 este étodo baseia-se na aproxiação de f(x) por ua reta, na vizinhança da raiz de f(x). O ponto de interseção da reta co o eixo dos XX é considerado coo aproxiação à raiz de f(x) = 0. Se ainda estiver longe da solução a, o processo é repetido iterativaente. Para iniciar o processo iterativo são escolhidos dois pontos x 0 e x 1. O intervalo definido por eles não necessita de conter a raiz. O ponto de interseção da reta, que passa pelos dois pontos, co o eixo dos XX obté-se a partir da equação iterativa, cuja sua fora geral é x k+1 = x k (x k x k 1) f(x k ) f(x k 1 ) f( x ), k=1, 2,... k Ebora seja necessários dois pontos para iniciar o processo iterativo, apenas u novo ponto e o correspondente valor da função são calculados e cada iteração. O gráfico anterior ilustra este processo iterativo. Para evitar o efeito do cancelaento subtrativo quando x k está uito próxio de x k-1, aconselha-se a ipleentação da seguinte fórula iterativa: x k+1 = x k ( x k 1 x k) f(x k ) f( x k 1 ). f(x k ) 1 f(x k 1 ) que é preferível à fórula iterativa anterior, desde que f(x k ) < f(x k-1 ). Usando a fórula iterativa anterior, deve-se verificar se f(x k ) f(x k-1 ) que, quando acontecer, o processo deve terinar (pode provocar ua divisão por 0). 88 Coputação Científica

25 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações não lineares Exeplo Deterinar aproxiações para a raiz real da função x 3 2x 5 = 0, toando coo aproxiações iniciais os pontos x 0 = 3 e x 1 = 2. Usando o étodo da Secante, foi calculada a seguinte sequência de iterações convergindo para a raiz real daquela função: x 2 = x 3 = Convergência x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = Para que a sequência gerada por este étodo convirja para ua raiz real siples de f(x) é, e geral, necessário que as aproxiações iniciais, x 0 e x 1, esteja suficienteente próxias da raiz. Teorea: Seja f C 2 ([a,b]) e a ua raiz siples de f(x) = 0 e [a,b]. Então existe r > 0 tal que a sequência { x k } k = 2,3,... gerada pelo étodo da Secante converge sepre que x i - a < r (i = 0,1). As condições do teorea anterior (relacionado co a convergência do étodo de Newton-Raphson) são tabé suficientes para estabelecer convergência para o étodo da Secante. Teorea: Seja f C 2 ([a,b]). Se (i), (ii), (iii) e (iv) do teorea sobre convergência do étodo de Newton- Raphson se verifica, então para x 0, x 1 [a,b] a sequência gerada pelo étodo da Secante converge para a único zero de f e [a,b]. Teorea (Orde de convergência do étodo da Secante): A orde de convergência deste étodo é ((1+ 5 ) / 2) = (convergência super-linear) Algorito do étodo da Secante Objetivo: Cálculo de ua raiz real siples de f(x) = 0, a Parâetros de entrada: x 0, x 1, e 1 (liite do erro absoluto), e 2 e kax; garantia de convergência k 0 f 0 f(x 0 ) f 1 f(x 1 ) repita d x 1 - ( (x 0 x 1 ) / (f 1 - f 0 ) x f 1 ) ) { prieira fórula iterativa } x 2 x 1 d k k + 1 x 0 x 1 x 1 x 2 Coputação Científica 89

26 Probleas co equações não lineares Métodos Nuéricos Iterativos f 0 f 1 f 1 f(x 2 ) se ( x 1 x 0 < e 1 ) ou ( f 1 < e 2 ) ou (k = kax) então { ver secção } a x 1 { aproxiação obtida } interroper fi_se fi_repita 6. Probleas co equações lineares Neste capítulo será abordado o problea de resolução de sisteas de equações lineares, o qual é u dos probleas que na prática ocorre co aior frequência. Os étodos para resolver este tipo de probleas são classificados e duas classes: étodos diretos e étodos iterativos. Neste docuento, apenas serão abordados co ais detalhe os étodos iterativos O problea da resolução de u sistea de equações lineares Pretende-se calcular a solução de u sistea de equações lineares, cuja fora geral é, {a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n onde x 1, x 2,..., x n são as incógnitas do sistea, a ij (i, j = 1,2,..., n) são os coeficientes do sistea, b 1, b 2,..., b n são os teros independentes (ou segundos ebros) do sistea. Problea: Pretende-se deterinar valores para x 1, x 2,..., x n de odo que as n equações do sistea e cia seja satisfeitas siultaneaente. O sistea pode tabé escrever-se na sua fora atricial A x = b onde, A = [a 11 a a 1n a 21 a a 2n x = a n1 a n2... a nn], [x 1 x 2 b =... x n], [b 1 b n] 2... b 90 Coputação Científica

27 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações lineares sendo A = (a ij ) a atriz dos coeficientes, b = (b i ) o vetor dos teros independentes e x = (x i ) o vetor das incógnitas. Definição: Diz-se que u sistea de equações lineares é deterinado se te ua única solução. Teorea: U sistea de equações lineares (escrito na sua fora atricial) é deterinado se e só se verificar qualquer ua das duas condições (equivalentes): 1) A -1 (inversa de A) existir (A é invertível) 2) det A 0 Nota: Ao longo deste texto é assuido que os sisteas de equações considerados tê solução única Utilização de étodos iterativos Teoricaente, os étodos diretos perite calcular a solução exata co u núero finito de operações aritéticas básicas. No entanto, na prática isto não é be assi, pois, devido à acuulação de erros de arredondaento, ao cancelaento subtrativo, etc., estes étodos perite apenas calcular ua solução aproxiada. Exeplos de étodos diretos são a Regra de Craer, Eliinação de Gauss, Decoposição LU e Método de Choleski. Teoricaente, nos étodos iterativos a solução é definida coo u liite de ua sucessão (infinita) de vetores. Na prática, calcula-se apenas u núero finito de vetores da sucessão, isto é, calcula-se u u núero finito de iterações. Exeplos de étodos iterativos são os étodos de Jacobi e de Gauss Seidel. Estes étodos são apropriados para sisteas de grande diensão, cujas atrizes dos coeficientes são dispersas. Seja A x = b (1) u sistea de n equações e n incógnitas. A atriz A pode ser escrita na fora A = M N, (2) sendo M e N atrizes de orde n e M invertível. Substituindo (2) na expressão (1), obté-se (M N) x = b ou M x = N x + b donde x = M -1 (N x + b) (3) Assi, a solução de (3) é ponto fixo de (1) e reciprocaente. Coputação Científica 91

28 Probleas co equações lineares Métodos Nuéricos Iterativos Note-se que, x, y R n x y = M 1 (Nx + b) M 1 (Ny + b) = M 1 N (x y) M 1 N x y se a nora de atriz for copatível co a nora de vetor. Assi, te-se o teorea que se segue. Teorea 1: Se M 1 N < 1 então a sequência definida pela iteração x k+1 = M 1 (N x (k) + b), (k = 0, 1,...) (4) converge para o ponto fixo de (3) qualquer que seja x (0) R n. Teorea 2: A razão de convergência do étodo iterativo definido por (4) é igual a 1. A constante de convergência é enor ou igual a M 1 N. Co escolhas especiais para M e N serão definidos os étodos de Jacobi e de Gauss Seidel Método de Jacobi Fórula geral Considerando a atriz dos coeficientes de (1), A = (a ij ), defina-se D = (d ij ) ua atriz diagonal, L = (l ij ) ua atriz estritaente triangular inferior e U = (u ij ) ua atriz estritaente triangular superior, tais que d ij = { a ij, se i = j 0, se i j Então, A = D + (L + U), l ij = { a ij, se i > j, u ij = 0, se i j { a ij, se i < j 0, se i j A escolha M = D e N = L + U resulta no étodo de Jacobi. Do teorea 1 conclui-se que, se (5) D 1 (L + U) < 1 (6) a sequência definida pela iteração x (k+1) = D 1 ( (L + U) x (k) + b ), (k=0,1,...) (7) converge para a solução de (1), qualquer que seja x (0) R n. Naturalente que (6) e (7) pressupõe que D é invertível. Mas, sendo A invertível é sepre possível por troca de linhas transforá-la nua atriz cujos eleentos da diagonal são não nulos. U caso iportante e frequente é o dos sisteas dispersos cuja atriz dos coeficientes é estritaente diagonal doinante. A convergência do étodo de Jacobi é então garantida. 92 Coputação Científica

29 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações lineares Teorea 3: onde, Se a atriz dos coeficientes do sistea Ax = b de n equações e n incógnitas é estritaente diagonal doinante, então o étodo de Jacobi converge. Isto é, se a ii a ij j i As coponentes da iteração x (k+1) de (7) são dadas por n x (k+1) = j=1 j i a ' ij = a ij a ii e b' i = b i a ii. a ' ij x j (k) + b'i, (i=0,1,2,...,n) (8) Algorito para o étodo de Jacobi Objetivo: resolução de Ax = b supondo satisfeitas as condições de convergência (x é a solução) Parâetros de entrada: x (0), e e kax para i de 1 até n fazer x i x i (0) fi_para k 0 repita para i de 1 até n fazer y i x i fi_para para i de 1 até n fazer x i fi_para k k + 1 n b' i a' ij y j j=1 j i se (( x y < x ) ou (k = kax)) então interroper fi_se fi_repita Coputação Científica 93

30 Probleas co equações lineares Métodos Nuéricos Iterativos 6.4. Método de Gauss Seidel Fórula geral Considere-se novaente as atrizes D, L e U, definidas e (5). Te-se A = (D + L) + U. A escolha M = D + L e N = U dá o étodo de Gauss Seidel. Sendo (D + L) x (k+1) = -U x (k) + b, (k = 0, 1, ) obté-se x (k+1) = D -1 (-L x (k+1) - U x (k) + b), (k = 0, 1, ) (9) Se (D + L) 1 U < 1 (10) então a sequência definida por (9) converge para a solução de (1) qualquer que seja x (0) R n. Se A for estritaente diagonal doinante é garantida a convergência para o étodo de Gauss Seidel qualquer que seja x (0) R n. As coponentes de x (k+1) de (9) são dadas por x i (k+1) i 1 = j=1 n a ' ij x j (k+1) j=i+1 a' ij x j (k) + b'i, (i=0,1,2,...,n) (11) Para interpretar a diferença entre (11) e (8) note-se que no étodo de Gauss Seidel, no cálculo da coponente i da iteração k+1 são usadas as prieiras i-1 coponentes já atualizadas Algorito para o étodo de Gauss Seidel Objetivo: Resolução de Ax = b supondo satisfeitas as condições de convergência (x é a solução) Parâetros de entrada: x (0), e e kax para i de 1 até n fazer x i x (0) i fi_para k 0 repita para i de 1 até n fazer y i x i fi_para para i de 1 até n fazer i 1 x i b' i (a' ij x j ) fi_para k k + 1 j=1 n j=i+1 (a' ij y j ) 94 Coputação Científica

31 Métodos Nuéricos Iterativos Probleas co equações lineares se (( x y < x ) ou (k = kax)) então interroper fi_se fi_repita 6.5. Exeplo Considere-se o seguinte sistea de equações lineares {7 x 3 x x 5 = 1 2 x x 2 = 1 x 3 = 1 3 x 1 + 5x 4 = 1 x x 5 = 1 2x x 6 = 1 A atriz dos coeficientes é estritaente diagonal doinante e assi haverá convergência para a solução do sistea usando o étodo de Jacobi ou o de Gauss Seidel. Toando x (0) = [1/7 1/8 1 1/5 1/4 1/6] T fora obtidos os seguintes resultados: Iter. x i Jacobi Gauss Seidel Iter. x i Jacobi Gauss Seidel Eficiência Se a atriz A e Ax = b (1) tiver p eleentos não nulos, então cada iteração dos étodos de Jacobi e Gauss Seidel requer p-n adições/subtrações e p n ultiplicações/divisões. Donde, k iterações requere k(p n) adições/subtrações (e ultiplicações/divisões). Adicionalente, no cálculo dos (a') s e dos (b') s te-se p+n divisões. Coputação Científica 95

32 Probleas co equações lineares Métodos Nuéricos Iterativos Definindo a = p/n 2 p = a.n 2 o núero 100a dá a percentage de eleentos não nulos de A, portanto ua edida da dispersão dos eleentos de A. Donde k(p n) = kan 2 kn kan 2 se n for grande. No sistea associado ao exeplo dado (6.5) verifica-se que n = 6 e p = 12, logo a = 12/36 = 1/3. 7. Interpolação polinoial 7.1. Introdução Seja f ua função real definida e [a, b] R, sendo conhecidos os seus valores nos pontos x 0, x 1,, x n [a, b]. Suponha-se que se pretende calcular o valor não tabulado f(x), sendo x [a, b]. Por exeplo, dada a tabela de valores da função log 10 seguinte x log 10 (x) considere-se os seguintes probleas: calcular log 10 (2.45); deterinar x tal que log 10 (x) = 0.4. Qualquer u destes probleas pode ser resolvido por interpolação. E linhas gerais, este processo consiste e obter ua aproxiação para o valor que se pretende conhecer representando a função f por ua função siples, a função interpoladora, que assue os esos valores que f para certos valores do arguento e [a, b]. U caso particular de interpolação co grande iportância devido ao grande núero de aplicações é a interpolação polinoial. Os polinóios interpoladores constitue eios de aproxiação de funções uito usados. Alé disso, fórulas desenvolvidas para interpolação polinoial estão na base do desenvolviento de uitos étodos nuéricos para o cálculo de integrais e resolução de equações diferenciais Polinóio interpolador Definição Seja f C([a,b]) e x i [a, b] (i = 0, 1,, n). U polinóio p que assue os esos valores que f nos pontos x 0, x 1,, x n, isto é, que satisfaz p(x i ) = f(x i ), (i = 0, 1,, n) chaa-se polinóio interpolador de f nos pontos x 0, x 1,, x n. 96 Coputação Científica

33 Métodos Nuéricos Iterativos Interpolação polinoial Exeplo: Considere-se a tabela de log 10 anterior. Para se obter estiativas para log 10 (2.45), vai-se representar log 10 por diferentes polinóios interpoladores. Coeçar por calcular o polinóio p 3 de grau enor ou igual a 3, interpolador de log 10 nos pontos 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6. De acordo co a definição anterior ter-se-á p 3 (2.3) = , p 3 (2.4) = , p 3 (2.5) = , p 3 (2.6) = Isto é, se p 3 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 então {a a a a 3 = a a a a 3 = a a a a 3 = a a a a 3 = Sendo o sistea possível e deterinado tal polinóio existe e é único. Assi, p 3 (x) = x x x 3, é o polinóio de grau enor ou igual a 3 interpolando log 10 nos pontos 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6. Te-se então log 10 (2.45) p 3 (2.45) = Sendo log 10 (2.45) = o erro na aproxiação calculada não excede 0.7 x10-5. Problea: Dado u conjunto de pontos, (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) co x i x j (para i j) e i, j = 0, 1,..., n, deterinar ua função interpoladora f tal que f(x i ) = y i, i = 0, 1,..., n Por exeplo, dado o conjunto de pontos, duas possíveis soluções seria Coputação Científica 97

34 Interpolação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Terinologia associada a esta probleática: Os valores x 0, x 1,, x n chaa-se nós de interpolação e os respetivos y 0, y 1,..., y n são os valores nodais. O conjunto { (x i, y i ), i = 0, 1,, n } chaa-se suporte de interpolação. { f(x i ) = y i, i = 0, 1,, n } é a função de interpolação nesse suporte. Existe vários tipos de funções de interpolação, tais coo: Interpolação polinoial f(x) = a n x n a 1 x + a 0 Interpolação trigonoétrica f(x) = a -M e -imx a a M e imx onde, M é u inteiro igual a n/2 se n é par e (n-1)/2 se n é ípar, i é a unidade iaginária Interpolação racional f( x) = a k x k a 1 x + a 0 a k+1 x n a k+n x + a k+n Polinóios U polinóio de grau n é ua função da fora, p n (x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 (a n 0, para n > 0) onde a 0, a 1,, a n são os coeficientes reais do polinóio. O problea da deterinação de zeros de u polinóio p pode ser visto coo o de calcular as raízes da equação p(x) = Coputação Científica

35 Métodos Nuéricos Iterativos Interpolação polinoial Teorea (Fundaental da Álgebra): Seja p u polinóio de grau n 1 definido pela expressão anterior. Então, existe a R tal que p n (a) = 0. Se a é u zero real de p n (x) então p n (x) = (x a) q n-1 (x) Cálculo de valores de u polinóio Coo calcular o valor de u polinóio nu dado ponto? Seja p u polinóio de grau n de coeficientes reais definido por p n (x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 (a n 0, para n > 0). Pretende-se calcular p n (y), y R. Ao usar-se p n (y) = a n y n + a n-1 y n a 1 y + a 0, serão efetuadas n adições/subtrações e 2n-1 ultiplicações/divisões. Mas p n (x) pode ser escrita na fora p n (x) = ((...(a n x + a n-1 ) x a 2 ) x + a 1 ) x + a 0, que representa a chaada fora encaixada do polinóio e é a base do étodo de Horner para o cálculo de valores do polinóio, que requer n adições/subtrações e n ultiplicações/divisões. Por exeplo, p 3 (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 { n + (n-1) = n (n+1) / 2 = 6 ultiplicações } p 3 (x) = ((a 3 x + a 2 ) x + a 1 ) x + a 0 { n = 3 ultiplicações } Algorito: { Objetivo: cálculo do valor de p n (x) = ((...(a n x + a n-1 ) x a 2 ) x + a 1 ) x + a 0 } { parâetros de entrada: a 0, a 1,..., a n, z R } { parâetros de saída: polinóio = ((...(a n z + a n-1 ) z a 2 ) z + a 1 ) z + a 0 } polinóio a n para k desde (n-1) até 0 fazer polinóio polinóio * z + a k fi_para Coplexidade: n ultiplicações e n adições Coputação Científica 99

36 Interpolação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Algorito (étodo de Horner): { Objetivo: calcular p n (z), valor de u polinóio de grau n no ponto z } { parâetros de entrada: a 0, a 1,..., a n, z R } { parâetros de saída: c 0 = p n (z) } c n a n para k desde (n-1) até 0 fazer c k a k + z c k+1 fi_para { c 0 = p n (z) } Exeplo (étodo de Horner): Calcular p 5 (x) = x 5-6 x x x x 40, para x = 3 c 5 = a 5 = 1 c 4 = a c 5 = = -3 c 3 = a c 4 = 8 9 = -1 c 2 = a c 3 = 8 3 = 5 c 1 = a c 2 = = 19 c 0 = a c 1 = = 17 Logo, p 5 (3) = c 0 = 17. Seja p n (x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 u polinóio de grau n e z u núero real. Então, p n (x) = (x z) q n-1 (x) + r onde q é u polinóio de grau n-1 e r ua constante (r = 0 se e só se z é u zero de p). Seja q n-1 (x) = b n-1 x n-1 + b n-2 x n b 1 x + b 0. Então, a expressão p n (x) = (x z) q n-1 (x) + r pode ser escrita da seguinte fora: a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 = (x - z) (b n-1 x n-1 + b n-2 x n b 1 x + b 0 ) + r donde, e igualando os coeficientes de potências de x do eso grau, obté-se b n-1 = a n, b k = a k+1 + z b k+1 (k = n-2, n-3,..., 0), r = a 0 + z b Coputação Científica

37 Métodos Nuéricos Iterativos Interpolação polinoial Algorito (fatorização de u polinóio): { Objetivo: fatorizar p n (x) = (x z) q n-1 (x) + r, onde z R e pn(x) = a n x n a 1 x + a 0 } b n-1 a n para k desde (n 2) até 0 fazer b k z b k+1 + a k+1 fi_para r z b 0 + a 0 Exeplo (étodo da fatorização): Sendo p 5 (3) = x 5-6 x x x x 40, fatorizar p 5 (x) = (x z) q n-1 (x) + r, para z = 3 b 4 = a 5 = 1 b 3 = 3 b 4 + a 4 = 3-6 = -3 b 2 = 3 b 3 + a 3 = = -1 b 1 = 3 b 2 + a 2 = = 5 b 0 = 3 b 1 + a 1 = = 19 r = 3 b 0 + a 0 = = 17 Logo, q 4 (x) = x 4-3 x 3 - x x E assi, p 5 (x) = (x 3) (x 4-3 x 3 - x x + 19) Interpolação polinoial de Lagrange Os polinóios são excelentes candidatos a funções interpoladoras, porque: O cálculo dos valores é realizável e orde linear ao núero de ultiplicações e adições. As operações de derivação e priitivação são siples e pode ser facilente prograáveis. Aproxia tanto quando se queira qualquer função contínua nu intervalo finito (Teorea de Weierstrass). Sepre que as funções de interpolação consideradas são polinóios então está-se perante Interpolação Polinoial. Problea: Dado u suporte de interpolação co n+1 pontos, { (x i, y i ), i = 0, 1,..., n } encontrar u polinóio de grau enor ou igual a n tal que, y i = p n (x i ), i = 0, 1,..., n Questões: Existe sepre u polinóio que satisfaz as condições acia? Caso exista, é único? Coputação Científica 101

38 Interpolação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Teorea (da existência e unicidade): Seja P n o conjunto dos polinóios de grau enor ou igual a n. Dados n+1 pontos suporte distintos (x i, f(x i )), i = 0, 1,..., n, existe u e u só polinóio p n P n tal que, p n (x i ) = f(x i ), i = 0, 1,..., n Observações: O teorea anterior ostra-nos que o polinóio interpolador existe e é único (pode ser deduzidas várias fórulas para ele, as todas representa o eso polinóio interpolador) Fórula de Lagrange Definição: Os polinóios de grau n dados por, n L k ( x) = i = 0 i k x x i x k x i, k=0,1,...,n são designados por polinóios de Lagrange associados aos nós x 0, x 1,..., x n. Teorea: O polinóio interpolador p n de grau enor ou igual a n que interpola os valores nodais y 0, y 1,..., y n nos nós distintos x 0, x 1,..., x n é dado por, p n (x) = n k = 0 L k (x) y k. Exeplo: Construir o polinóio interpolador de grau enor ou igual a 3 que interpola os seguintes valores: x i y i Os polinóios de Lagrange associados aos nós (x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 4) obtê-se diretaente da definição anterior, L 0 ( x) = (x x 1 ) (x x 2 ) (x x 3 ) (x 0 x 1 ) ( x 0 x 2 ) (x 0 x 3 ) = 1 12 (x 1) ( x 3) ( x 4) L 1 (x) = ( x x 0 ) (x x 2 ) (x x 3 ) ( x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) = 1 6 x (x 3) (x 4) 102 Coputação Científica

39 Métodos Nuéricos Iterativos Interpolação polinoial L 2 (x) = ( x x 0 ) (x x 1 ) (x x 3 ) ( x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) (x 2 x 3 ) L 3 (x) = ( x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) ( x 3 x 0 ) (x 3 x 1 ) (x 3 x 2 ) = 1 6 = 1 12 x (x 1) (x 4) x (x 1) (x 3) Assi sendo, nas condições do teorea, o polinóio interpolador é dado por: 3 p 3 ( x) = k = 0 L k ( x) y k = L 0 ( x) y 0 +L 1 ( x) y 1 +L 2 (x) y 2 +L 3 (x)y 3 = L 0 (x) L 1 ( x)+l 2 (x)+2.l 3 (x) = = 1 12 (x 1) (x 3) (x 4) 1 6 x (x 3) (x 4) 1 6 Algorito (fórula de Lagrange): x (x 1) (x 4) x (x 1) (x 3) { Objetivo: cálculo de p n (z) sendo p n interpolador de f nos pontos distintos x 0, x 1,..., x n } q 0 Observação: para i desde 0 até n fazer p 1 para j desde 0 até n fazer se j i então p p.(z x j ) / (x i x j ) fi_se fi_para q q + p.y i fi_para A fórula de Lagrange pode não ser a representação ais conveniente do polinóio interpolador, fundaentalente por duas razões: 1. É possível obter este polinóio co enos operações aritéticas do que as requeridas por aquela fórula (o cálculo de u valor do polinóio interpolador requer n(n+2) adições/subtrações e n(n+1) ultiplicações/divisões); 2. Os polinóios de Lagrange estão associados a u conjunto de nós e ua udança de posição, ou do núero destes, altera copletaente estes polinóios Fórula de Newton Definição: A fórula de Newton para polinóios de grau n é dada por, p n (x) = a 0 + a 1 (x c 1 ) + a 2 (x c 1 ) (x c 2 ) + + a n (x c 1 ) (x c 2 )... (x c n ) onde os parâetros c i, i = 1, 2,..., n são chaados centros do polinóio. Coputação Científica 103

40 Interpolação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Construção da Fórula de Newton: Considerando os nós x 0, x 1,..., x n-1 coo centros do polinóio, teos: p n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) + + a n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n-1 ) Os coeficientes a 0, a 1,..., a n vão ser deterinados de odo que p n seja o polinóio interpolador nos nós x 0, x 1,..., x n dos valores nodais y 0, y 1,..., y n : p n (x 0 ) = y 0 ; p n (x 1 ) = y 1 ;... ; p n (x n ) = y n ou, se os valores nodais y i fore valores nodais de ua função f te-se, p n (x i ) = f(x i ), i = 0, 1,..., n Assi, a partir de, p n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) (x x 1 ) + + a n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n-1 ) e fazendo sucessivaente x = x 0, x = x 1,..., x = x n obté-se os coeficientes: a 0 = f (x 0 ) a 1 = f (x 1 ) a 0 x 1 x 0 = f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 a 2 = f(x 2 ) a 0 a 1 ( x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )... = f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 x 2 x 0 a n = f(x n ) a 0 a 1 (x n x 0 ) a 2 (x n x 0 )(x n x 1 )... a n 1 (x n x 0 )...(x n x n 2 ) (x n x 0 )(x n x 1 )...( x n x n 1 ) =... Observação: Cada coeficiente a k, k = 0, 1,..., n: pode ser calculado a partir dos a i, i = 0, 1,..., k-1, já deterinados. depende exclusivaente dos nós x 0, x 1,..., x n e dos respetivos valores nodais y 0, y 1,..., y n a k = f[x 0, x 1,..., x k ] e que f[x 0, x 1,..., x k ] é a diferença dividida de orde k (k 1) entre os k+1 nós x 0, x 1,..., x k. 104 Coputação Científica

41 Métodos Nuéricos Iterativos Interpolação polinoial Definição: Para designar a diferença dividida de orde k (k 1) entre os k+1 nós x 0, x 1,..., x k, são utilizadas indistintaente duas notações: onde D k f (x i ) f[ x i, x i+1,..., x i+k] D k f (x i ) = D k 1 f(x i+1 ) D k 1 f(x i ) x i+k x i ou f [ x i, x i+1,..., x i+k ] = f[ x i+1,..., x i+k ] f [ x i,..., x i+k 1] x i+k x i Teorea: Os coeficientes a k, k = 0, 1,..., n do polinóio p n de grau enor ou igual a n, na fora de Newton que interpola os valores f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x k ) nos nós distintos x 0, x 1,..., x k são dados indutivaente pela expressão: a k = f [ x 0, x 1,..., x k] = f [ x 1,..., x k] f [ x 0,..., x k 1] x k x 0 Assi, o Polinóio Interpolador co Diferenças Divididas te a fora: p n (x) = f[x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f[ x 0,x 1,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) f [x 0, x 1,...,x n ]( x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) Ua tabela de diferenças divididas de ua função f pode ser escrita da fora que segue (denotando-se por f i,i+j a diferença f[x i,..., x i+j ]). x D 0 / f[] D 1 / f [, ] D 2 / f [,, ] D 3 / f [,,, ]... x 0 f(x 0 ) f 0,1 x 1 f(x 1 ) f 0,2 f 1,2 f 0,3 x 2 f(x 2 ) f 1,3... f 2,3... x 3 f(x 3 ) f n-3,n f n-2,n f n-1,n x n f(x n ) Coputação Científica 105

42 Interpolação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Algorito (Diferenças divididas): { Objetivo: construir ua tabela de diferenças divididas de f por diagonais ascendentes sucessivas } Exeplo: f 0 f(x 0 ) para i desde 1 até n fazer f i f(x i ) para j desde (i-1) até 0 fazer f j,i (f j,i-1 - f j+1,i ) / (x j x i ) fi_para fi_para Deterinar o polinóio interpolador, na fora de Newton, que interpola os seguintes pontos: x i y i A tabela de diferenças dividida para este caso é a seguinte: x D 0 / f[] D 1 / f [, ] D 2 / f [,, ] D 3 / f [,,, ] x 0 = 0 1 f 0,1 = -2 x 1 = 1-1 f 0,2 = 1 f 1,2 = 1 f 0,3 = -1/4 x 2 = 3 1 f 1,3 = 0 f 2,3 = 1 x 3 = 4 2 f 0,1 = f[ x 0, x 1 ] = f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 = = 2 1 = 2 f 1,2 = f[ x 1,x 2 ] = f( x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 = 1 ( 1) 3 1 = 2 2 = 1 f 2,3 = f[ x 2,x 3 ] = f (x 3 ) f(x 2 ) x 3 x 2 = = 1 1 = 1 f 0,2 = f[ x 0, x 1, x 2 ] = f[ x 1,x 2 ] f[ x 0,x 1 ] x 2 x 0 = f 1,2 f 0,1 x 2 x 0 = 1 ( 2) 3 0 = 3 3 = 1 f 1,3 = f[ x 1,x 2,x 3 ] = f [x 2, x 3 ] f[ x 1,x 2 ] x 3 x 1 = f 2,3 f 1,2 x 3 x 1 = ( 1) = 0 5 = 0 f 0,3 = f[ x 0, x 1, x 2, x 3 ] = f[ x 1,x 2,x 3 ] f[ x 0,x 1,x 2 ] x 3 x 0 = f 1,3 f 0,2 x 3 x 0 = = Coputação Científica

43 Métodos Nuéricos Iterativos Interpolação polinoial Assi calculados os coeficientes do polinóio interpolador na fora de Newton, a 0 = f[x 0 ] = 1 a 1 = f[x 0, x 1 ] = -2 a 2 = f[x 0, x 1, x 2 ] = 1 a 3 = f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] = -1/4 p 3 ( x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )( x x 1 ) + a 3 (x x 0 )( x x 1 )(x x 2 ) p 3 ( x) = 1 + ( 2)( x 0) + 1(x 0)( x 1) +( 4) 1 (x 0)(x 1)(x 3) p 3 ( x) = 1 2 x + x ( x 1) 1 4 x (x 1)(x 3). Observações: A orde pela qual os nós são toados é arbitrária. Se é necessário acrescentar ais algu nó aos anteriores, basta colocá-lo no fundo da tabela e calcular ais ua linha de valores (as diferenças divididas já obtidas não seria afetadas). Se os valores nodais fore os de ua função, é possível estabelecer ua ligação iportante entre as diferenças divididas de orde k e a derivada da esa orde dessa função. Teorea: Seja f C n ([a,b]) e x 0, x 1,..., x n nós distintos no intervalo [a,b]. Então existe u (a,b) tal que, f [ x 0, x 1,..., x n] = 1 n! f(n) ( ) Deste odo, se os valores nodais fore os valores nodais de ua função, este teorea estabelece ua relação iportante entre as diferenças divididas de orde n e a derivada da esa orde dessa função Erros de Interpolação Polinoial Que erro se coete quando se interpola ua função por u polinóio de grau enor ou igual a n utilizando o valor da função e n+1 nós distintos? Por exeplo, Coputação Científica 107

44 Interpolação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Teorea: Seja f C n+1 ([a, b]) e p n o polinóio de grau enor ou igual a n que interpola f nos nós distintos x 0, x 1,..., x n, contidos e [a,b]. Então para qualquer z b), dependente de x 0, x 1,..., x n, z e de f tal que e n (z) f(z) p n (z) = f(n+1) ( ) (n+1)! (z x 0 )(z x 1 )...(z x n ). [a,b] existe u valor (a, Estiativa do Erro de Interpolação Coo e, e n (x) = f(n+1) ( ) (n+1)! (x), co (x) = ( x x 0 )(x x 1 )...(x x n ) o valor de é desconhecido, teos de calcular u liite superior para estiativa do valor do erro. Para o caso particular da função a interpolar, procuraos u ajorante e [x 0, x n ], f (n+1) ( x) M n+1 e considerando h o espaçaento áxio entre dois nós consecutivos, teos, (x) n! 4 hn+1, x [ x 0, x n ] ou, e n ( x) (x) M n+1 (n+1)! e n ( x) 1 4(n+1) M n+1 h n+1. Coportaento do Erro de Interpolação Analisando e n (x) = f(n+1) ( ) (n+1)! (x) verifica-se que o erro de interpolação depende de: o núero de nós considerado, o coportaento da derivada de orde n+1 da função, o coportaento do polinóio de grau n Coputação Científica

45 Métodos Nuéricos Iterativos Aproxiação polinoial 8. Aproxiação polinoial 8.1. Introdução E linhas gerais pode dizer-se que aproxiar ua função é representá-la por ua outra ais siples. Há necessidade de aproxiar ua função quando a fora co ela é definida dificulta ou ipossibilita a resolução de probleas ateáticos envolvendo essa função. São os casos, por exeplo, de funções conhecidas por ua tabela de alguns dos seus valores, funções definidas coo soluções de equações, ou definidas explicitaente por expressões envolvendo funções transcendentes. Pode-se estar interessado e calcular o valor do integral da função nu dado doínio e não conhecer a priitiva da função, ou calcular u (ou ais) zeros da função não existindo ua fórula que o perita fazer explicitaente, etc. Ua fora de resolver estes probleas é substituir a função dada por outra ais siples (por exeplo, u polinóio) que nu subconjunto relevante do seu doínio não se afasta uito da função dada. As classes de funções ais iportantes são as dos polinóios (incluindo polinóios segentados), das funções racionais (quocientes de polinóios) e das funções de Fourier ({sen(nx), cos(nx)}, n = 0, 1, ). Neste texto será considerada apenas a aproxiação de funções por polinóios. Pode ser colocadas três questões. Para que tipo de funções existe ua aproxiação polinoial adequada? Coo caraterizar ua boa aproxiação? Coo construí-la? 8.2. Conceitos e resultados básicos O teorea de Weierstrass estabelece que para ua certa classe de funções, as contínuas nu intervalo fechado de R, existe u polinóio que aproxia a função tão be quando se queira. Teorea (da aproxiação de Weierstrass): Seja [a, b] R e f C([a,b]). Então, qualquer que seja e > 0 existe n = n(e) tal que f(x) p n (x) < e, para todo o x [a, b]. É possível construir, de ua aneira eficiente, aproxiações polinoiais úteis sob o ponto de vista prático, e estiar o erro de aproxiação. No entanto, tê de ser ipostas condicionais adicionais sobre a regularidade da função a aproxiar Métricas, noras e seinoras Qualquer estudo sobre aproxiação de funções pressupõe a existência de ua aneira de edir a distância entre duas funções. Coputação Científica 109

46 Aproxiação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Definição: Seja F u conjunto. Ua aplicação d : F x F R tal que f, g F, d(f,g) = 0 se e só se f = g, f, g F, d(f,g) = d(g,f), f, g, h F, d(f,h) d(f,g) + d(g,h), é ua étrica. O conjunto F unido dua étrica é u espaço étrico. Desta definição resulta que f, g F, d(f, g) 0. Exeplo: Considere-se o conjunto C([a,b]) das funções reais contínuas nu intervalo fechado [a,b] R. A aplicação d : C([a,b]) x C([a,b]) R definida por f, g C([a,b]), d(f,g) = ax x [a,b] f(x) g(x), é ua étrica. Considere-se a função e x definida e [0,1] e o polinóio p(x) = 1 + (e - 1)x, interpolador de e x nos pontos 0 e 1. Te-se d(e x,p) = ax x [0,1] e x (1 + (e 1)x) 0.21 Definição: Seja F u espaço linear. Ua aplicação. : F R tal que, f F, f = 0 se e só se f = 0, f F, a R, αf = α f, f, g F, f + g f + g, é chaada de nora. O espaço linear F onde está definida ua nora diz-se espaço norado. Definição: Se a aplicação. : F R satisfaz as duas últias condições da definição anterior e f F, f = 0 se f = 0, então f é ua seinora. Note-se que se. é ua seinora e F pode ter-se, para algu f 0, f = 0. Se. : F R é ua nora (ou seinora) te-se f F, f 0. Seja C[a,b] o espaço linear das funções reais contínuas no intervalo fechado [a,b] R. 110 Coputação Científica

47 Métodos Nuéricos Iterativos Aproxiação polinoial Exeplo: A aplicação. : C([a,b]) R definida por f C([a,b]), f = ax f (x), x [a,b] é ua nora chaada nora unifore ou nora de Chebyshev. Exeplo: A aplicação. 2 : C([a,b]) R definida por f C([a,b]), f 2 = { a b w( x) f(x) 2 dx}1/ 2, w C([a,b]) e w(x) > 0 para x [a,b], é ua nora chaada nora dos quadrados ponderados. Exeplo: Dados n + 1 pontos distintos x 0, x 1,..., x n [a, b], a aplicação. : C([a,b]) R definida por f C([a,b]), é ua seinora. f = ax 0 i n f(x i ), Exeplo: Dados n + 1 pontos distintos x 0, x 1,..., x n [a, b], a aplicação. : C([a,b]) R definida por f C([a,b]), n f = { i=0 w (x i ) f(x i ) 2 dx}1/2, w C([a,b]) e w(x i ) > 0 (i = 0, 1,..., n), é ua seinora. Toda a nora induz ua étrica. Isto é, se F é u espaço norado onde está definida ua nora., então F é u espaço étrico co a étrica definida por f, g F, d(f,g) = f g Melhor aproxiação polinoial Definição: Seja F u espaço linear de funções onde está definida ua nora.. Se g F é ua aproxiação para f F a f g chaa-se erro de aproxiação g co respeito à nora.. Coputação Científica 111

48 Aproxiação polinoial Métodos Nuéricos Iterativos Definição: Seja F C([a,b]) u espaço norado e P n o conjunto dos polinóios de coeficientes reais de grau enor ou igual a n. Então, p n P n é ua elhor aproxiação polinoial de grau n para ua função f F e relação à nora. de F, se f p n = inf q n P n f q n. Por outras palavras, relativaente a ua dada nora, a elhor aproxiação polinoial de grau n para ua função que iniiza o erro. Se a nora for de Chebyshev ou dos quadrados ponderados, então existe ua elhor aproxiação polinoial e é única. Ua elhor aproxiação e relação à nora de Chebyshev é chaada aproxiação iniax. Ua elhor aproxiação e relação à nora dos quadrados ponderados é chaada aproxiação dos ínios quadrados Aproxiação dos ínios quadrados para dados discretos E uitos casos reais, os valores nodais que se te são obtidos experientalente, vindo portanto afetados de erros. Desta fora, e vez de se tentar construir ua função interpoladora, faz ais sentido procurar a função que elhor aproxia esses valores. Seja { (x i, y i ) }, i = 1, 2,..., u conjunto de pares de núeros reais onde, y i f(x i ), i = 1, 2,..., A partir destes valores, pretende-se construir ua função que, de algua fora, seja a elhor aproxiação da função f(x). Toe-se coo exeplo o caso linear, isto é, quando a função aproxiante pretendida for ua reta y = a x + b. Para calcular os parâetros a e b, pode ser estabelecidos diferentes critérios, tais coo: Miniizar o erro áxio, ax y i (a x i +b) i=1,..., Miniizar a soa dos erros, y i (ax i +b) i=1 Miniizar o erro quadrático, ( y i (a x i +b)) 2 i= Funções aproxiantes e desvios No caso geral, o problea consiste e deterinar a função que elhor aproxia u dado conjunto de pontos { (x i, y i ) }, i = 1, 2,...,. 112 Coputação Científica