LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ. Paulo Pinto ppinto/ 2 GENES LIGADOS AO SEXO 2

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1 Instituto Superior Técnico Departaento de Mateática Secção de Álgebra e Análise Notas sobre alguas aplicações de o Seestre 007/008 Álgebra Linear LEAb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ Paulo Pinto ppinto/ Conteúdo UM PROCESSO DE DIFUSÃO GENES LIGADOS AO SEXO REDES E GRAFOS 4. Graos orientados UM PROCESSO DE DIFUSÃO Considere duas células adjacentes separadas por ua ebrana pereável e suponha que u luido passa da prieira célula para a segunda a ua taxa (e ililitros por inutos) nuericaente igual a três vezes o volue (e ililitros) do luido na prieira célula. Ele depois sai da segunda célula a ua taxa nuericaente igual a duas vezes o volue na segunda célula. Vaos representar por y (t) e y (t) os volues do luido na prieira e segunda células, respectivaente, no instante t. Suponhaos que, inicialente i.e. t = 0, a prieira célula te 40 l de luido, enquanto que segunda te 5 l. Vaos deterinar o volue de luido e cada célula no instante t. Solução A variação e volue de luido e cada célula é a dierença entre a quantidade que entra e a quantidade que sai. Coo nenhu luido entra na prieira célula, teos: dy (t) = y (t), dt onde o sinal de enos indica que o luido sai da célula. O luxo y (t) sai da prieira célula e entra na segunda. O luxo que sai da segunda célula é de y (t). Logo a variação no volue na segunda célula é dada por

2 dy (t) = y (t) y (t). dt Obte-se assi o seguinte sistea de equações dierenciais de a orde: { y (t) = y (t) y (t) y (t) = y (t), que pode ser escrito na ora atricial coo: y (t) 0 y (t) y (t) = y (t) 0 Os valores próprios da atriz A = são (veriique!) λ = e λ =. Facilente deterinaos A é ua atriz diagonalizável onde {(, )} é ua base para o espaço próprio E(λ ), enquanto que {(0, )} é ua base para o espaço próprio E(λ ). Portanto a solução geral do sistea de equações deerenciais acia descrito é: y (t) y (t) = 0 k e t k e t = k e t + k 0 Usando as condições iniciais y (0) = 40 e y (0) = 5 concluios que k = 40, k + k = 5, pelo que k = 40 e k = 5. Portanto, o volue de luido e cada célula no instante t é dado por: y (t) = 40e t, y (t) = 0e t + 5e t. GENES LIGADOS AO SEXO e t. A cegueira para as cores, ou daltonisos, é ua alteração hereditária cujo ecaniso de transissão s oi copreendido e 90 (após os estudos de hereditariedade ligado so sexo e diversos aniais: aves, borboletas e drasóilas). Sabe-se actualente que os genes relacionados co deterinação deste carácter se encontra no croossoa X e que o gene para a visão noral é doinante sobre o alelo que deterina o daltoniso. Desta ora, copreende-se que a transissão desta característica obedeça às seguintes regras: do casaento de u hoe daltónico co ua ulher noral, resulte ilhas norais e ilhos daltónico; do casaento de ua ulher daltónica co u hoe noral, resulte ilhas norais e ilhos daltónicos;

3 as ilhas de pai daltónico são sepre portadoras do daltoniso apesar de enotipicaente norais. Este tipo de herança resulta do acto de o hoe receber o croossoa X da ãe e nunca o transitir aos ilhos hoens. Por sua vez, as ulheres herda u croossoa X da ãe e outro croossoa X do pai. Pelo que para encontrar u odelo ateático que descreva o daltoniso e deterinada população, é necessário dividir a população e duas classes, hoens e ulheres. Seja a proporção de genes para o daltoniso na população asculina e seja a propoção einina. (Coo o daltonisa é recessivo, a proporção de ulheres daltónicas é da realidade enor que.) Coo os hoens recebe u croossoa X da ãe e nenhu do pai, a proporção x () de hoens daltónicos na próxia geração será a esa que a proporção de genes recessivos na geração actual das ulheres. Coo as ulheres recebe u croossoa X da ãe e outro do pai, a proporção x () de genes recessivos na próxia geração de ulheres será a édia entre e. Assi, teos: = x (), x(0) + x(0) = x (). Se = então a proporção vai anter-se na próxia geração. Vaos então supor que e escrever o sistea na ora atricial 0 = x () x () Vaos designar por A a atriz dos coeicientes do sistea e por x (n) =. x (n) x (n) a proporção de genes para nas populações asculinas e eininas da (n + )-ésia geração. Então: x (n) = A n. Para calcular A n vaos provar que a atriz A é diagonalizável e construir atriz udança de base S e atriz diagonal D, tais que D = SAS. Logo A = S DS e portanto A n = 0 S D n S. Ora λ = e λ = / são os valores próprios de A, pelo que D = 0. Alé disso (, ) é vector próprio associado a λ e o (, ) é vector próprio associado a λ, pelo que S =, S =. Logo, x (n) = 0 0 n

4 e portanto, = ( )n + ( )n ( )n + ( )n li n x(n) = = + + Conclusão: as propoções de genes para o daltoniso nas populações asculina e einina vão tender para o eso valor quando o núero de geraçõs cresce: se a proporção de hoens daltónicos or p e se durante u certo núero de gerações nenhua pessoa de ora entrou na população, justiica-se então supor que a proporção de daltoniso na população einina tabé é p. Ora coo o daltoniso é recessivo, esperaríaos que a propoção de ulheres daltónicas osse da orde p, o que e particular este odelo ateático não conira! REDES E GRAFOS A teoria de graos é ua das áreas iportantes da ateática aplicada. é usada para odelar probleas e praticaente todas as ciências aplicadas. A teoria de graos é particularente útil e aplicações envolvendo redes de counicação. U grao (não orientado) G é deinido coo u conjunto de pontos chaados vértices junto co u conjunto pares não ordenados de vértices chaados de arestas. Obviaente que podeos representar o grao G geoetricaente onde cada vértice V i corresponde a nós nua rede de counicação. Os segentos de recta unindo os vértices corresponde às arestas. Nua rede, cada aresta reprsenta u elo de counicação directo entre dois nós da rede. Ua rede de counicação verdadeira pode envolver u grande núero de vértices e arestas, pelo que ua representaçãp gráica da rede seria uito conusa. Ua alternativa é usar ua representação atricial para a rede. Se o grao conté u total de n vértices, então a atriz A = a ij Mat n n de adjacência do grao é deinida da seguinde aneira:. { se {vi, v a ij = j } é ua aresta de G 0 caso contrário, Observe que a atriz A é siétrica A = A T, por deinição. Podeos pensar nu cainho no grao G coo ua sequência de arestas unindo vértices. Dizeos que o cainho te copriento k se o cainho or a sequancia de k arestas e G. (Incluir u grao para ilustrar o texto) Problea: deterinar os cainhos de copriento k. Teorea Seja A atriz de adjacência de u grao G e a (k) ij a entrada (i, j) da atriz A k. Então a (k) ij é o núero de cainhos de copriento k do vértice v i a v j. Deontração: Aplicar indução ateática e k. No caso k = segue da deinição de atriz de adjacência que a ij é o núero de cainhos de copriento entre os vértices v i e v j. 4

5 Vaos agora supor que a (k) ij é o núero de cainhos de copriento k entre os vértices v i e v j. Quereos provar que a (k+) ij é o núero de cainhos de copriento k + entre os vértices v i e v j. Ora se existe ua aresta entre v l e v j, então a (k) il a lj = a il é o núero de cainhos de copriento k + entre v i e v j da ora v i v l v j. Teos então que o núero total de cainhos de copriento k + entre v i e v j é dado por a (k) i a j + a (k) i a j + a (k) in a nj. Mas isto é por deinição de produto atricial a entra (i, j) de A k+, c.q.d. Coo A é ua atriz siétrica, A é diagonalizável, pelo que os valores próprios ornece a diagonal da atriz diagonal D, a deterinação de bases para os espaços próprios ornece as colunas para a atriz S, pelo que S = (S ). Mais D = SAS, donde A k = S D k S. Ua vez que A é siétrica podeos escolher as bases dos espaços próprios de tal ora que a atriz S seja ortogonal S = S T (ver aulas teóricas anteriores). Note que no eso gráo não orientado G podeos deinir outra atriz A = a ij coo sendo { s se a ij = {vi, v j } estão ligados por s arestas, 0 caso contrário Problea: veriique a validade do teorea anterior!. Graos orientados Reaça a secção anterior para graos orientados. Conhece-se aplicações destes graos à Sociologia, Telecounicações etc.. Note que nestes graos, e geral, a atriz que lhe está associada nã vai ser siétrica ua vez que, p.ex., pode haver ua aresta do vértice v i para o vértice v j, as não haver nenhua aresta de v j para v i. 5