O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE COM REAPROVEITAMENTO DAS SOBRAS DE MATERIAL HEURÍSTICA FFD MODIFICADA

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1 27 a 3/9/5, Graado, RS O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE COM REAPROVEITAMENTO DAS SOBRAS DE MATERIAL HEURÍSTICA FFD MODIFICADA Adriana Cristina Cherri Marcos Nereu Arenales adriana@icc.usp.br, arenales@icc.usp.br Instituto de Ciências Mateáticas e de Coputação ICMC Universidade de São Paulo USP Av. Trabalhador São-carlense, 4 - Caixa Postal São Carlos SP RESUMO Tipicaente, os probleas de corte busca iniizar as perdas. Entretanto, se ua sobra é suficienteente grande para ser reaproveitada no futuro, não deve ser contabilizada coo perda. Isto introduz ua postura diferente frente ao problea de corte: até que ponto a solução de perda ínia é a ais interessante, já que sobras pode ser reaproveitadas? Alguas características para considerar se ua solução é desejável são definidas neste trabalho e ua alteração no étodo clássico FFD (First Fit Decreasing) é proposta, de odo que os padrões de corte co perdas indesejáveis (ne tão grande, ne tão pequena) seja alterados de aneira que as perdas torne-se pequenas ou, então, ua sobra co taanho suficienteente grande para ser reaproveitada no futuro. Os resultados preliinares são proissores, pois ostra ua concentração das perdas e poucos padrões. Palavras-chave: problea de corte de estoque, reaproveitaento das sobras de aterial. ABSTRACT Typically, cutting stock probles search for inial waste. However, if a non-used piece is large enough to be used in the future, it should not be counted as waste. This introduces a new posture on facing a cutting stock proble: when is the inial waste solution ore interesting, considering that soe pieces can be reused? In this paper, soe characteristics are defined in order to identify desirable solutions. Soe odifications on the classical FFD (First Fit Decreasing) heuristic are proposed in a way that cutting patterns with undesirable waste (i.e., not too sall, nor too large) are odified to get cutting patterns with sall waste or a piece big enough to be reused. Preliinary experients are proissing since they show that waste tends to be concentrated in few cutting patterns. Keywords: cutting stock proble, usable tri. 1. Introdução Os probleas de cortes são essenciais para o planejaento da produção e uitas indústrias, tais coo indústrias de papel, vidro, óveis, etalúrgica, plástica, têxtil, etc. Nessas indústrias, a redução dos custos de produção e a elhoria da eficiência estão, freqüenteente, associadas à utilização de estratégias adequadas de cortes. A iportância econôica e operacional de tais probleas, be coo a dificuldade de resolução e sua aplicabilidade e indústrias, despertara grandes interesses de pesquisadores da área de otiização cobinatória. Basicaente, os probleas de corte consiste e cortar peças aiores (objetos) disponíveis e estoque, produzindo u conjunto de peças enores (itens), co a finalidade de atender ua certa deanda, otiizando ua deterinada função objetivo que pode ser, por exeplo, iniizar o núero total de peças e estoque a sere cortadas, ou as perdas, ou custos das peças cortadas, etc. E geral, os probleas de corte estoque são forulados coo probleas de otiização linear inteira, o que os torna difíceis ou até eso ipossíveis de sere resolvidos coputacionalente. Deste odo, para resolver esses probleas, e 1961, Gilore e Goory [6] relaxara a condição de

2 27 a 3/9/5, Graado, RS integralidade sobre as variáveis e propusera u étodo eficiente de geração de colunas para a resolução do problea linear resultante, e que cada coluna gerada representa u padrão de corte. Ebora os probleas de corte de estoque seja clássicos na pesquisa operacional, principalente por constituíre aplicações de sucesso e indústrias, é cou pesquisadores na área defrontare-se co probleas práticos ainda não estudados, os quais são resolvidos de fora be rudientar. U destes probleas consiste e reaproveitar pedaços cortados, desde que não seja tão pequenos. Isto introduz ua udança no critério de qualificar ua solução rui, já que perdas grandes são inaceitáveis quando se objetiva a iniização de perdas. Neste trabalho, co a finalidade de resolver este problea, alguas características são definidas para ua solução desejável e alguas odificações no étodo heurístico clássico FFD são realizadas. Gradisar et al. [2], [3] e [4] objetivara e seus trabalhos a iniização das perdas, as não coputara coo perda pedaços grandes não utilizados. Para o desenvolviento deste trabalho, na Seção 2, apresentaos o problea de corte de estoque unidiensional que, por siplicidade, apenas u único tipo de objeto e estoque é considerado. Na Seção 3, o problea de corte de estoque co reaproveitaento das sobras de aterial é definido. Alguns étodos de resolução para este problea são tratados na Seção 4 e 5. Testes coputacionais são apresentados na Seção 6 e, finalente, na Seção 7 alguas propostas para a continuidade deste trabalho. 2. O problea de corte de estoque Os probleas de corte de estoque tê sido estudados por inúeros pesquisadores nas últias décadas. As pesquisas nesta área tê cainhado no sentido de desenvolver técnicas heurísticas adequadas, visto que os probleas são da classe NP-copletos e técnicas exatas, tais coo étodos de enueração iplícita e variantes (por ex. branch and cut, branch and price), são inviáveis para resolver probleas práticos que envolve várias dezenas de itens a sere produzidos. Probleas de corte de estoque unidiensional tê sido resolvidos por relaxação por prograação linear e, geralente, são probleas que envolve centenas de ilhares de variáveis de decisão, as co dezenas de restrições. Assi, na década de 6, vários trabalhos iportantes surgira, sendo que as odelagens ateáticas e os étodos de resolução de aior repercussão na literatura fora publicados por Gilore e Goory [5],[6] e [7], que são o étodo siplex co técnicas de geração de colunas. O problea de corte de estoque unidiensional, pode ser forulado coo: Suponha que e estoque haja u núero suficienteente grande de peças (barras, bobinas, etc), os quais chaareos de objetos, de u deterinado copriento L, e u conjunto de pedidos de barras enores de coprientos l i, i = 1,...,, os quais chaareos de itens. Cada ite i deve ser produzido de acordo co sua deanda d i, i = 1,...,. O problea consiste e produzir itens a partir do corte de peças e estoque de odo a atender a deanda, otiizando ua deterinada função objetivo. A forulação do odelo ateático para o problea de corte de estoque unidiensional, procede e duas etapas: Definir todos os possíveis padrões de corte (aneira coo u objeto e estoque é cortado para a produção de itens deandados); Definir o núero de vezes que cada padrão de corte é utilizado para atender a deanda. Considerando coo objetivo iniizar a perda total (outros objetivos são utilizados na literatura), o problea de corte de estoque pode ser odelado coo u problea de otiização linear inteiro: iniizar f ( x) = c1x1 + c2x c3 xn a1x1 + a2 x an xn = d sujeito a : (1.1) x j, j = 1,..., n e inteiro 171

3 27 a 3/9/5, Graado, RS que, e notação atricial, pode ser escrito coo: iniizar Ax = d sujeito a : (1.2) x e inteiro n e que cada coluna da atriz A R é u vetor associado a u padrão de corte: a j =(a 1j,a 2j,...a j ) e a ij é o núero de itens do tipo i no padrão de corte j. Qualquer solução do sistea linear (1.2), cujas coponentes seja inteiras e não negativas, fornece ua solução factível para o problea de corte de estoque. U fator que torna os probleas de corte difíceis, senão ipossíveis, de sere resolvidos coputacionalente é a condição de integralidade freqüenteente encontrada sobre as variáveis x j no odelo (1.2). Ua estratégia para contornar esta dificuldade é relaxar a condição de integralidade sobre as variáveis x j, e resolver o problea de otiização linear resultante pelo étodo siplex co geração de colunas, que fornece ua solução ótia contínua para o problea de corte de estoque. A técnica de geração de colunas foi proposta por Gilore e Goory [6] e consiste basicaente e, a cada iteração do étodo siplex, substituir u dos padrões básicos (coluna) por u novo padrão de corte (coluna) que elhora a solução básica atual. Tal padrão de corte (coluna), para o problea unidiensional, é deterinado resolvendo-se u problea da ochila. A partir da solução ótia do problea relaxado, que geralente não é inteira, deterina-se ua solução inteira para o problea de corte de estoque original. Esta solução inteira é deterinada por procedientos heurísticos que vê sendo desenvolvidos por vários pesquisadores na área: Wäscher e Gau [17], Poldi [14], Stadtler [16] entre outros. Na Seção 5, alguns desses procedientos heurísticos são apresentados. 3. Definição do problea O processo de corte de peças gera perdas que, eventualente, são descartadas (alguas indústrias pode reutilizar as perdas coo atéria pria) e, tipicaente, os étodos de solução busca iniizar perdas (objetivos alternativos pode ser definidos, as perdas baixas deve ser perseguidas). Nesses étodos, considera-se coo perda todo pedaço cortado que não seja u ite deandado. Poré, uitos probleas de corte adite reutilizar, para ua deanda futura, os pedaços não aproveitados. Ebora perdas baixas seja ainda u objetivo a ser perseguido, a possibilidade de reuso introduz ua udança no critério de seleção de ua solução. Ua alternativa para resolver este problea, seria planejar padrões de corte que concentrasse as sobras e poucos padrões e que fosse grandes suficientes para voltar ao estoque e sere utilizadas novaente. Desta fora, apresentaos o problea de corte de estoque unidiensional co reaproveitaento das sobras de aterial coo: c T x U conjunto de peças (itens) deve ser produzido a partir do corte de unidades grandes (objetos). São dados a deanda dos itens e as quantidades disponíveis dos objetos. A deanda deve ser atendida, cortando-se os objetos disponíveis, de odo que as perdas seja 'pequenas' ou 'suficienteente' grandes para retornar ao estoque. Definição 3.1: U pedaço cortado, que não seja u ite, de copriento suficienteente grande para ser reaproveitado é chaado sobra. Diferenteente dos probleas clássicos de corte, para os quais funções objetivos são be definidas (por exeplo, iniizar a perda total, núero de objetos cortados, custos, etc.), agora objetivaos perdas 'pequenas' ou 'suficienteente grandes', se que os objetivos anteriores seja descartados. Duas soluções co a esa perda total são, agora, diferenciadas. Para ua elhor copreensão do problea de corte de estoque co reaproveitaento das sobras de aterial, considere o seguinte exeplo, e que todo pedaço de taanho superior ou igual a 4 etros é considerado sobra (o taanho da sobra pode ser, por exeplo, o copriento do enor ite deandado). 172

4 27 a 3/9/5, Graado, RS Dados dos objetos e estoque: Dados dos itens deandados: Figura 3.1: Objetos e estoque a sere cortados. Figura 3.2: Itens deandados. Solução 1: Solução 2: Figura 3.3: Padrões de corte para a Solução 1. Figura 3.4: Padrões de corte para a Solução 2. Do ponto de vista da função objetivo perda total, as duas soluções são equivalentes pois tê a esa perda total igual a 5 etros. Para o problea de corte co reaproveitaento, a Solução 2 é preferível à Solução 1, pois concentra as perdas e u único objeto, superior a 4 etros, portanto ua sobra que pode ser utilizada novaente para atender deandas futuras. Na Solução 1, as perdas estão distribuídas entre os padrões, sendo inferiores a 4 etros e, portanto, descartadas. A solução 1 é ua solução indesejável, enquanto a solução 2 é ideal. Coo ua função objetivo para diferenciar tais soluções não é facilente descrita, qualificaos as soluções coo: Solução ideal: quando todos os padrões tivere perdas nulas, quase nulas ou, no áxio u padrão co sobra; Solução aceitável: quando alguns padrões apresentare perdas pequenas e alguns padrões apresentare sobras; Solução indesejável: quando vários padrões apresentare perdas (não sobras). Para a definição de ua perda pequena e ua sobra, utilizaos 2 parâetros (a sere fornecidos pelo usuário): β = Porcentage para perda áxia aceitável (βl: taanho da perda aceitável para ua barra de copriento L). δ = Taanho da sobra ínia aceitável. Isto é, u padrão cuja perda é enor do que βl ou aior do que δ é considerado aceitável. Co a finalidade de gerar u conjunto de padrões de corte ideais ou, pelo enos, aceitáveis, coo os apresentados na Solução 2, introduzios alterações na Heurística FFD. 4. Heurísticas Construtivas Nesta seção são apresentadas duas heurísticas de construção, be conhecidas na literatura, para se obter ua solução do problea de corte de estoque inteiro: FFD (First Fit Decreasing) e Gulosa. Ainda, para resolveros o problea de corte de estoque co reaproveitaento das sobras de aterial, ua odificação na Heurística FFD é apresentada juntaente co seu algorito. 173

5 27 a 3/9/5, Graado, RS 4.1. Heurística FFD A heurística FFD consiste e colocar o aior ite nu padrão de corte tantas vezes quanto for possível, ou seja, até que não haja ais espaço para colocar esse ite, ou até que sua deanda já tenha sido atendida (os itens aiores são colocados e prieiro lugar, pois são ais difíceis de sere cobinados). Assi, quando não for ais possível ou necessária a inclusão do aior ite, o segundo aior ite é considerado e assi por diante. Quando nenhu novo ite pode ser incluído, u padrão de corte é construído e repetido tantas vezes quanto possível, se que a deanda seja ultrapassada. Este procediento de gerar u bo padrão de corte e repeti-lo tantas vezes quanto possível é conhecido na literatura coo 'heurística de repetição exaustiva' (Hinxan [1]) e bastante epregado na área de corte e epacotaento. Para ais detalhes veja Poldi [14] Heurística Gulosa Outra aneira de construir u bo padrão de corte para a heurística de repetição exaustiva, é gerar u padrão de corte pela resolução do Problea da Mochila: axiizar z( x) = v x + v x sujeito 1 l 1x1 + l 2 x a xi ri l v x L, i = 1,..., e inteiros x (4.1) o qual te deandas atualizadas, r i, após o uso. Usualente, adota-se ν i = l i, i = 1,...,, de odo a axiizar o copriento utilizado (iniizar a perda). Para outros valores de v i veja Pillegi [13] Heurística FFD Modificada A Heurística FFD foi odificada co a finalidade de resolver o problea de corte de estoque co reaproveitaento de sobras. Basicaente a Heurística FFD Modificada consiste e aplicar a Heurística FFD para obter padrões de corte e, após gerado cada padrão, a perda/sobra é analisada. Se a perda/sobra estiver dentro de liitantes aceitáveis (definidos previaente), o próxio padrão de corte é considerado, caso contrário, u ite do padrão (o aior) é retirado. Assi, para a sobra gerada co a retirada do ite é aplicado o problea da ochila (4.1), cuja capacidade é a perda no padrão adicionada ao taanho do ite retirado. Depois de resolvida a ochila, a perda/sobra gerada é analisada e, se ainda não estiver dentro de liitantes aceitáveis, outro ite do padrão (segundo aior) é retirado. Novaente para a sobra gerada é resolvido o problea da ochila. Este procediento é repetido até que a perda/sobra esteja dentro dos liitantes definido coo aceitáveis ou a deanda seja totalente atendida. A heurística FFD foi utilizada coo base na foração de padrões de corte (ao invés da heurística gulosa), pois busca alocar prieiro os itens aiores (difíceis de sere cobinados), deixando o resto para a alocação co a heurística gulosa. A seguir o algorito da Heurística FFD Modificada é apresentado. Algorito FFD Modificada Início-do-Algorito Passo 1: {Inicialização} Ordene os itens deandados de acordo co o seu taanho, e orde decrescente: l l... l. 1 2 Passo 1.1: {Conjunto de parâetros} r i = d i, i=1,, { r i é a deanda residual, para todo i =1,,} D = r i i= 1 {Deanda residual total} 174

6 27 a 3/9/5, Graado, RS T = j = 1 tb e k k = 1 {Estoque total de objetos} {Prieiro padrão de corte} Passo 2: {Passo Pincipal: FFD Modificada} Enquanto (D >) e ( T > ) faça: {enquanto existir deanda a ser atendida e objetos e estoque} {Início-Enquanto 1} Passo 2.1: {Construção do padrão de corte: FFD} Para k = 1,..., K faça: {Início-Para k} Se e k > então Espaço = L k ; {A variável Espaço é o taanho disponível para alocação dos itens. Inicialente ela é igual ao copriento do objeto a ser cortado} i = 1 {ite a ser cortado} Enquanto (i ) e (Espaço l ) faça: {Início-Enquanto 2} Espaço α i = in, r k i l i {a k = (α 1k, α 2k,..., α nk,) T é o vetor associado co o padrão de corte} Espaço = Espaço - (α ik l ); i i = i + 1; {Fi-Enquanto 2} Resto k = L k - Espaço; {Fi- Se} Passo 2.2: {Testa a perda gerada pelo padrão} Se Resto k β L k ou Resto k δ então perda ou sobra gerada = aceitável; Senão {Altera padrões co perda indesejável} {Início-Senão} Enquanto x ik > para algu i faça: {início-enquanto 3} q = 1; Enquanto q faça: {Inicio-Enquanto 4} q = in {h tal que x hk >, h = 1,..., }; {q é o índice do ite a ser retirado} {se α hk =, h = q,...,, fi-enquanto 4} α qk = α qk 1; Resto = Resto k + l q ; Resolva o problea da Mochila de capacidade Resto: z( s) = axiizar l1s1 + l 2s l s l1s1 + l 2s l s Resto sujeito a si dri, i = 1,..., e inteiros {e que dr i =r i -α ik é a deanda residual atualizada} γ i k = α i k + s i, i = 1,,. {s i é o núero de itens do tipo i obtido pela Mochila e γ i é o núero de itens i no padrão} 175

7 27 a 3/9/5, Graado, RS Resto k = Resto z(s) {Resto do padrão γ}; Se Resto k β L k ou Resto k δ então Perda ou sobra = aceitável; Senão q = q + 1; {fi-enquanto 4} {fi-enquanto 3} {Fi-Senão} Se βl k <Resto k <δ faça: Retire u ite de aior índice do últio padrão γ até que Resto k δ; Resto k = Resto k + l ; α i k = γ i ; {Fi-Se} {Fi-Para k} i Passo 2.3: {deterinação do elhor padrão de corte e da freqüência co que é utilizado} Deterine h tal que: Resto k = in {Resto h, h = 1,..., K} {critério para escolher o padrão de corte do objeto k} Deterine o núero de vezes que o padrão é utilizado: r i x jk = in ek, αik >, i = 1,..., αik Passo 2.4: {atualiza a deanda e o estoque disponível} r i = r i - (α ik x jk), i = 1,, ; e k = e k j ik ; j = j + 1; {fi-enquanto 1} Fi-do-Algorito D = D α ; T = T ; i= 1 ik x jk x jk 5. Heurísticas de Arredondaento Heurísticas de Arredondaento são étodos para encontrar ua solução inteira para o problea de corte de estoque unidiensional (1.2) a partir da solução relaxada. Definição 5.1: Seja x ua solução ótia fracionária para relaxação do problea (1.2) e y u vetor de núeros inteiros próxio de x tal que: O vetor y é chaado de solução inteira aproxiada para x. Ay d (5.1) Ua aneira trivial de obteros y é arredondar x por u truncaento trivial: y = x x,..., ( 1, 2 x n ) o qual satisfaz (5.1) ua vez que todos os coeficientes de A são não-negativos e x satisfaz Ax = d. Definição 5.2: Seja y ua solução inteira aproxiada para x, e r = d Ay, a deanda residual. O problea residual é definido por: 176

8 27 a 3/9/5, Graado, RS iniizar c T x Ax = r sujeito a : (5.2) x e inteiro A atriz A dos padrões de corte e (5.2) difere da atriz A e (1.2), pois na geração dos padrões de corte e (5.2), o problea da ochila que gera cada coluna de A considera a deanda residual Heurísticas Residuais E oposição às heurísticas construtivas, que gera u bo padrão de corte e o utiliza à exaustão, as heurísticas residuais consiste e resolver o problea (1.2) relaxado, obter ua solução inteira aproxiada, resolver o problea residual relaxado resultante (5.2), obter ua solução inteira e assi por diante. A seguir, apresentaos ua estrutura geral dessas heurísticas. Algorito Residual (Poldi e Arenales [15]) Início-do-Algorito Passo 1: {Inicialização} Faça k =, r = d {r k arazena a deanda residual}. Passo 2: {Deterinação da solução ótia contínua} Resolva o problea residual (5.3); Seja x k a solução contínua (a técnica de geração de colunas é usada); Se x k é ua solução inteira, então PARE. Passo 3: {Deterinação da solução inteira aproxiada} Deterine ua solução inteira aproxiada y k para a solução aproxiada x k. Se y k é u vetor nulo, então PARE. Passo 4: {Atualização} Deterine a nova deanda residual r k+1 = r k - Ay k ; k = k + 1. Repita o Passo 2. Passo Final: Se o procediento parar no Passo 2, então a solução inteira para o problea (5.3) é obtida; caso contrário, ( se parar no Passo 3) resolve-se o problea residual final. Fi-do-Algorito Para que o algorito acia seja totalente definido, especificareos coo deterinar y k, solução inteira aproxiada no Passo 3, e coo resolver o problea residual no Passo Final. As heurísticas residuais FFD, Gulosa e FFD Modificada a seguir, apresenta no algorito residual o eso Passo 3, ou seja, a solução inteira aproxiada y k é deterinada por u truncaento trivial dado pelo inteiro inferior Heurística Residual FFD A heurística residual FFD consiste e aplicar a heurística residual (seção 5.1) e no Passo Final, se ainda houver deanda residual, aplica-se a heurística FFD (Seção 4.1). 177

9 27 a 3/9/5, Graado, RS Heurística Residual Gulosa A heurística residual Gulosa consiste e aplicar a heurística residual (seção 5.1) e no Passo Final, se ainda houver deanda residual, aplica-se a heurística Gulosa (Seção 4.2) Heurística Residual FFD Modificada A heurística residual FFD Modificada, desenvolvida co o objetivo de resolver probleas de corte de estoque co reaproveitaento das sobras de aterial, tabé consiste e aplicar a heurística residual (seção 5.1) e no Passo Final, se ainda houver deanda residual, aplica-se a heurística FFD Modificada (Seção 4.3). 6. Exeplo Nesta seção, apresentaos u exeplo pequeno de problea de corte de estoque co reaproveitaento das sobras de aterial. Alé da solução obtida pelas Heurísticas FFD Modificada e Residual FFD Modificada, apresentaos tabé a solução obtida pelas heurísticas FFD Pura e Residual FFD, visto que alterações e seus algoritos são realizadas. Apresentaos tabé a solução da Heurística Gulosa Pura e Residual Gulosa, pois são heurísticas co tendência de obter bons padrões de corte no início e no final, padrões que gera perdas grandes. Suponha que teos u estoque co K = 4 tipos de objetos e ua deanda co = 5 tipos de itens. A perda aceitável para este caso será de aproxiadaente.2% do objeto cortado e as sobra deverão ter copriento superior a 25 c. Os custos de estocar objetos não são considerados neste exeplo. Id Objeto Copriento (c) Estoque Tabela 1: Dados dos objetos disponíveis e estoque Solução da heurística FFD Pura Ite Taanho (c) Deanda Tabela 2: Dados dos itens deandados Id Objeto x Padrão de corte Perda (c) Sobra (c) Tabela 3: Solução obtida pela heurística FFD Pura 178

10 27 a 3/9/5, Graado, RS A solução apresentada pela heurística FFD Pura é considerada indesejável para o problea de reaproveitaento, pois co exceção do últio padrão, os deais apresenta perdas que não pode ser reaproveitadas. Solução da heurística FFD Modificada Id Objeto x Padrão de corte Perda (c) Sobra (c) Tabela 4: Solução obtida pela heurística FFD Modificada As alterações na heurística FFD Pura tornara a solução do problea aceitável, pois apenas duas perdas uito pequenas fora geradas. Observe que o prieiro padrão na tabela 3 foi exainado pela Heurística FFD Modificada, poré descartado, já que a perda de 5 c é inaceitável pela tolerância β =,2. Solução da heurística Gulosa Pura Id Objeto x Padrão de corte Perda (c) Sobra (c) Tabela 5: Solução obtida pela heurística Gulosa Pura Observe que a heurística Gulosa Pura obté bons padrões de corte no início e concentra as perdas aiores nos últios (fato conhecido). Poré, heurística FFD Modificada foi capaz de obter padrões elhores (Tabela 4). Solução da heurística Residual FFD Id Objeto x Padrão de corte Perda (c) Sobra (c) Tabela 6: Solução obtida pela heurística Residual FFD 179

11 27 a 3/9/5, Graado, RS A solução apresentada pela heurística Residual FFD apresenta uitas perdas que serão descartadas. Na Tabela 7 a seguir, podeos observar que depois de realizadas alterações no algorito original, as perdas se tornara quase nulas, elhorando a solução consideravelente. U fato cou que deveos observar nas soluções obtidas pelas heurísticas residuais (Tabelas 6, 7 e 8), são os prieiros padrões de corte gerados (são iguais), isto ocorre pelo fato de sere padrões obtidos pelo algorito residual (Seção 5.1). Os deais padrões de corte são gerados pelas heurísticas construtivas (Seção 4). Solução da heurística Residual FFD Modificada Id Objeto x Padrão de corte Perda (c) Sobra (c) Tabela 7: Solução obtida pela heurística Residual FFD Modificada Pela Tabela 7 observaos que a solução apresentada pela Heurística Residual FFD Modificada é quase ideal para o problea de reaproveitaento, pois apresenta apenas ua pequena perda. Solução da heurística Residual Gulosa Id Objeto x Padrão de corte Perda (c) Sobra (c) Tabela 8: Solução obtida pela heurística Residual Gulosa Meso não sendo específica para o problea de reaproveitaento, a solução da Heurística Gulosa Residual fornece ua solução próxia de aceitável, pois tende concentrar as perdas aiores nos últios padrões. 7. Conclusões e perspectivas Neste trabalho definios u problea de corte de estoque e que as sobras geradas pelo processo de corte são reaproveitadas para atender futuras deandas. Alterações e dois étodos heurísticos clássicos são apresentadas e experientos coputacionais preliinares sugere resultados proissores, sendo possível obter ganhos de qualidade quando coparados co étodos heurísticos clássicos para o problea de corte de estoque. Ua continuação deste trabalho, consiste e alterar outras heurísticas de aneira que se torne apropriadas para o problea de reaproveitaento. 8. Reconheciento Este trabalho contou co o apoio da FAPESP e CNPq. Bibliografia [1] ARENALES, M. N., MORABITO, R., HORÁCIO, H. Y., O Problea de Corte e Epacotaento, Livro-texto de Mini curso, XXXVI - Sipósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, São João del Rei - MG, (24). 171

12 27 a 3/9/5, Graado, RS [2] GRADISAR, M., JESENKO, J., RESINOVIC, C., Optiization of roll cutting in clothing industry. Coputers & Operational Research, 1: (1997). [3] GRADISAR, M., KLJAJIC, M., RESINOVIC, C., JESENKO, J., A sequential heuristic procedure for one-dientional cutting. European Journal of Journal of Operational Research, 114: (1999). [4] GRADISAR, M., RESINOVIC, C.,KLJAJIC, M., A hybrid approach for optiization of onedientional cutting. European Journal of Journal of Operational Research, 119: (1999). [5] GILMORE, P. C., GOMORY, R. E., A linear prograing approach to the cutting stock proble. Operations Research, 9: (1961). [6] GILMORY, P. C., GOMORY, R. E., A linear prograing approach to the cutting stock proble - Part II. Operations Research, 11: (1963). [7] GILMORY, P. C., GOMORY, R. E., Multi-stage cutting stock probles of two and ore diensions. Operations Research, 13: (1965). [8] HAESSLER, R. W., Controlling cutting pattern changes in one-diensional tri loss probles. Operations Research, 23: (1975). [9] HAESSLER, R. W., A note on coputational odifications to the Gilore-Goory cutting stock algorith. Operations Research, 28: (198). [1] HINXMAN, A., The tri-loss and assortent probles: a survey. European Journal of Operational Research, 5: 8-18 (198). [11] LIMEIRA, M. S., YANASSE, H.H., Ua heurística para o problea de redução de padrões de corte. Anais da V Oficina Nacional de Probleas de Corte e Epacotaento, São José dos Capos, SP, (21). [12] MORABITO, R., Probleas de corte e epacotaento. Livro-texto de Mini curso, Elavio, Montevidéu - Uruguai (24). [13] PILLEGI, G. C. F., Abordagens para otiização integrada dos probleas de geração e seqüenciaento de padrões de corte. Tese de Doutorado, ICMC USP, (22). [14] POLDI, K. C., Alguas extensões do problea de corte de estoque. Dissertação de Mestrado, ICMC - USP, (23). [15] POLDI, K. C., ARENALES, M. N., Dealing with sall deand in integer cutting stock probles with liited different stock lengths. Notas do ICMC - Série Coputação, 85, ICMC - USP (25). [16] STADTLER, H., A one-diensional cutting stock proble in the Aluiniu Industry and its solution. European Journal of Operational Research, 44: (199). [17] WÄSCHER, G., GAU, T., Heuristics for the integer one-diensional cutting stock proble: a coputational study. OR Spektru, 18: (1996). 1711