DETERMINAÇÃO DO NÚMERO ÓTIMO DE CLASSIFICAÇÕES IMPERFEITAS NA AVALIAÇÃO DA CONFORMIDADE DE PRODUTOS

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1 DETERMINAÇÃO DO NÚMERO ÓTIMO DE CLASSIFICAÇÕES IMPERFEITAS NA AVALIAÇÃO DA CONFORMIDADE DE PRODUTOS Roberto da Costa Quinino Departaento de Estatística ICEX UFMG E-ail: v.6, n.2, p , ago Eerson Carlos Colin Pedro Rodrigues Bueno Neto Departaento de Engenharia de Produção Escola Politécnica USP E-ail: Resuo Neste trabalho estudaos o núero ótio de classificações independentes por unidade produzida supondo que haja dois tipos de erro: o tipo I, no qual classifica-se u produto coo não-confore quando ele na realidade é confore; e o tipo II, no qual classifica-se u produto coo confore quando na realidade é não-confore. Desenvolveos u odelo econôico para iniizar o custo édio total e função dos erros de classificação e do custo de cada classificação. Pela coplexidade da função-objetivo associada ao odelo, utilizaos u procediento exaustivo de busca juntaente co u liitante superior do valor ótio. Todo o procediento coputacional teve ua ipleentação relativaente siples e está disponível coo ua planilha eletrônica do Excel e u código do software estatístico Minitab. Palavras-chave: qualidade, controle por atributos, conforidade, classificações repetidas, erro de classificação, iniização, custo édio total. 1. Introdução T estes para verificação da qualidade por atributos constitue parte iportante da aioria dos processos produtivos. São priordiais especialente quando os processos apresenta características de incontrolabilidade ou o produto final é coposto de diversos coponentes. Coo exeplo de processos e que sepre há verificação de atributos, podeos citar a

2 88 Quinino, Colin, Bueno Neto Deterinação do Núero Ótio de Classificações pintura de autoóveis, a anufatura de circuitos integrados, a fabricação de discos rígidos para coputador e o teste de conjuntos ontados coo veículos e autopeças. Os testes de qualidade constitue-se da classificação de cada produto fabricado e confore ou não-confore. Estes são noralente realizados supondo que o sistea de classificação é perfeito, apesar de ne sepre poderos considerar essa hipótese coo verdadeira. Alé disso, estaos supondo que as classificações não são destrutivas. BURKE et al. (1995) e GRAMOPADHYE et al. (1996) arguenta que os erros estão longe de sere considerados desprezíveis e uitas tarefas de classificação e pode coproeter seriaente o processo de avaliação da qualidade por atributos. JOHNSON et al. (1991) apresenta nuerosos estudos e que verifica que os erros de classificação influencia seriaente o processo da avaliação da qualidade por atributos. Neste trabalho trataos de testes cujas classificações pode apresentar erros. Estaos considerando que dois tipos de erros são possíveis: u é o erro de classificação tipo I, no qual classifica-se u produto coo não-confore sendo na realidade confore; outro é o erro de classificação tipo II, no qual classifica-se u produto coo confore sendo na realidade nãoconfore. Dessa fora, os testes pode indicar u falso controle da qualidade por atributos. A questão aqui será de coo elhorar o desepenho dos testes de qualidade pela diinuição da influência dos erros de classificação. Ua estratégia que propoos para resolver o problea apresentado é realizar ( 0 e inteiro) classificações independentes por produto fabricado e considerar coo classificação final do produto a aioria dos resultados obtidos. Tal procediento, apesar de intuitivo, pode ser inviável econoicaente. Essa inviabilidade, confore vereos adiante, vai depender de ua ponderação entre quanto custa cada classificação, cada envio de produto não-confore para o ercado e cada produto julgado erroneaente não-confore. Sendo assi, há necessidade de u odelo que indique qual o núero ótio de classificações independentes repetidas no sentido econôico. GREENBERG & STOKES (1995) apresenta u odelo particular, no qual deterina o núero ótio de classificações repetidas considerando apenas a presença do erro tipo I. A hipótese do odelo iplica que o coprador só recebe produtos realente confores e a preocupação da epresa produtora é focada e diinuir o núero de produtos julgados nãoconfores erradaente. Consideraos que esta preissa não é válida para a aioria dos processos produtivos, ua vez que o erro tipo II é constatado tecnicaente nas usuais reclaações dos copradores. Sua agnitude é considerada coo diferencial iportante na seleção de ua epresa produtora. Neste trabalho apresentaos u odelo para deterinação do núero ótio de classificações repetidas independentes dos produtos fabricados, considerando a possibilidade dos erros tipo I e tipo II, e que alé disso, pode ser facilente ipleentado na prática. O restante do trabalho é dividido e três seções. A seção 2 descreve o odelo probabilístico adequado. Na seção 3, discutios o odelo de custo para deterinação do núero de classificações repetidas independentes e derivaos u liitante superior para deterinação do núero ótio de classificações repetidas. Ua aplicação nuérica co ipleentação coputacional do odelo proposto é apresentada na seção 4. Finalizaos o trabalho co alguas discussões que pode ser relevantes para novas aplicações e trabalhos futuros. 2. Modelo Probabilístico C onsidere ua classificação de n produtos e confores e não-confores. Seja p a probabilidade de que u produto qualquer seja fabricado confore, e 1 a probabilidade de que u produto confore seja classificado coo não-confore e ua única classificação e e 2 a probabilidade de que u produto não-confore

3 GESTÃO & PRODUÇÃO v.6, n.2, p , ago Processo de fabricação p 1 p Confore Não-confore Inspeção Inspeção 1 e 1 e 1 e 2 1 e 2 Confore Não-confore Confore Não-confore Figura 1 Árvore de eventos das probabilidades consideradas. seja classificado coo confore e ua única classificação. A Figura 1 ostra ua árvore de eventos para facilitar a visualização destas probabilidades. Suponha que cada u dos n produtos seja classificado independenteente vezes. Considere C ij (i=1,...,n; j=1,...,) coo ua variável 0-1, correspondente ao ij-ésio evento, isto é, a j-ésia classificação do i-ésio produto; C i tabé ua variável 0-1, correspondente à classificação final do i-ésio produto após as classificações independentes. Por exeplo, C 23 =1 significa que na terceira classificação independente o produto 2 foi considerado confore e C 3 =1 significa que o produto 3 foi considerado confore após as classificações independentes. Observe a Tabela 1 para ua elhor visualização. Neste abiente, estareos considerando que o i-ésio produto será julgado confore, C i =1, se e soente se C > 0,5 ( i = 1,..., n). Caso j = 1 ij contrário será julgado não-confore (C i =0). Observe que e caso de epates nas classificações repetidas, possível quando é par, o critério de decisão favorece o coprador evitando o erro tipo II, considerado neste trabalho, e teros de custos, ais sério que o erro tipo I. A probabilidade de C i =1 pode ser expressa por: Pr i = ij 1,..., j = 1 [ C 1] = Pr C > 0,5, i = n. (2.1) Suporeos que os resultados tipo Bernoulli C i são independentes e identicaente distribuídos. Definindo E i (i=1,...,n) coo ua variável 0-1, correspondente ao estado real de fabricação do i-ésio produto e utilizando o teorea da probabilidade total podeos expressar Pr[C i =1] da seguinte fora: Pr [ C 1] = Pr[ E = 1]Pr[ C = 1 / E i = i i i = 1] + + Pr[ Ei = 0]Pr[ Ci = 1 / Ei = 0] 0,5 =p e x e x + 1 x (1 1 ) 1 x= 0 0,5 p + (1 ) 1 e x e x 2 (1 2) x x= 0 onde o tero Pr[a/b] indica a probabilidade condicional de a dado b e l = 0,5 indica o aior inteiro inferior ou igual a 0,5. Utilizando a notação B[a;b;c] para ua Função Distribuição Binoial, co parâetros a e b, calculada no ponto l, teos [ C i = 1] = p( 1 B[ ;(1 e ); l] ) 1 p )( 1 B[ ; e ; l] ) Pr (2.2) ( 2 Para situações reais é razoável assuir que e 1 < 0,5 e e 2 < 0,5. BURKE et al. (1995) e GRAMOPADHYE et al. (1996) arguenta que e 1 0,25 e e 2 0,25 são as situações plausíveis de sere encontradas na prática. Assi sendo, o cresciento de faz decrescer a

4 90 Quinino, Colin, Bueno Neto Deterinação do Núero Ótio de Classificações Tabela 1 Classificação de n produtos, vezes cada. Produto Classificações (C ij ) Classificação final (C i ) C 11 C 12 C C 1 C 1 2 C 21 C 22 C C 2 C 2 3 C 31 C 32 C C 3 C 3 h h h h h h n C n1 C n2 C n3... C n C n probabilidade de julgaentos equivocados sobre a conforidade ou não dos produtos. Neste sentido, co o auento de, o núero de produtos considerados confores converge para a proporção de produtos fabricados confores, coo podeos observar na proposição 1. Proposição 1. Co o auento de, o núero de produtos classificados confores converge para a proporção de produtos fabricados confores. Deonstração. A deonstração pode ser realizada pela aproxiação da distribuição Binoial pela distribuição Noral. Assi, teos: Li Pr l (1 e ) e1 (1 e1 ( l e 2) + (1 p ) 1 Φ e2 (1 e2) 1 [ C = 1] = p pφ + i + ) Li Pr + [ C = 1] = p- pφ[- ] + (1 p)(1 Φ [ + ]) = p i onde Φ[ ] indica função distribuição Noral padrão. 3. Modelo para Miniização de Custos C onsidereos c 0 o custo de classificar u produto ua única vez, c 1 o custo de erroneaente julgar u produto confore coo não-confore e c 2 o custo de julgar erroneaente u produto não-confore coo confore. Se não houver classificações (=0), o custo édio total (E ) será definido coo E ( p, e = c, =0. (2.3) 1, e2 ) n(1 p) E últia análise, estaos considerando que toda a produção é confore e por conseqüência soente o erro tipo II pode estar presente. O núero édio de produtos não-confores no ercado será n(1 p). Já para n produtos, cada u classificado vezes ( 1 e inteiro), podeos expressar o custo édio total (E ) coo E 1 2 ) 0 E ( p, e, e = nc + +n Pr[ E = i 2 i 1] Pr[ Ci = 0 / E = 1] c1 + + n Pr[ E i = 0] Pr[ Ci = 1 / Ei = 0] c [ ;(1-e1 l] + ( 1 B[ ; e ; l] ) c, 1 ( p, e c 1, e2) = nc0+npb ); 1 + n ( 1 p) 2 2 (2.4) onde B[;(1 e 1 );l] = F 1 representa a probabilidade de considerar erroneaente u produto confore coo não-confore e 1 B[;e 2 ;l] = F 2 representa a probabilidade de considerar u produto não-confore coo confore. 2

5 GESTÃO & PRODUÇÃO v.6, n.2, p , ago Vaos supor que seja o ótio e que os válidos pertença ao conjunto dos inteiros positivos (Z + =0,1,...). O problea que estaos considerando se reduz a deterinar o que satisfaça a equação (2.5) ou seanticaente, o cujo custo édio total (E ) seja ínio, considerando todos os válidos. Podeos observar que o valor de independe de n. h = arg in { E( p, e 1, e2)} Z + (2.5) E teros operacionais, prieiraente encontraos o * 1 que iniiza (2.4). E seguida coparaos in E 1 (p,e 1,e 2 ) co E =0 (p,e 1,e 2 ). Se in E 1 (p,e 1,e 2 ) for aior ou igual a E =0 (p,e 1,e 2 ) então = 0. Caso contrário = *. Sendo assi, a grande dificuldade está centrada e se deterinar *. Nos desenvolvientos que se segue, reduzireos o núero de candidatos aptos para *, gerando conseqüenteente condições para deterinar. Para probabilidade de erros de inspeção uito pequena, não é interessante haver inspeções repetidas. Ebora intuitivaente correto, forneceos a prova abaixo ostrando a validade de nosso odelo. Proposição 2. Se as probabilidades dos erros de classificação são uito pequena, ou seja, e 1,e 2 0, então * = 1. Deonstração. Coo E (p,e 1,e 2 ) E * (p,e 1,e 2 ) 0 e 0 F 1,F 2 1, utilizando (2.4) podeos encontrar que c 0 ( * ) 0, e por conseqüência, o único * que satisfaz a equação é * = 1. E princípio, desejaríaos encontrar ua fora analítica para que satisfizesse a equação (2.5) e fosse facilente ipleentável coputacionalente. Tentaos utilizar diversos procedientos convencionais de otiização, entretanto se sucesso. E grande parte, a dificuldade acontece devido a equação (2.5) ser definida para valores inteiros de. Alé disso, o liite do soatório presente nos cálculos de F 1 e F 2 é função de. Ua solução possível seria escrever de F 1 e F 2 coo ua função beta incopleta. Tal procediento provocaria a necessidade de técnicas sofisticadas de cálculo nuérico co a conseqüente dificuldade de ipleentação coputacional. Tudo isto nos levou a tentaros desenvolver procedientos exaustivos de busca para a localização do que iniizasse a equação (2.4) e possibilitasse ua ipleentação coputacional siples. Por sua característica intrínseca, os procedientos exaustivos deve trabalhar juntaente co liitantes, fazendo co que a busca se processe e u intervalo finito de pontos. Diversos liitantes são possíveis de sere gerados, dependendo das hipóteses assuidas co relação ao odelo e seus parâetros. A proposição 3 abaixo fornece u liitante bastante aberto, no sentido de que nenhua hipótese foi considerada na sua elaboração. Proposição 3. Suponha que * é o que iniiza (2.4). U liitante superior pode ser definido coo * + ( pc + (1 p) c ) / c. (2.6) Deonstração. Pelo exae de E (p,e 1,e 2 ) * E (p,e 1,e 2 ) 0, e após alguas anipulações algébricas co a equação (2.4), podeos obter * * * + ( pfc (1 p) F2 c2 pf1 c1 (1 p) F2 c2)/ c0. Considerando que 0 F 1,F 2 1, podeos chegar a * 1 + (pc 1 + (1 p)c 2 ) / c 0. Das expressões (2.3), (2.4) e (2.6) podeos elaborar ua seqüência de toada de decisão. Se pc 1 + (1 p)c 2 < c 0 e c 0 > (1 p)c 2 (1 e 2 ) pc 1 e 1 então = 0. Se pc 1 + (1 p)c 2 < c 0 e c 0 (1 p)c 2 (1 e 2 ) pc 1 e 1 então = 1. Agora, se pc 1 + (1 p)c 2 c 0 deveos calcular E (p,e 1,e 2 ) para todos os valores de, co a restrição de que 1 + (pc 1 + (1 p)c 2 ) / c 0, e considerar o valor de que iniiza E (p,e 1,e 2 ). Para u elhor entendiento ostraos na Figura 2 o fluxograa do processo de toada de decisão.

6 92 Quinino, Colin, Bueno Neto Deterinação do Núero Ótio de Classificações Início não Verifique se pc ( c < c + 1 p ) si Calcule p, e 1, e ) E ( 2 para 1+ ( pc1 + (1 p) c2 )/ c0 Obtenha o que torna E ( p, e 1, e2 ) í ni o. h Faça ser igual a este valor. c Verifique se 0 > ( 1 p ) c2 ( 1 e 2 ) pc1e1 si não h = 0 = 1 h Fi Figura 2 Fluxograa do processo de decisão. 4. Aplicação Nuérica O exeplo descrito a seguir foi baseado e GREENBERG & STOKES (1995). Considere ua epresa que fabrica 1000 Circuitos Integrados (CI) por dia. Toda a produção é testada e cada CI é classificado coo confore ou não-confore. Sabe-se, por eio de experiências práticas, que a classificação de CI pode apresentar erros. Seja p = 0,95 a probabilidade de que u CI seja fabricado confore, e 1 = 0,1 a probabilidade de que u CI confore seja classificado coo não-confore e ua única classificação e e 2 = 0,1 a probabilidade de que u circuito integrado não-confore seja classificado coo confore e ua única classificação. Os responsáveis pelo setor de planejaento e produção considera priordial deterinar o núero ideal de classificações repetidas independentes () para os circuitos integrados coo fora de iniizar o custo édio total da produção diária. Para tanto, considera c 0 = $1,00, c 1 = $80,00 e c 2 = $120,00. Para o cálculo de h realizaos ipleentação coputacional no Excel e no software estatístico Minitab. A ipleentação no Excel é relativaente fácil e não necessita conhecientos profundos. A Figura 4 do anexo 1 ostra o layout da planilha utilizada. A ipleentação no Minitab foi realizada pela elaboração de u prograa cujo resultado final é o valor de. A Figura 5 do anexo 2 descreve o prograa e sua utilização. A utilização do Excel e/ou do Minitab forneceu o liitante 0,83 gerando o ótio ( ) igual a 3. O custo édio total foi de $5296,00. Observe que o procediento tradicional de classificar soente ua única vez produz u custo édio total de $9200,00. A Figura 3 ostra o coportaento de E (p,e 1,e 2 ), 0. A tendência observada na Figura 2 continua para valores de superiores a Conclusão e Considerações Finais E controle por atributos, os erros de classificação pode causar u significativo

7 GESTÃO & PRODUÇÃO v.6, n.2, p , ago custo édio total versus custo édio total Figura 3 Custo édio total versus. ipacto nas conclusões sobre a qualidade do processo de produção e conseqüenteente auentar o custo édio total de todo o processo. Coo fora de contornar o problea sugerios realizar, independenteente, ais de ua classificação por produto fabricado considerando coo classificação final do produto a aioria dos resultados obtidos. Tal procediento ostrou-se capaz de gerar econoias sensíveis. Para tanto, construíos u odelo de iniização dos custos envolvidos. Este ostrounos ser bastante adequado. Alé de ser interpretável, possibilitou a deterinação de u liitante para o valor que iniiza o custo édio total. Constataos que todo o processo coputacional pode ser resolvido pela ipleentação coputacional siples e co isso tornar-se ua alternativa operacional e padronizada para o processo de produção. As possibilidades de derivações deste trabalho são uitas. Prieiraente podeos generalizá-lo para o caso de atributos últiplos. E segundo lugar, o critério de classificação final dos produtos fabricados pode ser apliado para j= 1 C ij > a, i = 1,...,n e 0 a 1. Isto gera ua nova função-objetivo para o custo édio total e torna desnecessária as hipóteses e 1 < 0,5 e e 2 < 0,5. Neste sentido, a iniização do custo édio total dependerá de e a. Finalente podeos considerar p, e 1 e e 2 desconhecidos e tratá-los via processo inferencial. Neste sentido, podeos considerar a estatística bayesiana a postura ais adequada. GABA & WINKLER (1992) apresenta ua inferência bayesiana dos parâetros p, e 1 e e 2.

8 94 Quinino, Colin, Bueno Neto Deterinação do Núero Ótio de Classificações Anexo 1 Figura 4 Planilha Excel para deterinação do ótio.

9 GESTÃO & PRODUÇÃO v.6, n.2, p , ago Anexo 2 Utilize u editor de texto para escrever o arquivo cr.ac. Salve-o, e forato ascii (texto), no diretório tbwin. Entre no software Minitab. Execute o coando %cr. Siga as instruções que aparecere na tela. Linhas de Coando gacro cr note Entre, apertando enter apos cada entrada, note o Custo c0, c1, c2, p, (1-e1), (1-e2) e n read 'terinal'c100; nobs 7. end let k1= c100(1) let k2= c100(2) let k3= c100(3) let k4= c100(4) let k5= c100(5) let k6= c100(6) let k6=1-k6 let k7= c100(7) let k8=((k4*k2+(1-k4)*k3)/k1)+0.5 round k8 k8 do k9=1:k8 let k10=k9/2 cdf k10 k11; bino k9 k5. cdf k10 k12; bino k9 k6. Let k12=1-k12 let c1(k9)=k11 let c2(k9)=k12 enddo set c3 1:k8 end let c4=k7*c3*k1+k7*k4*c1*k2+k7*(1-k4)*c2*k3 let k11=k7*(1-k4)*k3 stack 0 c3 c3 stack k11 c4 c4 sort c3 c5; by c4. note O valor de otio e: let k12=c5(1) print k12 note O custo total esperado ser: in c4 endacro Explicação Ativa o odo de prograação de acros Entrada dos seguintes valores: c 0 o custo de classificar u produto ua única vez. c 1 custo de erroneaente julgar u produto confore coo não-confore c 2 custo de julgar erroneaente u produto nãoconfore coo confore. p proporção de produtos fabricados confores. (1 e 1 ) probabilidade de classificar u produto confore coo confore. (1 e 2 ) probabilidade de classificar u produto não-confore coo não-confore. n núero de produtos fabricados. Calcula o liitante para *. Calcula os valores de E, 0. Calcula o valor de e o custo correspondente. Figura 5 Prograa Minitab para deterinação do ótio.

10 96 Quinino, Colin, Bueno Neto Deterinação do Núero Ótio de Classificações Referências Bibliográficas BURKE, J.R. et al.: The effect of inspector errors on the true fraction non-conforing: an industrial experient, Quality Engineering, 7, pp , GRAMOPADHYE, A.K. et al.: Copensating for Inspection Errors in Attribute Inspection, Quality Engineering, 8(2), pp , GREENBERG, B.S. & STOKES, S.L.: Repetitive testing in the presence of inspection errors, Technoetrics, 37(1), pp , GABA, A. & WINKLER, R.L.: Iplications of errors in survey data: a bayesian odel. Manageent Science, 38(7), pp , JOHNSON, N.L.; KOTZ, S. & WU, X.: Inspection errors for attributes in quality control, London, Chapan &Hall, DETERMINATION OF THE OPTIMAL NUMBER OF IMPERFECT CLASSIFICATIONS IN THE EVALUATION OF THE CONFORMITY OF PRODUCTS Abstract In this study we investigate the optial nuber of independent classifications per unit produced when there are two types of classification errors: type I, where product is classified as conforing when it is not in reality, and type II, where product is classified as non-conforing when in reality it is conforing. We developed an econoic odel to iniize the total ediu cost as a function of the classification errors and the cost of each classification. Due to the coplexity of the objective function associated to the odel, we used an exhaustive procedure with an upper bound of the optial value. The procedure ay be ipleented easily and is available either as an Excel spreadsheet or as a acro of the statistical software Minitab. Key words: quality, control of attributes, confority, repeated classifications, isclassification, iniization, total ediu cost.