Jaqueline Terra Moura Marins Banco Central do Brasil. Eduardo Saliby Coppead/UFRJ

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1 SIMULAÇÃO MONTE CARLO DO RISCO DE CRÉDITO DE CARTEIRA: O USO CONJUNTO DA AMOSTRAGEM POR IMPORTÂNCIA COM AMOSTRAGEM DESCRITIVA NO MODELO CREDITMETRICS SIMPLIFICADO Jaqueline Terra Moura Marins Banco Central do Brasil Eduardo Saliby Coppead/UFRJ Resuo A Siulação Monte Carlo é epregada e alguns dos principais odelos de estiação do risco de carteiras de crédito, tal coo o CreditMetrics (Gupton, Finger e Bhatia, 1997). Coo e qualquer aplicação Monte Carlo, a siulação por este odelo produz estiativas iprecisas. A fi de elhorar a precisão, outras técnicas de aostrage e siulação que não a tradicional torna-se indispensáveis. A Aostrage por Iportância (AI) já foi epregada co sucesso por Glasseran e Li (2005) e ua versão ais siples do CreditMetrics, na qual soente o risco de default é considerado. Utilizando-se essa esa versão, busca-se, neste artigo, elhorar a precisão obtida pela AI. Para tal, a AI é aqui cobinada co a Aostrage Descritiva (AD), a qual consiste e ua outra técnica poderosa de redução de variância e siulação. A AI cobinada co a AD ostrou-se eficiente na obtenção de estiativas ais precisas do que a AI padrão. Palavras-chave: risco de crédito, Aostrage por Iportância e Aostrage Descritiva. Abstract Monte Carlo siulation is ipleented in soe of the ain odels for estiating portfolio credit ris, such as CreditMetrics (Gupton, Finger and Bhatia, 1997). As in any Monte Carlo application, credit ris siulation according to this odel produces iprecise estiates. In order to iprove precision, siulation sapling techniques other than the traditional one becoe indispensable. Iportance Sapling (IS) has already been successfully ipleented by Glasseran and Li (2005) on a siplified version of CreditMetrics, in which only default ris is considered. This paper tries to iprove even ore the precision gains obtained by IS over the sae siplified CreditMetrics odel. For this purpose, IS is here cobined with Descriptive Sapling (DS), another siulation technique which has proved to be a powerful variance reduction procedure. IS cobined with DS was successful in obtaining ore precise results for credit ris estiates than its standard for. Keywords: credit ris, Iportance Sapling and Descriptive Sapling. [714]

2 1. INTRODUÇÃO Os ercados financeiros e as instituições reguladoras undiais, representadas e sua aioria por bancos centrais, voltara grande parte de sua atenção na últia década para etodologias de avaliação do risco de crédito, haja vista os efeitos dos acordos de Basiléia sobre exigência de capital para os bancos cobrire risco de crédito de suas carteiras. A abordage estrutural da KMV Corporation, o CreditRis+ do banco Credit Suisse First Boston, o CreditPortfolio View da consultoria McKinsey e o CreditMetrics do banco JP Morgan são etodologias de avaliação de VaR de risco de crédito de carteira desenvolvidas nos últios anos pela indústria financeira 1. Alguas dessas etodologias fornece soluções analíticas e outras soluções estiadas por siulação. O presente trabalho não entra no érito de julgar os odelos apresentados, liitando-se a escolher o CreditMetrics coo etodologia de siulação do VaR de crédito 2. O processo de siulação Monte Carlo utilizado no CreditMetrics pode ser apriorado co o uso técnicas de redução de variância, as quais busca gerar estiativas ais precisas para o parâetro a ser siulado. Este trabalho te coo objetivo aplicar tais técnicas no odelo CreditMetrics, para fazer ua avaliação do desepenho das técnicas no que diz respeito à geração de estiativas ais precisas do que as obtidas pelo étodo tradicional de siulação. É utilizada ua versão siplificada do CreditMetrics para a realização da siulação, apresentada e Glasseran (2004) e e Glasseran e Li (2005), onde soente o risco de default é considerado. O instruento de análise é ua carteira teórica forada por títulos/epréstios eitidos por diferentes epresas, e sujeita a risco de default por parte de seus eissores. A técnica de redução de variância aqui avaliada é a Aostrage por Iportância, por ser esta ua técnica apropriada para se tratar eventos raros, coo é o caso dos eventos de default dos eissores da carteira. A técnica da Aostrage Descritiva 3, por ter se ostrado ais eficiente do que outras técnicas de siulação, tabé é analisada e associação à Aostrage por Iportância. A Aostrage por Iportância ostrou-se essencial para a obtenção das estiativas de risco de crédito por siulação, ua vez que os eventos de default aqui considerados, por não sere freqüentes, dificultava que observações do experiento fosse geradas pelo étodo tradicional de aostrage. Alé disso, esta técnica gerou ganhos de precisão e relação à siulação tradicionalente epregada no CreditMetrics, sendo ainda obtidos ganhos adicionais quando a Aostrage por Iportância foi cobinada co a Aostrage Descritiva. Na seção 2, é descrito o odelo de siulação de risco de crédito aqui utilizado, baseado na versão siplificada do CreditMetrics. Tabé é apresentada a etodologia epregada para se aplicar a técnica da Aostrage por Iportância, na sua fora padrão e na fora cobinada co a Aostrage Descritiva. Os principais resultados da siulação e as conclusões são apresentados respectivaente nas seções 3 e METODOLOGIA 2.1 O Modelo de Siulação Monte Carlo de Risco de Crédito: CreditMetrics Siplificado O odelo de siulação epregado neste trabalho utiliza ua versão siplificada do CreditMetrics e apresentada e Glasseran (2004) e Glasseran e Li (2005). No CreditMetrics 1 Ua descrição e coparação dessas etodologias encontra-se e Crouhy, Galai e Mar, 2000 e e Gordy, Gupton, Finger and Bhatia (1997). 3 Saliby (1990). [715]

3 original, o objetivo é estiar a distribuição do valor futuro da carteira diante de udanças no rating de crédito de seus eissores. Na versão siplificada, o foco é a distribuição de perdas futuras e decorrência de default dos eissores. Ou seja, o default é ua das várias categorias possíveis de rating de crédito na versão original, enquanto que, na versão siplificada, os resultados possíveis são apenas default e não default. Alé disso, nos cenários de default do CreditMetrics siplificado, supõe-se que a perda seja total (100% da exposição), ao passo que, na versão original, o percentual de perda depende da taxa de recuperação, que, por sua vez, é ua variável aleatória co distribuição de probabilidade do tipo Beta. Por fi, no CreditMetrics original, os cenários de rating de crédito de cada eissor são extraídos de ua distribuição Noral, enquanto que na versão siplificada, cada eissor te seus cenários extraídos de ua distribuição Bernoulli co ua dada probabilidade de sucesso (default). O odelo de siulação de risco de crédito baseado no CreditMetrics siplificado e utilizado neste trabalho objetiva então gerar a distribuição aostral das perdas futuras de ua carteira e decorrência de eventos de default de seus eissores e, a partir disso, estiar a probabilidade de ocorrere níveis de perda superiores a u valor pré-deterinado. A Figura 1 abaixo ilustra elhor a idéia. Figura 1: Distribuição das perdas futuras (L) de ua carteira teórica forada por títulos e epréstios eitidos por diferentes eissores. Probabilidade P(L>x) x L Onde: = quantidade total de eissores; Y = indicador de que o -ésio eissor entre e default dentro do horizonte de tepo considerado (1 ano); c = exposição do -ésio eissor ( = 1,...,); p = Prob(Y =1) = probabilidade individual ou arginal de default do -ésio eissor; L = Perda Total da Carteira = * c Y ; x = perda-liite; Y ~ Bernoulli(p ). = 1 [716]

4 Confore sugerido e Glasseran e Li (2005), para siplificar a análise, c e p serão considerados constantes e deterinisticaente dados por: c ( 5 ) 2 = (1) 16 pi p = sen o, (2) onde pi é o valor ateático 3, A dependência entre os eissores neste odelo de siulação de risco de crédito é introduzida por eio do Modelo de Cópula Noral, que é aplaente usado e associação ao CreditMetrics 4. Na Cópula Noral, os eventos de default (Y = 1) são associados a variáveis latentes X da fora abaixo: Y = { X > x } (3), 1 onde cada x é escolhido de fora a corresponderà p. As variáveis latentes X possue distribuição Noral padrão e estão associadas a fatores de risco (Z) couns a todos os eissores, confore odelo abaixo: X = a b * ε, (4) 1 * Z ad * Zd + onde: a,j = peso do fator j para o eissor, co j = 1,...,d e = 1,...; Z i (fator cou de risco sisteático) ~ N(0,1), co i = 1,...,d; ε (fator de risco idiossincrático) ~ N(0,1); a a 1; 1 d 2 2 ( a + a ) b = d, para que X seja N(0,1). Os fatores de risco sisteático, por sere couns a todos os eissores, introduze ua correlação entre as variáveis latentes X, que deterina a dependência entre Y e, conseqüenteente, entre os eissores. Esses fatores pode, por exeplo, representar riscos específicos de ua indústria ou região geográfica. Os scripts de siulação são desenvolvidos e MatLab 6.1. O experiento de siulação é coposto por 40 corridas de 1000 observações cada. É considerada ua carteira forada por títulos/epréstios de renda fixa teoricaente eitidos por 20 diferentes instituições (=20). Cada eissor está sujeito a 10 diferentes fatores de risco (d=10), fatores estes couns a todos os 20 eissores. O nível de perda-liite (x) escolhido é de 35 unidades onetárias (ou cerca de 20% da perda total possível), de fora a proporcionar ua probabilidade uito baixa de ocorrência do evento L>x. 4 Kang e Shahabuddin (2005) usa tabé a t-cópula para aplicar a AI à siulação da Prob(L>x). Na t-cópula, as variáveis latentes X possue distribuição ultivariada t-student, ao invés da distribuição Noral. [717]

5 2.2 A Aostrage por Iportância De acordo co a etodologia acia descrita, a Prob(L>x) é a variável de saída do odelo de siulação. Obter ua edida precisa desta probabilidade não é ua tarefa fácil quando se lida co baixas probabilidades de default dos eissores e co elevados níveis de perda-liite, já que o problea se torna ua siulação de evento raro. Neste contexto, a técnica da Aostrage por Iportância (AI), que basicaente torna eventos raros enos raros (ou, equivalenteente, ais freqüentes), be se adequa ao problea de siulação e questão. A aplicação da AI ao odelo de siulação CreditMetrics aqui epregado exigiria ua elevação das probabilidades de default dos eissores (de p para q, sendo q >p ), de odo a tornar os eventos L>x ais freqüentes. Esses eventos seria assi deslocados para ua região de iportância e a estiação por siulação da Prob(L>x) seria realizada sobre essa nova região 5. Obviaente, há que ser feito o retorno ao problea original de siulação e, para tal, seria necessário o uso da chaada razão de verossiilhança, a qual relaciona a distribuição original dos eventos de default (Bernoulli(p)) à nova distribuição (Bernoulli(q)). A expressão abaixo representa a idéia geral da estiação da édia de ua variável x, ou de ua função h(x) qualquer dela, por siulação Monte Carlo usando Aostrage por Iportância e sua razão de verossiilhança: f ( x) f ( y) E ( h( x) ) = h( x) f ( x) dx = h( x) g( x) dx = Eh( y), (5) g( x) g( y) Onde: E(.) = Valor Esperado, a ser calculado por siulação Monte Carlo; h(.) = qualquer função da variável aleatória x; f(.) = função densidade de probabilidade original de x; g(.) = função densidade de probabilidade deslocada de x; e f(.)/g(.) = razão de verossiilhança. A aplicação da AI varia confore o grau de correlação de default entre os eissores. Neste sentido, dois casos fora considerados: eissores independentes e eissores co forte dependência Caso de Eissores Independentes Neste caso, a abordage de aplicação da AI na sua fora padrão (AI+AAS) é bastante conhecida. Os pesos dos fatores de risco, a,j, são iguais a zero pela independência entre os eissores. A AI consiste e substituir as probabilidades individuais de default de cada eissor, p, por probabilidades ais elevadas, q, e aostrar eventos de default dessas novas probabilidades. Os eventos de L>x seria então ais facilente obtidos a partir dessas probabilidades de default ais elevadas. Para se retornar ao problea original, esses eventos L>x seria corrigidos pela razão de verossiilhança, que relaciona a distribuição original dos eventos de default (Bernoulli(p )) à nova distribuição (Bernoulli(q )). A estiação da Prob(L>x) por AI poderia então ser obtida a partir junção das seguintes expressões: 5 A estiação por siulação da Prob(L>x) na nova região, de iportância, é feita por Aostrage Aleatória Siples (AAS). A técnica da AI na sua fora padrão acaba então utilizando a AAS e, por esta razão, é batizada aqui de AI+AAS. [718]

6 E ( L > x) = 1* Pr ob( L > x) + 0* Pr ob( L < x) Pr ob( L > x) = E( L > x), (6) Y 1 Y ~ p 1 p E( L > x) = E 1{ L > x}, (7) = 1 q 1 q Onde: 1{...} = indicador da ocorrência do eventos que está descrito entre as chaves; ~ E (...) = valor esperado calculado usando as novas probabilidades q ; (...) = razão de verossiilhança. = 1 A Equação 6 advé do fato de L>x ser ela própria ua variável do tipo Bernoulli e a Equação 7 decorre da própria idéia da AI, já apresentada anteriorente pela Equação 5. Portanto, Y 1 Y ~ p 1 p Pr ob( L > x) = E 1{ L > x}, (8) = 1 q 1 q E conseqüência desta construção, e se os indicadores de default fore aostrados das novas probabilidades de default q, teos que: ~ p E 1{ L > x} = 1 q Y 1 p 1 q 1 Y = estiador por AI não viesado da Pr ob( L > x), (9) Glasseran e Li (2005) não escolhe as novas probabilidades q arbitrariaente; e vez disso eles utiliza u ecaniso chaado por eles de exponential twisting para otiizar a escolha dessas novas probabilidades. Segundo esse ecaniso, escolhe-se u parâetro θ>0 e calcula-se as novas probabilidades a partir da fórula abaixo: θ c pe p ( θ ) =, (10) θ c 1+ p ( e 1) A deterinação do valor do parâetro θ a ser usado deve ser tal que iniize a variância do estiador não-viesado de Prob(L>x). Glasseran e Li (2005) deterina o valor ótio de θ analiticaente e prova que este valor ótio faz co que o estiador por AI da Equação 9 seja u estiador assintoticaente ótio, sendo, por isso, ais eficiente do que a siulação tradicional por AAS. O θ-ótio é obtido por 6 : θ-ótio = solução única de ϕ (θ) = x, x > ϕ (0); 0, x ϕ (0); 6 Ver Glasseran (2004), pgs. 498 e 530. [719]

7 onde: ( θ ) = log( 1+ ( exp( θ ) 1) ) ϕ p c, (11). = 1 A incorporação da Aostrage Descritiva à ipleentação da AI acia apresentada resulta na técnica cobinada (AI+AD). Esta incorporação envolve basicaente escolher de fora deterinística, ao invés de aleatória, os valores da variável Y. Esse eso conjunto de valores é utilizado e todas as corridas de siulação, variando apenas a orde e que eles aparece na seqüência de valores da variável Y Caso de Eissores co Forte Dependência Neste caso, a abordage utilizada para a ipleentação da AI foi a proposta e Glasseran e Li (2005). A abordage possui duas etapas: aplicação da chaada AI Condicional, na qual as variáveis Y ficarão condicionadas a u conjunto z de valores dos fatores couns de risco Z e, e seguida, aplicação da AI aos próprios fatores de risco Z. Na prieira etapa, condiciona-se a AI a u deterinado conjunto de valores para os fatores couns de risco (Z = z), sorteados da distribuição Noral Padrão. Quando esse condicionaento é feito, as variáveis Y indicativas de default passa a ser calculadas a partir do eso conjunto z de valores para os fatores de risco, qualquer que seja o eissor, e, co isso, restaura-se o caso de eissores independentes. Sendo assi, todo o procediento descrito na seção anterior de aplicação da AI para o caso de eissores independentes pode ser repetido para a AI condicional. A única diferença é que, e vez de se trabalhar co probabilidades de default p dadas exogenaente, calcula-se probabilidades condicionais de default p (Z=z) para cada eissor, obtida pelo desenvolviento abaixo: p ( Z = z) = Pr ob( Y = 1/ Z) = Pr ob( X > x / Z) = 1 1 a Z + Φ ( p ) = Pr ob( a Z + b * ε > Φ (1 p ) / Z) = Φ ( ), (12). b De acordo co Glasseran e Li (2005), a segunda etapa torna-se necessária quando há forte correlação de default entre os eissores. Para propiciar ua correlação relativaente forte, os pesos a,j são gerados de fora independente e uniforeente distribuída dentro do intervalo ( 0 ;1 d ). A necessidade da segunda etapa se dá pois, quando há forte correlação, grandes perdas ocorre prieiraente devido a grandes resultados de Z, o que indica que tabé se deve aplicar AI à distribuição de Z. 8 Portanto, nesta segunda etapa, ao invés de se trabalhar co u conjunto de valores z extraídos de ua distribuição Noral Padrão, usa-se u conjunto sorteado de ua distribuição Noral deslocada, do tipo N(μ,1). A partir daí, basta ipleentar o procediento da AI condicional já descrito. A única novidade é a fórula da razão de verossiilhança, à qual passa a ter u tero adicional, exp((-μ Z+μ μ)/2), que relaciona a densidade da N(0,1) à da N(μ,1) e que deve ser ultiplicado à fórula anterior. Glasseran e Li (2005) deterina analiticaente o valor ótio para μ, de fora a gerar u estiador para a Prob(L>x) que iniize sua variância. Aqui o valor do μ-ótio foi escolhido epiricaente para siplificar a ipleentação da técnica. 7 Ver Saliby, 1990 e 1997 para ua descrição copleta da técnica Aostrage Descritiva. 8 A deonstração analítica encontra-se e Glasseran e Li (2005), pg. 8. [720]

8 A incorporação da AD à AI neste caso envolve, alé da seleção deterinística dos valores para a variável Y, a seleção deterinística para os valores da variável Z. Esses dois conjuntos de valores deterinisticaente escolhidos são utilizados e todas as corridas de siulação, variando apenas a orde e que os seus eleentos aparece na seqüência de valores das respectivas variáveis. 3. RESULTADOS A Figura 2 abaixo resue os principais resultados do experiento. Nela são apresentadas as estiativas da Prob(L>x) para as três diferentes técnicas de siulação epregadas: o étodo tradicional da AAS, a AI padrão (AI+AAS) e a AI cobinada co a AD (AI+AD). O desepenho dessas três técnicas foi analisado para os casos de eissores independentes e de eissores dependentes. A precisão das estiativas, representada pelo erro-padrão, tabé é apresentada. O nível escolhido da perda-liite (x = $35) define ua região propícia para se aplicar a Aostrage por Iportância, já que a probabilidade de se obter perdas superiores a esse liite é bastante baixa para os dois tipos de eissores. Para se obter u parâetro dessa probabilidade, foi realizada ua siulação gigante ( corridas) pelo étodo tradicional (AAS), resultando e ua probabilidade édia de 0.13% para o caso de eissores independentes e de 0.34% para os eissores dependentes. Esses baixos níveis de probabilidade caracteriza assi u evento raro nos dois casos. A relevância da aplicação da Aostrage por Iportância no experiento e questão tabé pode ser copreendida quando se tenta estiar a probabilidade de perda superior a liites ainda aiores. Existe u nível de perda-liite x (equivalente a $52 no problea e questão, ou cerca de 30% da perda total possível) a partir do qual a siples ocorrência do evento L>x não é ais observada, por aior que seja a quantidade de observações geradas pelo étodo tradicional de siulação. Isso siplesente ipossibilita o cálculo da estiativa da Prob(L>x ) por este étodo. As duas técnicas de redução da variância utilizadas (AI+AAS e AI+AD) gerara estiativas seelhantes e co baixo viés e relação às obtidas pela siulação gigante, nos dois casos de dependência considerados. Coo esperado, nos dois tipos de eissores considerados, a introdução da AI funcionou be para auentar a precisão das estiativas e relação à AAS. O ganho de precisão da AI+AAS, ou equivalenteente a redução do erro-padrão das estiativas, é da orde de 88% para os eissores independentes e de 40% para os eissores dependentes. O uso da cobinação AI+AD tabé foi eficiente para obter ganhos de precisão e relação ao étodo tradicional AAS, resultando e 88% de ganho para os dois tipos de eissores. No entanto, a contribuição da AD foi uito ais iportante no caso de eissores dependentes, gerando u ganho de precisão de 81% e relação à AI+AAS, contra apenas 3% no caso de eissores independentes. A aior contribuição da incorporação da AD à AI no caso dos eissores dependentes pode ser explicada pelo fato de a AD tabé ser aplicada e duas etapas quando há dependência entre os eissores. [721]

9 Figura 2: Estiativas da probabilidade de perdas totais (L) da carteira superiores ao valor-liite (Prob(L>35)), obtidas por diferentes étodos de siulação (AAS, AI+AAS e AI+AD). Fora considerados dois tipos de dependência entre os eissores. A édia e o erro-padrão das estiativas fora calculados para 40 corridas de siulação, cada qual contendo 1000 observações de perdas. Eissores Independentes Eissores Dependentes AAS AI+AAS AI+AD AAS AI+AAS AI+AD Média 0,1125 Erro-Padrão 0,0791 Média 0,1279 Erro-Padrão 0,0091 Média 0,1256 Erro-Padrão 0,0088 Média 0,3250 Erro-Padrão 0,9388 Média 0,3363 Erro-Padrão 0,5649 Média 0,3364 Erro-Padrão 0, CONCLUSÕES A Aostrage por Iportância é ua técnica de redução de variância que be se aplica a probleas de siulação de eventos raros, pois sua idéia é torná-los enos raros por eio de u deslocaento na distribuição de probabilidades original. Seu uso portanto é bastante útil quando se trata de estiar risco de crédito de carteiras, ua vez que este risco está associado a ocorrências de default por parte de seus eissores dentro de u horizonte de tepo. Este trabalho aplicou a Aostrage por Iportância coo técnica de redução de variância para elhorar a siulação por Monte Carlo da probabilidade de perdas de ua carteira teórica de títulos/epréstios de renda fixa sujeita a risco de crédito por parte de seus eissores. Sua aplicação ostrou-se indispensável para se obter observações do experiento analisado, já que o evento considerado era bastante raro, dados os valores dos parâetros do experiento realizado. Alé disso, a Aostrage por Iportância, seja na sua fora padrão ou na fora cobinada co a Aostrage Descritiva, ostrou-se uito vantajosa para se obter estiativas be ais precisas do que o étodo tradicional de siulação. Os bons resultados da Aostrage por Iportância se estendera ao caso ais coplexo de forte correlação de default entre os eissores dos títulos/epréstios coponentes da carteira e análise. A aplicação da Aostrage por Iportância aqui realizada pode ser estendida a odelos ais copletos de risco de crédito, nos quais as probabilidades de default dos eissores e o valor das exposições da carteira seja não ais exógenos, as si estiados co base e dados reais do ercado de crédito brasileiro. [722]

10 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Crouhy M., Galai D. e Mar R. A Coparative Analysis of Current Credit Ris Models, jounal of Baning and Finance 24, , Glasseran, P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer, New Yor, Glasseran, P e Li, J. Iportance Sapling for Portfolio Credit Ris, to appear in Manageent Science, Gordy M. B. A Coparative Anatoy of Credit Ris Models, Journal of Baning and Finance, 24, , Gupton, G.M., Finger, C.C., e Bhatia, M. CreditMetrics. Technical Docuent. JP Morgan, Kang, W. e Shahabuddin, P. Fast Siulation for Multifactor Portfolio Credit Ris in the t-copula Model. In: Proceedings of the 2005 Winter Siulation Conference, ed. M.E. Kuhl, N.M. Steiger, F.B. Arstrong, and J. A. Jones Saliby, E Descriptive Sapling: A Better Approach to Monte Carlo Siulation. Journal of the Operational Research Society, Vol. 41, n o 12, , Descriptive Sapling: An Iproveent Over Latin Hypercube Sapling. In: Proceedings of the 1997 Winter Siulation Conference, ed. S. Andradóttir, K.J. Healy, D.H. Withers and B.L. Nelson, [723]