Otimização de problemas integrados na indústria papeleira

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1 Trabalho apresentado no III CMAC - SE Vitória-ES 205. Proceeding Series of the Brazilian Society of Coputational and Applied Matheatics Otiização de probleas integrados na indústria papeleira Sônia Cristina Poltroniere Silva Faculdade de Ciências UNESP Bauru SP Departaento de Mateática Silvio Alexandre de Arauo 2 Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas UNESP São José do Rio Preto SP Departaento de Mateática Aplicada Kelly Cristina Poldi 3 Instituto de Mateática Estatística e Coputação Científica UNICAMP Capinas SP. Resuo. Dois iportantes probleas de otiização ateática ocorre no planeaento e prograação da produção e indústrias papeleiras: o problea de diensionaento de lotes e o problea de corte de estoque ultiperíodo. O problea de diensionaento de lotes deve deterinar a quantidade de bobinas ubos de diferentes tipos de papel a sere produzidos e cada áquina ao longo de u horizonte de planeaento finito. Estes ubos são então cortados para atender a deanda de itens para cada período. Neste trabalho trataos da integração desses dois probleas procurando iniizar custos co produção e estoque dos ubos coo tabé a perda de papel durante o processo de corte. Diferentes odelagens para o problea integrado são consideradas e os odelos fora resolvidos heuristicaente usando u pacote de otiização. Procurando obter liitantes inferiores para o problea fora resolvidas versões relaxadas dos odelos. Resultados coputacionais são discutidos. Palavras-chave. Problea de corte de estoque problea de diensionaento de lotes probleas integrados étodos coputacionais. Introdução O problea de corte de estoque que surge e indústrias de anufatura consiste na otiização do processo de corte de unidades aiores (obetos) que estea disponíveis para a produção de u conunto de unidades enores (itens) co o obetivo de atender a deanda desses itens e satisfazer algu critério de otiização por exeplo iniizar a perda de aterial gerada pelo corte. Tais probleas vê sendo investigados nas últias soniacps@fc.unesp.br 2 sarauo@ibilce.unesp.br 3 kelly.poldi@gail.co DOI: / SBMAC

2 décadas desde os trabalhos pioneiros de Gilore e Goory ( ) que propusera a técnica de geração de colunas viabilizando a resolução de probleas reais. Atualente a integração do problea de corte de estoque co outros probleas que ocorre no planeaento e prograação da produção e indústrias te gerado pesquisas e todo o undo. U exeplo é a integração co o problea de diensionaento de lotes (Trigeiro et al. 989) que consiste e deterinar a quantidade de produtos a sere produzidos e cada período ao longo de u horizonte de tepo finito de odo a atender certa deanda e otiizar ua função obetivo coo por exeplo iniizar custos estoques e atrasos. E geral o problea de diensionaento de lotes (PDL) e o problea de corte de estoque (PCE) são tratados separadaente de fora sequencial ou sea prieiro resolve-se o PDL e posteriorente o PCE. No entanto esta abordage pode elevar os custos globais. A seguir são apresentados alguns trabalhos que considera probleas integrados e contextos industriais. Farley (988) foi o prieiro autor a publicar u estudo sobre o PCE integrado ao problea de planeaento e prograação da produção co aplicações na indústria de roupa. Na indústria de papel podeos citar Respício e Captivo (2002) e Correia et al. (2004). Tabé co aplicações na indústria de papel Poltroniere et al. (2008) propusera u odelo ateático para tratar o PDL e o PCE de fora integrada nu horizonte de planeaento dividido e períodos. Fora propostos dois étodos heurísticos para a solução baseados na relaxação Lagrangiana das restrições de integração que se ostrara apropriados para tratar o problea integrado. Considerando a indústria oveleira Graani e França (2006) tabé estudara a integração do PDL e do PCE. Fora propostos u odelo ateático e u étodo de solução baseado no problea de cainho ínio. Graani et al. ( ) realizara extensões do odelo proposto e 2006 e novas abordagens de solução. Tabé podeos citar os trabalhos de Ghidini (2008) Santos et al. (20) e Vanzela et al. (202). Recenteente teos os trabalhos de Silva et al. (204) e Kallrath et al. (204). E Poltroniere et al. (2008) são obtidas soluções factíveis para o problea integrado. No entanto não se pode afirar a qualidade destas soluções pois não se conhece as soluções ótias e ne tapouco liitante inferiores (duais) para o problea. O obetivo deste trabalho consiste na resolução de diferentes odelos ateáticos para o problea proposto e Poltroniere et al. (2008). Alé do odelo proposto pelos autores que considera a abordage de Gilore e Goory (963) para o problea de corte de estoque neste trabalho consideraos tabé a abordage de Kantorovich (960) e de Valério de Carvalho ( ) que é baseada nu odelo de fluxo e redes. Os odelos são ipleentados usando u pacote de otiização resolvidos de fora heurística e os resultados são coparados co os obtidos e Poltroniere et al. (2008). Alé disso alguas relaxações são resolvidas co o intuito de obter liitantes inferiores para o problea integrado o que peritirá testar a qualidade das soluções heurísticas. 2 Modelos ateáticos Poltroniere et al. (2008) propõe u odelo ateático inteiro isto para tratar o PDL e o PCE de fora integrada nu horizonte de planeaento dividido e períodos. O PCE foi odelado usando a abordage de Gilore e Goory (963) supondo diferentes bobinas e estoque e quantidades liitadas coo está apresentado na seção 2.. DOI: / SBMAC

3 3 2. Modelo Integrado usando a abordage de Gilore e Goory (LCGG) Índices: t =... T : núero de períodos no horizonte de planeaento; k =... K : núero de graaturas; =... M : núero de áquinas (áquina produz bobinas-estre de largura L ); =... N : núero de padrões de corte para as bobinas-estre do tipo ; i =... Nf : núero de diferentes tipos de itens deandados; {... Nf } = S() S(2)... S( K) e que S( k) { i tal que o ite i te graatura k} =. Parâetros: c : custo de produção da bobina-estre de graatura k na áquina no período t; h : custo/ton de estocar bobinas-estre de graatura k no período t; s : custo de preparação da áquina para produzir bobina-estre de gra. k período t; cp : custo/c de perda de papel de graatura k durante o processo de corte no período t; it σ : custo/ton de estocar itens finais do tipo i no período t. C : capacidade (ton) da áquina no período t; t d : vetor da deanda de itens finais de graatura k no período t. ρ : peso específico da bobina-estre de graatura k; k η k : vetor de pesos dos itens finais de gra. k ; D : deanda (ton) de papel da graatura k no período t ( D =ηkd ) ; b : peso da bobina-estre de graatura k produzida na áquina ( b L ρ ) = ; k f : peso do papel desperdiçado na preparação da áquina para a bobina de graatura k; a : vetor associado ao padrão de corte para a bobina-estre de largura L ; p : perda de papel (c) no padrão de corte usado na bobina-estre de largura Q : núero grande. Variáveis de decisão: x : núero de bobinas-estre de graatura k produzidas na áquina no período t; w : estoque de bobinas-estre de graatura k áquina estocadas no fi do período t; z : indica a produção ou não da bobina-estre de gra. k na áquina no período t. y : núero de bobinas-estre de graatura k produzidas na áquina no período t cortadas usando o padrão de corte ; e : vetor de itens finais de graatura k estocados no final do período t. No odelo a seguir o parâetro D não é u dado do problea pois depende da perda que ocorre durante o processo de corte. Por definição ele deve ser D = η ik d i + perda. Destaca-se as restrições (6) que liita o núero de i S ( k ) L ; DOI: / SBMAC

4 bobinas-estre cortadas àquelas que fora produzidas anteriorente pois são as restrições de integração que envolve decisões relativas à produção e ao corte de ubos. Modelo ateático LCGG-Lote Corte Gilore Goory: Miniizar s. a. M = K ( c x + hbw + s z ) ( b x + b w b w ) ( b x + f z ) k = T t = = k = T K + M it t= k = i S ( k ) K σ η ik k t e i C t = D + T K t = k = cp F( k t) + t =... T =... T; t =... T () (2) (3) x Q. z =... T; t =... T (4) M N a = = N y = = y x + e + w k t e k t w = d t =... T =... T; t =... T (5) (6) w 0 = 0 e k 0 = 0 =... M (7) x 0 w 0 e inteiros =... M ; t =... T (8) z { 0 } =... M ; t =... T (9) y 0 inteiros e 0 =... N ; =... M ; t =... T (0) 2.2 Outras abordagens para o Modelo Integrado Kantorovich (960) introduziu ua forulação ateática para o problea de corte de estoque supondo apenas u tipo de obeto e estoque de largura L e quantidade liitada co o obetivo de iniizar o núero de obetos (bobinas no caso específico da indústria de papel) cortados para atender a ua deanda. Valério de Carvalho (999) propôs ua forulação alternativa para o PCE considerando obetos idênticos e estoque. Trata-se de u problea de fluxo ínio co restrições adicionais para a satisfação da deanda. Segundo o autor o odelo linear obtido pela relaxação das variáveis de integralidade é equivalente ao odelo de Gilore e Goory (96) e portanto os liitantes inferiores e abos os casos são iguais. A extensão desse odelo para vários tipos de obetos e estoque é proposta e Valério (2002). Neste trabalho odelaos o problea integrado proposto e Poltroniere et al. (2008) usando as abordagens de Kantorovich (odelo LCKT) e de Valério de Carvalho (odelo LCVC). Considerando o odelo ()-(0) na seção 2. a função obetivo e os conuntos de restrições (5) (6) e (0) fora alterados de aneira adequada para cada odelage proposta pelos autores. DOI: / SBMAC

5 5 3 Heurísticas propostas e Poltroniere et al. (2008) Para resolver o problea integrado ()-(0) Poltroniere et al. (2008) propusera dois étodos denoinados Heurísticas Lote/Corte e Corte/Lote baseadas na relaxação lagrangiana das restrições de integração (6) que são adicionadas à função obetivo () ponderadas pelas variáveis duais γ. Assi o problea ()-(0) é decoposto e dois subprobleas: PDL e PCE que são abordados separadaente e iterativaente. Para resolver o PDL definido pelas restrições (2)-(4) (8) e (9) foi realizada ua adaptação do étodo proposto por Toledo (998). A solução obtida supre o PCE co os ubos a sere cortados. O PCE ultiperíodo (restrições (5) acopladas por causa do estoque de itens finais e i ) é coposto por K subprobleas independentes u para cada graatura. Esses K subprobleas fora resolvidos nu horizonte dividido e períodos usando étodo siplex co geração de colunas proposto por Gilore e Goory (96 963) e considerando a condição de integralidade relaxada. Para possibilitar a antecipação de itens durante o processo de corte utilizaos ua abordage heurística proposta e Poltroniere (2006) peritindo novas cobinações de itens. 4 Resultados coputacionais Fora utilizados os exeplares gerados e Poltroniere et al. (2008). São 27 classes cada ua delas contendo 0 exeplares classificados de acordo co o núero de itens deandados ( Nf = ) o núero de graaturas ( K = ) e o núero de períodos T = 802. As bobinas estre de larguras L = 540c e L 2 = 460c e co peso específico ρ k = 2kg / c. Os parâetros do odelo fora gerados siulando situações encontradas na indústria de papel. 4. Soluções heurísticas Os resultados heurísticos obtidos co a resolução dos três odelos que usa as abordagens de Gilore e Goory (LCGG) Kantorovich (LCKT) e Valério de Carvalho (LCVC) utilizando o pacote coputacional Cplex 2.6 fora coparados co os resultados apresentados por ua das heurísticas desenvolvidas e Poltroniere et al. (2008) chaada heurística Lote/Corte coo descrita resuidaente na seção 3. Para a resolução dos odelos LCKT e LCVC as variáveis do odelo original fora consideradas coo inteiras e o tepo coputacional foi liitado e 600 segundos na tentativa de obter ua solução exata. No odelo LCGG prieiraente é resolvida a relaxação linear de fora ótia considerando inteiras as variáveis relativas ao problea da ochila. Posteriorente considerando soente as colunas da solução ótia da relaxação linear é dado u liite de 600 segundos para que o pacote encontre ua solução inteira. Destaca-se os resultados obtidos ao se resolver o odelo LCGG pois nu tepo coputacional relativaente baixo encontrou-se soluções uitas vezes elhores do que as obtidas pela heurística de Poltroniere et al. (2008). O odelo LCKT não consegue provar a otialidade para nenhu exeplo as encontra soluções factíveis para (soente) 6 exeplares dentro do tepo disponível. Já o odelo LCVC não conseguiu encontrar soluções factíveis e 600 segundos. DOI: / SBMAC

6 4.2 Relaxações Versões relaxadas dos odelos apresentados na Seção 2 tabé fora resolvidas co o obetivo de prover liitantes inferiores para os exeplos e consequenteente ter u parâetro de teste para a qualidade das heurísticas. Relaxação : as variáveis do problea fora relaxadas inclusive as variáveis de preparação de áquina (setup) que passara a ser consideradas contínuas entre 0 e e as relativas aos padrões de corte. No entanto as relativas ao problea da ochila fora antidas coo inteiras. Destaca-se aqui a qualidade dos liitantes inferiores obtidos pelo odelo LCGG que fora os elhores obtidos pelas relaxações. Relaxação 2: co o intuito de obter liitantes inferiores ainda ais apertados utilizouse os odelos LCKT e LCVC para resolver o problea co as variáveis de preparação binárias e as restantes contínuas (inclusive as variáveis relativas ao problea da ochila). Observa-se que neste caso não faz sentido a aplicação do odelo LCGG pois seria ua solução heurística á que ne todas as colunas estaria disponíveis no processo de arredondaento. Alé disso só é possível garantir que se te u liitante inferior quando os odelos LCKT e LCVC resolve o problea de fora ótia o que ocorreu para todas as instâncias nu tepo coputacional bastante baixo. Neste caso destaca-se coo elhores os liitantes obtidos pelo odelo LCVC. 5 Conclusões e perspectivas futuras Este trabalho considerou o odelo para o problea integrado de corte de estoque e diensionaento de lotes proposto por Poltroniere et al. (2008). Três odelagens ateáticas fora ipleentadas e resolvidas heuristicaente usando o pacote Apl/Cplex 2.6. Versões relaxadas dos odelos fora tabé resolvidas para obter liitantes inferiores para a solução do problea integrado. As soluções heurísticas obtidas usando o pacote coputacional Cplex 2.6 ostrara-se satisfatórias sendo que para alguns exeplos os resultados obtidos fora elhores que os obtidos por Poltroniere et al. (2008). Os resultados ostrara que as relaxações consideradas fornecera bons liitantes inferiores para o problea integrado co destaque para os obtidos pelo odelo LCGG. Vale ainda destacar que esses liitantes não estão uito distantes das soluções heurísticas obtidas e Poltroniere et al. (2008) o que peritiu observar a qualidade das heurísticas. Coo propostas futuras pretende-se desenvolver étodos para auxiliar na resolução dos odelos ateáticos de fora exata e/ou heurística via pacote de otiização. Alguns testes iniciais realizados e Poldi e Arauo (204) ostra que o problea de corte de estoque ultiperíodo que aparece no contexto do problea integrado pode ser be resolvido quando o odelo de fluxo e arcos é utilizado. Assi podeos utilizar estes odelos de fora conunta co as heurísticas propostas e Poltroniere et al. (2008). Referências [] M. H. Correia J. F. Oliveira and J. S. Ferreira Reel and sheet cutting at a paper ill. Coputers & Operations Research (2004). [2] A. A. Farley Matheatical Prograing Models for Cutting-Stock Probles in the Clothing Industry. Operational Research Society 4-53 (988). [3] P. C. Gilore and R. E. Goory A linear prograing approach to the cutting stock proble. Operations Research (96). DOI: / SBMAC

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