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1 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento RESOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE RESFRIAMENTO DE NEWTON PELOS MÉTODOS DE EULER E RUNGE- KUTTA A. Pescador 1 *; Z.R.Q.Oliveira 2 1 Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis SC , Brasil 2 Instituto Federal Catarinense, Sobrio, SC Brasil * andresa.pescador@gail.co Artigo subetido e 08/09/2015 e aceito e 0/01/201 RESUMO O presente artigo apresenta as equações diferenciais de prieira orde, as quais constitue u rao uito iportante da ateática, pois tê ua grande aplicabilidade, tanto na ateática, coo na física, biologia e tabé na econoia. O objetivo deste estudo foi analisar a resolução de ua equação diferencial de prieira orde, e especial a equação que define a lei de resfriaento de Newton. Verificar seu coportaento utilizando alguas aplicações, que pode ser utilizadas e sala de aula coo instruento de auxílio ao professor na abordage destes conteúdos trazendo respostas aos questionaentos dos estudantes e otivando-os na construção de seu conheciento. Para a resolução de ua das aplicações apresentadas buscou-se coo copleento sua resolução através de dois étodos nuéricos, étodo de Euler e étodo de Runge-Kutta. E por fi, fez-se ua coparação da aproxiação da solução dada pela resolução nuérica co a resolução analítica cuja solução é exata. PALAVRAS-CHAVE: equações diferencias, aplicações, étodos nuéricos, solução analítica, solução nuérica. NUMERICAL SOLUTION OF NEWTON s COOLING DIFFERENTIAL EQUATION BY THE METHODS OF EULER AND RUNGE -KUTTA ABSTRACT This article presents the first-order differential equations, which are a very iportant branch of atheatics as they have a wide applicability, in atheatics, as in physics, biology and econoy. The objective of this study was to analyze the resolution of the equation that defines the cooling Newton's law. Verify its behavior using soe applications that can be used in the classroo as an auxiliary instruent to the teacher in addressing these contents bringing answers to the questions of the students and otivating the to build their knowledge. It attepted to its resolution through two nuerical ethods, Euler ethod and Runge - Kutta ethod. Finally, there was a coparison of the approach of the solution given by the nuerical solution with the analytical resolution whose solution is accurate. KEYWORDS: differential equations, applications, nuerical ethods, analytical solution, nuerical solution. Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

2 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento 1. INTRODUÇÃO Faz parte do cotidiano dos professores, e especial professores de ateática, ouvir de seus estudantes questionaentos que se refere ao conteúdo inistrado co relação a sua aplicabilidade. Os estudantes quere saber para que serve e onde pode aplicar tais conteúdos, as ne sepre fica satisfatoriaente esclarecidos. Meso que a ateática não deva ser trabalhada para satisfazer tais ensejos, aplicações práticas enobrece, estiula e otiva os estudantes para o seu aprendizado. Acreditando-se que o ensino de alguns conteúdos de ateática possa ser estreado co ua aplicação do tea para otivação ou ainda concluído co ua aplicação para o fechaento, este trabalho traz aplicações relacionadas ao conteúdo de equações diferenciais onde se fez a escolha do tea Lei de Resfriaento de Newton. A situação proposta é desenvolvida apresentando-se alguns exeplos práticos sobre a Lei de Resfriaento de Newton. E seguida resolve-se a equação diferencial de fora analítica e por fi resolve-se a esa por dois étodos nuéricos clássicos e copara-se os três resultados encontrados. Desta fora, na tentativa de responder aos questionaentos apresentados pelos estudantes, faz-se a inserção de situações probleas, ainda co intuito de trazer o interesse dos estudantes ao conteúdo. Neste, escolhe-se o tea de equações diferenciais, na qual e todo o undo, é parte essencial dos currículos de engenharia e ciências exatas. (ÇENGEL 201, p.1). Para o estudo e desenvolviento deste tea faz-se necessário u bo entendiento de cálculo diferencial e integral onde deve estar claro aos estudantes vários teas, tais coo variáveis dependentes e independentes, funções contínuas e descontínuas, derivadas ordinárias e parciais, diferenciais e increentos, e integração. De acordo co Diacu (201), a teoria das equações diferenciais possui três grupos principais que envolve étodos exatos, nuéricos e qualitativos. Mas pode-se acrescentar a esta classificação o processo de odelage, que trata da obtenção de ua equação diferencial que descreve certo fenôeno e interpreta os resultados de suas análises dentro de ua estrutura do odelo. Classifica-se as equações diferenciais por tipo, ordinária ou parcial, orde ou linearidade. Diferente das incógnitas das equações algébricas, que são núeros, as incógnitas das equações diferenciais são funções. Resolver ua equação diferencial significa encontrar todas as soluções, i.e., todas as funções que satisfaze a equação. (DIACU, 1959, p. 1.). As equações diferenciais surge quando se aplica as leis e os princípios relevantes da física a u problea, considerando infinitas variáveis e variações de interesse. Nas ciências e na engenharia, odelos ateáticos são desenvolvidos para auxiliar na copreensão de fenôenos físicos. Estes odelos frequentes gera ua equação que conté alguas derivadas de ua função desconhecida. Tal equação é chaada de Equação diferencial. (NAGLE, 2012, p. 1.) Desta fora ao se obter ua equação diferencial que direciona ua aplicação, esta requer conheciento adequado sobre a natureza do problea, assi coo as variáveis envolvidas, as suposições aplicadas afi da siplificação, as leis e os princípios da física aplicados. Este processo para a obtenção das equações diferenciais e alguas áreas é deonstrado por eio de exeplos, ou seja, através de ua odelage ateática. Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

3 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento Para alcançar os objetivos deste artigo, o eso encontra-se estruturado coo segue. A introdução que apresenta a justificativa, os objetivos e a probleática. Na seção 2, faz-se a odelage ateática seguida da Lei de Resfriaento de Newton propriaente dita na seção. Alguas aplicações são apresentadas na seção ; Os étodos nuéricos clássicos, assi coo a coparação da solução encontrada pelos esos e pela solução encontrada analiticaente, na seção 5 e finalente, conclui-se o artigo na seção. 2. MATERIAIS E MÉTODOS 2.1 Modelagens ateática Segundo Boyce (190, p.8), as equações diferenciais são de interesse para não ateáticos, principalente por causa da possibilidade de sere usadas para investigar ua variedade de probleas nas ciências físicas, biológicas e sociais. Essas equações perite, uitas vezes, fazer previsões sobre coo os processos naturais se coportarão e diversas circunstâncias. Muitas vezes é fácil peritir a variação dos parâetros no odelo ateático e u aplo intervalo, enquanto isso poderia levar uito tepo ou ser uito caro, se não ipossível, e u abiente experiental. De qualquer odo, a odelage ateática e a experientação ou observação são criticaente iportantes e tê papéis copleentares nas investigações científicas. Modelos ateáticos são validados coparando-se suas previsões co resultados experientais. Por outro lado, análises ateáticas pode sugerir as direções ais proissoras para exploração experiental e pode indicar, co boa precisão, que dados experientais serão ais úteis. Muitos fenôenos naturais pode ser odelados ateaticaente. E geral, odelar é ua tarefa difícil que requer conheciento interdisciplinar e habilidades. (DIACU, 1959, p..). Independente do capo específico de aplicação das equações diferenciais, quando nos referios a ua odelage ateática, de acordo co Boyce (190, p.9) te-se que percorrer três iportantes passos: a) Construção do odelo: nesta etapa precisa-se traduzir a situação física e expressões ateáticas. É iportante copreender que as equações ateáticas são, quase sepre, apenas ua descrição aproxiada do processo real... Assi, você deve estar sepre atento às liitações do odelo, de odo a só usá-lo quando for razoável acreditar e sua precisão. De aneira alternativa, você poderia adotar o ponto de vista de que as equações ateáticas descreve exataente as operações de u odelo físico siplificado ou ideal, que foi construído (ou iaginado) de aneira a incorporar as características ais iportantes do processo real. (BOYCE, 190, p.9). b) Análise do odelo: neste estágio, ua vez forulado ateaticaente o problea, pode-se, uitas vezes, encontrar probleas nas tentativas de resolver as equações diferenciais, tornando-se neste caso necessário alguas aproxiações ou adaptações, as é claro que tais aproxiações tabé tê que ser exainadas sob o ponto de vista físico, para se ter clareza de que o problea ateático siplificado ainda reflete as características essenciais do problea físico que esta sendo investigado. (BOYCE, 190, p.9). Este processo entre a copreensão do problea e as liitações referentes ao conheciento das técnicas ateáticas para resolvê-lo é característico da ateática aplicada, e essencial para ua construção de odelos ateáticos confiáveis, úteis e de sucesso para resoluções de probleas diversos. Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

4 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento c) Coparação co Experientos ou Observações: aqui estão relatadas as inforações referentes às soluções encontradas, podendo esta ser cabível a ua verificação. Para Boyce (190, p. 9) é claro que o fato de que a solução ateática parecer ser razoável não garante que está correta. Após a aplicação, após observar-se e e caso de o odelo ateático ser seriaente inconsistente co as observações do sistea físico que o odelo supostaente descreve é necessário verificar os erros coetidos durante a resolução do problea ateático, para assi realizar observações co ais cuidado, refinando-o. Após estas notações referentes ao cainho que se deve seguir para a construção de u odelo ateático, os cuidados que se deve ter, segue neste artigo a resolução, através das equações diferenciais, da lei de resfriaento de Newton, na tentativa de responder o questionaento inicial, tendo e vista que esta resolução envolve ua odelage ateática. 2.2 Taxa de Variação de Teperatura - Lei de resfriaento de Newton Para resolver a probleática deste artigo, que envolve o problea de taxa de variação de teperatura, ou seja, a Lei de resfriaento de Newton, apresenta-se sua solução analítica através do uso da técnica de separação de variáveis. Diversos autores, tais coo Nagle (2012, p. ), Çengel (201, p. 5), Diacu (1959, p. 17), Boyce (190, p. 7) e Zill (2012, p. 22), relata que a lei de resfriaento de Newton descreve que a taxa segundo a qual a teperatura de u corpo varia é proporcional à diferença entre a teperatura do corpo e a teperatura do eio a qual o corpo está inserido, representada pela equação: dt dt K T T (1) De acordo co a lei epírica de Newton do esfriaento/aqueciento, a taxa segundo a qual a teperatura de u corpo varia é proporcional à diferença entre a teperatura do corpo e a teperatura do eio que o rodeia, denoinada teperatura abiente. Se T(t) representar a teperatura de u corpo no instante t, T a teperatura do eio que o rodeia e dt dt a taxa segundo a qual a teperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriaento/aqueciento é convertida na sentença ateática: dt K( T T ), onde K é ua constante de proporcionalidade. E dt abos os casos, esfriaento ou aqueciento, se logico que K 0. (ZILL, 2012, p. 22). T for ua constante, é Assi sendo, pode-se dizer que a equação (1) citada por diversos autores descreve u odelo real que relata a troca de calor de u corpo co o eio onde este se encontra, e te-se que dt é a taxa segundo a qual a teperatura do corpo varia e relação ao tepo; T T() t é a dt teperatura do corpo no instante t ; T é a teperatura constante do eio abiente; T T é a diferença entre as teperaturas; t é o tepo t 0, e K é a constante que depende da teperatura do corpo que esta sendo analisado, sendo esta de sinal negativo se a teperatura do corpo estiver diinuindo co o passar do tepo, e relação à teperatura do eio abiente. Ao identificar a dt equação K( T T ), que representa a lei de resfriaento de Newton, pode-se classificar esta dt Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

5 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento equação diferencial coo equação diferencial ordinária de prieira orde do prieiro grau linear, ou ainda coo equação diferencial ordinária de prieira orde do prieiro grau variável separável. ' Ua equação diferencial linear de prieira orde pode ser expressa por y P( x) y R( x), onde P(x) e R(x) são funções continuas no intervalo de interesse e relação à x. Por sua vez, ua equação diferencial é caracterizada coo equação diferencial ordinária de prieira orde do prieiro grau variável separável se, de acordo co Sions (2008, p.10) for possível, por anipulações algébricas eleentares, reescrever a equação de odo que todas as variáveis dependentes (usualente a variável y) esteja de u lado e todas as variáveis independentes (usualente a variável x), do outro. Pode-se então resolver a equação (1) que representa a lei de resfriaento de Newton por abos os étodos, escolheu-se apresentar sua resolução através da técnica de variável separável. Assi reescrevendo a equação (1) te-se: dt Kdt T T Integrando se abos os lados da equação (2) e função da variável tepo, te-se a seguinte equação: Assi: Aplica-se a função exponencial e abos os ebros da equação: (2) dt Kdt T T () ln( T T ) Kt A () T T e e e T() t T Ce Kt A Kt A ( Kt ) Conclui-se que a solução da equação diferencial dada por (1) é: T() t T Ce ( Kt) (5) Sepre que a teperatura inicial for conhecida, T(0) T0, obté-se a constante C, de odo que: T T C C T T. 0 0 dt Concluindo que a solução analítica da equação diferencial dada pela equação (1) K( T T ) é dt dada por: T( t) T ( T T ) e ( Kt) 0 () Te-se, dessa fora ua aplicação real de u conteúdo do cotidiano, utilizando-se de equações diferenciais de odo que se possa apresentar respostas as indagações dos estudantes, co relação à utilização dos conceitos estudados. Alé da solução analítica, pode-se apresentar, e uitas situações, soluções nuéricas dos probleas reais de engenharia. Métodos nuéricos, e sua aioria apresenta aproxiações para as soluções. Para o caso especifico de equações diferenciais existe étodos clássicos que pode ser ipleentados e que retoa excelentes soluções. O objetivo de u étodo nuérico para ua equação diferencial é obter ua coleção de pontos ( t 0, x 0 ), ( t 1, x 1 ),..., ( tn, x n) que rastreie ua curva que estia ua porção finita do gráfico da verdadeira solução passando pelo Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

6 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento ponto ( t 0, x o ). Quanto ais pontos obtiveros e ais próxios eles estivere da curva real, elhor é a aproxiação. (DIACU, 1959, p.). Na seção 2.. apresenta-se dois destes étodos nuéricos, o étodo de Euler e o étodo de Runge-Kutta. 2. Alguas Aplicações E sala de aula, na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias, é cou que professores apresente odelos ateáticos coo aplicações a sere resolvidas. Na sequência apresenta-se alguas destas aplicações, e especial alguns exeplos que pode ser resolvidos através da lei de variação de teperatura de Newton Processo de Resfriaento de ua xícara de café Na presente aplicação após já conhecer-se sua resolução analítica por eio da equação de resfriaento de Newton, apresenta-se na seção sua resolução tabé através dos étodos nuéricos apresentados neste artigo, para coparação dos resultados. Na seguinte aplicação adite-se que a teperatura de ua xícara de café quente segue a lei de resfriaento de Newton, e supõe-se que sua teperatura inicial é de 9, C, e que logo após o café ser coado, u inuto depois, sua teperatura é de 87,7 C. Sendo a teperatura abiente de 21,1 C, questiona-se e que instante a teperatura do café irá ser de 5, C. Retirando as inforações do problea teos que a teperatura inicial T(0) é de 9, C, a teperatura no inuto seguinte T(1) é 87,7 C, a teperatura abiente T() é 21,1 C e quer se saber o tepo (t) e que a teperatura é 5,5 C, ou seja, T(?) 5,5 C. Substituindo os dados referentes T(0) na equação T() t T Ce ( Kt), encontra-se o valor de C. T T Ce Ce C ( K0) ( K0) (0) 9, 21,1 72, 2 Assi pode-se achar o valor de K, substituindo C encontrado, e os dados referentes à teperatura no inuto seguinte, T(1), e a teperatura do abiente, T(), na equação, ( Kt) T() t T Ce. T T Ce e e e ( Kt ) K K K (1) 87,7 21,1 72, 2, 72, 2 0,92 Aplicando-se logarito natural e abos os lados da equação te-se: K ln 0,92 ln e K 0,08 Encontrado o valor de C aproxiado (72,2), e o valor de K aproxiado (-0,08), faz-se a ( Kt) substituição na equação, T() t T Ce, a teperatura abiente, T( ) 21,1 C, e a teperatura de 5, C para assi encontrar o tepo, o instante e que o café atingiu esta teperatura. 5, 21,1 72, 2e,5 72, 2e 0,1 e ( 0,08 t) ( 0,08 t) ( 0,08 t) Aplicando-se logarito natural e abos os lados da equação te-se: 0,8 0,08t Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

7 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento Logo: t in Portanto aproxiadaente inutos após ser coado o café irá atingir a teperatura de 5, C Processo de Resfriaento de u Cadáver Peritos usualente precisa descobrir o tepo de orte de deterinado aconteciento. Faz-se uso da Lei de Resfriaento de Newton, poré segundo peritos alguns detalhes deve ser levados e consideração, tais coo, se a pessoa perdeu uito sangue, ou se já passou uito tepo após o óbito. Eles utiliza e vários casos terôetros digitais para obter a teperatura abiente e tabé se retira a teperatura do corpo, esta sendo edida através do reto do cadáver. Dada à teperatura abiente, o corpo que possui a teperatura noral de 7 C, após a orte te sua teperatura se igualando a do abiente. Esta teperatura noral de ua pessoa é antida através de u equilíbrio entre o etaboliso do corpo e a teperatura abiente. E o interessante é que estes fatos recae e u problea que fora ua odelage a qual será solucionada utilizandose a equação diferencial. Ua situação problea real pode ser ocasionada através da investigação de u hoicídio onde u corpo é encontrado isteriosaente às horas e ua esquina entre duas ruas pouco ovientadas. O corpo do hoe aparentava aproxiadaente 0 anos. Moradores dissera que ouvira tiros por volta da eia-noite e tabé e torno das horas da adrugada. Mas coo saber a hora e que o hoe foi orto? Para responder esta pergunta precisa-se saber a teperatura do corpo no instante da descoberta e a teperatura do abiente para assi efetuar os cálculos, utilizando a equação final da teperatura e função do tepo. Para solucionar o problea adite-se que a teperatura do corpo seja 0 C no instante da descoberta, e que após duas horas a teperatura do corpo passa a ser de 2 C, sabendo-se que a teperatura abiente é de 20 C. Prieiraente precisa-se calcular a constante K, pois já se possui os seguintes dados: T 2 C, t 2 horas, T 20 C, T 0 C. 0 Resolvendo através da equação T( t) T ( T T ) e ( Kt) 0, encontra-se o valor da constante K (0 20) e ( K 2) ( K2) (2 K) e e k K ln 0, ln 2 1,2 0, Quer-se saber o instante da orte. Então, aditindo que a teperatura noral do corpo seja igual a7 C no instante t 0, e a teperatura abiente de 20 C, calcula-se t no instante da orte. Aditindo os dados na hora da orte coo: T0 7 C, T 20 C, T 0 C, K 0,, resolve-se: T( t) T ( T T ) e ( 0, t) 0,t 0,t 0 20 (7 20) e e ln ln e 0, t 0,5 t 0,8... ( Kt) Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

8 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento Logo t é de aproxiadaente 5 in, e assi pode-se responder ao questionaento inicial, sabendo que o corpo foi encontrado às horas, e já fazia 5 in que o corpo estava ali, adite-se que a hora da orte foi aproxiadaente às horas e sete inutos. Esta seção apresenta recursos ateáticos sendo utilizados na prática co intuito de solucionar probleas encontrados no cotidiano. 2. Métodos Nuéricos para Equação Diferencial Ordinária Ao escolher u étodo a ser utilizado, procura-se aquele que é ais adequado para o problea e análise assi coo as vantagens que cada étodo oferece juntaente co as liitações que eles apresenta. Os étodos aqui apresentados são o étodo de Euler e o étodo de Runge-Kutta Método de Euler Este étodo é o ais velho e ais siples dos étodos nuéricos e foi desenvolvido por Leonhard Euler ( ) por volta de 178. De acordo co Nagle (2012, p.19) o étodo de Euler (ou o étodo da linha tangente) é u procediento para construir soluções aproxiadas a u problea de valor inicial para ua equação diferencial de prieira orde, Considera-se o problea de valor inicial de prieira orde, ' y f ( x, y) y( x ) y 0 0 (7) onde percebe-se que a função f ( x, y ) refere-se à inclinação da reta tangente e cada ponto. Assi, o étodo de Euler sugere iniciar no ponto inicial ( x0, y 0) e seguir na linha reta de inclinação f ( x0, y 0), linha tangente, para algua distância deterinada até o ponto ( x, y 1 1). E seguida reinicia-se a inclinação para o valor f ( x, y 1 1) e seguindo essa linha para ( x, 2 y2 ). Então se constroe as aproxiações poligonais (linha de partida) até a solução. Notando-se que a edida a qual se usa espaçaentos enores entre os pontos, epregando-se vários pontos, a convergência se dá cada vez ais próxia à solução verdadeira. Para ser ais preciso, considere que u problea qualquer de valor inicial indicado na equação (7), te ua solução única f (x) e algu intervalo centrado e x 0. Considere que h seja u núero positivo fixo tabé chaado taanho de passo, e considere os pontos igualente espaçados, assi te-se xn definido coo x x0 nh, n 0,1,2,... Percebe-se que a construção de valores n y se aproxia dos valores da solução f x ) e n (, y 0 0 procede da seguinte fora: no ponto x ), a inclinação da solução para ( n ' dy y f ( x, y), y( x0) y0 é dada por f ( x 0, y0 ). Logo, a linha tangente à curva-solução no dx ponto inicial ( x, y 0 0 ) é dada pela equação: y y0 ( x x0 ) y y0 ( x x0 ) dx dy y y ( x x ) f ( x, y ) (8) Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

9 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento Usando essa linha tangente para aproxiar f (x), te-se para o ponto x 1 x 0 h, o valor f ( x1 ) y1 : y0 h f ( x0, y0 ). E seguida, para o ponto ( x, y 1 1), constrói-se a nova linha co inclinação dada pelo capo de direção no ponto ( x, y 1 1), ou seja, co inclinação igual a f ( x, y 1 1). Isto é, para x x 2 1 h te-se a aproxiação f ( x2 ) y2 : y1 h f ( x1, y1), e assi sucessivaente, repetindo-se o processo obté-se os próxios pontos. E resuo, o étodo de Euler é dado pelos seguintes passos recursivos: xn 1 xn h f ( xn 1) yn 1 yn hf ( xn, yn ) n 1, 2,, (9) O étodo de Euler é uito atraente por sua siplicidade, as, e geral, apresenta aproxiações enos refinadas de odo que apresenta-se na seção seguinte o étodo de Runge- Kutta Método de Runge-Kutta Para se obter resultados elhores que os encontrados pelo étodo de Euler te-se o étodo de Runge-Kutta, que alguns autores traze tabé coo o étodo de Euler refinado. Este étodo pode ser utilizado para ordens aiores, foi desenvolvido e 1895 pelo ateático e físico aleão Carl Runge ( ) e aperfeiçoado para ordens superiores e 1901 por outro ateático aleão, Wilher Kutta (187-19). E lugar de aproxiar f ( x, y) pelo valor na extrea esquerda do intervalo, coo faz o processo de Euler, o étodo Runge-Kutta de segunda orde, por exeplo, toa a édia dos valores aproxiados de f ( x, y) e abas as extreidades do intervalo. A beleza dos étodos de Runge-Kutta está no fato de que eles oferece a exatidão elhor que de outros étodos, poré se a necessidade de derivadas. A versão que se ostra e seguida através das fórulas recursivas é tabé chaada de étodo do ponto interediário. xn1 xn h h h yn1 yn hf xn, yn f xn, yn 2 2 (10) Poré os ais populares étodos de Runge-Kutta são os de quarta orde, disponível e várias versões. De odo geral, ele produz aproxiações uito precisas eso quando o núero de iterações é razoavelente pequeno. Coo no étodo de Euler, o núero de passos esta relacionado ao taanho do passo h. A fórula de Runge-Kutta parece ser ais coplicada que a fórula de Euler, entretanto, por causa de exatidão e da facilidade de uso, o étodo de Runge-Kutta é o preferido para ser aplicado. Para a resolução do problea dado pelas equações (7) faz-se uso do étodo de quarta orde de Runge-Kutta que consiste nas seguintes fórulas recursivas: xn1 xn h 1 (11) yn1 yn k1 2k2 2k k Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

10 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento onde: k1 hf xn, yn, h k k2 hf xn y 2 2 h k 1, n, 2 k hf xn, yn, 2 2 k hf xn h, yn k. (12) Ao realizar estes cálculos aconselha-se observar e toar cuidado, pois se percebe que k2 depende de k 1, k depende de k 2 e k depende de k.. COMPARANDO OS MÉTODOS NUMÉRICOS PRESENTES NESTE ARTIGO Agora faz-se uso dos étodos nuéricos apresentados nas seções e 2...2, étodos de Euler e de Runge-Kutta, para resolver a equação da situação problea dada na seção 2..1 resolvida através da equação de Resfriaento de Newton, e assi coparar e retirar as conclusões possíveis nas três resoluções. Para abos os étodos nuéricos de resolução adite-se o valor da constante K igual á 0,08, valor encontrado anteriorente, e h, o valor do passo a ser toado igual a 0,5. E u intervalo de tepo de 0,10inutos e ua teperatura abiente de 21,1 C. Assi sendo, para o étodo de Euler utiliza-se das equações (9), dadas por f ( t, T) K( T0 T ), e Tn T0 hf ( t0, T0 ), e através dos cálculos referentes encontra-se a teperatura no respectivo tepo deterinado. Coo já se sabe e t 0te-se T0 9, (teperatura inicial igual a 9, C ), podendo assi encontrar através da equação Tn T0 hf ( t0, T0 ), a teperatura relativa a tepo seguinte, ou seja, T (1) co o tepo t 0,5. T T hf ( t, T ) Coo: f ( t0, T0 ) K( T0 T ) f ( t0, T0) 0,08(9, 21,1) f ( t0, T0) 5,77 Substituindo este valor encontrado e T1 T0 hf ( t0, T0 ), te-se: T1 9, 0,5 ( 5, 77) T1 90, 12 Encontra-se assi a teperatura de 90, 12 C ( T(1) 90,12 ), referente ao tepot 1 0,5. O étodo nuérico de Euler irá ser utilizado para encontrar a teperatura seguinte, T (2), co o tepo t 2 1in. Aplicando-se o eso procediento anterior. Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

11 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento Substituindo o valor encontrado e T2 T1 hf ( t1, T1 ) encontra-se: T2 90, 12 0,5 ( 5,59) T2 87, 952 Realizando os cálculos referentes ao intervalo de tepo de 0,10 inutos, deterinados anteriorente co h 0,5, ou seja, o taanho do passo igual a 0,5 pode-se construir a Tabela (1) co as teperaturas encontradas nos respectivos tepos, através da utilização do étodo de Euler. Tabela 1- Método Nuérico de Euler Tepo () t (in) f ( t, T) K( T0 T ) Tn T0 hf ( t0, T0 ) ( C) t 9, 0 0 t1 0,5-5,77 90,12 t -5,59 87, t 1,5-5,211 8, t -5, , t5 2,5 -, , t -, , t7,5 -, , t -,00 7, t9,5 -, , t -, , t11 5,5 -, , t -,8707 5,77 12 t1,5 -, ,58189 t -, , t15 7,5 -, ,281 t -, , t17 8,5 -, , t -2, , t19 9,5-2, ,227 t -2, , Fonte: Elaborado pelas autoras (2015). Já para os cálculos do étodo de Runge-Kutta de quarta orde, que se apresenta a seguir, alé da equação f ( t, T) K( T0 T ), e dos dados anteriorente encontrados, faz-se uso da Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

12 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento h h k1 k2 f tn, Tn 2 2, h k2 k f tn, Tn 2 2 seguinte equação, T T k 2k 2k k, lebrado que k f t T n1 n 1 2, k f tn h, Tn k., 1 n, Co a teperatura inicial de 9, C ( T 0 9, ) encontra-se T 1, a teperatura relativa ao prieiro tepo deterinado pelo taanho do passo, h 0,5, ou seja, t1 0,5, utilizando-se a h equação T n 1 T n k1 2k2 2k k, calcula-se T 1, as, precisa-se encontrar prieiraente os valores respectivos de k1, k2, k e k. De acordo co o étodo de Runge-Kutta: k f t, T k 5,77 h k1 0, 5 2,888 k2 f tn, Tn k2 f t0, T0 k2 f 0 0, 25;9, 1, k2 f 0, 25;91,85 Calculando f 0, 25;91,85 te-se: f ( t, T) K( T T ) f (0, 25;91,85) 0,08(91,85 21,1) f (0, 25;91,85) 5,08 Logo, k2 5,08 Calculando-se k : Calculando f 0, 25;91,8888 te-se: f ( t, T) K( T T ) f (0, 25;90,8888) 0, 08(90, ,1) f (0, 25;87, 952) 5, 2790 Logo, k 5,2790 Encontrando k : k f t h, T k k f 0 0,5;9, ( 2,81952) k f (0,5,90, 808). 0 0 Calculando f (0,5,90, 808) te-se: f ( t, T) K( T T ) f (0, 25;90, 808) 0, 08(90, ,1) f (0, 25;90, 808) 5, h k Logo, 5, Assi pode-se voltar à equação T1 T0 k1 2k2 2k k, e substituir os valores encontrados para obter o valor de T 1. 0,5 T1 9, 5, 77 2( 5, 08) 2( 5, 2790) ( 5,59888) T1 90, n Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

13 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento Depois de encontrado T 1, o processo é repetido sucessivaente para assi encontrar T 2, sepre calculando-se os valores de k1, k2, k e k, repetindo-se o processo anterior, ou seja, h T2 T1 ( K1 2K2 2 K K ), onde: k f t, T h k1 k2 f t1, T1 2 2, h k2 k f t1, T1 2 2, k f t h, T k 1 1,. Coo se segue na tabela (2) (Método Nuérico de Runge-Kutta), todos os cálculos realizados e cada tepo respectivaente dado, referente ao passo, h=0,5, dado: Tepo ( t n ) (in) Tabela 2- Método Nuérico de Runge-Kutta k 1 k 2 k k h T T k 2k 2k k ( C) n 1 n 1 2 t1 0 9, t1 0,5-5,77-5,08-5,2790-5, ,89975 t2 1-5, , , , , t 1,5-5, , , , , t 2-5, , ,0225 -, , t5 2,5 -, , , , ,2120 t -, ,0907 -,00 -, ,89518 t7,5 -, , , , ,7587 t8 -, , , , , t9, , , , ,72211 t , , , , t11 5,5 -, , , , , Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

14 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento t12 -, , ,7029 -, ,7711 t1,5 -, , , ,91281,02805 t1 7 -, , ,529 -, ,12991 t15 7,5 -, , ,272 -, , t1 8 -, , , , , t17 8,5 -, , , , ,77779 t18 9-2, , , , ,2518 t19 9,5-2, , ,7570-2, , t , , , , , Fonte: Elaborado pelas autoras (2015). Os cálculos fora realizados co auxílio do software visual cálculo nuérico utilizando-se nove casas deciais. Pode-se então realizar ua coparação entre o valor analítico (exato) da teperatura, estabelecido pela lei de resfriaento de Newton, e os étodos nuéricos de Euler e de Runge-Kutta. Tepo () t (in) Valor Analítico (exato) ( Kt) T() t T Ce ( C) Tabela - Coparação entre étodos analisados Método de Euler T T hf ( t, T ) n ( C) Fonte: Elaborado pelas autoras (2015). Método de Runge-Kutta h T n 1 T n k1 2k2 2k k C t1 0,5 90, ,12 90,89975 t 87, ,952 87, t 1,5 85, , , t 82, , , t5 2,5 80, , ,2120 t 77, , ,89518 t7,5 75, , ,7587 t 7, , , t9,5 71, , ,72211 t 9, , , t11 5,5 7, , , t 5, ,77 5, : Traduzindo e reescrevendo os dados acia na fora da representação gráfica teos a figura Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

15 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento Figura 2- Gráfico de coparação dos étodos apresentados neste artigo Fonte: Elaborado pelas autoras (2015). Pode-se concluir através dos cálculos e do gráfico, a eficiência do étodo de Runge-Kutta, o qual se aproxia uito do valor exato da equação referente ao problea da aplicação inicial, resolvido analiticaente.. CONCLUSÃO O presente artigo buscou salientar a ateática aliada aos conhecientos práticos do cotidiano satisfazendo e respondendo as inquietações e interrogações uitas vezes realizadas pelos estudantes. Espera-se assi que este venha contribuir ostrando que si, é possível trabalhar co os estudantes conteúdos que uitas vezes quando ensinados pode parecer de difícil copreensão, e até eso vago, através de aplicações que envolve o conheciento vivido diariaente por eles esos, se tornando assi a aprendizage satisfatória e co o verdadeiro sentido na qual os estudantes uitas vezes busca nas salas de aula. Por fi, neste artigo, fez a resolução da equação diferencial de prieira orde do prieiro grau escolhida (Lei de Resfriaento de Newton) utilizando prieiraente a resolução analítica através da técnica de separação de variáveis e por seguinte sua resolução pelos étodos nuéricos de Euller e Runge-Kutta, coparando-se assi seus resultados. De odo que, ua fora de resolução copleta a outra, conteplando ua aprendizage que faz sentido, co aplicações que traze ais significados à aprendizage de odo a não representar ua aprendizage solta, co cálculos se preocupação co a realidade. Os resultados obtidos co os étodos nuéricos e a resolução analítica se ostrara eficazes na solução do problea. Pescador e Oliveira (2015) ISSN:

16 Desenvolviento, v.2, n.1, p.10-25, jan./abr., Desenvolviento. REFERENCIAS BOYCE, Willia E; Richard C. DiPria.Equações Diferenciais Eleentares e Probleas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro. LTC ÇENGEL, Yunus A., Willia J. Pal III. Equações Diferenciais. Porto Alegre. AMGH Editora Ltda DIACU, Florin. Introdução a Equações Diferenciais: teoria e aplicações. 2 ª ed. Rio de Janeiro.LCT NAGLE, R. Kent, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Equações Diferenciais. São Paulo. 8ª edição. Pearson Education do Brasil, SIMMONS, George F.; Steven G. Krantz. Equações Diferenciais: Teoria, Técnica e Prática. São Paulo. McGraw-Hill ZILL, Dennis G.. Equações Diferenciais co aplicação e odelage tradução da 9ª edição norteaericana. 2 ed. São Paulo. Cengage Learning, Pescador e Oliveira (2015) ISSN: