O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NO CRESCIMENTO DE BACTÉRIAS

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1 O USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NO CRESCIMENTO DE BACTÉRIAS E. CIMADON 1 ;L. TRES ;M. P. PERGHER ;P. P. RUSEZYT 4 ; S. D. STROSCHEIN 5 Resumo: Este artigo tem por objetivo apresentar um problema com o intuito de estudar equações diferenciais, a partir da cultura de bactérias. A realização desta pesquisa aconteceu a partir de discussões na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias I, no curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Câmpus Bento Gonçalves. Como base no nosso estudo utilizamos os modelos de Malthus e Verhulst, que são utilizados até hoje para calcular principalmente o crescimento populacional de cidades, estudos da biologia, entre outros. Malthus é um modelo matemático que nos possibilita analisar hipóteses e consequências de uma determinada população. O modelo de Verhulst apresenta um crescimento logístico da população. Palavras-chave: Crescimento Populacional, Bactéria, Modelo de Malthus. INTRODUÇÃO Equações diferenciais ordinárias são equações que estabelecem relação de uma função real de variável real e uma ou mais das suas derivadas. Para solucionarmos uma equação diferencial é necessário procurar uma função real de variável real que satisfaça a equação dada. No cotidiano muitas vezes, procuramos soluções que descrevam matematicamente determinados problemas. O esboço do campo de direções associado à equação diferencial nos permite o estudo qualitativo. 1 Bolsistas do PET Matemática e acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS Câmpus Bento Gonçalves. Av. Osvaldo Aranha, 54, CEP 95.7-, Bento Gonçalves, RS. Fone (54) 455-, ediana.cimadon@bento.ifrs.edu.br. Bolsistas do PET Matemática e acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS Câmpus Bento Gonçalves. Av. Osvaldo Aranha, 54, CEP 95.7-, Bento Gonçalves, RS. Fone (54) 455-, leticia.tres@bento.ifrs.edu.br. Bolsista do PIBID Matemática e acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS Câmpus Bento Gonçalves. 4 Acadêmico do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS Câmpus Bento Gonçalves. Av. Osvaldo Aranha, 54, CEP 95.7-, Bento Gonçalves, RS. Fone (54) 455-, paulo.rusezyt@bento.ifrs.edu.br. 5 Professora Mestra do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS Câmpus Bento Gonçalves. Av. Osvaldo Aranha, 54, CEP 95.7-, Bento Gonçalves, RS. Fone (54) 455-, 1

2 Os primeiros estudos envolvendo modelos matemáticos para crescimento populacionais foram realizados pelo economista inglês Thomas Malthus, em Que considerou um modelo em que a taxa de crescimento populacional em um determinado intervalo de tempo é proporcional a população total naquele instante. Em outras palavras, quanto maior a população em um tempo t, maior será essa população no futuro. A Modelagem Matemática é um campo inovador, que a partir de um problema da realidade, que pode ser escrito em linguagem matemática, venha-se a obter um modelo matemático com o objetivo de facilitar o trabalho dos envolvidos. As etapas no processo de modelagem devem retornar ao ponto de partida, a fim de que descreva de uma forma real o problema em questão, segundo o autor Zill (9, p. 1). Figura 1: Representação do processo de modelagem. Este trabalho tem intenção de analisar, descrever e desenvolver um problema contextualizado envolvendo o crescimento populacional de bactérias a partir do modelo de Malthus, em conjunto com a disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias. Para iniciarmos nossa pesquisa, inicialmente, pesquisamos sobre os modelos de Malthus e Verhulst, que são os modelos mais utilizados para a dinâmica de populações. MATERIAIS E MÉTODOS Modelo de Malthus Para esse trabalho utilizaremos a equação diferencial do crescimento populacional de Thomas Robert Malthus ( ). Malthus afirmou que a maneira apropriada para f(p), quando a população fosse pequena, deveria ser um múltiplo constante de P, isto é, dp kp dt (1) sendo k uma constante. A solução dessa equação diferencial é um modelo de crescimento exponencial: P(t ) P e ()

3 populacional. A partir de então, Malthus começa a observar diferentes tipos de crescimento Olhando a natureza, ficamos perplexos com o prodigioso poder de crescimento das plantas e animais... que eles aumentem devagar ou rapidamente, sua tendência natural é crescer em uma razão geométrica, isto é, por multiplicação; e seja qual for a taxa de crescimento durante qualquer período, se nenhum obstáculo lhes for imposto, eles prosseguirão em progressão geométrica. (MALTHUS, p.16) Malthus, após analisar diferentes dados dos primeiros censos dos EUA, comparou-os com os de outros países. A partir desta constatação, Malthus conclui que o crescimento natural de populações foi de natureza exponencial com um tempo de duplicação de 5 anos para os humanos. A criação do Modelo de Malthus é simples e não leva em conta muitos fatores que possam influenciar o crescimento da população, migrações, nascimentos, mortalidade, tanto em seu crescimento como em seu declínio. Modelo de Verhulst O modelo de crescimento populacional, proposto em 188, é baseado na avaliação de estatísticas disponíveis e complementa a teoria do crescimento exponencial com termos representando os fatores de inibição do crescimento. Uma posterior elaboração foi publicada num trabalho de Nele, a população não segue uma progressão geométrica e sim uma função mais complicada, chamada de logística. Desde os anos 197 do século XX a equação logística tem recebido grande atenção como exemplo importante da teoria do caos. Verhulst publicou em 188 a seguinte equação logística: x x ax 1 k () onde k é a capacidade de suporte e a é o parâmetro a determinar. Essa equação logística pode ser resolvida por meio de estratégias de Cálculo de Equações Diferenciais que em matemática, é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x. Resolvendo a equação diferencial teremos: k x x x ( k x ) e at Verhulst tentou, sem sucesso, testar esse modelo em populações reais, porém os dados foram imprecisos. 8 anos depois, dois cientistas americanos, Pearl e Reed examinaram a (4)

4 curva de crescimento populacional dos EUA com curva logística, e verificaram que a equação dada correspondia à imagem da população atual para um tempo de 1 anos, começando em 199. Com essa descoberta a equação de Verhulst poderia ter sido utilizada 4 anos antes, para fornecer projeções precisas de populações. O modelo de Verhulst é relativamente simples, podendo oferecer resultados tão precisos para um período longo. RESULTADOS E DISCUSSÕES As Equações Diferencias tem várias aplicações práticas em Engenharia, Medicina, Química, Biologia, entre outras áreas. Utilizamos um problema da área de Biologia, segue o problema: Em uma cultura, há inicialmente x bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser x. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. Resolução: Consideramos k como constante de crescimento x( t ) x, x( t 1 ) x : dx kx dt Re solvendo pelo método de separação de var iáveis,obtemos : dx kdt x (5) Integrando a equação acima, temos: x C e (6) Para x() = x a equação anterior é dada da seguinte forma: x x Ce C Voltando para a equação e substituindo o valor de C: x x e Para descobrirmos o valor de k, utilizamos, x(1) x : (7) (8) 4

5 k e k.455 Voltando novamente a equação, temos: x xe x x e.455t Para que o número de bactérias triplique, x=x, assim temos que: (9) (1) x x e.455t t.79 Serão necessárias.71 horas aproximadamente. (11) Campo de direções O conjunto de todos os elementos lineares é chamado de Campo de Direções ou Campo de inclinações da equação diferencial, dy f ( x, y ) dx. No campo de direções podem-se observar curvas integrais da equação diferencial e assim analisar diferentes soluções. Para facilitar o processo de obtenção do campo de direções, utilizamos o Software Maple e assim obtemos a seguinte solução: Figura : Campo Direcional. CONCLUSÕES 5

6 Com esse trabalho, podemos perceber que as equações diferenciais tem grande importância na resolução de cálculos mais simples, mas também de grande complexidade, visto que sua aplicação é utilizada em várias áreas de conhecimento, como engenharia, física, biologia, além da matemática. Além disso, a possibilidade de se realizar um trabalho interdisciplinar envolvendo qualquer outra área do conhecimento aliado à matemática proporciona um aprendizado diferenciado e favorável a aprendizagem do aluno, pois os mesmos tornam-se mais participativos e atuantes em sala de aula. Observamos, no contexto exposto no presente trabalho que a utilização do modelo de Malthus e Verhulst nos permite demonstrar diversas formas de se calcular o crescimento populacional, seja de uma população de bactérias, como no caso citado acima, como o de uma população de uma cidade, visto que ambos nos fornecem os mesmos dados, mas de maneiras diferentes. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Ed. 1. Figueiredo, D. G. Equações Diferenciais Aplicadas. IMPA, 1º. Colóquio Brasileiro de Matemática, (1979), Rio. Disponível em < Acesso em 15/6/1. Disponível em < Acesso em 15/6/1. ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael. Equações Diferenciais. SP: Pearson Makron Books. Vol ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. ed. SP: Cengage Learning, 11. 6