Afinação e Temperamento
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- Theodoro Franca Angelim
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1 Hidetoshi Arakawa Afinação e Teperaento Teoria e rática Hidetoshi Arakawa 00 Edição do Autor Capinas, Brasil upleento Hidetoshi Arakawa Caixa ostal 0 Capinas, arakawah@correionet.co.br 00
2 refácio do upleento Conteúdo No Estudo de escalas e teperaentos eprega-se, tradicionalente, cálculos à base de razão, os únicos considerados exatos. As razões deonstra, alé do ais, a estrutura das escalas, quinta pura representada co núero e terça pura co núero. No entanto, para supriir a dificuldade de visualização do taanho, e razão, usa-se a expressão cento, criada por Ellis. ara transforar razão e cento é necessário usar logarito. Apesar de facilitada co o cálculo de expoente, a soa e a subtração, a expressão convencional de cento resulta e núero infinito, por não ser reversível à razão, exceto no teperaento igual. Alé disto no cento convencional desaparece estrutura da escala. ara corrigir esta deficiência, o autor criou ua notação alternativa, baseada e cento e coas. O princípio da notação é a posição das notas do igual teperaento, últiplos de ce, ais a discrepância co frações das coas. A discrepância deonstra a estrutura da escala. O valor resultante dessa notação é exato e reversivel à razão. ara achar os valores aproxiados e cento é necessário apenas ter os valores das coas calculados e cento. O resultado, ua vez transforado e cento convencional, não pode ais ser reversível à razão. No livro principal, o eprego desta notação e sua trasforação para razão são detalhaente discutidos. Neste supleento trata-se da conversão da razão para a notação alternativa de cento, copletando-se assi o ciclo cento-razão-cento da notação alternativa. As razões de sete (septial ratios tabé são discutidas neste supleento. Ebora alguns tenha cido deonstrados no livro principal, todos os exeplos são acopanhados de reversão à razão. Transforar Razão e Cento. rincípio da Transforação da Razão e Cento.... étia Maior da Escala itagórica eito iatônico da Escala itagórica eito Croático da Escala itagórica Quinta do Médio To íese Menor Quinta de Lobo do Médio To Terça Menor ura íese Maior Quinta do Teperaento de -/ K.... Quinta de Lobo do Teperaento de -/ K.... chisa.... Quinta de Helholtz.... Quinta de -/ K /... Razões de ete. rincípio do Cálculo das Razões de ete.... Quinta das Razões de ete.... Quinta iinuita das Razões de ete Terça Maior das Razões de ete Terça Menor das Razões de ete To das Razões de ete... 0 Capinas, de fevereiro de 00 Hidetoshi Arakawa
3 Transforar razão e cento. rincípio da transforação da razão e cento No estudo convencional de escalas e teperaentos co razão de freqüência, o cálculo de centos se faz por eio de logaritos, usando a calculadora científica. O étodo alternativo, criado pelo autor deste supleento, perite calcular centos se n o logarito. Ele serve para a razão de freqüência expressa e. Os síbolos, n e o pode representar núeros inteiros ou razões expressadas e fração. Todas as escalas e teperaentos tradicionais pertence a esta categoria. No cálculo de cento são utilizadas a quinta pura de ua oitava acia, na razão de freqüência de :, e a terça pura de duas oitavas acia, na razão de freqüência de :. Expressa-se coo segue. Quinta pura na razão de : 00 ( 8 Escala e Teperaento. étia Maior da Escala itagórica A razão da sétia aior da escala pitagórica II é representada por II ( Coo, n e o da fórula ( fica 0, e -, a fórula ( expressa-se por II A fórula ( é reversível à razão por eio da expressão ( Quinta pura de ua oitava acia, na razão de : Terça pura na razão de : ( II 9 (. eito iatônico da Escala itagórica A razão do seito diatônico da escala pitagórica T é 8 T (8 00 K ( Coo, n e o da fórula ( fica 0, - e 8, T da fórula (8 expressa-se por Terça pura de duas oitavas acia, na razão de : K 00 K ( T A fórula (9 é reversível à razão da seguinte aneira (9 Epregando-se ( e (, a fórula para calcular centos I centos expressa-se assi: I centos K n o ( T 9 ( 8 A aneira de calcular cento aplicando a fórula ( passa a ser explicada e exeplos co intervalos conhecidos.
4 . eito Croático da Escala itagórica A razão do seito diatônico da escala pitagórica T sc é Transforar Razão e Cento 9 0 Escala e Teperaento. íese Menor A razão da díese enor apresenta-se assi T (0 sc ( A expressão e cento da fórula (0 fica assi T sc O valor da fórula ( é igual à posição da nota ó sustenido da escala pitagórica. E todos os intervalos dessa escala o da fórula ( é 0.. Quinta do Médio To A razão da quinta do édio to 0 é ( Coo os valores de, n e o da fórula ( fica -, 0 e, a díese enor é representada por 800 K K 00 A fórula ( ostra a diferença entre oitavas e terças aiores puras de duas oitavas acia, fórula (. Coo ua terça aior pura de duas oitava acia é coposta de quintas de 0 da fórula (, a fórula ( é a diferença entre oitavas e quintas do édio to 0, coo deonstrado a seguir ( ( 0 ( ara udar a fórula ( e cento, os valores de, n e o da fórula ( fica /, 0 e 0; a quinta do édio to expressa-se por K 00 K A fórula ( é reversível à razão co a expressão 0 9 ( ( ( 800 K K 00 A fórula ( pode ser odificada da seguinte aneira ( K 00 A fórula ( é a definição original do díese enor. O díese enor da fórula ( é reversível à razão co ( (8 9 ( (
5 . Quinta de Lobo do Médio To A razão da quinta de lobo do édio to é expressa por Transforar Razão e Cento (9 Escala e Teperaento 8. Terça Menor ura A razão da terça enor pura expressa-se assi ( Coo, n e o da fórula ( são -/, 0 e, expressão e cento da fórula (9 fica A fórula ( e centos da terça enor pura fica K 00 K K 00 K (0 ( K K 900 A terça enor pura pode ser expressa assi 00 ( A fórula (0 pode ser odificada a seguinte aneira K 00 K A fórula ( deonstra que onze quintas norais e ua quinta de lobo fora sete oitavas. ara forar ua escala, a soa de quintas precisa dar 800 centos. No caso do édio to, ua das quintas apresenta ua díese enor a ais que a quinta noral 0 do édio to. A fórula ( é reversível à expressão cento por eio de ( 9 ( Na fórula ( para édio to, n é sepre 0. ( K K A fórula ( é transforada e cento co a expressão 9 ( ( 9. íese Maior A razão de díese aior M é M 00 ( A fórula ( é convertida a cento por M 800 K K ( ( (8
6 A fórula ( é odificada da seguinte aneira Transforar Razão e Cento Escala e Teperaento. Quinta de Lobo do Teperaento de -/ K A razão da quinta do lobo do teperaento de -/ K, CL representa-se assi M 800 K K 00 ( A fórula (9 é a definição de díese aior. A fórula (8 é reversível à expressão cento do seguinte odo M 9 ( ( 0. A quinta do Teperaento de -/ K A razão da quinta do teperaento de -/ K, C é deonstrada por C (9 (0 CL ( A fórula ( é transforada e cento pela expressão CL K K K 00 K K 900 A fórula ( é convertida à razão por eio de CL 9 ( ( 00 ( A fórula (0 é transforada e cento pela expressão C 800 K K (. chisa A razão da schisa é representada por 8 ( A fórula acia é transforada e cento pela expressão A fórula ( é reversível a cento coo se deonstra a seguir C 9 ( ( 800 K K ( A fórula ( é a definição da schisa. A fórula ( é transforada e razão da seguinte aneira 9 ( (
7 . Quinta de Helholtz A razão da quinta de Helholtz expressa-se por 8 8 H Transforar Razão e Cento ( Escala e Teperaento Razões de ete. rincípio do Cálculo da Razões de ete Razões de sete (septial ratios são razões que inclue o núero. A principal razão é : e corresponde ao intervalo de sétia enor. A diferença entre a nota ib da escala pitagórica e a de : chaa-se coa de sétia enor X, expressa por A fórula ( é transforada e cento co a expressão H K K 8 00 ( K 8 8 A fórula ( é reversível à razão por eio de ( X ( (. ( A coa de sétia enor equivale a,099 centos; no entanto, para calcular intervalos e centos basta a precisão de centésios, ou seja,, centos. Modificando-se a fórula (, a sétia enor II é expressada da seguinte aneira H 8 9 ( ( 8 8 II ( ( 0 ( 9 ( (. Quinta de -/ K / Ua quinta de -/ K /, C é representada por 9 C (8 A fórula (8 é transforada da seguinte aneira C 800 K K A fórula (9 é reversível à razão através de C 9 ( ( (9 A sétia enor II é transforada e expressão centesial por II 000 X ( A fórula ( deonstra que a sétia enor é a sétia enor pitagórica enos a coa de sétia enor. Ela vale 98,8 centos, sendo portanto ua coa de sétia enor,, centos, enor que a sétia enor da escala pitagórica, que vale 99,09 centos. A sétia harônica fica duas oitavas acia da sétia enor II. Usando-se a fórula (, a sétia harônica é expressa da seguinte aneira II X 00 X (
8 Razões de ete 8 Escala e Teperaento A fórula ( é reversível à razão por II 9 ( ( Co a fórula ( transfora-se e cento as razões de sete.. Quinta das Razões de ete As duas quintas descendentes que fora ua sexta enor II são calculadas da seguinte aneira A fórula (8 é reversível à razão por eio de 9 ( X ( ( eu valor é -8,0 centos. Coo a discrepância é grande, esta quinta não é adequada para forar ua escala praticável. Alguns intervalos são usados apenas para estudo.. Quinta iinuta das Razões de ete O intervalo na razão de : é a quinta diinuta d, e expressa por 000 X X 00 X A fórula ( é reversível à razão co a expressão ( (9 d A fórula (9 é transforada e cento da seguinte aneira d X 800 K X. K (0 9 ( ( A fórula ( de razão é transforada e expressão centesial por ( ale 8, centos. A fórula (0 é reversível à razão por eio da expressão d ( 9 ( ( X 00 X (. Terça Maior das Razões de ete O intervalo de :9 é a terça aior na razão de sétia,, e expressa-se da seguinte aneira Esta quinta da fórula ( te eia coa de sétia enor a ais que a quinta pura. Te,9 centos, sendo portanto, centos aior que a quinta pura. A diferença entre sete oitavas e doze quintas no círculo descendente é representada da seguinte aneira 9 ( ( X X (8
9 Razões de ete 9 0 Escala e Teperaento A fórula ( é transforada e cento por eio de X X 900 A fórula ( deonstra que a terça aior na razão de sétia te ua coa de sétia enor a ais que a terça aior da escala pitagórica. Co valores e centos das coas e X, o valor da terça aior é calculada e,08 centos. A terça aior é a diferença entre o Ré de ua oitava acia da escala pitagórica, :9, e a sétia enor II, :. Essa diferença expressa-se por ( II II X A fórula ( é odificada da seguinte aneira ( II II ( X X X A fórula ( deonstra que a terça aior é forada co duas quintas pitagórica e duas quintas. A fórula ( é reversivel à razão por eio de 9 ( ( ( ( (. Terça Menor das razões de ete A terça enor na razão de sétia é a razão de : e expressa-se assi ( A fórula ( é transforada e cento da seguinte aneira O valor é,8 centos. A terça enor é a diferença entre a sexta enor II na razão de : e a quinta pura na razão de : e representa-se por II 000 X X As fórulas ( e ( são reversíveis à razão da seguinte aneira 00 X X ( ( 9 (. To das Razões de ete O to na razão de sétia T é de :8 e expressa-se por 8 T (8 (
10 Razões de ete A fórula (8 é transforada e cento da seguinte aneira T X X (9 O to T é a diferença entre ua oitava e a sexta enor II representada pela expressão T II X X (0 As fórula (9 e (0 são reversíveis à razão por eio da seguinte expressão T 9 ( (
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