SOBRE O PROBLEMA DA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA DE UM CORPO

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1 44 SOBRE O PROBLEMA DA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA DE UM CORPO Resuo Jair Sandro Ferreira da Silva Este artigo abordará a aplicabilidade das Equações Diferenciais na variação de teperatura de u corpo. Toareos coo fundaento a Lei de Variação de Teperatura de Newton, cujo odelo ateático é ua Equação Diferencial Ordinária de 1ª orde e 1º grau a qual depois de resolvida perite deterinar a teperatura aproxiada de u corpo e qualquer instante. Palavras-chave: Equações Diferenciais; variação de teperatura; Lei de Resfriaento de Newton. Abstract This article will address the applicability of differential equations in the teperature Variation of a body. We will take as a basis for the Law of Teperature Variation Newton, whose atheatical odel is an ordinary differential equation of order 1 and 1 degree after which resolved to deterine the approxiate teperature of a body at any tie. Keywords: Differential Equations, variation of teperature; Law of Cooling Newton. Introdução As equações diferenciais tê hoje apla variedade de aplicações nas ciências físicas, biológicas e sociais, isto é, existe substâncias naturais radioativas que decae co ua taxa proporcional à quantidade de aterial presente; o calor passa de u corpo quente e u abiente ais frio a ua taxa de variação proporcional à diferença de teperatura do corpo e do abiente; que os corpos se desloca de acordo co as leis de oviento de Newton; que as populações isoladas de insetos, bactérias, cresce a ua taxa proporcional à população presente. Cada ua destas afirações envolve ua taxa de variação (derivada) e, por isso, ao ser expressa ateaticaente, assue a fora de ua equação diferencial e esta é o odelo ateático do processo. Pós-graduado e Mateática pelo UNIVAG.

2 45 Neste artigo dareos ênfase na aplicabilidade das equações diferenciais à probleas de variação de teperatura de u corpo, onde utilizareos a Lei de Variação de Teperatura de Newton coo ferraenta do processo. U pouco da história das Equações Diferenciais Equação Diferencial é ua peça fundaental da análise e do cálculo, é ua ferraenta ateática iportante para o estudo das ciências físicas. Assi, é aplaente aceito que as equações diferenciais são iportantes tanto para a ateática pura, quanto para a ateática aplicada. Os fundaentos deste assunto estão conteplados nas contribuições de Leonhard Euler. Não podeos nos esquecer que não se resue só nele o seu desenvolviento. Existe vários ateáticos iportantes que viera antes de Euler, cujas contribuições fora necessárias para desenvolver uitas das idéias fundaentais. A história coeça co os inventores do cálculo Newton e Leibniz. A partir do oento que estes ateáticos brilhantes tivera entendiento suficiente e notação para a derivada, esta logo apareceu e equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobrira que as soluções para estas equações não era tão fáceis. As anipulações sibólicas e siplificações algébricas ajudara apenas u pouco. Por volta do início do século 18, virara ua febre as pesquisas e equações diferenciais e os ateáticos coeçara a aplicar estes tipos de equações a probleas e astronoia e ciências físicas. Jacob Bernoulli estudou cuidadosaente e escreveu equações diferenciais para o oviento planetário, usando os princípios de gravidade e oviento desenvolvidos por Newton. Nesta época, as equações diferenciais estava interagindo co outros tipos de ateática e ciências para resolver probleas aplicados significativos. Assi, fora surgindo vários físicos e ateáticos que, cada vez ais, avançara nos seus estudos de cálculo e equações diferenciais, tais coo Ricatti, os irãos Bernoulli, Johann, Jacob e Daniel,... Mas foi co Taylor que coeçou u novo rao da ateática intiaente relacionado ao desenvolviento das equações diferenciais. E uitos casos, técnicas de soluções iludira perseguidores por cerca de 50 anos, foi quando Leonhard Euler chegou à cena das equações diferenciais. Euler teve o benefício de trabalhos anteriores, as a chave para seu entendiento era seu conheciento e percepção de

3 46 funções. Euler entendeu o papel e a estrutura das funções, estudou suas propriedades e definições. Rapidaente, achou que as funções era a chave para entender equações diferenciais e desenvolveu étodos para suas resoluções. Ele era o estre que este assunto necessitava para se desenvolver alé de seu início priitivo, tornando-se u assunto coeso e central ao desenvolviento da ateática aplicada oderna. Depois de Euler viera vários ateáticos que refinara ou estendera uitas das suas idéias. Lei de Variação de Teperatura de Newton E 1701, quando tinha quase 60 anos, Newton publicou anoniaente u artigo intitulado Scala Graduu Caloris, e que descreve u étodo para edir teperaturas de até C, algo ipossível aos terôetros da época. O étodo estava baseado no que hoje é conhecido coo a Lei de Variação de Teperatura de Newton: a taxa de variação da teperatura de u corpo é proporcional à diferença de teperaturas entre o corpo e o abiente. E uitas situações e que ocorre a variação de teperatura de u corpo, podeos aplicar a Lei de Variação de Teperatura de Newton através de ua odelage ateática de Equações Diferenciais Ordinárias. Contudo, ne sepre é possível visualizar essa aplicabilidade e nosso cotidiano. Assi, ostrareos alguns exeplos do dia a dia e que é possível a aplicação da Lei de Variação de Teperatura de Newton, considerando que a taxa de resfriaento de u corpo depende de fatores tais coo: a diferença de teperatura entre o corpo e o eio externo, as condições do abiente onde o corpo foi colocado, o tepo e que o corpo peranece e contato co o abiente, o aterial do corpo, a superfície do corpo exposta ao abiente,... Mudança de têpera feita e peças de aço U procediento fundaental para a dureza e elasticidade do aço é obtido através de u trataento térico, o qual consiste basicaente no aqueciento e resfriaento do aço. Parte fundaental desse procediento é o reveniento, que consiste e inserir ua peça e u forno que está a ua deterinada teperatura, aguardar a peça chegar à teperatura desejada

4 47 para que haja u acoodaento natural de sua estrutura e retirar esta peça do forno, deixando-a resfriar até a teperatura abiente. Co o auxílio da equação da Lei de Variação de Teperatura de Newton, é possível deterinar o tepo necessário para peranência da peça dentro do forno, para que esta atinja a teperatura de reveniento. Co o cálculo destes tepos, acredita-se tabé que seja possível aperfeiçoar a utilização do forno, peritindo ua aior produtividade, alé de econoia por tepo de utilização do equipaento. Resfriaento de ateriais biológicos para preservação Entre os vários étodos de preservação de ateriais biológicos, o resfriaento é aplaente utilizado, por peritir a conservação das propriedades quantitativas e qualitativas desejáveis desses ateriais e estado quase inalterado e natural. Por exeplo, o pré-resfriaento de frutas é ua das ais iportantes etapas da pós-colheita e consiste na reoção rápida do calor dos frutos oriundos dos capos, antes do arazenaento, processaento ou coercialização, no qual é preciso estocar essas frutas e câaras de refrigeração para que esses alientos dure por ais dias ou até eso eses. Por isso, se faz necessário diinuir a teperatura dessas frutas, antes que seja arazenadas nas câaras de refrigeração, pois, as esas não consegue anter uitos alientos a ua teperatura adequada, para que assi não estrague rapidaente. Esse eso processo de resfriaento tabé é usado para a diinuição das perdas de produtos hortícolas frescos, os quais e grande parte depende da rápida diinuição da teperatura após a colheita. O objetivo do arazenaento é anter a qualidade interna e externa desses alientos. Tal procediento é realizado através de dois tipos de resfriaento, água gelada ou ar forçado. Antes de entrar na câara fria, por exeplo, as açãs recebe u banho, atravessando u tanque de água gelada sobre ua esteira rolante, durante u deterinado tepo, saindo nua teperatura édia desejada, verificando-se que quanto aior o tepo (e inutos) que a açã fica no banho enor é a teperatura (e C), coo desejado. Para o pré-resfriaento das açãs por ar forçado, utiliza-se u túnel co fluxo de ar forçado, no qual são antidas as açãs até que se obtenha a teperatura desejada. Sendo assi, é possível através da Lei de Variação de Teperatura de Newton deterinar o

5 48 tepo necessário para que as açãs e contato co a água gelada ou ar forçado atinja a teperatura necessária para o arazenaento. Outro exeplo de aplicação é no processo de resfriaento do leite cru. Ao baixaros sua teperatura, retardaos os processos quíicos e o cresciento icrobiano, evitando dessa fora a queda da qualidade do produto. Esse processo consiste e baixar a sua teperatura a ua igual ou inferior a 4 C, teperatura esta que deve ser atingida no áxio e 3h após o térino da ordenha na propriedade rural e nela antida e u período áxio de 48h antes de ser transportado para u estabeleciento industrial para ser processado, onde deve apresentar no oento do seu recebiento, teperatura igual ou inferior a 7 C. O resfriaento na propriedade rural te por objetivo inibir o cresciento bacteriano e prolongar o arazenaento do produto na propriedade rural de fora a reduzir os custos de transporte e evitar a perda da qualidade do produto. O cresciento de bactérias no leite é reduzido por eio do resfriaento abaixo de 10 C, as teperaturas próxias de 3 C a 4 C, atingidas de ua fora rápida, perite que as atividades bacterianas seja iniizadas. Ua das técnicas ais usadas pelos produtores rurais de leite para o resfriaento rápido desse produto é o sistea de expansão direta que consiste e tanques de resfriaento do leite, onde o eso é projetado coo u evaporador, sendo que o calor do leite passa pela parede de aço inoxidável para o eio de resfriaento. Sendo assi, o eio de resfriaento se evapora, retirando o calor do leite. A Lei de Variação de Teperatura de Newton deterina quanto tepo o leite deve peranecer e contato co essa parede inoxidável, para que se obtenha a teperatura desejada. Fundaentação Teórica da Lei de Variação de Teperatura de u Corpo O Modelo Mateático U corpo co teperatura T que não possui internaente nenhua fonte de calor, quando deixado e u eio abiente, tende àquela do eio que o cerca ( T ). Assi, se a teperatura do corpo T é enor que a teperatura abiente T, este corpo se aquecerá e, caso contrário, se resfriará. A teperatura do corpo será, pois, ua função contínua do tepo, Tt. ()

6 49 Verifica-se experientalente que quanto aior for a diferença entre a teperatura do abiente e a do corpo, ais rápido, será a variação de Tt. () Isto é evidenciado de fora precisa pela chaada Lei de Variação de Teperatura enunciada por Isaac Newton. Neste odelo ateático, a teperatura do corpo nunca atingirá a teperatura T (teoricaente T T quando t ). Sobre a condução do calor, u odelo real siples que trata sobre a troca de calor de u corpo co o eio abiente e que o eso está colocado, aceita três hipóteses siplificadoras: 1. A teperatura T T() t depende do tepo t e é a esa e todos os pontos do corpo. 2. A Teperatura T do eio abiente peranece constante ao longo da experiência. 3. A taxa de variação da teperatura co relação ao tepo t é proporcional à diferença entre a teperatura do corpo e a teperatura do eio abiente. A ontage e resolução da equação diferencial assue coo verdadeiras estas hipóteses e, dessa fora dt k( T T ) dt onde T T() t é a teperatura do corpo no instante t, T é a teperatura constante do eio abiente e k é ua constante de proporcionalidade que depende do aterial do corpo, da assa e da superfície exposta ao abiente, sendo que o sinal negativo indica que a teperatura do corpo está diinuindo co o passar do tepo, e relação à teperatura do eio abiente. Por definição, essa constante de proporcionalidade é representada pela seguinte razão: S k c onde, é o coeficiente de troca de calor e depende da fora, taanho do corpo e do contato entre o corpo e o eio que o rodeia, pois, podeos verificar que quanto aior for a superfície de contato entre o corpo e o eio externo (abiente) aior será a rapidez de resfriaento/aqueciento. S representa a área do corpo, a sua assa e c o calor específico

7 50 do aterial do corpo, sabe-se que quanto aior o valor do calor específico do aterial do corpo, ua aior quantidade de energia será necessária para variar a sua teperatura. Assi, coo as características do corpo são iportantes neste processo, as características do eio e que este está ierso, tabé o são. Por exeplo, se o objeto está e contato co o ar, que é u bo isolante térico, ais lento serão os processos de resfriaento ou aqueciento do que se estiver ierso e água. A condutividade térica da água é aior que a do ar. Ua outra característica iportante é a obilidade do eio externo e relação ao objeto, quanto aior for esta obilidade, ais rápidas se darão as trocas téricas entre o objeto e o eio e contato co o eso, por exeplo, quando quereos resfriar ais rápido u cafezinho sopraos sobre ele. Assi, podeos verificar que a constante de proporcionalidade k depende de diversos fatores, a equação diferencial que rege este processo de variação de teperatura é ua equação diferencial de 1ª orde e 1º grau de variáveis separáveis 1, que pode ser transforada e, Integrando abos os ebros teos, dt k( T T ) dt dt ( T T ) kdt dt ( T T ) kdt Da definição de logarito, ve, k0 Coo e C, teos ln( T T ) kt k T T e 0 kt k0 kt k0 T T e e T T C e kt E a solução geral da equação diferencial será T() t T C e Sabe-se que a teperatura inicial do corpo é T(0) T0, então substituindo t 0 na solução da equação, podeos obter o valor da constante C que aparece na solução geral, T() t T C e kt kt

8 51 T(0) T C e T0 T C.1 C T0 T Assi, a teperatura de u corpo e qualquer oento é dada pela função 0 k.0 T( t) T ( T T ) e Exeplo Ilustrativo: Ua Aplicação na Criinalística 1. Esta equação diferencial tabé pode ser classificada coo ua linear dt kt T dt. A cena é clássica. Nu caso de Investigação Criinal, kt u perito criinal exaina o cadáver e diz: Está orto há tantas horas. Mas será tão siples assi? Na verdade, é u pouco ais coplicado. Há diversos étodos para se deterinar quando ocorreu o óbito, as alguns tê algo e cou: a ateática. Existe hoje várias técnicas para indicar a hora do óbito. A fora ais siples e usada no undo é a edição da teperatura do cadáver por eio de u terôetro. Quando u indivíduo orre, sua teperatura que era e torno de 36,5ºC coeça a cair e tende a se igualar a teperatura do abiente. No entanto, o étodo não deve ser aplicado se o cadáver perdeu uito sangue ou se orreu devido à ingestão de algu tipo de veneno especial ou se passar uito tepo após o óbito, quando ficará difícil de deterinar esta variação de teperatura e levando e conta tabé que fatores, afeta a perda de teperatura e explica a arge de erro dessa técnica (fatores que serão desconsiderados neste artigo). Tal aplicação se torna possível devido a ecanisos bioquíicos que são antidos e nosso corpo a ua teperatura constante de aproxiadaente 36,5ºC. Quando ocorre o óbito, estes ecanisos deixa de funcionar e, então, a teperatura do corpo coeça a diinuir da esa fora que ua xícara de café esfria depois de servido. Assi, é possível deterinar a hora aproxiada de óbito de ua pessoa através de u odelo ateático de Equação Diferencial Ordinária aplicada na Lei de Variação de Teperatura de Newton. Assi, suponhaos que o corpo de ua vítia de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h e 30in o perito criinal chegou e iediataente toou a teperatura do cadáver, que

9 52 era de 32,5 C. Ua hora ais tarde, toou a teperatura outra vez e encontrou 31,5 C. A teperatura do abiente foi antida constante a 16,5 C. Deveos aditir tabé que a teperatura noral de ua pessoa viva seja, aproxiadaente, de 36,5 C. É possível deterinar a hora aproxiada e que essa pessoa veio a óbito? 2 Através da Lei de Variação de Teperatura de Newton, é possível deterinar a hora aproxiada e que a vítia veio a óbito. Os valores atribuídos neste exeplo são eraente ilustrativos. Sabe-se que a teperatura de u corpo huano e condições norais anté-se constante e torno de 36,5 C (graus Celsius), assi teos, Sendo T a 23h30in T = 31,5ºC teperatura do corpo e T a teperatura do abiente, toareos coo tepo inicial a prieira edição da teperatura de T 0 = 32,5 quando t = 0, então, T = 16,5ºC T(0) = 32,5ºC (tepo e que o perito efetuou a 1ª edição da teperatura) T(1) = 31,5ºC (tepo e que o perito efetuou a 2ª edição de teperatura) Coo vios, a função que deterina a teperatura aproxiada de u corpo e relação ao tepo é dada por Horário das edições Hora de óbito? 22h30in T( t) T ( T T ) e T( t) 16,5 (32,5 16,5) e kt 0 T( t) 16,5 16. e kt Teperatura do Corpo T = 36,5ºC T = 32,5ºC kt

10 53 Assi, no instante e que t = 1, teos T(1) 16,5 16. e k 31,5 16,5 16. e k k e 15 /16.1 Resolvendo esta equação exponencial, teos que, k ln e ln(15 / 16) k.ln e ln(15/ 16) k.1 ln(15 / 16) k 0, e dessa fora a função que deterina a teperatura do corpo e qualquer instante é T( t) 16, , t e Assi, para deterinar a hora do óbito, basta substituir T = 36,5ºC na função e resolver para t, T( t) 16, , t e 0, t 36,5 16,5 16. e 0, t e 20 /16 0, t ln e ln(20 / 16) 0, t ln(20 /16) ln(20 /16) t -3,4575 horas ou -3h27in 0, Sendo que o perito toou a prieira teperatura do corpo às 22h30in, conclui-se que esse corpo veio a óbito 3h27in atrás. Logo, a hora aproxiada do óbito ocorreu por volta das 19h03in. O gráfico a seguir ostra o decaiento de teperatura do corpo a partir da função obtida, onde o eixo vertical representa a teperatura do corpo, o eixo horizontal o tepo e horas,

11 54 considerando que a teperatura no instante do óbito estava e torno de 36,5 o C, e a orige coo o tepo e que o perito executou a 1ª edição de teperatura. Considerações Finais Esperaos que este artigo tenha contribuído para evidenciar a iportância do estudo de Modelage Mateática de Equações Diferenciais e da Lei de Variação de Teperatura de Newton, pois, todas te grande aplicabilidade na prática, auxiliando tanto na copreensão quanto na deterinação do funcionaento de sisteas físicos, biológicos, econôicos e até eso sociais. Referências Bibliográficas Centro Federal de Educação Tecnológica de Pelotas CEFET-RS. Resfriaento de u Corpo. Disponível e: <http://www2.pelotas.ifsul.edu.br/denise/caloreteperatura/resfriaento.pdf>. Acesso e: 13/09/2009

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