Cálculo do Raio Crítico de Pontos Quânticos Cilíndricos e Esféricos

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1 ERMAC 00: I ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - 3 de Novebro de 00, São João del-rei, MG; pg Cálculo do Raio Crítico de Pontos Quânticos Cilíndricos e Esféricos Paulo César M. Machado, Sérgio A. de Figueiredo, Mara Grace S. Figueiredo e Leonardo da C. Brito Escola de Engenharia Elétrica e de Coputação, EEEC, UFG CaixaPostal: 3, , Goiânia, GO E-ail: pcachado@gail.co, sergio@eee.ufg.br, ara@eee.ufg.br, brito@eee.ufg.br Resuo: Neste trabalho apresentaos as soluções analíticas para o cálculo do raio de pontos quânticos cilíndricos e esféricos e que o elétron possui energia nula, isto é, o elétron está nu estado de transição entre u estado ligado à ipureza central (energia negativa) e u estado desligado da ipureza (energia positiva). Apresentaos tabé o étodo nuérico utilizado para resolver as equações transcendentais obtidas, envolvendo a função de Bessel e a segunda solução da equação hipergeoétrica confluente e suas derivadas.. Introdução Pontos quânticos (PQ) são estruturas seicondutoras quase-zero-diensionais onde os elétrons são confinados nas três diensões espaciais. Nos últios anos os PQ tê atraído uita atenção devido, dentre outras, às suas potenciais aplicações e circuitos integrados nano-eletrônicos ua vez que os níveis de integração requeridos não estão ao alcance da tecnologia atual de transistores [4]. Os PQ pode apresentar diferentes foras geoétricas: esféricos, piraidais, cilíndricos, etc [3,6]. Denoinaos disco quântico (DQ) ao ponto quântico cilíndrico e que a altura do cilindro é uito enor que o diâetro da face circular. U dos interesses e PQ é o cálculo dos níveis de energia de ipurezas doadoras hidrogenóides localizadas e tais estruturas. O odelo ais couente utilizado nesse estudo considera que os elétrons não pode escapar para o exterior do ponto, o que corresponde ao odelo de barreiras de potencial de alturas infinitas. A principal vantage deste tipo de aproxiação é o fato de siplificar os cálculos e dar ua visão qualitativa do sistea. Dependendo do valor do raio do PQ, o elétron pode ter energia negativa, representando estados e que o elétron está ligado à ipureza doadora ou energia positiva, representando estados e que o elétron está desligado da ipureza doadora, as ainda está confinado no PQ. Neste trabalho utilizaos u odelo ais realista, que considera a barreira de potencial de altura finita, e calculaos o valor do raio do disco quântico (DQ) e do ponto quântico esférico (PQE) correspondente à energia nula do elétron, que chaareos de raio crítico. Raio crítico é, portanto, o valor do raio do PQ para o qual o elétron se desliga da ipureza. A principal razão de se calcular o raio crítico de pontos quânticos é liitar a região da procura de raízes das equações transcendentais que fornece os níveis de energia do elétron ligado à ipureza: para raios do PQ aiores que o raio crítico a energia do elétron é negativa, representando estados ligados, e existe ua única raiz real; para raios do PQ enores que o raio crítico a energia do elétron é positiva, representando estados desligados, e só existe raízes coplexas.. Metodologia A equação de Schrödinger de u elétron ligado à ua ipureza doadora hidrogenóide central nu PQ, sujeito a u potencial de confinaento V( é escrita na fora e + V ( ψ = Eψ ε r 0 ()

2 95. Disco Quântico (DQ) Prieiro consideraos a ipureza localizada no centro de u DQ circular de raio R. Consideraos o oviento do elétron apenas no plano (r,θ) e que o potencial na direção z, perpendicular ao plano (r,θ), seja ais intenso que nas outras duas direções, de tal odo que desprezaos seus efeitos sobre a dinâica do oviento eletrônico. E coordenadas cilíndricas e unidades adiensionais, onde os coprientos são escritos e unidades de raio de Bohr efetivo, a = ( ε ) ( ) e as energias e unidades de Rydberg e efetivo, Ry = ( e ) ( a ), escreveos a eq. () da seguinte fora: ψ ψ + + r r r r ψ + V ( ψ = Eψ θ () A equação () é separável e sendo assi, escreveos, iθ ψ ( r, θ ) = F( e,, ±, ±,... (3) Substituindo-se esta expressão na equação (), obteos as seguintes equações diferenciais ordinárias satisfeitas pela função F(, dentro do DQ (r < R), confore a eq. (4) e fora do DQ (r > R), confore a eq. (5): ( r + Er ) F( ) r F ( + rf ( + r (4) δ r F ( + δ rf ( + [r ( V E) r δ ] F( (5) 0 onde F ( e F (r ) denota as derivadas de prieira e segunda orde de F ( e o parâetro δ é dado pela relação δ = /. A equação (4) dentro do DQ para E fica: ( r ) F( ) r F ( + rf ( + r (6) Coparando co a equação de Bessel odificada [] γ ( s a + γ β x ) Y ( ) x Y ( + ( s) xy ( + γ x (7) Para x r e Y( F(, obteos: s, γ = ½, β = e a =. As soluções da eq. (7) são []: s γ Y ( = Ax J ( β x ) (8) a onde J a são as soluções da equação de Bessel de índice a. Então as soluções da eq. (6) são: E, portanto, na região dentro do DQ: / F( = AJ ( r ) (9) iθ ψ ( r, θ ) = AJ ( r ) e, r R (0) /

3 96 Resolvendo a eq. (5) fora do DQ para E : δ r F ( + δ rf ( + [r V r δ ] F( () 0 Pode-se, através da udança de coordenadas ξ = r /( λδ ), colocar a eq. () na fora, F ( ξ ) ( ) λ F ξ + + F () ξ 4 ξ ξ onde o parâetro λ é u núero real e positivo dado pela relação λ = /( δ V ). A derivada 0 prieira da eq. () é eliinada fazendo a transforação F ( ξ ) = φ( ξ ) ξ, obtendo a equação ( ) λ 4 φ ξ + + φ ( ξ ) ξ 4 ξ (3) que é a conhecida equação de Whittaker [], co solução e função da equação hipergeoétrica confluente. Coo condição de contorno, a solução da eq. (3) deve ir a zero quando r for para infinito. Esta restrição não é satisfeita pela prieira solução da equação hipergeoétrica confluente, M ( a,. Deveos então usar a segunda solução, U ( a, []: π M ( a, M ( a b +, x U ( a, = senπb ( a b)!( b )! ( a)!( b)! b (4) onde M ( a, é definida coo []: ax a( a + ) x M ( a, = (5) b.! b( b + ).! co b 0,,,. Esta função converge para todo x finito, te ua singularidade no infinito ( x ) e se torna u polinôio se o parâetro a é zero ou u inteiro negativo. A solução da eq. (3) é, portanto, φ( ξ ) = Be ξ ξ U ( + λ, + ; ξ ) (6) onde B é ua constante de noralização. A solução fora do DQ é então dada por: r /( λδ ) r r iθ ψ ( r, θ ) = Be U + λ, + ; e r R (7) λδ λδ Aplicando-se as condições de continuidade da função de onda, ψ ( r = R, θ ) = ψ ( r = R, θ ), e conservação da corrente na interface do DQ, ψ ( r = R, θ ) = δψ ( r = R, θ ), a equação transcendental resultante é: U λ U R ( R / ) / ( R ) / J J λδ R (8)

4 97 onde U e J denota, respectivaente, a derivada prieira das funções U e J co relação a U = U + λ, + ; r /( λδ ). x e ( ) Para u dado núero quântico a solução da equação transcendental (8) fornece o raio do DQ para qual é nula a energia do elétron ligado à ipureza doadora.. Ponto Quântico Esférico (PQE) E coordenadas esféricas e unidades adiensionais a eq. () é escrita da seguinte fora, r r r ψ + r ψ senθ + senθ θ θ ψ + V ( ψ = Eψ sen θ ϕ (9) Fazendo a separação de variáveis da fora ψ ( r, θ, ϕ) = F( Z( θ ) e na eq. (9) tê-se, respectivaente, dentro do PQE (r < R) e na região externa ao PQE (r > R), as eqs. (0) e (): r F ( + rf ( + [r + r E L( L + )] F( (0) ( 0 δ r F + δ rf ( + [r r ( V E) δ L( L + )] F( () Estas equações são resolvidas de aneira análoga ao DQ, obtendo-se a seguinte equação transcendental: U λ U R ( R / ) / ( R ) / J L+ J L+ ilϕ λδ λ L R R onde U e J denota, respectivaente, a derivada prieira das funções U e J co relação a R x e U = U L + λ, L + ;. λδ Para u dado núero quântico L a solução da equação transcendental () fornece o raio do PQE para qual é nula a energia do elétron ligado à ipureza doadora. 3. Resultados Neste trabalho consideraos ua ipureza doadora hidrogenóide localizada no centro de u PQ de raio R, coposto de arseneto de gálio (GaAs) e envolto por arseneto de gálio-aluínio (Al χ Ga -χ As), onde χ é a concentração de aluínio na liga (0 χ ). A função potencial de confinaento V( assue o valor nulo dentro do PQ (r < R) e valor V 0 = 4 ev fora do PQ (r > R) para ua concentração de aluínio χ,3 [5]. A assa efetiva eletrônica tabé assue diferentes valores dentro e fora do PQ, sendo que no GaAs (r < R), 067e e no Al 0,3 Ga 0,7 As (r > R),, 099e, onde e é a assa do elétron livre [5]. Para o GaAs o raio de Bohr efetivo é a0 = 98, 69 Å e o Rydberg efetivo é R y = 5,83 ev. 3. Disco Quântico (DQ) As Figuras (a) e (b) ostra o coportaento da eq. (8) e função do raio do DQ para = 0 (ª sub-banda de energia) e = (ª sub-banda de energia). As descontinuidades que / aparece nessas figuras corresponde aos zeros da função de Bessel, J ( R ), que se encontra tabelados na literatura []. ()

5 98 (a) (b) Figura : Raios críticos (E ) para discos quânticos para (a) e (b) =. A Tabela ostra os quatro prieiros zeros das seis prieiras funções de Bessel de índices inteiros. Raízes J 0 ( J ( J ( J 3 ( J 4 ( J 5 ( ª,4048 3,837 5,356 6,380 7,5883 8,775 ª 5,50 7,056 8,47 9,760,0647,3386 3ª 8,6537 0,735,698 3,05 4,375 5,700 4ª,795 3,337 4,7960 6,35 7,660 8,980 Tabela : Zeros da Função de Bessel índices inteiros. Pode-se ver nas Figs. (a) e (b) que o zero da eq. (8) é u valor enor que o valor correspondente à descontinuidade, de aneira que podeos toar coo intervalo que conté este zero o intervalo [ε, RB ε], e que ε é u valor uito pequeno e RB é o zero da função de Bessel. A introdução do valor ε no intervalo se justifica, pois no liite inferior do intervalo não existe DQ de raio nulo e no liite superior, no valor RB correspondente à descontinuidade, a eq. (8) apresenta divisão por zero. Utilizaos neste trabalho ε,0. / Para tiraos da Tab. que J 0 (,4048). Então RB =, 4048 e, portanto, RB = 7 Å, que é o valor da descontinuidade na Fig. (a). Para = tiraos da Tab. que / J (5,356). Então RB = 5, 356 e, portanto, RB = 35 Å, que é o valor da descontinuidade na Fig. (b). Tendo estabelecido os intervalos que contê as raízes para e =, as raízes são calculadas utilizando-se o Método da Bissecção [7], que apesar de apresentar ua convergência linear, te a virtude de sepre convergir para a raiz existente e u intervalo pré-estabelecido. Os valores obtidos para o raio crítico do DQ fora R C = 5 Å para e R C = 306 Å para =. 3. Ponto Quântico Esférico (PQE) As Figuras (a) e (b) ostra o coportaento da eq. () e função do raio do PQE para L (ª sub-banda de energia) e L = (ª sub-banda de energia). As descontinuidades que / aparece nas figuras corresponde aos zeros da função de Bessel, J L+ ( R ), dados na Tab.. Utilizando o eso procediento anterior, para L tiraos da Tab. que / J (3,837). Então RB = 3, 837 e, portanto, RB = 8 Å, que é o valor da descontinuidade na Fig. (a). Para L = tiraos da Tab. que J (6,380) 0. Então / 3 = RB = 6,380 e, portanto, RB = 50 Å, que é o valor da descontinuidade na Fig. (b). Neste caso o zero da eq. () é u valor aior que o valor correspondente à descontinuidade,

6 99 as se encontra próxio a esta. O intervalo adotado para o cálculo do zero da eq. () foi [RB + ε, RB + 00]. Tendo estabelecido os intervalos que contê as raízes para L e L =, utilizaos novaente o Método da Bissecção e obtiveos para o raio crítico do PQE os valores R C = 99 Å para L e R C = 5 Å para L =. (a) (b) Figura : Raios críticos (E ) para pontos quânticos esféricos para (a) L e (b) L =. 4. Conclusões Neste trabalho apresentaos a solução analítica do cálculo do raio crítico de discos quânticos e de pontos quânticos esféricos. Os cálculos fora para estruturas de arseneto de gálio (GaAs) envolto e arseneto de gálio-aluínio (AlGaAs). As equações transcendentais encontradas fora resolvidas por étodos nuéricos e fora calculados os raios críticos para a ª e a ª sub-banda de energia dos discos quânticos ( e = ) e dos pontos quânticos esféricos (L e L = ). Agradecientos Agradeceos à Fundação de Apoio a Pesquisa, FUNAPE UFG, pelo suporte financeiro. Referências [] M. Abraowitz and I. A. Stegun, "Handbook of Matheatical Functions", Dover, New York, 968. [] G. Arfken, "Matheatical Methods for Physicists", Acadeic Press, New York, 97. [3] R. S. D. Bella and K. Navaneethakrishnan, Donor binding energies and spin-orbit coupling in a spherical quantu dot, Solid State Coun., vol. 30, pp , (004). [4] J. C. Costa, J. Hoekstra, M. J. Goossens, C. J. M. Verhoeven, and A. H. M. V. Roerund, Considerations about nanoelectronic GSI processors, J. Analog Int. Circ. and Signal Proc., vol. 4, n., pp. 59-7, (000). [5] P. Harrison, QuantuWells, Wires and Dots Theoretical and Coputational Physics, Wiley, Chichester, 000. [6] F. A. P. Osório, A. B. A. Marques, P. C. M. Machado e A. N. Borges, The effects of agnetic field on the energy levels of shallow donor ipurities in GaAs-Al x Ga -x As quantu dots, Microelectronics Journal, vol. 36, pp , (005). [7] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling e B. P. Flannery, "Nuerical Recipes in Fortran", Cabridge University Press, Cabridge, 99.