Método analítico de identificação de sistemas multivariáveis no domínio da freqüência

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1 PESUISA Método analítico de identificação de sisteas ultivariáveis no doínio da freqüência Roberto Ades e Bruno de Pinho Silveira Resuo Este trabalho apresenta u étodo analítico no doínio da freqüência para identificação de odelos lineares de plantas co últiplas entradas e saídas. O odelo é calculado pela iniização de u critério be definido baseado e nora quadrática. As respostas e freqüência dos vários canais do odelo são ajustadas às correspondentes respostas e freqüência edidas dos canais da planta. Os odelos são calculados sob a fora de atriz função de transferência, a partir da expansão de u conjunto gerador. Considera-se que as plantas utilizadas possa ser ajustadas por odelos lineares e invariantes no tepo. No caso de plantas co coportaento não-linear, a etodologia pode ser aplicada e pontos de operação dessas plantas para obtenção de odelos linearizados. No final do artigo, aplica-se a etodologia co bons resultados e três exeplos encontrados na literatura. Palavras-chave Identificação de sisteas, sisteas MIMO, resposta e freqüência, conjuntos geradores. Introdução A síntese de ua lei de controle visa atender requisitos de robustez e estabilidade e desepenho dos sisteas sob análise. Naturalente, o eprego da síntese requer, previaente, a obtenção de u odelo ateático que descreva adequadaente o coportaento dinâico da planta. U bo odelo é aquele que consegue representar a dinâica do sistea satisfatoriaente se apresentar ua coplexidade ateática excessiva. E geral, o odelo de u sistea pode ser obtido de duas aneiras distintas. A prieira consiste e utilizar as leis das ciências que rege a dinâica do sistea. Entretanto, se o sistea a ser odelado for relativaente coplexo, essa abordage pode não ser eficiente. As técnicas de identificação surge coo ua alternativa nuérica à odelage convencional. Basicaente, consiste e estiar odelos Engenheiro Eletrônico, Instituto Militar de Engenharia - IME, Departaento de Engenharia Elétrica. Engenheiro Eletrônico, Indústria de Material Bélico do Brasil - IMBE, Fábrica de Material de Counicações e Eletrônica. 5

2 nuéricos a partir de u conjunto de dados de entrada/saída edidos do sistea. Nos últios anos, uitas técnicas de identificação fora propostas, ora baseadas no doínio do tepo, [8],[] ora no doínio da freqüência. [],[4],[9],[5],[6] As duas foras de identificação apresenta resultados bastante eficientes. E, [8] entretanto, são apresentadas alguas vantagens das técnicas que utiliza dados freqüenciais do sistea. Entre essas vantagens pode-se citar: aior facilidade para o trataento do ruído, enor volue de dados para o ajuste do odelo, independência das condições iniciais e possibilidade de cobinação dos dados edidos e vários experientos. No caso das técnicas de identificação no doínio da freqüência, os dados utilizados para o ajuste do odelo corresponde às edidas de respostas e freqüências dos canais da planta. A deterinação do odelo é realizada pelo ajuste das respostas e freqüência de seus canais aos correspondentes dados edidos, por interédio da iniização de u critério de erro, tabé chaado de função objetivo. Diversos trabalhos já discutira o problea de identificação, poré co abordagens distintas coo e [],[6],[4],[5],[] que utilizara o Método dos Mínios uadrados ou eso e [], [], [7], [9], que epregara para estiação do odelo a nora H. E todos esses trabalhos, observa-se a preocupação e obter soluções analíticas, o que noralente só é possível quando os probleas propostos são convexos nas variáveis de decisão. O étodo proposto de identificação de sisteas MIMO (Multiple Input Multiple Output é ua extensão da abordage onovariável apresentada e []. Para abos os casos, busca-se iniizar o erro de ajuste entre as respostas e freqüência do odelo identificado e a do sistea sob análise. As funções objetivo utilizadas são baseadas e nora quadrática. Os probleas de otiização resultantes são convexos. As soluções globais, obtidas por expansão de conjuntos geradores, são calculadas analiticaente para os sisteas lineares e invariantes no tepo onovariáveis e ultivariáveis. Para a etodologia MIMO proposta, os eleentos das Matrizes Funções de Transferência (MFT estiadas apresenta denoinadores couns, isto é, as Funções de Transferência (FT dos canais copartilha o eso conjunto de pólos. A técnica ultivariável perite a identificação siultânea de todos os canais, dadas as correspondentes respostas e freqüência. Ao final do artigo, são apresentados três exeplos acadêicos nos quais a etodologia foi aplicada. O prieiro exeplo está relacionado co a identificação do odelo de u turbogerador. No segundo exeplo trata-se de u íssil ar-ar e no terceiro de ua aeronave de cobate. Forulação do problea e a etodologia proposta Considere u sistea ultivariável linear (ou linearizado e torno de u ponto de operação co p entradas e q saídas e o conjunto G de atrizes coplexas co diensões q p, representando as edidas G(j ω de resposta e freqüência e valores na faixa de freqüências de interesse : ( Seja ainda [4] : R(s o conjunto de todas as funções de transferência próprias co coeficientes reais, de sisteas onovariáveis e invariantes no tepo; e M(R(s o conjunto das atrizes cujos eleentos pertence a R(s. 6

3 A MFT identificada de u sistea MIMO co p entradas e q saídas deve ser tal que: As FT G n e, (s são racionais e próprias, sendo estiadas co orde n. Para tanto, a representação destas funções adotará a seguinte expansão sob a fora de conjuntos geradores: e sua representação ateática assuirá a fora: onde, onde são FT onovariáveis estiadas de orde n, θ, o vetor de parâetros a ser estiado e, u índice que indica o canal específico dentre todas as cobinações possíveis entre as p entradas e q saídas do sistea sob análise, ou seja: e., ( Λ { hi i,h N ; h q ; i p } ( O objetivo do problea de identificação proposto consiste e deterinar u odelo G e (θ, s linear, invariante no tepo e de coplexidade liitada, tendo p entradas e q saídas, cuja resposta e freqüência se aproxie dos dados de G e (, de acordo co u critério previaente estabelecido. Entende-se por coplexidade liitada o fato de o odelo G e (θ, s depender do vetor paraétrico real θ de diensão finita. O ajuste do odelo paraetrizado G e (θ, s aos dados edidos e G buscará iniizar o seguinte erro aditivo: onde G (jω representa a resposta e freqüência edida do canal, de acordo co ( e (. G J( n θ (j e, (s ω Define-se u critério de custo aditivo baseado e nora quadrática, por: J( θ D( β, jωg (jω N( α, jω J(θ, (4 sendo N( α, jω e D( β, jω as respostas e freqüência dos nueradores de G n e, (s e do denoinador cou de G e (s, respectivaente, e Λ T T T θ [( α β ] o vetor de parâetros a ser deterinado. Deseja-se calcular os zeros de G n e, (s e os pólos couns de G e (s, iniizando a função custo e (4 e buscando deterinar ua aproxiação adequada aos dados de G e (. O fluxograa da etodologia MIMO pode ser visto na figura. A prieira parte da etodologia se refere à obtenção da resposta e freqüência do sistea sob análise, o que não é o foco desse artigo. 7

4 Cálculo da resposta e freqüência Deterinação do odelo Este étodo calcula analiticaente os pólos couns do odelo Ge (s M (R(s e os q p zeros de G n e, (s de aneira ótia, iniizando o critério J( θ e (4. A orde do denoinador cou de G e (s é gradativaente auentada, visando reduzir o custo de ajuste a u valor previaente estabelecido. Dessa fora, obtése ua faília de odelos que satisfaze o problea, paraetrizada pela orde n. A escolha da orde ais adequada está baseada no coproisso entre a precisão necessária para se representar o coportaento da planta e a coplexidade ateática desejada para o odelo. Caso a orde do odelo se torne elevada, os valores singulares de Hankel desse odelo poderão ser analisados, a fi de checar a possibilidade de realizar ua redução de orde por truncaento balanceado [6]. Ebora não tenha sido explicitado na figura, considera-se que o odelo calculado ainda deva passar por ua fase de validação, após a redução de orde. Deterinação do odelo Figura fluxograa da etodologia de identificação proposta (MIMO A resposta e freqüência pode ser deterinada, basicaente, de duas aneiras: i pelas respostas da planta e regie peranente e face da aplicação de sinais senoidais e suas entradas; ou ii a partir da aplicação da FFT (Fast Fourier Transforer nos sinais de excitação das entradas da planta e nas correspondentes respostas, confore ilustrado na figura. A segunda parte da etodologia, foco deste artigo, se refere à deterinação do odelo. Para isso, utiliza-se o étodo proposto discutido na seção seguinte. A solução ótia, segundo o critério descrito e (4, é obtida resolvendo-se o seguinte problea de otiização: in J( θ θ in θ D( β, jωg (jω N( α, jω onde G (jω representa a resposta e freqüência edida do canal Λ. A expansão do soatório e (4 perite escrever: 8

5 J( θ D( βg N( α + Ψ α r k s (jωi n k : R n k (jω i se r s se r s Ψ n l e ( jωi G(jωi : Rn lg(jωi, βl Λ. Substituindo as derivadas parciais acia e (7, realizando alguas anipulações algébricas e supriindo o arguento (jωi, a fi de siplificar a notação, chega-se a: α k i Re(R n k N ( α + (5 Rn kgd ( β (8 onde, e G são funções de ( jωi e Ψ ( jωi : D( β, jωi G(jωi N( α, jωi. Alé disso, Ψ ( jωi : Ψ ( jωi. A soa de funções convexas é tabé ua função convexa [7], []. Portanto, pode-se afirar que o problea descrito e (5 é convexo nas variáveis α e β e possui solução ótia Λ T T T θ θ [( α β que satisfaz: J( θ D( β in in ] in in J α [( n+ pq+ n] α β T θθ Para u parâetro θ t θ descrito e (, a diferenciação da expressão e (5 obedece a: θ t i Ψ [ θ t Ψ + Ψ in Ψ ] θt (6 (7 onde Ψ e Ψ são funções de ( jω i. As derivadas parciais Ψ ( jωi e relação a α k para k {,, K,n} e β l para l {,, K,n} resulta e: N( j( ωα i β R Re(Rn l[gn ( α ] + l i n ld ( β GG onde Re ( representa a parte real do arguento. De acordo co (6, ua condição necessária de otialidade é ter J / α k e J/ βl. Assi, igualando (8 e (9 a zero: i Re(Rn kn ( α Rn kgd ( β Re(Rn l[gn ( α ] + i Rn ld ( β Π onde Π Π jω G (jω G (jω ( i i i. Escolhida a orde n para o denoinador cou da MFT estiada, obté-se u conjunto de equações para k {,, K,n} e ( e para l {,, K,n} e (. Estas equações pode ser (9 ( ( 9

6 organizadas sob a fora de u sistea de equações lineares, onde os teros independentes são aqueles correspondentes ao coeficiente β. A atriz dos coeficientes e o vetor independente Y tê trataento coputacional ais fácil se analisados de aneira particionada. Supriindo o arguento jω, genericaente, te-se: M M ( i O M M [ Y Y Y Y ] T α α α β 4 α α M α β ( A atriz dos coeficientes para o caso ultivariável é quadrada de diensão ( n + pq + n. As subatrizes, e e o vetor Y α segue as foras ateáticas descritas e [], [] para os sisteas onovariáveis, sendo calculadas para cada canal Λ do sistea, de acordo co: R n Rn Re( [ Rn R ] n R M i R 4 Os teros calculados por: Y β i 4 4 i Re(M e Rn R nπ Rn R nπ Re( M RRnΠ R R M R n n Y β e ( pode ser ( onde M [ R n R n R ] Π Exeplos de aplicação A seguir, estão apresentados três exeplos acadêicos onde o étodo proposto foi aplicado. Os odelos MIMO desses exeplos são conhecidos para efeito de coparação de resultados. A notação canal y:u utilizada nesta seção faz referência à cobinação forada pela saída y e a entrada u de u sistea co p entradas e q saídas sob análise.. Turbogerador Esse sistea conté duas entradas e duas saídas. O odelo linearizado utilizado possui seis estados e está reproduzido e [], []. Suas características principais são a estabilidade e alha aberta e u pico ressonante na freqüência

7 ω 6,5 rad/s, co fator de aorteciento de apenas,55. Os resultados obtidos pela aplicação da técnica proposta encontra-se resuidos na tabela. Para a identificação, foi utilizado u vetor de freqüências co valores no intervalo de, rad/s a rad/s, considerando o espaçaento logarítico unifore. Neste caso, o prieiro odelo estiado co custo satisfatório e relação ao odelo original foi. Os odelos co orde n 5 apresentara custos de ajuste bastante elevados e, portanto, não são boas aproxiações para o sistea considerado. Tabela Custos obtidos (por canal e total para o exeplo do turbogerador. Orde (n de D(s : Custo do canal (J : : : Custo total ,69,474,969, ,. - 5,4. - 6,468,999 8,88 5,4. -,94. -9, ,9 75,45 5,56 7,8. -9, , ,84 6,6 4,7 8,76. -9,68. -8, ,67 4,5 4,89, , ,7. -8 Tabela Custos obtidos (por canal e total para o exeplo do íssil ar-ar. Custo do canal (J Orde (n de D(s : : Custo total ,467,779,489x -,99x -,6x -,579,79,9x -,5x -,79x - 8,6545,56 6,4x -,555x -,77x - Tabela Custos obtidos por canal e total para o exeplo da aeronave de cobate. Orde (n de D(s : Custo do canal (J : : : Custo total ,98,95, , ,8. -9, ,84 6,77 4,6. -9, ,79. -9, ,8 4,, ,65. -9, ,7. -9,9 4,777,64. -9, , , ,997 6,69, ,5. -8,96. -8,8. -8

8 Míssil ar-ar O odelo não-linear do canal de elevação de u íssil ar-ar foi proposto por [5], [], de onde pode ser extraídos os valores dos coeficientes nuéricos. O sistea conté ua entrada e duas saídas e seu odelo de orde 4 é reproduzido, resuidaente, e []. A dinâica odelada representa u íssil voando a ua altitude de. pés. É suposto verdadeiro o desacoplaento dos eixos de ruo (longitudinal e de rolage. Os resultados obtidos encontra-se resuidos na tabela. O vetor de freqüências utilizado conté pontos co espaçaento logarítico unifore na faixa de, rad/s a rad/s. De acordo co a precisão necessária, é possível utilizar u odelo de orde enor que a do odelo original, co erro de ajuste satisfatório. Essa conclusão é possível observando-se os diagraas de resposta e freqüência do odelo calculado para orde, que, na faixa de freqüências adotada, estão praticaente coincidentes co os correspondentes calculados a partir do odelo original. Aeronave de cobate Para este exeplo, foi utilizado o odelo linearizado de ua aeronave de cobate, sob deterinadas condições de vôo, apresentado, por [] e reproduzido e []. O vetor de estados consiste nas principais variáveis de corpo rígido do veículo: velocidade longitudinal, ângulo de ataque, taxa de arfage e ângulo de atitude e arfage. O odelo final conté, alé dos estados descritos, duas variáveis referentes à dinâica de dois atuadores utilizados na aeronave, resultando nu odelo de 6 a orde. Define-se tabé o ângulo de trajetória coo o ângulo do vetor velocidade e relação à horizontal. Os resultados obtidos encontra-se resuidos na tabela. O vetor de freqüências utilizado conté pontos co espaçaento logarítico unifore na faixa de, rad/s a rad/s. O algorito alcançou ua solução de orde enor que a do odelo original, co erro de ajuste satisfatório. Conclusões Neste artigo foi apresentado u étodo analítico de identificação no doínio da freqüência de odelos lineares, aplicável e sisteas dinâicos ultivariáveis. Este trabalho copleenta o apresentado e [], no qual tratou-se ais diretaente de sisteas dinâicos onovariáveis. Os odelos obtidos pela etodologia estão sob a fora de atriz função de transferência. Por construção, os polinôios característicos calculados dos vários canais do odelo são iguais. Isto reduz significativaente o núero de parâetros estiados, diinuindo o tepo de processaento coputacional e facilitando o cálculo de realizações da atriz função de transferência co ordens provavelente ínias. As aplicações da etodologia proposta e três exeplos encontrados na literatura apresentara bons resultados. Referências [] Ades, R. e Silveira, B.P. (6. Identificação de Sisteas por Ajuste da Resposta e Freqüência utilizando Conjuntos Geradores Otiizados, XVI Congresso Brasileiro de Autoática. [] Ades, R. e Valle, R.C. (5. Identificação de Sisteas no Doínio da Freqüência por Conjuntos Pré-selecionados via Iposição de Pólos, VII SBAI, p. 77-7, Set 5. [] Aguirre,.A. (7. Introdução à Identificação de Sisteas, ed., Editora UFMG, Belo Horizonte.

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