A Fig.12 - Área triangular a ser dividida em duas partes proporcionais.

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1 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs. Introdução ITULO IV. DIVISÃO D TRRS (RORIDDS divisão de ua propriedade ocorre e situações diversas coo por venda de parte do terreno, por espólio e divisão entre os herdeiros ou por loteaento da área. Não é possível efetuar ua divisão de terras confiável, se proceder a u levantaento exato do que vai ser o objeto de divisão. uando a divisão é feita através de ua linha já existente, a tarefa da topografia é a de edir esta linha divisória e deterinar a área de cada ua das partes. Supondo-se que ua propriedade a ser dividida seja atravessada por u córrego e que ele seja escolhido coo linha divisória, a topografia efetuará u levantaento planiétrico geral e calculará as áreas de cada parcela. qui tratareos apenas de alguns casos de divisão de terras, pois o problea abrange estudos sobre legislação de terras, pois sepre que houver enores na partilha a ação deve ser judicial. lantas existentes, uitas das quais incopletas ou edidas toscaente, deve ser abandonadas, dando lugar a novas edidas. á ocasiões, no entanto, nas quais é necessário separar deterinadas áreas. ara esta hipótese é que apresentareos alguas soluções geoétricas.. Divisão de áreas triangulares a Seja dividir ua área triangular e duas partes que esteja entre si e ua dada relação (,n, por eio de ua reta paralela a u dos lados do triângulo. N M n ig. - Área triangular a ser dividida e duas partes proporcionais. Seja o triângulo o qual se quer dividir e duas partes que esteja entre si na proporção "" e "n", por eio de ua reta paralela, por exeplo, ao lado, confore ostra a figura. 39

2 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs Da relação de triângulos teos: ( n MN tabé podeos dizer: MN M ( ( igualando-se as equações ( e ( teos: ( n M logo: M ( n Utilizando-se o eso raciocínio podeos deduzir a fórula para o lado N Donde: N ( n o as coordenadas obtidas a partir do levantaento geral do polígono podeos deterinar as coordenadas dos vértices da linha divisória, be coo seu copriento e sua orientação. b Seja dividir ua área triangular e duas ou ais partes equivalentes através de retas que passe por u ponto situado sobre u de seus lados. M ig.3 - Área triangular dividida a partir de u ponto preestabelecido. 40

3 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs Seja o triângulo ( igura 3 o qual se quer dividir e partes iguais ou equivalentes e que o ponto "", situado sobre o lado, o vértice de partida da linha divisória. rieiraente, deterina-se o ponto édio "",do lado. Do vértice traça-se ua paralela ao alinhaento. reta obtida entre o ponto "" e o ponto "M" será a linha divisória. coprovação poderá ser feita através da seguinte relação: Os triângulos M e M são equivalentes pois abos tê a esa base e a esa altura. O triângulo é equivalente à etade do triângulo. Tirando-se o triângulo M do triângulo e substituindo-se este pelo triângulo M chegaos a conclusão que o quadrilátero M é equivalente à etade do triângulo. onhecendo-se as coordenadas dos vértices do triângulo e o copriento de seus respectivos lados podeos deterinar o copriento de M para a locação do vértice "M". Sabendo-se que: do triângulo M e do triângulo podeos deduzir: ou M M Se e vez de dividir o triângulo e duas partes iguais, necessitaros dividi-lo e três, quatro ou ais partes, divide-se o lado e tantas quantas fore as partes desejadas e procede-se o cálculo da eso odo..3 Divisão de áreas trapezoidais Seja dividir ua área trapezoidal e duas partes proporcionais a "" e "n" e que a linha divisória seja paralela às bases do trapézio. l 4 x D G l 3 z n y l l -l 3 l ig.4 - Área trapezoidal 4

4 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs Levando-se e consideração que as coordenadas dos vértices D do trapézio são conhecidas, be co sua área total, podeos calcular as áreas e respectivaente e relação às proporcionalidades "" e "n". ÁreaTotal D ( n n ÁreaTotal ( n D ela seelhança dos triângulos D e DG (igura 4, podeos calcular o copriento da linha divisória (z pela seguinte fórula: ( l3 n ( l z ( n onhecendo-se o copriento da linha divisória (z podeos calcular as distâncias D (x e (y as quais possibilitarão a locação dos vértices da linha divisória. l4 ( z l3 D x e ( l l 3 l ( z l3 y ( l l 3 onhecidas as coordenadas dos vértices e D pode-se deterinar as coordenadas dos vértices e da linha divisória..4 Divisão de áreas poligonais Seja dividir u quadrilátero D de odo que a linha divisória seja paralela a u de seus lados. l n l 3 M l y x N D l 4 ig.5 - Área de u quadrilátero onsiderando-se o quadrilátero da igura 5, de vértices D co coordenadas e Área total ( T conhecidas, deseja-se dividi-lo, por eio de ua reta paralela ao lado D, e duas partes proporcionais a "" e "n". o a esa relação do exeplo anterior calcula-se os valores das áreas e, e relação à proporcionalidade estabelecida "" e "n". deterinação do copriento de "x" e "y" resulta: 4

5 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs ( l x y ( 4 ( l 4 x y( ctg ctg ( ultiplicando-se as equações ( e ( tereos: x l4 ( ctg ctg da equação ( obteos y: y ( l x 4 para o cálculo dos coprientos M e DN, para a locação dos vértices da linha divisória, teos: y y M e DN sen sen.5 Divisão de Terras pelo Método nalítico Seja dividir analiticaente ua poligonal D (ig.6 e três partes proporcionais a, n e p. elo processo analítico, calcula-se a área total (S T do polígono. s áreas parciais,, e 3 a separar são facilente calculadas por: h ( q q (n 3 (p D ig.6 - olígono D a ser dividido analiticaente e partes proporcionais ST ( n p ST n ( n p 3 S T p ( p n S T 3 43

6 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs ditindo-se que as linhas divisórias parta dos vértices e e considerando-se que as esas irão passar pelos pontos e localizados sobre o alinhaento, pode-se deterinar os valores exatos dos esos. través das coordenadas dos vértices da poligonal, obtidas a partir dos dados de capo, podeos calcular a área dos triângulos e D, que coparadas co as áreas e 3 a separar, nos dará as áreas dos triângulos supleentares (q e (q. ela Geoetria nalítica sabeos que a distância de u ponto (x',y' a ua reta ( y ax b é dada por: ax' b y' h a que a equação de ua reta que passa por dois pontos dados (x',y' e (x",y" é: y" y' y y' ( x x' x" x' e que o ângulo forado por duas retas y=ax+b e y=a'x+b' é obtido pela seguinte equação: a a' tgv aa' odeos co isso deterinar, e prieiro lugar, a altura (h do triângulo que é igual a distância do ponto a reta, dada pela seguinte equação: a b h a s coordenadas do ponto são e e a equação da reta é: y ( x ou y x teos ainda que: y a x b fazendo-se: a e b ara o cálculo do copriento do alinhaento, base do triângulo utilizaos a fórula: bh q onde b é igual ao alinhaento e daí teos: q h analogaente, podeos efetuar o eso raciocínio para o triângulos supleentar. 44

7 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs deterinação das coordenadas do ponto sobre a reta pode ser obtida através da deterinação das projeções x e y do alinhaento, através das equações: logo: x Dh sen z e y Dh cos z x e y.6 xercício lucidativo Seja a poligonal D (ig.7 a ser dividida pelo étodo analítico e três partes proporcionais a "", "n", e "p", cujas coordenadas de seus vértices são conhecidas e considerando-se o ponto coo ponto cou de partida das linhas divisórias. N q q n d d 3 p D ig.7 - olígono D a ser dividido e partes proporcionais Dados de capo e oordenadas VÉRTIS ÂNGULOS ZIMUTS RUMOS OMRIMNTO ( 37 07' 0 00' S 30 00' W 306, ' ' N 85 36' 66, ' ' N 56 30' 337,0 D 080 0' 36 3' N 43 8' W 38,60 6 ' 5 53' S 7 53' W 5, '.64,90 VÉRTIS SISSS ORDNDS 0,00 0,00-53,04-65, ,69-33,07 D + 75,90-6, ,7 + 50,78 45

8 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs álculo da área total da poligonal elo étodo analítico calcula-se a área total do polígono D. Área total D = 6.9, álculo da área de cada u do polígonos forados pela união do vértice co os vértices e Área = S = ,9 Área = S =.9,093 Área D = S3 = 63.54,577 Área TOTL = S + S + S3 Área TOTL = 6.9, álculo das áreas a separar de cada quinhão. Seja as razões: = 3 n = 5 p = Total , Total 5 3.4,899 0 Total , Total 3 Total 6.9, álculo da área dos triângulos de copensação e q S q , , 9396 q 7.800, 55 q S3 3 q 63.54, , 9597 q.095, álculo do copriento das diagonais (d e (d d d ( ( ( 47,69 0 (33,07 0 d 566, 3 d d ( 489,7 47,69 (50,78 33,07 d 464, 0 7 álculo d o copriento das perpendiculares e ara isso deveos estabelecer a equação das retas e D. quação da reta : 46

9 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs y x y 0 65,06 0 x 0 53, , 06 y x 53, 04 y , x quação da reta D: y D D x D D y ( 6,93 50,78 ( 6,93 x 75,90 489,7 75,90 y 667,53789, x onhecidas as equações das retas aplica-se a fórula abaixo apresentada para o cálculo da altura dos triângulos e e relação às equações das retas. ax b y a No nosso caso: ara : a b a s equações das retas nos fornece os valores de "a" e "b" e co as coordenadas do ponto teos:, ,69 0 ( 33,07 (, , 03 ara : a b a, ,69 667,53789 ( 33,07 (, , 54 8 álculo da deterinação dos vértices e da linha divisória. alcula-se inicialente as distâncias e dos triângulos de copensação. 47

10 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs q 7, 6099 q 7.800,55 565,03 q q 66, ,674 33,54 9 álculo das coordenadas dos pontos e da linha divisória. oordenadas de : oo o ponto está localizado sobre o alinhaento, teos que o ziute de é igual ao ziute de, logo: z 0º00' Dh 7, 6099 as projeções são: x Dh sen z x 7,6099 sen 0º00' 3,8049 x y y Dh cos z 3,909 y 7,6099 cos 0º00' a coordenada de será: x 0 ( 3,8049 3,8049 y 0 ( 3,909 3,909 oordenada de z as projeções são: x x D 36º3' z 36º3' 66, 804 Dh Dh sen z 66,804 sen36º3' 45,960 x y y Dh cos 48,4893 z y 66,804 cos36º3' a coordenada de será: x 489,7 45, ,68 y 50,78 ( 48,

11 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs 0,907 0 álculo do copriento das linhas divisórias "" e "" calculadas pelas coordenadas. ( ( ( 47,69 3,8049 ( 33,03 3, ,06 ( ( ( 47,69 535,68 ( 33,03 0,907 40,5 álculo dos aziutes dos alinhaentos e ziute de z artg 47,69 ( 3,8049 z artg 33,07 ( 3,909 z artg, º3'9,6" z coo o alinhaento encontra-se no segundo quadrante, o ziute é: 0º46'40,38" z ziute de z artg 47,69 535,68 z artg 33,07 0,907 z artg 0, º45'9,53" z coo o alinhaento encontra-se no terceiro quadrante, o ziute é: 88º45'9,53" z divisão de grandes extensões de terra deve ser efetuadas pelo processo analítico, por ser este ais exato. 49

12 Topografia plicada à ngenharia ivil 009 / ª dição Iran arlos Stalliviere orrêa orto legre/rs.7 xercícios plicativos: Seja dividir ua área triangular de vértices, confore figura, cujos lados ede: =40,00; =340,00 e =50,00, e duas partes co proporcionalidade de e n iguais a 65% e 35% respectivaente. Deseja-se dividir ua área trapezoidal, confore figura 4, e duas partes proporcionais a n e, na razão 70% e 30%. Sabe-se que os lados do trapézio ede: =46,00; =50,00; D=60,00 e D=80,00. Os ângulos e ede respectivaente 5º35' e 7º30'. 3 uer se dividir u polígono de 5 lados e duas partes iguais, sendo que a linha divisória seja paralela ao lado 4-5 da poligonal. São conhecidas as coordenadas dos vértices da poligonal. ede-se para calcular todos os dados necessários a locação e caracterização da linha divisória. Vértices 45,9 45,6 00,30 57,3 3 63,90 8, ,34,54 5 5,3 43,9 50