Análise Numérica de Vigas Mistas com Interação Parcial

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PREO ESCOLA DE MINAS DEPARAMENO DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Análise Nmérica de Vigas Mistas com Interação Parcial AMILON RODRIGUES DA SILVA ORIENADOR: Prof. Dr. João Batista Mares de Sosa Jr. Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Gradação do Departamento de Engenharia Ciil da Escola de Minas da Uniersidade Federal de Oro Preto, como parte integrante dos reisitos para obtenção do títlo de Mestre em Engenharia Ciil, área de concentração: Constrção Metálica. Oro Preto, Abril de 6

2 II

3 É preciso amar as pessoas Como se não hoesse amanhã Pore se ocê parar para pensar Na erdade não há Renato Rsso III

4 AGRADECIMENOS À Uniersidade Federal de Oro Preto, pelo alioso sporte institcional proporcionado, e a USIMINAS, pelo apoio financeiro. Ao me orientador, professor João Batista Mares de Sosa Jr., pelo apoio, atenção e clareza nas orientações drante a realização deste trabalho. Aos demais professores e fncionários do PROPEC-UFOP, e com empenho e dedicação fazem com e a institição tenha se deido reconhecimento em âmbito nacional. A me pai, e do andar de cima me orienta em todas as sitações. A minha mãe, Maria Ribeiro da Sila, a al deo não só a conclsão deste crso, como todas as fases da minha ida. Aos mes irmãos e amigos pela companhia e reciprocidade. À minha namorada, Melina, pelo amor, carinho e presença em todos os momentos. E, acima de tdo, a Des, por estar sempre caminhando a nosso lado e às ezes nos carregando nos percrsos estreitos dessa longa jornada. IV

5 RESUMO O amento da tilização de estrtras de aço em obras de engenharia na constrção ciil, a presença do concreto garantida pelo preenchimento das lajes de piso e o ganho nas propriedades mecânicas das igas mistas em relação às igas comns, incidem em m relatio amento deste tipo de elemento estrtral na prática da constrção. Um indicatio deste crescimento é o projeto de reisão da norma brasileira de dimensionamento de estrtras em aço, onde além da reisão do se teto original, tratará o conceito de noas técnicas constrtias como os elementos estrtrais de seção mista. O objetio deste trabalho é estabelecer m tratamento mais adeado em relação à análise de igas mistas com interação parcial, o seja, considerando o deslizamento relatio na interface de contato entre os materiais. Para isto tiliza-se o Método dos Elementos Finitos. Para solção deste tipo de problema sando o método dos elementos finitos será desenolido m elemento nidimensional de iga e consiga simlar o deslizamento na interface de contato entre os materiais da seção mista considerando a não-linearidade física destes materiais e a possibilidade de seções transersais genéricas. Em ma segnda estratégia de solção do problema tilizando o método dos elementos finitos desenole-se m elemento de interface retanglar de espessra nla capaz de simlar o deslizamento ao longo da interface, sendo o comportamento das seções acima e abaio da interface de deslizamento simlado por dois elementos nidimensionais de iga. A ação em conjnto destes elementos garante ma solção satisfatória para os problemas de igas mistas com interação parcial. Os elementos implementados neste trabalho serão comparados com elementos desenolidos por otros atores atraés dos resltados nméricos de algns eemplos específicos encontrados na literatra. ambém será tilizado, na alidação dos elementos implementados e, para o caso de comportamento linear, a solção eata do problema de iga mista com interação parcial dada pela eação diferencial de Newmark. V

6 ABSRAC he increase se of steel strctres in engineering design in ciil bilding, the presence of the concrete garanteed b floor slab completion and bettering in the mechanical properties composite beams in relation to common beams, happen in a relatie increase of this strctral element tpe in constrction practice. A growth indicatie is reision project Brazilian Code for Steel Strctres, where besides reision of or original tet, it will treat concept of new constrctie technies as composite section strctral elements. he Objectie of this works is to establish a more appropriate treatment in relation to composite beams analsis with partial interaction, in other words, considering relatie slip in contact interface between materials. For this Finite Elements Method is sed. For soltion of this problem tpe sing finite element method will be deeloped nidimensional beam element that gets to simlate contact interface slip between composite section materials considering non-linear behaior of materials and possibilit cross sections an. In a second soltion strateg of problem sing finite element method is deeloped a nll thickness rectanglar interface element with capabilit to simlate the slip along the interface, being the section behaior aboe and below of slip interface simlate b means of two ni-dimensional beam elements. he action together of these elements garantee a satisfactor soltion of composite beams problems with partial interaction. he elements implemented in this work will be compared with elements deeloped b other athors throgh nmeric reslts of some specific eamples fond in the literatre. It will also be sed, in the alidation of the implemented elements and, for the case of lineal behaior, the eact soltion of composite beam with partial interaction gien b Newmark s diferencial eation. VI

7 SUMÁRIO RESUMO... ABSRAC... LISA DE FIGURAS... LISA DE ABELAS... V VI X XV CAPÍULO INRODUÇÃO.... CONSIDERAÇÕES INICIAIS.... MOIVAÇÃO E OBJEIVOS.... APRESENAÇÃO... 5 CAPÍULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA SOBRE VIGAS MISAS COM INERAÇÃO PARCIAL.... INRODUÇÃO.... SOLUÇÕES ANALÍICAS DE VIGAS MISAS..... Eação diferencial de Newmark..... Processo simplificado definido pelo projeto de reisão da NBR SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE VIGAS MISAS..... Solções com elementos finitos considerando o deslizamento na interface..... Solções sando elemento de interface CAPÍULO ANÁLISE DOS ESFORÇOS EM SEÇÕES MISAS... VII

8 . INRODUÇÃO.... GEOMERIA DA SEÇÃO RANSVERSAL.... DEFORMADA DA SEÇÃO CONSIDERANDO O DESLIZAMENO.... MAERIAIS....5 OBENÇÃO DOS ESFORÇOS RESISENE NA SEÇÃO MISA....6 INEGRAÇÃO CAPÍULO FORMULAÇÕES NUMÉRICAS.... INRODUÇÃO.... FORMULAÇÃO USANDO ELEMENO FINIO COM DESLIZAMENO..... Relação deformação-deslocamento considerando o deslizamento..... Formlação do problema de eilíbrio..... Modelo de elementos finitos em deslocamentos.... FORMULAÇÃO USANDO ELEMENO DE INERFACE..... Eação dos deslocamentos relatios do elemento de interface..... Formlação do problema de eilíbrio..... Modelo de elementos finitos em deslocamentos.... SOLUÇÃO DO PROBLEMA NÃO LINEAR CAPÍULO 5 EXEMPLOS INRODUÇÃO COMPARAÇÃO COM SOLUÇÂO ANALÍICA DE NEWMARK PROBLEMAS NUMÉRICOS EM ELEMENOS COM DESLIZAMENO COMPARAÇÃO COM RESULADOS DA LIERAURA Viga mista com três apoios niformemente carregada Viga mista com três apoios e carregamento concentrado simétrico EXEMPLO DE RELIÇA MISA CAPÍULO 6 CONCLUSÕES E SUGESÕES... VIII

9 6. CONCLUSÕES SUGESÕES... ANEXO I EQUAÇÕES E CRIÉRIOS DEFINIDOS PELO PROJEO DE REVISÃO DA NBR I. INRODUÇÃO... I. LARGURA EFEIVA... I. RESISÊNCIA DOS CONECORES... I. GRAU DE INERAÇÃO DA VIGA MISA... I.5 NÚMERO DE CONECORES... I.6 HOMOGENEIZAÇÃO EÓRICA DA SEÇÃO... I.7 MOMENO POSIIVO RESISENE DA SEÇÃO MISA... I.8 MOMENO NEGAIVO RESISENE DA SEÇÃO MISA ANEXO II ARQUIVO DE ENRADA DE DADOS... II. INRODUÇÃO... II. ARQUIVO DE ENRADA PARA O ELEMENO SLIPBEAM... II. ARQUIVO DE ENRADA PARA O ELEMENO INERFACE E BEAMD BIBLIOGRAFIA... 9 IX

10 LISA DE FIGURAS CAPÍULO Figra. Ilstração de ma estrtra mista laje mista e iga mista)... CAPÍULO Figra. seções incladas mecanicamente Oehlers e Bradford, 995)... Figra. ipos de conectores e comportamento na interface Oehlers e Bradford, 995)... Figra. Notações para ma seção mista com coneão fleíel Faella et al, )... Figra. Elemento com 8 gras de liberdade Gattesco, 999)... Figra.5 Viga mista com coneão cortante deformáel forças sobre m elemento infinitesimal Salari e Spaccone, )... Figra.6 Deslocamentos e forças nodais de ma iga mista simplesmente apoiada com coneão cortante fleíel Faella et al., )... Figra.7 Campo de deslocamento para os elementos de 8 gras de liberdade a), gras de liberdade b) e 6 gras de liberdade c) Dall Asta e Zona, )... Figra.8 Elemento misto Dall Asta e Zona, )... Figra.9 Elemento de interface proposto por Goodman et al 968) CAPÍULO Figra. Definição da seção mista... X

11 Figra. Deformada da seção de iga mista com interação parcial... Figra. Diagrama tensão deformação do concreto CEB, 99)... Figra. Relação tensão deformação ilstratia de m material... Figra.5 Parametrização do segmento... Figra.6 Análise de esforços em seção mista. a) Diisão da seção mista em faias de deformações, b) definição dos polígonos para cálclos da contribição aos esforços resistentes deido ao concreto... Figra.7 Cra tensão-deformação ilstratia para o concreto... Figra.8 Cra tensão-deformação ilstratia para o aço CAPÍULO Figra. Deformação de m segmento da iga mista Dall Asta e Zona, ). Figra. Conenção de sinal para os esforços N e M... Figra. Gras de liberdade do elemento finito tilizado na implementação... Figra. Deformação de m segmento da iga mista... Figra.5 Deslocamento horizontal relatio no elemento de interface... Figra.6 Deslocamento ertical relatio no elemento de interface... Figra.7 Gras de liberdade do elemento de interface tilizado na implementação... Figra.8 Cra carga-deslocamento CAPÍULO 5 Figra 5. Viga mista niformemente carregada... Figra 5. Eios de referência das seções... Figra 5. Deslocamento transersal da iga mista. Os deslocamentos transersais foram ampliados ezes... Figra 5. Deslizamento na interface da iga mista... Figra 5.5 Deslocamento transersal da iga mista. Os deslocamentos transersais foram ampliados ezes... Figra 5.6 Deslizamento na interface da iga mista... Figra 5.9 Viga mista niformemente carregada Dall Asta e Zona, ) XI

12 Figra 5. Variação da cratra ao longo do eio da iga mista... Figra 5. Variação do deslizamento ao longo da interface da iga mista... Figra 5. Variação da cratra ao longo do eio da iga mista... Figra 5. Variação do deslizamento ao longo da interface da iga mista... Figra 5. Viga mista com interação parcial Dall Asta e Zona, )... Figra 5.5 Leis constittias do concreto a), aço b), barras de reforço c) e coneão da interface d) Dall Asta e Zona, )... Figra 5.6 Leis constittias do concreto a), aço b), barras de reforço c) e coneão da interface d) tilizadas neste trabalho... Figra 5.7 Cra carga-deslocamento para m ponto no meio dos ãos da iga mista... Figra 5.8 Cra carga-deslocamento de m ponto no meio dos ãos da iga mista... Figra 5.9 Cra carga-deslocamento de m ponto no meio dos ãos da iga mista... Figra 5. Deformada para malha de 8 elementos SLIPBEAM... Figra 5. Deformada para malha de elementos SLIPBEAM... Figra 5. Deformada para malha de 6 elementos SLIPBEAM... Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos SLIPBEAM... Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de elementos SLIPBEAM... Figra 5.5 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 6 elementos SLIPBEAM... Figra 5.6 Deformada para malha de 8 elementos INERFACE... Figra 5.7 Deformada para malha de elementos INERFACE... Figra 5.8 Deformada para malha de 6 elementos INERFACE... Figra 5.9 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos INERFACE... Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de elementos INERFACE XII

13 Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 6 elementos INERFACE... Figra 5. Viga mista com interação parcial Salari e Spacone, )... Figra 5. Leis constittias dos materiais Salari e Spacone, )... Figra 5. Leis constittias dos materiais tilizadas neste trabalho... Figra 5.5 Cra carga-deslocamento de m ponto no meio dos ãos da iga mista... Figra 5.6 Deformada para malha de 8 elementos SLIPBEAM... Figra 5.7 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos SLIPBEAM... Figra 5.8 Deformada para malha de 8 elementos INERFACE... Figra 5.9 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos INERFACE... Figra 5. reliça mista com interação parcial... Figra 5. Leis constittias dos materiais... Figra 5. Discretização em elementos finitos da treliça mista... Figra 5.7 Cra carga-deslocamento de m ponto no meio do ão da treliça mista... Figra 5. Deformada da treliça mista 5mm, mm e mm)... Figra 5.5 Detalhes da deformada da treliça mista. a) 5mm, b) mm e c) mm ANEXO I Figra I. Largra efetia b Johnson, 99)... Figra I. Conector de cisalhamento tipo pino com cabeça. a) diâmetro do fste ariado, b) diâmetro constante... Figra I. Relação força deslizamento de m conector tipo pino com cabeça... Figra I. Homogeneização de seção mista. a) laje de concreto totalmente comprimida, b) laje de concreto parcialmente tracionada... Figra I.5 Distribição de tensões em igas mistas interação completa NBR 88, 5) XIII

14 Figra I.6 Distribição de tensões em igas mistas interação parcial NBR- 88, 5)... 5 ANEXO II Figra II. Viga mista ilstratia para ario de entrada de dados... Figra II. Discretização em elementos finitos... Figra II. Cra e relaciona a carga P com o deslocamento ertical do meio dos ãos da iga... Figra II. Discretização em elementos finitos... Figra II.5 Cra e relaciona a carga P com o deslocamento ertical do meio dos ãos da iga XIV

15 LISA DE ABELAS CAPÍULO 5 abela 5. Deslocamento ertical no meio do ão alores em cm)... abela 5. Deslocamento ertical no meio do ão alores em cm)... abela 5. Diferentes elementos aaliados XV

16 Capítlo INRODUÇÃO. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Os elementos estrtrais mistos aço-concreto são formados pela associação de m perfil de aço, laminado, dobrado o soldado, com m componente em concreto, simples o armado. A interação entre os materiais é garantida por meios mecânicos, conectores, mossas, ressaltos, por atrito, o por simples aderência e repartição de cargas Qeiroz et al, ). Dentre os diferentes tipos de elementos mistos aço-concreto, segndo formas e critérios de dimensionamentos, podem-se citar as lajes mistas, os pilares mistos, as igas mistas, entre otros. A figra. ilstra ma estrtra bastante comm em obras de engenharia, onde aparecem ma laje mista, formada por ma laje de concreto armado sobre ma placa de aço com reentrâncias e garantem sa fncionalidade conjnta, e ma iga mista, formada por m perfil de aço ligado por conectores do tipo pino com cabeça a ma laje de concreto.

17 Figra. Ilstração de ma estrtra mista laje mista e iga mista). Com o início da tilização do elemento de aço em obras de engenharia de andares múltiplos e com a presença do concreto garantida deido ao preenchimento das lajes, a nião entre esses dois materiais, com a finalidade de melhorar a capacidade resistente da estrtra, estaa por ir. As primeiras estrtras mistas de aço-concreto srgiram em 89 nos Estados Unidos Griffis, 99). Segndo De Nardim 999) em 9, na Inglaterra, os elementos estrtrais mistos começam a ser estdados. Em meados de 9 já se haia estabelecido métodos de dimensionamento para igas mistas e foram, em 9, introdzidos na norma da American Association of State Highwa, AASHO, e em 95 na norma do American Institte of Steel Constrction, AISC. No Brasil este tipo de sistema estrtral formado por elementos mistos foi introdzido na década de 5 e ainda tem sa tilização poco difndida. De forma a ilstrar a tilização de elementos mistos aço-concreto no Brasil nesta época podem-se citar algns projetos estrtrais do engenheiro Palo R. Fragoso Figeiredo, 998), como os edifícios: Garagem América 957), Palácio do Comércio 959), Aenida Central 96), Santa Crz 96) e Sede do IPERJ 965).. MOIVAÇÃO E OBJEIVOS Os sistemas estrtrais mistos aço-concreto, por terem ses elementos de aço préfabricados, possem alidade, precisão e tempo de eecção melhores e os sistemas

18 estrtrais com todos os ses elementos moldados in loco. Sendo os elementos de aço dimensionados de forma a sportar, entre otras, as cargas permanentes e de constrção, os sistemas estrtrais mistos aço-concreto permitem a dispensa de escoras e redção de fôrmas no preenchimento in loco dos elementos de concreto. Qeiroz et al ) lista como antagens dos sistemas mistos aço-concreto a redção do peso próprio e do olme da estrtra, a redção do consmo de aço estrtral, a redção das proteções contra incêndio e corrosão e o amento na rigidez e resistência à flambagem. O crescente so do elemento de aço em sistemas estrtrais na constrção ciil no Brasil permite o amento da tilização de elementos mistos, principalmente as igas mistas, ma ez e na maioria das constrções metálicas é adotada a solção de iga mista para aproeitar a altra da laje de concreto sobreposta ao elemento de aço, formando assim ma iga mista com comportamento estrtral sperior ao do elemento de aço. Qando se deseja encer grandes ãos, como no caso de pontes e galpões indstriais, a solção com elementos mistos, no caso a iga mista, se torna bem interessante. Nie et al ) cita nestes casos como antagens das igas mistas em relação às igas simples a alta relação ão erss altra da iga, menor deformação e ma alta freüência fndamental de ibração. Um indicatio de crescimento da tilização deste tipo de elemento estrtral na constrção ciil é a preocpação da ABN em reisar a Norma NBR ), onde além da reisão do se teto original, tratará o conceito de noas técnicas constrtias como os elementos estrtrais de seção mista. Entre os diferentes elementos tratados na reisão da NBR ) podem-se encontrar as igas mistas, pilares mistos, lajes mistas e ligações mistas. Já em otros países onde as técnicas constrtias com elementos mistos aço-concreto ocpam m lgar de destae há algm tempo, normas e trazem prescrições para este tipo de elemento estrtral já eistem, como é o caso das normas americana AISC-LRFD 999) e ACI-8 999) e a norma eropéia Erocode 99). A análise de elementos mistos se torna complea ma ez e se tem em estão, características associadas ao comportamento do aço e concreto além da interação entre

19 ambos. Podemos citar, por eemplo, a não linearidade física, retração e flência do concreto, e estões como a flambagem local e tensões residais nos perfis. Os procedimentos de análise e dimensionamento de elementos mistos, em específico igas mistas, apresentados em normas Erocode, 99, NBR-88, 5) possem simplificações, como a da seção homogeneizada, e podem fornecer resltados não compatíeis com os da realidade. ais resltados são geralmente a faor da segrança porém podem ser contra a economia. O principal objetio desta pesisa é estabelecer m tratamento mais adeado em relação à análise de igas mistas com interação parcial, o seja, considerando o deslizamento relatio na interface de contato entre os materiais. Para isto tiliza-se o Método dos Elementos Finitos. Para solção deste tipo de problema sando o método dos elementos finitos foi desenolido m elemento nidimensional de iga e consiga simlar o deslizamento na interface de contato entre os materiais da seção mista considerando a não-linearidade física destes materiais e a possibilidade de seções transersais genéricas. Uma segnda estratégia de solção do problema tilizando o método dos elementos finitos foi desenolida. Nesta, o comportamento na interface de deslizamento do elemento misto será simlado por m elemento de interface retanglar de espessra nla, já o comportamento das seções acima e abaio da interface de deslizamento será simlado por dois elementos nidimensionais de iga. A ação em conjnto destes elementos garante a simlação de problemas de igas mistas com interação parcial. Os elementos implementados citados nos dois parágrafos anteriores serão comparados com elementos desenolidos por otros atores atraés dos resltados nméricos de algns eemplos específicos encontrados na literatra. ambém será tilizado, na alidação dos elementos implementados e, para o caso de comportamento linear, a solção eata do problema de iga mista com interação parcial dada pela eação diferencial de Newmark. O programa de elementos finitos tilizado para implementação das formlações é o programa FEMOOP Finite Element Method Object Oriented Program). A escolha deste programa se de deido ao fato de ses códigos estarem disponíeis para modificações e noas implementações, e também ao fato de e a lingagem C orientada a objetos

20 tilizada em se código facilita a implementação de noos elementos atraés de noas classes, sem a necessidade de conhecer a fndo toda a estrtra do programa. O presente trabalho em dar continidade a ma linha de pesisa desenolida na Uniersidade Federal de Oro Preto UFOP), tendo sido antecedido por dois otros trabalhos de mestrado. O primeiro deles Caldas, ) consisti no desenolimento e implementação de procedimentos nméricos oltados para análise de pilares mistos, com a consideração das não-linearidades físicas e geométricas e a possibilidade de seções arbitrárias, sendo considerada a interação total no contato entre os materiais. Já o segndo trabalho Mniz, 5) apresento formlações nméricas alternatias para análise de elementos mistos com interação total entre os materiais, considerando as não linearidades física e geométrica e m tratamento mais rápido e genérico da seção transersal. Os elementos implementados no segndo trabalho permitem ainda a consideração de imperfeições geométricas iniciais e também análises no campo de grandes deslocamentos e grandes rotações atraés da tilização de elementos co-rotacionais. É importante salientar e apesar das análises efetadas no presente trabalho estarem mais oltadas para as igas mistas de aço e concreto, os modelos implementados podem ser sados por aler combinação de dois elementos componentes de ma iga e deslizem relatiamente entre si atraés de ma coneão.. APRESENAÇÃO Este trabalho encontra-se diidido em seis capítlos e dois aneos. No segndo capítlo tem-se ma reisão bibliográfica sobre métodos de solção de iga mista com interação parcial. São apresentados métodos analíticos como a solção atraés da eação diferencial de Newmark e métodos nméricos com a tilização de elementos finitos sados por ários atores em pesisas recentes sobre o assnto. ambém é apresentado neste capítlo o elemento básico de interface, e será tilizado no capítlo para a formlação de m elemento e simle o comportamento na interface de deslizamento da iga mista. No capítlo faz-se m estdo oltado para análise de seções transersais mistas genéricas. Neste capítlo é descrito o método tilizado para a obtenção dos esforços resistentes e rigidezes tangente nas seções mistas, considerando as características dos materiais aço e concreto. 5

21 No Capítlo são apresentadas das formlações para solção nmérica de problemas de igas mistas com interação parcial. A primeira delas sa m elemento finito baseado em deslocamentos e considera o deslizamento na interface de contato entre os materiais da seção mista. A segnda tiliza m elemento nidimensional de iga, de seção genérica definida como no capítlo, em conjnto com m elemento de interface retanglar de espessra nla, sado para simlar o comportamento da interface deslizante da iga mista. No capítlo 5 são apresentados algns eemplos e são aaliados por procedimentos nméricos sando os elementos implementados neste trabalho e por otros atores. Os resltados obtidos nestas aaliações nméricas são deidamente comparados. Faz-se so também neste capítlo da eação diferencial de Newmark para a obtenção da solção eata de m problema específico e será comparada com a resposta obtida atraés da solção nmérica tilizando os elementos implementados neste trabalho. No capítlo 6 são apresentadas as conclsões referentes a este trabalho e sgestões para trabalhos ftros tilizando as implementações desenolidas, bem como noas implementações. Por último são apresentados de forma resmida em dois aneos, o procedimento simplificado do projeto de reisão da norma NBR 88 5) para solção de problemas de igas mistas com interação parcial, Aneo I, e m ario de entrada de dados para o programa FEMOOP com a tilização dos elementos implementados neste trabalho, Aneo II. 6

22 Capítlo INRODUÇÃO. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Os elementos estrtrais mistos aço-concreto são formados pela associação de m perfil de aço, laminado, dobrado o soldado, com m componente em concreto, simples o armado. A interação entre os materiais é garantida por meios mecânicos, conectores, mossas, ressaltos, por atrito, o por simples aderência e repartição de cargas Qeiroz et al, ). Dentre os diferentes tipos de elementos mistos aço-concreto, segndo formas e critérios de dimensionamentos, podem-se citar as lajes mistas, os pilares mistos, as igas mistas, entre otros. A figra. ilstra ma estrtra bastante comm em obras de engenharia, onde aparecem ma laje mista, formada por ma laje de concreto armado sobre ma placa de aço com reentrâncias e garantem sa fncionalidade conjnta, e ma iga mista, formada por m perfil de aço ligado por conectores do tipo pino com cabeça a ma laje de concreto.

23 Figra. Ilstração de ma estrtra mista laje mista e iga mista). Com o início da tilização do elemento de aço em obras de engenharia de andares múltiplos e com a presença do concreto garantida deido ao preenchimento das lajes, a nião entre esses dois materiais, com a finalidade de melhorar a capacidade resistente da estrtra, estaa por ir. As primeiras estrtras mistas de aço-concreto srgiram em 89 nos Estados Unidos Griffis, 99). Segndo De Nardim 999) em 9, na Inglaterra, os elementos estrtrais mistos começam a ser estdados. Em meados de 9 já se haia estabelecido métodos de dimensionamento para igas mistas e foram, em 9, introdzidos na norma da American Association of State Highwa, AASHO, e em 95 na norma do American Institte of Steel Constrction, AISC. No Brasil este tipo de sistema estrtral formado por elementos mistos foi introdzido na década de 5 e ainda tem sa tilização poco difndida. De forma a ilstrar a tilização de elementos mistos aço-concreto no Brasil nesta época podem-se citar algns projetos estrtrais do engenheiro Palo R. Fragoso Figeiredo, 998), como os edifícios: Garagem América 957), Palácio do Comércio 959), Aenida Central 96), Santa Crz 96) e Sede do IPERJ 965).. MOIVAÇÃO E OBJEIVOS Os sistemas estrtrais mistos aço-concreto, por terem ses elementos de aço préfabricados, possem alidade, precisão e tempo de eecção melhores e os sistemas

24 estrtrais com todos os ses elementos moldados in loco. Sendo os elementos de aço dimensionados de forma a sportar, entre otras, as cargas permanentes e de constrção, os sistemas estrtrais mistos aço-concreto permitem a dispensa de escoras e redção de fôrmas no preenchimento in loco dos elementos de concreto. Qeiroz et al ) lista como antagens dos sistemas mistos aço-concreto a redção do peso próprio e do olme da estrtra, a redção do consmo de aço estrtral, a redção das proteções contra incêndio e corrosão e o amento na rigidez e resistência à flambagem. O crescente so do elemento de aço em sistemas estrtrais na constrção ciil no Brasil permite o amento da tilização de elementos mistos, principalmente as igas mistas, ma ez e na maioria das constrções metálicas é adotada a solção de iga mista para aproeitar a altra da laje de concreto sobreposta ao elemento de aço, formando assim ma iga mista com comportamento estrtral sperior ao do elemento de aço. Qando se deseja encer grandes ãos, como no caso de pontes e galpões indstriais, a solção com elementos mistos, no caso a iga mista, se torna bem interessante. Nie et al ) cita nestes casos como antagens das igas mistas em relação às igas simples a alta relação ão erss altra da iga, menor deformação e ma alta freüência fndamental de ibração. Um indicatio de crescimento da tilização deste tipo de elemento estrtral na constrção ciil é a preocpação da ABN em reisar a Norma NBR ), onde além da reisão do se teto original, tratará o conceito de noas técnicas constrtias como os elementos estrtrais de seção mista. Entre os diferentes elementos tratados na reisão da NBR ) podem-se encontrar as igas mistas, pilares mistos, lajes mistas e ligações mistas. Já em otros países onde as técnicas constrtias com elementos mistos aço-concreto ocpam m lgar de destae há algm tempo, normas e trazem prescrições para este tipo de elemento estrtral já eistem, como é o caso das normas americana AISC-LRFD 999) e ACI-8 999) e a norma eropéia Erocode 99). A análise de elementos mistos se torna complea ma ez e se tem em estão, características associadas ao comportamento do aço e concreto além da interação entre

25 ambos. Podemos citar, por eemplo, a não linearidade física, retração e flência do concreto, e estões como a flambagem local e tensões residais nos perfis. Os procedimentos de análise e dimensionamento de elementos mistos, em específico igas mistas, apresentados em normas Erocode, 99, NBR-88, 5) possem simplificações, como a da seção homogeneizada, e podem fornecer resltados não compatíeis com os da realidade. ais resltados são geralmente a faor da segrança porém podem ser contra a economia. O principal objetio desta pesisa é estabelecer m tratamento mais adeado em relação à análise de igas mistas com interação parcial, o seja, considerando o deslizamento relatio na interface de contato entre os materiais. Para isto tiliza-se o Método dos Elementos Finitos. Para solção deste tipo de problema sando o método dos elementos finitos foi desenolido m elemento nidimensional de iga e consiga simlar o deslizamento na interface de contato entre os materiais da seção mista considerando a não-linearidade física destes materiais e a possibilidade de seções transersais genéricas. Uma segnda estratégia de solção do problema tilizando o método dos elementos finitos foi desenolida. Nesta, o comportamento na interface de deslizamento do elemento misto será simlado por m elemento de interface retanglar de espessra nla, já o comportamento das seções acima e abaio da interface de deslizamento será simlado por dois elementos nidimensionais de iga. A ação em conjnto destes elementos garante a simlação de problemas de igas mistas com interação parcial. Os elementos implementados citados nos dois parágrafos anteriores serão comparados com elementos desenolidos por otros atores atraés dos resltados nméricos de algns eemplos específicos encontrados na literatra. ambém será tilizado, na alidação dos elementos implementados e, para o caso de comportamento linear, a solção eata do problema de iga mista com interação parcial dada pela eação diferencial de Newmark. O programa de elementos finitos tilizado para implementação das formlações é o programa FEMOOP Finite Element Method Object Oriented Program). A escolha deste programa se de deido ao fato de ses códigos estarem disponíeis para modificações e noas implementações, e também ao fato de e a lingagem C orientada a objetos

26 tilizada em se código facilita a implementação de noos elementos atraés de noas classes, sem a necessidade de conhecer a fndo toda a estrtra do programa. O presente trabalho em dar continidade a ma linha de pesisa desenolida na Uniersidade Federal de Oro Preto UFOP), tendo sido antecedido por dois otros trabalhos de mestrado. O primeiro deles Caldas, ) consisti no desenolimento e implementação de procedimentos nméricos oltados para análise de pilares mistos, com a consideração das não-linearidades físicas e geométricas e a possibilidade de seções arbitrárias, sendo considerada a interação total no contato entre os materiais. Já o segndo trabalho Mniz, 5) apresento formlações nméricas alternatias para análise de elementos mistos com interação total entre os materiais, considerando as não linearidades física e geométrica e m tratamento mais rápido e genérico da seção transersal. Os elementos implementados no segndo trabalho permitem ainda a consideração de imperfeições geométricas iniciais e também análises no campo de grandes deslocamentos e grandes rotações atraés da tilização de elementos co-rotacionais. É importante salientar e apesar das análises efetadas no presente trabalho estarem mais oltadas para as igas mistas de aço e concreto, os modelos implementados podem ser sados por aler combinação de dois elementos componentes de ma iga e deslizem relatiamente entre si atraés de ma coneão.. APRESENAÇÃO Este trabalho encontra-se diidido em seis capítlos e dois aneos. No segndo capítlo tem-se ma reisão bibliográfica sobre métodos de solção de iga mista com interação parcial. São apresentados métodos analíticos como a solção atraés da eação diferencial de Newmark e métodos nméricos com a tilização de elementos finitos sados por ários atores em pesisas recentes sobre o assnto. ambém é apresentado neste capítlo o elemento básico de interface, e será tilizado no capítlo para a formlação de m elemento e simle o comportamento na interface de deslizamento da iga mista. No capítlo faz-se m estdo oltado para análise de seções transersais mistas genéricas. Neste capítlo é descrito o método tilizado para a obtenção dos esforços resistentes e rigidezes tangente nas seções mistas, considerando as características dos materiais aço e concreto. 5

27 No Capítlo são apresentadas das formlações para solção nmérica de problemas de igas mistas com interação parcial. A primeira delas sa m elemento finito baseado em deslocamentos e considera o deslizamento na interface de contato entre os materiais da seção mista. A segnda tiliza m elemento nidimensional de iga, de seção genérica definida como no capítlo, em conjnto com m elemento de interface retanglar de espessra nla, sado para simlar o comportamento da interface deslizante da iga mista. No capítlo 5 são apresentados algns eemplos e são aaliados por procedimentos nméricos sando os elementos implementados neste trabalho e por otros atores. Os resltados obtidos nestas aaliações nméricas são deidamente comparados. Faz-se so também neste capítlo da eação diferencial de Newmark para a obtenção da solção eata de m problema específico e será comparada com a resposta obtida atraés da solção nmérica tilizando os elementos implementados neste trabalho. No capítlo 6 são apresentadas as conclsões referentes a este trabalho e sgestões para trabalhos ftros tilizando as implementações desenolidas, bem como noas implementações. Por último são apresentados de forma resmida em dois aneos, o procedimento simplificado do projeto de reisão da norma NBR 88 5) para solção de problemas de igas mistas com interação parcial, Aneo I, e m ario de entrada de dados para o programa FEMOOP com a tilização dos elementos implementados neste trabalho, Aneo II. 6

28 Capítlo REVISÃO BIBLIOGRÁFICA SOBRE VIGAS MISAS COM INERAÇÃO PARCIAL. INRODUÇÃO Neste capítlo, faz-se ma reisão bibliográfica sobre solções analíticas e nméricas de problemas de igas mistas com interação parcial. Primeiramente, apresenta-se a principal solção analítica obtida para o problema de iga mista com interação parcial, o método eato de Newmark 95). O método aproimado da norma NBR-88 5), apesar de não ser ma solção analítica no sentido rigoroso, é apresentado no Aneo I. Em segida, apresenta-se ma reisão bibliográfica dos trabalhos mais recentes tilizando métodos nméricos para solções de igas mistas com interação parcial, sendo o deslizamento na interface considerado pelo elemento finito e representa a iga mista. Por último, apresenta-se o elemento básico de interface e será tilizado no capítlo como m método nmérico de solção de igas com deslizamento relatio, deslizamento e será modelado pelo elemento de interface. As igas mistas de aço e concreto são elementos estrtrais compostos por m perfil metálico, laminado, dobrado o soldado, ligado por meios mecânicos, conectores, mossas, ressaltos, a ma laje de concreto, conencional o do tipo steel-deck. As formas de seções mistas aço-concreto são as mais ariadas possíeis dependendo da imaginação do projetista. A figra. Oehlers e Bradford, 995) mostra algmas 7

29 seções de iga mista comns nos projetos deste tipo de elemento estrtral. Dentre elas, a mais comm nas constrções é a iga- como mostrado em.a). Deido a mesa sperior do elemento de aço da iga- contribir mito poco para a resistência total da seção podese obter ma seção mais eficiente diminindo o tamanho da mesa sperior e soldando ma placa na mesa inferior como é mostrado na iga-placa em.b). Segindo a mesma linha do pensamento anterior, pode-se eliminar a mesa sperior do elemento de aço e soldar os conectores na alma do perfil como é mostrado na iga-híbrida em.c). Pode-se também ter a espessra da seção de concreto crescente formando ma mísla como é mostrado na iga-mísla em.d). Se no caso de iga- o elemento de aço está em ma das etremidades da seção de concreto temos a iga-l como é mostrado em.e). Vigas mistas em pontes têm na maioria das ezes a seção I do elemento de aço sbstitída por seção do tipo caia fechada, como mostrado em.g), o aberta como mostrado em.f), sendo e neste caso os conectores estão concentrados nas almas. Em pisos de edifícios a tilização do sistema estrtral de iga mista consege ma redção da ordem de % a % do peso da iga de aço em relação à iga com interação lire, o seja, sem a presença de conectores mecânicos de ligação Qeiroz et al, ). Por este motio, em sistemas estrtrais com a tilização de elemento de aço, a solção de igas mistas é adotada na grande maioria das ezes. Figra. seções incladas mecanicamente Oehlers e Bradford, 995). 8

30 Figra. ipos de conectores e comportamento na interface Oehlers e Bradford, 995). Já para a ligação mecânica entre os materiais da iga mista, na maioria das ezes é adotado o conector do tipo pino com cabeça std), pore, além do fato de sa fácil eecção, este tipo de conector fornece à cra força deslizamento na interface da iga mista m comportamento com patamar plástico er figra.), e na prática é mito interessante. É jstamente este comportamento plástico e permite a redistribição de esforços e aiso de grandes deslocamentos antes da rína. Na tilização de igas mistas aço-concreto em sistemas estrtrais dee-se, na eecção, preocpar-se com o fato de escorar o não o elemento. Se a eigência da ação conjnta dos materiais for necessária para resistirem as cargas de peso próprio e otras de constrção, então a iga mista dee ser escorada de forma a esperar e o concreto ganhe resistência sficiente para a ação conjnta dos materiais, no caso contrário, o escoramento é dispensado Qeiroz et al, ).. SOLUÇÕES ANALÍICAS DE VIGAS MISAS As pecliaridades inerentes a este sistema estrtral tornam a sa análise bastante distinta das igas de aço e concreto. Uma ez e a ligação entre os materiais da seção mista possi ma certa rigidez, acontecem deslizamentos relatios na interface açoconcreto e serão maiores o menores de acordo com tal rigidez, e estes deslizamentos irão amentar os deslocamentos totais inflindo na distribição de esforços nas regiões de momentos negatios e positios. 9

31 A deformação, a distribição de tensões e o modo de falha das igas mistas dependem, sobretdo do comportamento da coneão horizontal entre os elementos de aço e concreto. al comportamento é representado pela relação entre a força cortante na interface e o se deslizamento relatio como se pode er na figra. Oehlers e Bradford, 995). ambém são de particlar importância na análise de igas mista os fenômenos de flência e retração do concreto. Esses fenômenos proocam deformações no elemento de concreto da iga mista, e tem ma de sas faces ligadas por meios mecânicos à iga de aço e tenta impedir tal deformação, proocando assim esforços de fleão no elemento de iga mista. Diz-se Interação parcial entre os materiais ando os deslizamentos relatios na interface aço-concreto inflenciam de modo consideráel a distribição de esforços no elemento de iga mista. Já Interação otal entre os materiais desconsidera o deslizamento na interface aço-concreto e trata o elemento de iga mista como ma iga comm de seção mista... Eação diferencial de Newmark Nesta seção é apresentada a eação diferencial de Newmark 95), e tem como principal antagem obter a solção eata do problema atraés da solção de ma eação diferencial enolendo a cratra da iga mista. No entanto, o método apresenta algmas restrições, limitando-se a problemas de igas mistas específicos: a distribição do momento atante na iga dee ser conhecida; as propriedades geométricas da seção deem ser constantes em todo o elemento analisado e as relações tensão deformação dos materiais deem ser lineares. Esta eação será tilizada em capítlos segintes para obtenção de solções eatas de problemas específicos. Estes problemas também serão aaliados sando análise nmérica, e no caso é ma solção aproimada da eação diferencial atraés de fnções de interpolação nos elementos finitos. Os resltados de ambos serão comparados para aaliação da formlação tilizada. O desenolimento da eação ai apresentada é encontrado, de forma mais redzida, em Faella et al ).

32 ... Deslizamento na interface A interação parcial na interface aço-concreto da seção mista prooca m deslizamento na interface. Este deslizamento é apresentado na eação., onde s é o deslizamento ao longo do eio da iga mista, e são respectiamente os deslocamentos dos centro geométrico da seção de aço e da seção de concreto, h é a distância entre os dois centros geométricos e é a rotação da seção mista. s ) h.) Considera-se e a iga mista interage parcialmente apenas na direção horizontal, considerando então para a direção ertical ma interação total, o seja, para ma mesma seção a laje de concreto e a iga de aço tem os mesmos deslocamentos erticais e rotações. A não-consideração da separação ertical na interface é sstentada pelo fato de e não há eidências eperimentais sficientes e comproem a importância desta consideração na resposta das análises de igas mistas Salari e Spacone, ).... Esforços na seção mista Os momentos na seção mista aço-concreto em relação a m eio aler podem ser obtidos atraés da integração das tensões normais na área da seção em relação a esses eios. A figra. mostra os esforços atantes em ma seção mista. Na figra o índice refere-se a seção de concreto e o índice a seção de aço. M da.) α σ α Aα α Na eação., α, refere-se, respectiamente, as seções de concreto e aço da seção mista, o à seção inferior e sperior a interface de deslizamento.

33 Figra. Notações para ma seção mista com coneão fleíel Faella et al, ). Sendo a relação tensão deformação dos materiais linear, a tensão σ ) nas seções pode ser escrita como o prodto do módlo de elasticidade E ) do material pela deformação da seção ε α ). α α α M E ε da.) Aα α α α Como os momentos estão sendo obtidos em relação a m eio passando pelo centro geométrico das seções, então a eação da deformação aial para as seções, em relação a esses eios, é dada abaio, onde χ é a cratra da seção analisada. ε χ.) α α Sbstitindo a eação. em. e trabalhando o resltado, chega-se na eação final para os momentos nas seções, nesta eação I α representa o momento de inércia nas seções de concreto e aço. M α E α χ α da A α χe I.5) α α

34 Obserando a figra. e tomando a condição de eilíbrio das forças na direção horizontal, tem-se: F F F.6) O momento total atante na seção mista, dado pela eação.7, é a soma dos momentos atantes em cada seção, somados ao momento deido ao binário de força e srge na interface aço-concreto da iga mista. M M M Fh χ E I χe I Fh EI ) free Fh.7) χ Na eação.7, EI) free E I E é a rigidez à fleão da seção transersal I ando a coneão horizontal não eiste F ).... Relação força cortante deslizamento na interface Newmark 95) considera em sa formlação ma relação linear entre a força cortante longitdinal por nidade de comprimento e o deslizamento na interface. A força cortante longitdinal por nidade de comprimento é a taa de ariação da força cortante na interface ao longo da iga mista. F Ks df d.8) Na eação.8, K é ma constante e caracteriza a coneão horizontal na interface da seção mista. O alor de K depende, dentre otras ariáeis, do tipo de conector tilizado na ligação entre os materiais e do número de conectores tilizado ao longo do elemento analisado. A eação.9 é obtida deriando a eação.8 em relação a ariáel e define a posição da seção analisada na iga mista, esta ariáel está representada na figra. pela letra.

35 F Ks K ε ε χ ).9) h... Retração no concreto A retração no concreto é ma redção de olme casada pela perda de ága deido a eaporação. A NBR-68 ) em se item...5 especifica, para a maioria dos casos correntes de elementos estrtrais de concreto, m alor constante para a deformação deido a retração do concreto de 5 5. Já a NBR-88 5) cita, em se aneo Q item Q..., e tal deformação só tem alor significatio ando a relação entre o ão e altra total da iga mista ecede a e a deformação específica de retração lire do concreto eceder a,%, sendo e nestes casos a norma aconselha a consltar normas o especificações estrangeiras o bibliografia especializada. Na formlação de Newmark a deformação por retração do concreto ε sh ) é constante e participa das eações somada à deformação do centro geométrico da seção de concreto, como definido abaio. F K ε ε ε sh ) χ ).) h...5 Considerações finais Sbstitindo a deformação da eação. pela relação entre tensão e módlo de elasticidade, e sabendo e tensão é a relação entre força e área, tem-se: E A E A F KF Kε sh Kχh E A E A ) ).) De modo a simplificar a eação. define-se, EA) * E A ) E A ). E A E A

36 KF F Kε sh Kχh * EA).) Sendo a distância entre os centros geométricos das seções de aço e concreto, representada na figra. por h, e a rigidez à fleão da seção transersal EI) free, constantes ao longo do elemento, tem-se, deriando das ezes a eação.7 em relação a ariáel e define a posição da seção analisada, a eação abaio: M χ EI ) free F h.) Sbstitindo a eação. na eação., e sabendo, por meio da teoria de iga sbmetida a fleão simples, e M, chega-se a epressão abaio: χ EI) free KhF EA) * Khε Kh χ sh.) Definem-se: EI) h * fll EI) free EA).5) α K EI ) EA) * fll EI) free.6) A eação.5 representa a rigidez a fleão do elemento de iga mista ando a interação na interface aço-concreto da seção mista for total. rabalhando a eação. e sando as definições.5 e.6 chega-se à eação.7, e define a eação diferencial da cratra para igas mistas com propriedades geométricas da seção constante, relação tensão deformação linear e relação taa de força cortante longitdinal por deslizamento na interface aço-concreto constante e igal a K. 5

37 M Kh χ α χ α EI ) EA) EI ) ε sh free fll free.7) Conhecido o momento atante no elemento de iga analisado e determinado as propriedades geométricas da seção pode-se, atraés da solção da eação diferencial.7 para as condições de contorno do elemento, determinar a solção eata para cratra ao longo do elemento de iga. Porém, para o so da eação.7 é necessária a consideração de algmas restrições como: propriedades geométricas da seção constantes ao longo do elemento; relação tensão-deformação linear para os materiais; relação carga-deslizamento da interface linear; conhecimento préio do momento atante ao longo do elemento. Faella et al ) tiliza a eação.7 para obter a solção eata do problema de iga mista simplesmente apoiada com carregamento niformemente distribído ao longo do elemento e concentrado nos ses etremos. Em sa formlação nmérica o ator atribi alores nitários aos carregamentos nodais do elemento, e atraés da solção eata do problema é determinando ma matriz de rigidez eata para o elemento, e relaciona ses deslocamentos nodais às correspondentes forças nodais... Processo simplificado definido pelo projeto de reisão da NBR-88 O projeto de reisão da NBR 88 5) em se aneo Q define m procedimento simplificado para a determinação de deslocamentos e momentos resistentes últimos de igas mistas com interação parcial. Em se procedimento a Norma se tiliza de simplificações significatias, como o caso da seção homogeneizada e a consideração da distribição niforme da força cortante ao longo da interface de deslizamento do elemento de iga. Deido a se caráter de dimensionamento de elementos de igas mistas em relação aos ses estados limites últimos e de tilização, tal procedimento é apresentado de forma resmida no aneo I deste trabalho.. SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE VIGAS MISAS Como isto na seção anterior as solções analíticas de problemas de igas mistas são aplicáeis a casos particlares, como no caso da eação de Newmark 95) e entre 6

38 otras particlaridades eige o conhecimento préio do momento atante na iga mista, o dee-se considerar algmas simplificações para obter a solção, como no caso do procedimento simplificado definido pelo projeto de reisão da norma NBR 88 5). Diante das particlaridades e simplificações dos procedimentos analíticos para a solção de problema de iga mista com interação parcial, o so de métodos nméricos para solção deste tipo de problema se torna atraente. O método dos elementos finitos, e apesar de fornecer ma solção aproimada deido à discretização do contíno em elementos finitos e a aproimação da solção em cada elemento por fnções de interpolação, apresenta ma conergência para a solção eata ando amenta-se a discretização do contíno, desde e as fnções de interpolação do elemento obedeçam condições mínimas de acordo com o tipo de problema aaliado. Nesta seção será feita ma reisão bibliográfica em trabalhos mais recentes e adotam solções nméricas para problemas de igas mistas com interação parcial. Será feita também ma bree reisão sobre trabalhos relacionados a elementos de interface, já e no capítlo é apresentada ma proposta de solção nmérica do problema de iga mista com interação parcial sando m elemento de interface em conjnto com m elemento de iga simples. Na reisão bibliográfica percebe-se a preferência dos atores na tilização de elementos nidimensionais para simlar o problema de iga mista com interação parcial, ma ez e estes são mais simples de serem implementados, prodzem respostas mais rápidas e, para o caso de problemas de igas, com boa precisão, jstificando assim a preferência em relação aos elementos bidimensionais o tridimensionais. Os diferentes elementos nidimensionais implementados em trabalhos recentes descritos no item abaio diferem entre si na escolha do tipo da formlação de elementos finitos tilizada, e são baseadas ora em deslocamentos ora forças. A determinação do número de gras de liberdade e conseüente escolha das fnções de interpolação implica também em diferenças entre os elementos implementados encontrados na reisão bibliográfica. Na literatra, os trabalhos encontrados e tilizam o elemento de interface retanglar de espessra nla, geralmente o fazem para simlar propagação de trincas, modelo de jntas e contatos entre diferentes materiais. Não foram encontrados trabalhos 7

39 desenolidos sando este tipo de elemento para simlar o comportamento da interface de deslizamento em igas mistas com interação parcial. Isto pode ser eplicado deido ao elemento de interface ser normalmente tilizado em análises bidimensionais, sendo necessário algmas alterações na consideração dos gras de liberdade em se nós para a sa tilização em conjnto com elementos de barra... Solções com elementos finitos considerando o deslizamento na interface Oen et al 997) apresentam m modelo de elementos finitos inelástico não linear bi-dimensional para análise estrtral de iga mista com coneão deformáel na interface. No desenolimento da formlação os atores tilizam o princípio dos trabalhos irtais, epresso pela eação.8, onde o trabalho irtal interno é representado pela soma dos trabalhos realizados pela laje de concreto, pelo perfil de aço e pelos conectores de ligação da interface, e o trabalho irtal eterno é representado atraés do prodto das forças eternas nodais pelo campo de deslocamento irtal, ma ez e para a formlação sada só são permitidas forças eternas nodais no elemento. δw σ czδε czdac dz σ szδε szdas dz Fδ sdz l Ac l As l { Q}{ δ}.8) Na análise é considerado m elemento de barra com dois nós e seis gras de liberdade por nó. Atribindo as fnções de interpolação ao elemento e aplicando a ele a eação.8, chega-se à formlação desejada para o elemento finito. Gattesco 999) tiliza, em sa formlação nmérica para solção de problemas de igas mista com interação parcial, m elemento representado por dois membros de iga, concreto e aço, m sobre o otro conectados por das molas horizontais em sas etremidades, como pode ser isto na figra.. O elemento possi atro pontos nodais com três gras de liberdades cada m, os ais representam os deslocamentos ertical e horizontal e a rotação no plano -. No entanto, com a desconsideração da separação ertical entre os membros de iga o número de gras de liberdade do elemento se redz para oito. 8

40 Figra. Elemento com 8 gras de liberdade Gattesco, 999) Fabbrocino et al 999) propõem m procedimento nmérico para análise do comportamento estrtral de iga mista sobre efeito de momento positio deido a carregamento de crta dração em ambas sitações de estados limites de rína e de tilização. Salari e Spacone ) apresentam ma formlação para solção nmérica de problemas de igas mistas com interação parcial na interface tilizando o método dos elementos finitos, com diferentes elementos de barra. O primeiro é deriado do método baseado em deslocamentos, e otro deriado do método baseado em forças. Em sa formlação, os atores definem para igas mistas o campo de deslocamento ) ) ) ), onde ) é o deslocamento ertical, idêntico para ambos, ) c s concreto e aço, deido a consideração de eleação nla na interface, e c ) e s ) são, respectiamente, os deslocamentos aiais na laje de concreto e no perfil de aço em ses eios de referências indicados pelo sbscrito. Dependente do campo de deslocamentos, é definido o campo de deformações da iga mista χ ε ) ε ) ) c ) s correspondente campo de força s ) M ) N ) N ) ) e ), e o se onde M), N c ) e N s ) são definidos na figra.5. Atraés do eilíbrio das forças horizontais e erticais, e dos momentos do elemento infinitesimal da figra.5, chega-se à eação diferencial abaio e goerna o problema de igas mistas com deslizamento na interface. c s 9

41 b s ) s ) p ) b.9) Na eação.9, e são operadores diferenciais definidos abaio, s b ) é o b etor de força generalizado na interface e p ) é o etor de força deido ao carregamento eterno e ao peso próprio. Figra.5 Viga mista com interação parcial forças sobre m elemento infinitesimal Salari e Spaccone, ). d.) d d d d d d b H d.) Para peenos deslocamentos tem-se as eações de compatibilidades e ) ) e e ) ), onde e b ) representa o deslizamento no ínclo de interface o o se b deslocamento relatio. b

42 As eações diferenciais acima são tilizadas por Salari e Spacone ) para a dedção das das formlações de elemento finito citadas. Dois eemplos são analisados e sados para comparação entre os métodos apresentados no artigo. Os atores destacam m menor número de gras de liberdade a níel global da estrtra na tilização do método baseado em força, no entanto citam e para eitar problemas comns neste método dee-se tilizar m procedimento especial de recperação de forças. Faella et al. ) propõem ma solção eata para o comportamento de igas mistas com coneão fleíel na interface. Em sa formlação, dedziram-se as epressões para a matriz de rigidez para m elemento de iga mista simplesmente apoiada com carregamento niformemente distribído ao longo do elemento e cargas concentradas nos ses etremos, como mostra a figra.6. Figra.6 Deslocamentos e forças nodais de ma iga mista simplesmente apoiada com interação parcial Faella et al., ). Usando a eação diferencial de Newmark 95), definida no item.. deste capítlo, e atribindo alores nitários aos carregamentos nodais do elemento, os atores encontram ma solção eata para o problema da figra.6, determinando ma matriz de rigidez para o elemento e relaciona ses deslocamentos nodais ϕ, s, ϕ, s ) às correspondentes forças nodais M, F, M, F ). i i j j i i j j A solção eata do problema da figra.6 tem a forma da eação., onde χ z) representa a cratra da iga mista na seção de coordenada z.

43 χ z) χ z) χ ).) z Na eação., χ ) é a solção da eação homogênea e, segndo ator, tem a z forma da eação. onde, C e C são constantes e podem ser determinadas impondo as condições de contorno ao elemento. Já χ ) é ma solção particlar do problema da z figra.6 e depende do carregamento, da deformação deido a retração do concreto e da eação do momento atante ao longo do elemento. χ z) C senh αz) C cosh α ).) z al método tem como principal antagem apresentar ma solção eata do problema segndo a eação diferencial de Newmark, diferente dos métodos de elementos finitos onde a solção da eação diferencial é aproimada. No entanto, como os elementos ão de apoio a apoio da iga, tem-se e as propriedades geométricas da seção transersal da iga deem ser constantes em todo ão, não podendo também eistir gras de liberdade no interior de m ão. O método também é limitado ao tipo de carregamento tilizado na definição da matriz de rigidez do elemento, a menos e se dedzam otras matrizes de rigidez para diferentes tipos de carregamentos. Dall Asta e Zona ) propõem, para solção de problemas de iga mista com interação parcial na interface, m elemento misto e tem como característica possir aproimações independentes para os campos de deslocamento, deformação e tensão. Inicialmente os atores apresentam ma solção sando o método dos elementos finitos com elemento baseado em deslocamentos, apresentando ma formlação mito semelhante àela apresentada por Salari e Spacone ). Em segida é apresentada a formlação para o elemento misto, e atraés da solção nmérica de m eemplo os atores comparam os elementos propostos. A figra.7 ilstra três diferentes elementos implementados sob a formlação do método baseado no deslocamento. As fnções de interpolação tilizadas para o campo de deslocamento nodal são compatíeis com os gras de liberdade apresentados na figra.7

44 para cada elemento implementado. Por eemplo, para o elemento PE da figra são tilizados polinômios de gra dois para os deslocamentos aiais da laje de concreto e da iga de aço, e polinômio de gra três para os deslocamentos erticais e rotações da iga mista. Figra.7 Campo de deslocamento para os elementos de 8 gras de liberdade a), gras de liberdade b) e 6 gras de liberdade c) Dall Asta e Zona, ). A figra.8 ilstra os elementos mistos implementados, e têm como fnções de interpolação polinômios de gra dois para os deslocamentos aiais, e gra três para deslocamentos erticais e rotações. Já para o campo de deformação são assmidos polinômios lineares para as deformações aiais e cratra, e polinômio de gra dois para o deslizamento na interface. Por último, assme-se para o campo de tensão polinômios lineares para as forças aiais e para o momento fletor, e polinômio de gra dois para a força cortante na interface. Figra.8 Elemento misto Dall Asta e Zona, ) Segndo os atores, o método baseado em deslocamentos é bastante tilizado na solção de problemas de igas mistas com interação parcial deido a sa formlação simples. No entanto, este método pode apresentar, em algns casos, problemas de conergência para alores altos de rigidez da coneão cortante na interface. Os atores também citam, em relação a este método, ma eigência de m número eleado de elementos para conergência da solção ando a coneão na interface é considerada lire.

45 Em relação ao elemento misto HW) implementado, os atores citam m comportamento sae na representação das forças aiais e momentos desenolidos ao longo da iga mista analisada. Já na representação da força cortante, aparecem descontinidades ao longo da interface. Os atores também relatam, em relação ao elemento misto, problemas de conergência em algns casos na solção de problemas iteratios. Liang et al ) desenoleram ma análise baseada no método dos elementos finitos para solção de problemas de iga mista, considerando ma resistência cortante ertical na interface e aparece atraés da laje de concreto sobre o efeito da ação mista. Um modelo de elementos finitos tri-dimensional foi proposto para simlar o comportamento não linear dos materiais da iga mista contína analisada. O modelo de elementos finitos é erificado atraés de resltados eperimentais, e então tilizado para estdar os efeitos da laje de concreto e da coneão cortante na interface sobre a resistência cortante ertical. Os atores afirmam, com base em resltados nméricos e eperimentais, e a desconsideração desta resistência indz a resltados conseradores na análise. Nie et al. ) desenoleram m modelo mecânico baseado na teoria da elasticidade para inestigar a rigidez de iga mista nas regiões de momento negatio, considerando, além do deslizamento na interface aço-concreto da iga mista, m deslizamento na interface das barras de reforço da laje de concreto. Em sa formlação são tomadas algmas considerações como: a força cortante na interface é proporcional ao deslizamento; a rigidez da coneão na interface é niforme e contína ao longo do comprimento da iga mista; a laje de concreto e a iga de aço tem deslocamentos erticais e rotações igais para ma mesma seção; as barras de reforço não fornecem resistência cortante ertical e a capacidade de tração do concreto é desprezada; o comportamento do material do perfil de aço e das barras de reforço é elástico linear. O modelo teórico desenolido é baseado nas considerações citadas no parágrafo anterior e nas condições de eilíbrio do elemento infinitesimal representatio, no al o elemento de concreto tem apenas a fnção de transferir a força cortante entre a iga de aço

46 e a barra de reforço da laje de concreto, não contribindo assim para o cálclo do momento resistente... Solções sando elemento de interface Os elementos de interface têm por finalidade predizer e permitir o deslizamento e separação entre dois corpos em contato, o separados por ma fina capa de material. ais elementos, aplicados dentro do método dos elementos finitos, tem sido enormemente tilizados na solção de problemas e simlam propagação de trincas, modelo de jntas e contato. Carol et al ), em ma análise nmérica para determinar a cra tensão deformação do concreto, tilizam o elemento de interface para simlar abertra de trincas na malha de elementos finitos analisada. Kaliakin e Li 995) tilizam o elemento de interface para simlar a interação no contato entre ma sapata de fndação e o solo. O elemento de interface tilizado para simlar o deslizamento na interface de ma iga mista implementado no capítlo é baseado no elemento clássico proposto por Goodman et al 968), com a necessidade de tilizar para os deslocamentos relatios erticais do elemento ma fnção de interpolação cúbica em ez de linear como no caso do elemento proposto por Goodman. Deido a isso, a segir é feita ma apresentação da formlação do elemento de interface proposto por Goodman.... Elemento de interface proposto por Goodman O elemento de interface proposto por Goodman et al 968), conhecido como GB, foi o primeiro elemento desenolido com a finalidade de representar o comportamento na interface entre materiais, a srgir na literatra, e sere ainda hoje como base para implementação de otros elementos de interface, como os elementos propostos por Herrmann 978) e Cotinho et al ). Este último tem como característica não apresentar inconsistência cinemática ando o elemento é sbmetido a ma condição específica de impedimentos de ses gras de liberdade. 5

47 O elemento GB possi atro nós, oito gras de liberdade de deslocamento, comprimento l e espessra h conforme mostrado na figra.9. Os deslocamentos na face sperior e inferior do elemento, eações. a.7, são definidos atraés de interpolações independentes. N N.) inf N N.5) inf N N.6) sp N N.7) sp Nas eações. a.7, N e N são fnções de interpolações lineares dadas pelas eações.8 e.9, i e i são os deslocamentos nodais representados na figra.9. N l.8) N l.9) Figra.9 Elemento de interface proposto por Goodman et al 968) 6

48 As deformações são consideradas constantes dentro da espessra, e são determinadas atraés dos deslocamentos relatios sperior e inferior do elemento como mostrado abaio: γ ε { ε}.) sp inf h sp inf h A eação. define as tensões no elemento de interface, nela [D] é a matriz constittia elástica do material definida na eação., onde d e d são, respectiamente, a rigidez tangencial e normal do elemento de interface. τ σ { σ} [ D]{ ε}.) d d [ D ].) A segir é apresentada a eação e relaciona o etor de deformação do elemento de interface com o etor dos deslocamentos { d } apresentado na eação.. A matriz [B] da eação pode ser dedzida a partir das eações. a.7 e da eação.. { } [ B]{ d} ε.) { } [ ] d.) h [ ] [ B ] N [ I ] N [ I ] N [ I ] N [ I ] h [ ] * B.5) Na eação.5, [ I ] é a matriz identidade de ordem dois. 7

49 A matriz de rigidez do elemento de interface, eação.6, é obtida atraés da energia de deformação do elemento de interface desenolida abaio: U { } ε { σ } V dv l h l { ε} [ D]{ ε}dzdd l h { d } [ B] [ D][ B] dd{ d} l l * * { d} [ B ] [ DI ][ B ] d{ d} l l * * [ KGB ] [ B ] [ DI ][ B ]d l.6) Desenolendo a eação.6 a matriz de rigidez do elemento de interface fica como apresentada abaio, onde [DI] é dado na eação.8. [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] [ DI ] l [ K ] GB 6.7) h.8) h h [ DI ] [ D] d [ D] Na eação anterior pode-se er e a medida e h tende a m alor mito peeno [ DI ] tende a m alor mito grande. No caso de elemento de interface de espessra nla h ) dee-se assmir para [ DI ] os maiores alores possíeis, desde e não casem erros comptacionais. 8

50 A matriz de rigidez do elemento de interface dada pela eação.7, é definida no sistema de referência local de coordenadas - do elemento de interface, caso este sistema forme m ângloθ com o sistema de referência global de coordenadas -, a matriz de rigidez no sistema de referência global dee ser determinada atraés da pré-mltiplicação da matriz de rigidez no sistema de referência local pela transposta da matriz de rotação, e da pós-mltiplicação pela matriz de rotação, definida na eação.. * * [ K ] [ R ] [ K ][ R ].9) GB GB * [ R ] [ R] [ ] [ ] [ ] [ ] [ R] [ ] [ ] [ ] [ ] [ R] [ ] [ ] [ ] [ ] [ R].) Em. [ R ] é a matriz de rotação bi-dimensional, dada abaio: cosθ senθ senθ [ R ] cosθ.) 9

51 Capítlo ANÁLISE DOS ESFORÇOS EM SEÇÕES MISAS. INRODUÇÃO O amento na tilização de estrtras metálicas e conseüentemente amento no so de elementos de igas mistas fazem srgir formas de seções mistas transersais e amentam a relação ão erss altra da iga, possibilitando grandes ãos lires, sempre interessantes em galpões indstriais e pontes. A solção de treliça mista para esses tipos de ãos também amenta o lee de possibilidade para formas ariadas de seções. ais seções podem não ter, para os cálclos dos esforços resistentes, métodos simplificados por normas, as ais geralmente se atêm às formas mais tilizadas na prática. A obtenção de esforços resistentes em seções de elementos de igas de concreto armado é feita, segndo a NBR-68 ), a partir de ma análise elasto-plástica. Já para seções de aço, a NBR ) considera, em geral, ma análise rígido plástica da seção para a obtenção dos esforços resistentes. No caso de seções mistas, o projeto de reisão da NBR-88 5) permite ma análise rígido plástica para os casos em e a relação entre das ezes a altra da parte comprimida da alma e a sa espessra, for inferior a m limite estiplado. Nos casos contrários, a análise para obtenção dos esforços resistentes é elástica. Ainda para seção mista, normas como a ACI-8 999) tilizam análise elasto-plástica na obtenção dos esforços resistentes.

52 São dois os principais métodos para a obtenção dos esforços resistentes em ma seção aler. O primeiro deles é o método de fibras, o faias, onde a seção analisada é discretizada em árias faias o fibras, determinando, atraés da deformada da seção, ma deformação para cada faia. Conhecida a relação tensão-deformação do material, determina-se ma força aial atante nestas faias e serão tilizadas na integração dos esforços resistentes. O segndo método tiliza integração analítica para a obtenção dos esforços resistentes na seção. Sendo a seção representada por m polígono fechado, é sado o teorema de Green para transformar a integral de área em ma integral de contorno, e então de forma analítica obter os esforços resistentes a partir da eação da configração deformada da seção. O objetio destes métodos de aaliação é determinar, para ma dada condição de deformação da seção, não apenas os ses esforços resistentes, mas também sas rigidezes generalizadas, o seja, as deriadas destes esforços em relação às ariáeis de deformação, necessárias nas formlações por elementos finitos. Um modelo baseado em ma série de faias discretas ao longo da altra da seção analisada foi empregado por U ) e Lakshmi e Shnmgam ) para a obtenção dos esforços resistentes na seção. No modelo, a deformação é obtida em cada faia em fnção da deformada da seção, e as relações tensão-deformação dos respectios materiais são adotadas para a obtenção da força aial na faia em estão. Estas forças são tilizadas na determinação do eilíbrio da seção e conseüente determinação dos esforços resistentes. Em Chen et al. ), são apresentadas epressões para a integração das tensões no concreto, tilizando para as tensões resltantes no aço m modelo de fibras Mirza e Skrabek, 99). Rodrigez e Aristizabal-Ochoa 999) apresentaram epressões para obtenção dos esforços no concreto, tilizando o método de integração de Gass, no al a seção dee ser aproimada por trechos retilíneos. Um modelo de fibras e emprega comptação gráfica para a integração das tensões sobre a seção foi desenolido por Sfakianakis ). Werner 97) sgeri o so do teorema de Green para obtenção de esforços em seções genéricas de concreto armado. Se trabalho seri de base para trabalhos posteriores sando este método, como Ferreira 986) e Melo ).

53 O problema de iga mista com interação total pode ser considerado como m caso particlar de pilar misto. Já para o caso de interação parcial, o deslizamento na interface do elemento torna a sa análise bem característica. No entanto, para a obtenção dos esforços resistentes, ao se considerar a seção da iga mista diidida em ma seção acima da interface de deslizamento e otra abaio, tem-se a eação da deformação contína para cada seção, e noamente m procedimento para pilar misto pode ser tilizado na obtenção dos esforços resistentes. Deido a isto, grande parte do eposto neste capítlo se baseia nos trabalhos anteriores de Caldas ) e Mniz 5) onde é feita ma análise nmérica de pilares mistos com seções genéricas. Neste capítlo, dedz-se a forma de obtenção de esforços e rigidezes generalizadas em seções de igas mistas genéricas a partir de ma aplicação do eorema de Green. O método escolhido apresenta a antagem de fornecer a resposta eata para a determinação dos esforços resistentes, porém a seção dee ser representada por m polígono fechado. Na obtenção destes esforços, é necessária a definição da eação de deformação na seção da iga mista analisada, considerando, para o caso de interação parcial da iga mista, m deslizamento na interface aço-concreto da seção mista. ambém se faz necessário o conhecimento da relação tensão-deformação dos materiais e constitem a seção mista. Por se tratar de fleão reta algmas simplificações podem ser assmidas. No caso da seção ser simétrica em relação ao eio ertical podem-se aaliar as integrais em determinados segmentos apenas ma ez de cada lado da seção, para obter os esforços resistentes e rigidezes. Na determinação dos esforços resistentes e rigidezes em problemas de igas mistas com interação parcial a seção transersal será diidida em das, definidas acima e abaio da interface de deslizamento.. GEOMERIA DA SEÇÃO RANSVERSAL A metodologia tilizada para o cálclo dos esforços resistentes permite a cada seção indiidal diidir-se em m número aler de materiais distintos, barras de reforço e abertras. Cada material é definido por ma poligonal fechada, as barras de reforço são definidas pontalmente, e abertras são consideradas ando, na definição da poligonal do

54 material e a contém, é deiado m espaço azio em se interior. As poligonais fechadas dos materiais e constitem a seção mista, mais as barras de reforço, deem se encaiar formando a seção desejada. Nos casos particlares teremos o concreto armado, ando a seção for constitída por apenas m polígono fechado representatio do material concreto e barras de reforço, e a iga de aço, ando a seção for constitída por apenas m polígono representatio do material aço. As coordenadas dos értices das poligonais deem ser referenciadas em m sistema de coordenadas aler. A figra. ilstra m eemplo fictício de seção mista. Podese obserar atraés da figra e a ordem de seüência dos értices na definição da poligonal do material é anti-horária. al ordem irá inflenciar no cálclo dos esforços, ma ez e pelo teorema de Green a integral em m polígono fechado percorrido em sentido anti-horário fornece o alor da positio; já no sentido horário, este alor será fornecido negatio. Figra. Definição da seção mista. DEFORMADA DA SEÇÃO CONSIDERANDO O DESLIZAMENO Como mencionado em capítlos anteriores, ma iga mista sbmetida a esforços de fleão prodz ma força cortante longitdinal na interface e liga a laje de concreto ao perfil de aço. Se a força de atrito prodzida entre as faces destes materiais, mais a força desenolida ao longo da interface deido a ma ligação ímica entre os materiais, forem

55 sficientes para sportar tal força cortante, então a deformada na seção será contína e a iga mista pode ser tratada como ma iga comm de dois materiais. No caso em e essas forças resistias longitdinais não são sficientes para sportar a força cortante longitdinal atante, os conectores de ligação da iga mista serão acionados e irão deformar-se prodzindo ma descontinidade na deformada da seção mista, como mostra a figra.. Considerando a hipótese de e seções planas permanecem planas após as deformações e a aproimação de peenas rotações tem-se para a deformada da seção de iga mista a epressão abaio: ε, ) ε ) ) χ ).) α α α Na eação., χ ) é a cratra da seção analisada de coordenada, e ε α ) é deformação aial nos eios de referência das seções analisada acima e abaio da interface de deslizamento da iga mista, como mostrado na figra.. As linhas paralelas da deformada da seção, apresentadas na figra., indicam e a cratra é a mesma para ambas as seções acima e abaio da interface de deslizamento, o e é erificado ando a interação na direção ertical da interface for total, o seja, não é possíel a separação na interface nesta direção. Assim sendo, essa condição é então adotada como hipótese na formlação da eação., e é também apresentada no capítlo de forma mais detalhada. Figra. Deformada da seção de iga mista com interação parcial.

56 . MAERIAIS Definem-se os materiais atraés de sas relações tensão-deformação. Por eemplo, o concreto pode ser definido segndo o Código Modelo CEB CEB, 99) por meio de m diagrama tensão-deformação simplificado, representado por ma parábola e ma reta horizontal ando comprimido e pelo eio nlo ando tracionado, como é mostrado na figra., onde f c é a resistência média a compressão do concreto. Figra. Diagrama tensão deformação do concreto CEB, 99). Será tilizado na definição das relações tensão deformação dos materiais m modelo já implementado em trabalhos anteriores Caldas,, Mniz, 5), e tem como principal característica a liberdade do sário de definir as relações tensão deformação dos materiais, desde e sejam descritas por polinômios. A figra. representa m modelo teórico de ma cra tensão-deformação. A cra pode ser diidida em m número aler de faias, representadas na figra pelos F i. Cada faia terá definidos os coeficientes e caracterizarão a cra polinomial a ser considerada, bem como sas deformações limites à eserda e à direita, representadas na figra. pelos L i. 5

57 Figra. Relação tensão deformação ilstratia de m material Para os casos de interação parcial a relação força cortante por nidade de comprimento erss deslizamento na interface dee ser fornecida de forma análoga à descrita acima. As mdanças para estes casos seriam as trocas, da tensão no eio ertical da figra. pela força cortante por nidade de comprimento, e a deformação no eio horizontal da mesma figra pelo deslizamento na interface. Apesar de ter sido admitido o mesmo procedimento para a definição das cras tensão-deformação dos materiais e para força-deslizamento na interface, esta última poderia ter sido definida atraés de ma fnção contína e diferenciáel aler, ma ez e não há necessidade de integração desta relação. Ela somente é aaliada em pontos de integração discretos..5 OBENÇÃO DOS ESFORÇOS RESISENES NA SEÇÃO MISA Os esforços seccionais resistentes são obtidos por integração das tensões definidas para alores das ariáeis de deformação e da área de armadra indiidal A si. Estes esforços, para os casos de igas mistas com interação parcial, são as forças normais aplicadas nos eios de referência das seções acima e abaio da interface de deslizamento, e os momentos em torno destes eios, como definidos a segir em. e.. ambém dee-se considerar para as igas mistas com interação parcial o esforço cortante resistente e srge na interface de deslizamento, definido no final deste item. N da.) α σ α Aα α 6

58 M α σ α Aα ) da.) α α Nas eações acima o índice α representa as seções acima e abaio da interface de deslizamento da seção mista. O momento resistente da seção mista é dado pela soma dos momentos da eação.. As seções mais comns de iga mista são formadas por ma laje de concreto, reforçada o não com barras de aço, e m perfil metálico como mostrado na figra. do capítlo deste trabalho. Porém a formlação sada na obtenção dos esforços resistentes considera a seção mista como nião de das seções poligonais aiser, como descrito no item.. Para este caso geral a integral na área dee-se sbdiidir em árias parcelas, as ais representarão as integrais nos diferentes materiais e nas barras de reforço. De acordo com esta seção mista genérica reescreem-se as eações dos esforços resistentes. Aα σ α da σ cda σ pda Asiσ si A A i c p concreto aço n s armadras.) σ α α ) da σ c α ) da σ p α ) da Asiσ si si α ) A A A i α c p concreto aço n s armadras.5) A obtenção do esforço normal resistente S b ) na interface de deslizamento é feita de forma direta sando a relação força cortante erss deslizamento do ínclo de ligação, definida como no item.. Uma ez determinada o deslizamento na interface o esforço cortante resistente na interface é obtido..6 INEGRAÇÃO As integrais dos esforços resistentes definidas no item anterior são resolidas após ma transformação das integrais de sperfície em integrais de contorno atraés de ma 7

59 aplicação do eorema de Green, como feito em trabalhos anteriores por Caldas ) e Mniz 5). Pela aplicação do eorema de Green, a epressão de m termo genérico de m polinômio transformado para ma integral de contorno nm polígono fechado é dada por: A Q P dd nseg Pd Qd) Pd Qd) Pi Pi i segmentos.6) O teorema dado pela eação.6 permite a obtenção de forma analítica de aler integral polinomial em domínio plano fechado, desde e descrito por segmentos retos. A epressão.7 abaio representa ma forma geral das integrais necessárias para o cálclo dos esforços resistentes, onde a e b são alores inteiros. A a b I ab dd.7) Figra.5 Parametrização do segmento Utilizando as eações.8 e.9 de parametrização de m segmento aler ilstrado na figra.5, e tilizando o teorema da eação.6, pode-se determinar tomando alores inteiros para a e b os diferentes resltados da epressão.7 necessários para o cálclo das integrais dos esforços resistentes. S ).8) S ).9) 8

60 9 Nas eações de parametrização anteriores S define m eio sobre o segmento de análise e aria de, ando sobre ponto inicial, a, ando no ponto final do segmento. Obserando o eposto acima, e tomando a e b tem-se, para m segmento de coordenadas limites, ) e, ) de ma poligonal, a epressão dada abaio: A ds S d dd I ) ) )] [.) Para as mesmas condições acima e tomando a e b, tem-se: ) )] [ ds S d dd I A 6.) Segindo o mesmo raciocínio sado nas epressões. e. determinam-se todas as integrais necessárias ao cálclo dos esforços resistentes e rigidezes seccionais. ) )] )][ [ ds S S d dd I A.) ) )] [ )] [ ds S S d dd I A.) ) )] [ ds S d dd I A

61 .) ) )] )][ [ ds S S d dd I A.5) ) )] [ )] [ ds S S d dd I A 5.6) ) )] [ )] [ ds S S d dd I A 5.7) ) )] )][ [ ds S S d dd I A 5.8) ) )] [ ds S d dd I A

62 5.9) Figra.6 Análise de esforços em seção mista. a) Diisão da seção mista em faias de deformações, b) definição dos polígonos para cálclos da contribição aos esforços resistentes deido ao concreto. A figra.6a) mostra ma seção mista sbdiidida em faias de deformações de acordo com os diagrama de tensão-deformação dos materiais dados conforme o item.. Para o caso de igas a deformação aria na seção linearmente em relação ao eio, de acordo com a eação.5, e não aria em relação ao eio local da seção. É importante salientar e segmentos das poligonais e formam as áreas componentes e estão sitados em mais de ma faia de deformação do se respectio diagrama tensão-deformação, como mostra a figra.6a), deem ser diididos em tantos segmentos antas foram as faias em e se sitam. Obtêm-se assim poligonais secndárias de acordo com os diagramas dos materiais componentes da seção, figra

63 .6b). Para este fim pode-se tilizar, de forma bastante elegante, o algoritmo de determinação de isofaias em domínios planos Martha, ). A figra.6b) ilstra o procedimento da determinação de noos értices e da diisão das poligonais em antas forem necessárias para representarem as diferentes faias de deformações do material na determinação dos esforços e rigidezes. Esta diisão dee ser realizada em todos os materiais definidos por ses respectios polígonos fechados, de acordo com a eação da deformada da seção e a cra tensão-deformação do material. Na figra.6b) esta diisão foi feita de forma ilstratia apenas para o material concreto. Com o procedimento descrito acima de diisão das poligonais dos materiais, e conhecendo o diagrama tensão-deformação de cada material, pode-se determinar atraés das integrais obtidas os esforços resistentes e as rigidezes generalizadas em ma seção de análise do elemento de iga mista. Para ilstrar os passos tilizados no procedimento de determinação dos esforços resistentes será considerada a seção mista apresentada na figra.6. Nesta seção obsera-se e o material concreto está diidido em faias de deformação, portanto será considerado de forma ilstratia m polinômio constante para a faia I) do diagrama tensãodeformação do concreto, adrático para a faia II) e linear para a faia III). Os polinômios são definidos atraés de ses coeficientes c, c, c e c σ ε) c c ε c ε c ε ). Ainda no eemplo da figra.6, para o material aço será admitida apenas ma faia de deformação do diagrama de tensão-deformação, sendo assim toda a sa seção está representada por apenas m polinômio e será considerado linear. Com as considerações acima pode-se determinar a força normal resistente da seção mista aplicada na origem de se eio de referência. N A σ zda σ zda σ zda Asiσ si i A A p concreto aço n s armadras.) A contribição do concreto ao esforço normal resistente da seção mista é dada por:

64 N c σ zda σ zda σ zda A AI AII AIII σ da z.) Na eação., A I, A II e A III representam as áreas dos polígonos mostrados na figra.6b). O número de polígonos a considerar para m mesmo material é definido pela deformada da seção e o diagrama de tensão-deformação do material. Usando a relação tensão-deformação dada pelas cras polinomiais do diagrama de tensão-deformação do concreto, tem-se: z ada cε cε c ) da bε A σ da ) da.) AI b AII AIII Dee-se lembrar e foi admitido, de forma a ilstrar o cálclo dos esforços resistentes, m polinômio constante para o diagrama tensão-deformação do concreto na faia I, adrático na faia II e linear na faia III, como é ilstrado na figra.7. Figra.7 Cra tensão-deformação ilstratia para o concreto. Escreendo as ariáeis de deformação em fnção da deformação aial ε ) na origem do eio local da seção mista e da cratra χ ) da seção, ambas constantes na área da seção mista analisada, tem-se para a eação. a epressão: σ zda ada c ε χ ) c ε χ) c ] da [ b ε χ ) A AI [ AII AIII b ] da

65 Para a primeira parcela da integral acima, tem-se: AI a da a dd a I ) AI AI Para a segnda, tem-se: [ c ε χ) c ε χ) c ] da [ cε cε c cχ cχ ) cχ A II A II dd cχ cχ dd c ε cε c ) ) cχ AII ε cε c ) I ) A c c ) I ) II χ χ A c I II χ c ) AII AII dd AII ] da Para a terceira, tem-se: [ b χ) b ] da bε b ) dd AIII b χ ε AIII AIII dd b ε b ) I ) A b I ) III χ A III Jntando as três parcelas acima chega-se à epressão final para a contribição do concreto à força normal resistente da seção mista. A σ da a z AI AII A χ II I ) cε cε c ) I ) cχ cχ ) I ) c I ) b ε b ) I ) A b I ) III χ A III.) AII A contribição do aço ao esforço normal resistente da seção mista é obtida a segir: N s zda A σ σ da.) A I z

66 Na eação., A I representa a área do polígono fechado e define o material aço. Usando a relação tensão-deformação dada pela cra polinomial do diagrama de tensão-deformação do aço, tem-se: z aε A σ da a ) da.5) A I Dee-se lembrar e foi admitido de forma a ilstrar o cálclo dos esforços resistentes m único polinômio linear para o diagrama tensão-deformação do aço, como mostra a figra.8. Figra.8 Cra tensão-deformação ilstratia para o aço. Escreendo as ariáeis de deformação em fnção da deformação aial ε ) na origem do eio da seção mista e da cratra χ ) da seção, ambas constantes em toda área da seção mista analisada, tem-se para a eação.5 a epressão abaio: zda [ d ε χ) d ] da dε d ) dd σ A AI AI d χ AI d ε d ) I ) A d I ) I χ A I dd A contribição das barras de reforço no esforço normal resistente da seção mista é n N sb σ A ). i si si.6) 5

67 As barras de reforço são definidas pontalmente segndo o eio local de referência de coordenadas da seção. A partir de sas coordenadas são obtidas as deformações nas barras. Com estas, e o diagrama de tensão-deformação do material e constiti cada barra define-se a tensão atante em cada ma, e por último sando a área da seção transersal das barras determina-se a contribição de cada ma delas para o esforço normal resistente da seção. Na determinação do momento resistente em torno do eio de referência da seção analisada, sege-se de forma análoga à determinação da força normal resistente descrita anteriormente. M A σ z da σ z da σ z da Asiσ si si A A i c p concreto aço n s armadras.7) mista. Contribição do concreto no momento resistente em relação ao eio da seção M c A σ da a z I ) A cε cε c ) I ) A cχ cχ ) I ) A c I ) χ I b ε b ) I ) b I ) χ II AIII A III II A II A contribição do aço no momento resistente em relação ao eio da seção mista é: M s σ z da d ε χ ) d ] da dε d ) dd A AI [ d χ AI AI dd d ε d ) I ) A d I ) I χ A I A contribição das barras de reforço no momento resistente em relação ao eio da seção mista é dada por: M sb n i σ A si si si ).8) 6

68 Após a determinação da força normal em cada barra, como feito para o cálclo do esforço normal resistente, determina-se, atraés do prodto da força normal pelo braço de alaanca e forma com o eio do sistema de referência de coordenadas da seção mista, a contribição para o momento resistente de cada barra. Os passos para a determinação dos esforços resistentes da seção podem ser resmidos da seginte forma: i) determina-se a deformada da seção analisada, ii) determinam-se as diisões necessárias da poligonal e define cada material constitinte da seção, segndo a eação da deformada e a cra tensão-deformação dos materiais, e iii) determina-se a contribição de cada material aos esforços resistentes atraés da integral de contorno nas sb-poligonais obtidas da diisão da poligonal e define cada material. Com o procedimento descrito neste capítlo podem-se determinar os esforços resistentes em ma seção genérica formada por m número aler de materiais representados por polígonos fechados, podendo conter azios em ses interiores, também em formas de polígonos, e barras de reforço representadas de formas pontais dentro da seção analisada. As cras tensão-deformação dos materiais podem ser definidas em faias de deformação. Neste trabalho, em cada faia pode ser definido m polinômio de até terceiro gra. As epressões para a obtenção das deriadas dos esforços resistentes em relação às ariáeis de deformação, e foram denominadas rigidezes generalizadas, podem se aler das operações descritas anteriormente e serem obtidas também de forma analítica. 7

69 Capítlo FORMULAÇÕES NUMÉRICAS. INRODUÇÃO Como isto no capítlo, a eação diferencial de Newmark 95) permite obter ma solção analítica para o problema de iga mista com interação parcial. A obtenção de solções para a eação, no entanto, não é possíel para os casos mais gerais. Otra possibilidade de solção é a tilização de procedimentos prescritos por normas, como o projeto de reisão da NBR 88, e permite dimensionamento de igas mistas com interação parcial. Porém estes procedimentos possem simplificações e tornam sas solções geralmente conseradoras. Nas das sitações, a solção atraés de métodos nméricos se torna bastante interessante, ma ez e estes são aplicáeis a tipos mais gerais de igas e, dentro de certas condições, conergem para a solção teórica à medida e se refina a malha de elementos finitos. O interesse para solção do problema de iga mista com interação parcial atraés de métodos nméricos foi despertado já há algm tempo, podendo-se encontrar em reistas e jornais científicos internacionais diersas formlações para estes tipos de elementos Oen et al, 997, Faella et al,, Salari e Spacone,, Dall Asta e Zona,, Liang et al, ). A discretização do contíno em elementos finitos nos métodos nméricos permite, atraés de formlações ariacionais o tilizando o princípio dos trabalhos 8

70 irtais, a definição de ma formlação fraca para o problema analisado. Com a aproimação de fnções de interpolação dos deslocamentos nodais dos elementos pode-se obter, atraés da formlação fraca, ma solção aproimada para o problema analisado. A conergência do método nmérico dee ser garantida de forma e com o amento da discretização do contíno a solção da formlação se aproima cada ez mais da solção real do problema. O problema de iga mista com interação parcial é considerado na formlação apresentada neste capítlo como não linear físico, deido às não linearidades dos materiais e constitem a seção e da relação carga-deslizamento na interface da seção mista. Neste capítlo é apresentada primeiramente ma formlação para m elemento finito com deslizamento relatio, baseado no elemento de dez gras de liberdade apresentado por Dall Asta e Zona ), diferindo deste último na consideração de integração analítica na seção transersal. O elemento implementado tem a capacidade de simlar problemas de igas mistas considerando o deslizamento relatio e ocorre no caso de interação parcial. Em segida é apresentada ma formlação para o elemento de interface, e tem como fnção simlar o comportamento da interface de deslizamento de igas mistas com interação parcial. O so do elemento de interface em solção de problemas de igas mistas dee ser em conjnto com dois elementos nidimensionais de barra, e representarão o comportamento das seções acima e abaio da interface de deslizamento. Por último, apresenta-se ma bree discssão sobre a solção do problema não linear tilizando-se as árias possibilidades do método de Newton Rapshon.. FORMULAÇÃO USANDO ELEMENO FINIO COM DESLIZAMENO Nesta seção é apresentada ma formlação completa para m elemento linear, de dez gras de liberdade, e permite obter, além dos deslocamentos transersais, aiais e rotações no elemento, o deslizamento na interface da iga mista. 9

71 O efeito da coneão deformáel e define o deslizamento no elemento é considerado sando m modelo de ínclo distribído ao longo da interface do elemento. Já a separação ertical no elemento é desconsiderada. Na formlação do elemento é tilizado o princípio dos trabalhos irtais haendo a necessidade da separação da seção de análise em das seções, ma acima e otra abaio da interface de deslizamento, e da contribição ao trabalho irtal da deformação no ínclo de interface. O elemento implementado tem ses deslocamentos aiais e transersais nodais interpolados por fnções de forma polinomiais adráticas e cúbicas, respectiamente. ais fnções de forma garantem a boa fncionalidade do elemento ando aplicado em m método de elementos finitos. Dall Asta e Zona ) afirmam e tais fnções deem ser escolhidas criteriosamente, ma ez e se as aproimações dos campos de deslocamento aial e de rotação não forem consistentes, então o erro da solção tilizando o método dos elementos finitos depende fortemente da rigidez da coneão, ocorrendo ma oscilação no deslizamento e aproimação rim da cratra para alores eleados da rigidez da coneão. Na determinação dos esforços resistentes da seção mista do elemento implementado são consideradas cras tensão-deformação dos materiais formadas por polinômios de até terceiro gra definidos por faias de deformação. ambém é considerada ma seção genérica para o elemento implementado. Pode-se definir m número aler de materiais, inclindo poligonais azadas, e também m número aler de barras de reforço, definidas de forma pontal dentro da seção... Relação deformação-deslocamento considerando o deslizamento A relação deformação-deslocamento para seções de igas mistas com interação parcial é definida considerando a hipótese de e seções planas permanecem planas após as deformações e a aproimação de peenas deformações, considerações também feitas na formlação apresentada por Dall Asta e Zona ) e sais em diersos trabalhos na mesma linha. 5

72 No desenolimento das eações considera-se o deslizamento horizontal na interface da seção de concreto e o perfil de aço conforme mostrado na figra.. Na mesma figra, pode-se obserar e as rotações e os deslocamentos erticais são considerados os mesmos para ambos materiais, o seja, não há separação ertical na interface. Além disso, despreza-se a deformação deido a esforços cortantes na seção transersal. A desconsideração da separação ertical na interface é sstentada pelo fato de e não há eidências eperimentais sficientes e comproem a sa importância na resposta das análises de igas mistas Salari e Spacone, ). Figra. Deformação de m segmento da iga mista Dall Asta e Zona, ) Com base na figra., e nas hipóteses e aproimações citadas anteriormente, pode-se determinar o deslizamento s) ao longo da interface da iga mista, eação.. Para peenas deformações, a tangente do ânglo θ e define a inclinação da reta tangente à cra ) ), mostrado na figra., pode ser aproimada pelo próprio ânglo, e o co-seno deste ânglo pode ser aproimado pela nidade. s ) ) ) ) θ ) ) θ ).) Na eação., e são como definidos na figra., ) e ) são, respectiamente, os deslocamentos aiais dos eios de referência da laje de concreto e do perfil de aço. Definindo h como sendo a distância entre os eios de referência da laje de concreto e do perfil de aço, o seja h, a eação. do deslizamento se torna: 5

73 s ) ) ) hθ ).) Após a deformação do elemento, segndo hipótese admitida, cada ma das das seções de análise permanecerá plana e irá, em relação a m eio de referência aler, transladar nas direções horizontal e ertical e sofrer ma rotação de m ânglo θ, como mostrado na figra.. Os deslocamentos horizontais e erticais dos pontos sitados na seção de análise de coordenada são dados pelas eações abaio, onde o índice α, representa, respectiamente, as seções acima e abaio da interface de deslizamento. α, ) ) ) θ ) α,.) α α, ) ).) A deformação aial ε α ) nas seções analisadas ao longo do elemento misto é obtida por meio da deriada em relação à ariáel da eação.. ε, ) ε ) ) χ ) α,.5) α α α Na eação.5, χ ) é a cratra da seção analisada, de coordenada, e ε ) é deformação aial no eio de referência das seções acima e abaio da α interface de deslizamento. O seja, χ ) θ ) ) e ) ). ε α α.. Formlação do problema de eilíbrio Pelo Princípio dos rabalhos Virtais PV) se m sólido deformáel em eilíbrio for sbmetido a m campo de deslocamentos irtais, o trabalho irtal interno das tensões sobre as deformações irtais será igal ao trabalho irtal eterno sobre os deslocamentos irtais Garcia e Villaça, 999). 5

74 δ Wint δw et.6) O trabalho interno realizado pelas tensões reais, para m sólido sbmetido a m campo de deslocamentos irtais compatíeis com as deformações, é dado pela epressão abaio: δw int σ δε dv.7) V ij ij Na eação.7, σ ij são as componentes de tensões de Kirchhoff, ε ij são as componentes de deformação de Green-Lagrange, δ é o operador ariacional e V é o olme do sólido indeformado. Para o caso de problemas de igas as tensões a serem consideradas são as tensões aiais σ ) e as tensões de cisalhamentos τ ). Desprezando-se as deformações por cisalhamento iga de Eler-Bernolli) as tensões σ ij e contribem na determinação do trabalho irtal interno são redzidas a apenas a tensão aial σ, o seja: δw int σ δε dv.8) V Na eação.8, δε é a ariação na deformação aial prodzida pelo campo de deslocamento irtal imposto ao elemento de olme V. Para m elemento de iga mista com interação parcial a cra de deformação em ma seção de análise apresenta ma descontinidade na interface, haendo a necessidade então de diisão da seção de iga mista em das, acima e abaio da interface de deslizamento, e da consideração de m trabalho irtal na interface deido à deformação em se ínclo de ligação. A eação.8 do trabalho irtal interno é diidida em três parcelas conforme: 5

75 δw int l A σ δε da A σ δε da S δs d b.9) Na eação.9, S b é a força cortante na interface, s é a deformação no ínclo de nião da seção mista e os índices e representam, respectiamente, as seções acima e abaio da interface de deslizamento da iga mista. Discretizando o olme V em ne elementos finitos de olme V m, onde m é o índice e representa m elemento aler dos ne s elementos finitos, tem-se para a estrtra a epressão abaio: δ W int ne σ δε da σ δε da Sbδs d m lm A A.) Aplicando o operador ariacional nas eações de deformação das seções acima e abaio da interface de deslizamento e da eação do deslizamento dadas no item anterior desta seção, tem-se: δε δ ) δ.) δε δ ) δ.) δ s δ δ hδ.) Sbstitindo as eações. a. na eação. do trabalho irtal interno para m elemento finito de iga mista com interação parcial, chega-se à epressão abaio, onde foi omitido o índice referente ao eio do elemento de iga mista. 5

76 55 ne m l b A A m d h S da da W int )] ) ) ) ) [ δ δ δ δ δ σ δ δ σ δ ne m b A l A A A d h S da da da da W m int ) ) ) δ δ δ δ σ δ σ δ σ δ σ δ.) As integrais nas áreas definidas dentro do colchete na epressão. são as eações. e. dos esforços resistentes dadas no item. do capítlo deste trabalho, apresentadas noamente abaio: α α σ α A da N, α.5) α α α σ α A da M ), α.6) Sbstitindo as eações.5 e.6 na eação. e obedecendo às conenções da figra., tem-se: ne m l b m d h S M M N N W int )] [ δ δ δ δ δ δ δ δ.7) Figra. Conenção de sinal para os esforços N e M.

77 Sendo M M M o momento total resistente da seção transersal da iga mista com interação parcial pode-se reescreer a eação.7 da forma abaio: ne δ Wint [ Nδ N δ Mδ Sb δ δ hδ )] d m l m.8) Estas epressões para aaliação do PV são álidas para aler modelo de elementos finitos e considere apenas as deformações aiais e os deslizamentos relatios, e se baseie em interpolação de deslocamentos... Modelo de elementos finitos em deslocamentos Nesta seção são apresentadas as eações de eilíbrio incrementais, matrizes de rigidez tangente e etores de força interna para o modelo de elementos finitos implementado. O objetio é efetar a análise de elementos de igas mistas sbmetidos a esforços de fleão e força cortante na interface de deslizamento), considerando seções inferior e sperior genéricas, bem como a não-linearidade das relações tensãodeformação dos materiais e força-deslizamento da interface.... Eação de eilíbrio incremental Sendo m conjnto de deslocamentos nodais generalizados para m dado elemento e considerando e o modelo implementado de elementos finitos permite carregamentos eternos apenas na direção dos gras de liberdade tem-se para o trabalho irtal eterno no elemento a epressão: δ Wet δ r.9) m Na eação.9, r m é o etor de forças eternas aplicadas no elemento finito na direção de ses gras de liberdade. 56

78 57 Como nas implementações de elementos finitos baseados em deslocamentos estes são definidos no interior do elemento atraés de fnções aproimadoras, epressas por fnções de interpolação dos deslocamentos nodais, as ariações dos deslocamentos podem ser escritos como se sege: δ δ δ.) δ δ.) δ δ.) δ δ.) δ δ.) δ δ.5) Sbstitindo as eações. a.5 na epressão do trabalho interno no elemento, tem-se: l m b d h S M N N W ) int δ δ.6) omando a igaldade entre o trabalho interno, eação.6, e o trabalho eterno, eação.9, tem-se:

79 58 ) m l b m d h S M N N r δ δ.7) Como a eação acima dee ser satisfeita para m ariacional do deslocamento irtal δ aler, desde e compatíel, tem-se: ) m l b m d h S M N N r.8) De forma mais simplificada pode-se representar a epressão.8 pela epressão m m r f, onde f m é o etor das forças internas dos elementos indiidais. Usando a epressão.8 chega-se a epressão abaio para ma estrtra discretizada por tais elementos. ) R ne m l b m d h S M N N.9) De forma compacta pode-se representar a epressão.9 pela epressão abaio: F - λ P.) Na eação., F representa o etor das forças nodais internas da estrtra e é obtido atraés das contribições das forças internas dos elementos indiidais, P é o etor de cargas de referência nodais) e representa a distribição das cargas eternas sobre a estrtra e λ é o fator de carga, escalar. Na epressão.9 o operador somatório corresponde ao espalhamento das forças internas dos elementos na matriz de força interna da estrtra na forma tradicional do Método dos Elementos Finitos MEF).

80 ... Modelo implementado As hipóteses cinemáticas ligadas à deformação de m elemento de iga de Eler-Bernolli eigem, para o modelo de elementos finitos de barra e procra modelar este tipo de estrtra, fnções de interpolação e garantam a continidade dos deslocamentos transersais, aiais e das rotações nas etremidades dos elementos, sendo estas últimas consideradas igais às deriadas dos deslocamentos transersais. Para garantir tais eigências e a condição de representatiidade das eações diferenciais e goernam o problema, dee-se ter no mínimo m polinômio de terceiro gra para interpolação dos deslocamentos transersais, e no mínimo linear para os deslocamentos aiais. Em se liro, Crisfield 99) faz ma discssão sobre as ordens de interpolação conenientes em análise de elementos finitos de iga, recomendando tilizar polinômios de ordem maior e a linear no deslocamento aial. Figra. Gras de liberdade do elemento finito tilizado na implementação. A figra. ilstra os deslocamentos nodais do elemento finito tilizado neste trabalho para formlação de iga mista com interação parcial. al elemento foi tilizado também por Dall Asta e Zona a) em sa formlação. De acordo com o modelo polinomial das fnções de interpolação do método dos elementos finitos, e dos gras de liberdade do elemento da figra., emprega-se m polinômio do terceiro gra para interpolação dos deslocamentos transersais, e do segndo gra para interpolação dos deslocamentos aiais, e garantem as condições mínimas eigidas citadas no parágrafo anterior. 59

81 A escolha do so de fnções adráticas para interpolação dos deslocamentos aiais é deido à eação do deslizamento, s ) ) ) hθ ), e tem ma parcela dada pela diferença entre os deslocamentos aiais das seções acima e abaio da interface de deslizamento ) ) ), e otra referente a rotação da seção hθ ) ). Como a rotação no elemento será definida por m polinômio adrático deriada dos deslocamentos transersais, interpolados por polinômio cúbico), então para e haja compatibilidade entre as parcelas da eação, os deslocamentos aiais do elemento deem ser aproimados por polinômios adráticos. A tilização de interpolação linear na direção aial pode lear ao traamento ao deslizamento slip locking), conforme disctido por Dall Asta e Zona b). Para o elemento da figra. o etor representatio dos gras de liberdade do elemento finito é dado por.) onde,,,.),,,.) θ θ..) Uma característica principal da formlação clássica do método de elementos finitos é a aproimação das eações eatas dos deslocamentos, deformações e tensões no elemento, por interpolações atraés de fnções de forma interpolando os alores nodais. Para o elemento em estão tais fnções têm a forma dada abaio: 6

82 6 ) ) ξ ξ ξ ξ ξ.5) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ l l.6) As fnções de interpolação dadas acima são definidas em relação ao elemento finito genérico com a ariáel ξ ao longo de se eio aial, dada por l ξ e coordenada de sas etremidades, o seja, ξ e ξ. Com as fnções de interpolação na coordenada generalizada definem-se as aproimações para as eações dos deslocamentos transersais e aiais no elemento..7).8).9) A deriação das eações dos deslocamentos acima em relação à ariáel fornece.)

83 6.).) e, em relação aos deslocamentos nodais,,,,, e..) Os etores nlos e aparecem nas epressões. são definidos abaio:.) As deriadas em relação à ariáel das fnções de interpolação, a partir das epressões.5 e.6, são dadas por: ) ξ ξ ξ l l l ξ ξ ξ ξ ξ ξ l l ξ ξ ξ ξ l l l l.5)

84 6... Matriz de rigidez tangente Com a possibilidade das relações tensão-deformação dos materiais serem definidas por polinômios de até terceiro gra, como isto no item. deste trabalho, o problema da epressão. poderá ser não linear, sendo assim necessário a obtenção de ma matriz de rigidez tangente para a solção do problema não linear tilizando o método iteratio de Newton Raphson, como descrito no item.. A matriz de rigidez tangente para o elemento finito proposto é definida a partir da deriada de m f, dada na epressão.8, em relação aos deslocamentos nodais : l m b m d h S M N N K )] [ f Utilizando a regra da cadeia e sabendo da relação linear entre as componentes e dos deslocamentos com os deslocamentos nodais, a epressão da matriz de rigidez tangente é: l m b d S h M N N K ) Sbstitindo nas epressões acima as deriadas dos deslocamentos no interior do elemento em relação aos deslocamentos nodais, dadas pela epressão., tem-se: l m b d S h M N N K ) l m b m d h S M N N ) f

85 6 Particionando as epressões anteriores chega-se às epressões.6 e.7 a segir: l m b b b d S h M S N S N K.6) l m b b b m d hs M S N S N f.7)... Deriada dos esforços internos Na determinação da matriz de rigidez tangente do elemento, epressão.6, são necessárias as deriadas dos esforços resistentes N, N, S b e M em relação aos deslocamentos nodais generalizados. A A A A da E da da da N ε ε ε σ σ σ.8) A A A A da E da da da N ε ε ε σ σ σ.9) s E s s S S S b b b.5) ) ) A A da da M σ σ

86 65 ) ) A A da E da E ε ε.5) Nas epressões.8 a.5, E é o módlo de elasticidade tangente do material, definido atraés de sa cra tensão-deformação, b S E é análogo a E só e definido em relação a cra força cortante erss deslizamento do ínclo de interface, e as epressões sadas na definição dos esforços resistentes foram definidas no item.5 deste trabalho. Sbstitindo nas epressões.8 a.5 as deriadas das eações de deformação e deslizamento ) ε, ) ε, h s, e sando a deriada dos deslocamentos em relação ao deslocamentos nodais dadas na epressão., tem-se: ) ) A da E N ) A A da E da E N.5)

87 66 ) ) A da E N ) A A da E da E N.5) S b h E S b S b h E S b.5) ) ) ) ) ) ) A A da E da E M ) ) ) ) A A A A da E da E da E da E M.55) As epressões de rigidezes generalizadas, A α da E, A α da E e A α da E.56)

88 encontradas nas epressões.5 a.55 são aaliadas pela técnica de integração apresentada no item.6 no capítlo deste trabalho. Nestas epressões o índice α representa as seções acima e abaio da interface de deslizamento....5 Rigidezes generalizadas A determinação das rigidezes generalizadas dadas pelas epressões.56 é feita atraés da técnica de integração analítica apresentada no capítlo. ns E A α concreto armadras aço da E da E da Asi E A A i c p ns E A α concreto armadras aço da E da E da E Asi si A A i c p ns E A α concreto armadras aço da E da E da E Asi si A A i c p Nas epressões acima E dee ser obtido atraés da deriada da cra tensãodeformação para cada poligonal fechada do mesmo material, em cada faia de deformação. Por eemplo, para o caso da cra tensão-deformação do material ser representada, em ma faia de deformação analisada, por m polinômio adrático, E é definido por: σ ε a ε a ε a ε E aε ) a.57) 67

89 A deformaçãoε, na epressão.57, aria na poligonal fechada da seção mista analisada apenas com o eio, ma ez e a deformação aial no eio de referência da seção e a sa cratra em relação ao eio são constantes na seção analisada. Com o módlo de elasticidade tangente escrito em fnção da ariáel do eio da seção analisada para cada poligonal necessária na diisão da seção mista, obtêm-se as rigidezes generalizadas para cada ma dessas poligonais fechadas sando os alores da epressão I ab A a b dd, definidas no item.6. As rigidezes generalizadas da seção mista serão dadas pela soma das parcelas de contribição de cada poligonal, mais as contribições das barras de reforço....6 Implementação comptacional O programa FEMOOP, Finite Element Method Object Oriented Program, foi tilizado como base para implementação comptacional do elemento desenolido nos itens anteriores. Este programa origino-se de trabalhos desenolidos pela Pontifícia Uniersidade Católica do Rio de Janeiro, PUC-Rio, desde 99 Gimarães, 99), e tem desde então se so e arios de códigos liberados para noas implementações. em sido a partir daí tilizado com scesso em trabalhos desenolidos em niersidades brasileiras Parente Jr.,, Sosa Jr.,, Caldas,, Mniz, 5). A programação orientada a objetos, OOP, em lingagem C, tilizada pelos arios de códigos do programa FEMOOP permiti a implementação do noo elemento atraés da criação de noas classes, sem a necessidade do conhecimento da estrtra global do programa, e podendo compartilhar com os otros elementos já implementados todas as classes disponíeis nos códigos eistentes. oda a parte de resolção do sistema não linear de eações foi desenolida em trabalhos anteriores. O programa FEMOOP para análise com elemento linear permite dois nós, m em cada etremidade do elemento, e seis gras de liberdade por nó. O elemento tilizado na implementação deste trabalho possi dois gras de liberdade para representar os deslocamentos aiais de ambas as seções acima e abaio da interface de 68

90 deslizamento no meio do elemento, haendo então a necessidade, para a compatibilidade com o processo de análise do programa, da condensação estática Cook et al., 989) dos gras de liberdade internos. A razão da condensação estática é a necessidade, para o programa, de igal número de gras de liberdade em todos os nós do elemento. O processo de condensação dos gras de liberdade do interior do elemento para análise linear é descrito a segir, a partir da condição de eilíbrio: K K rr cr K K rc cc r c r r r c.58) Na epressão.58, K é a matriz de rigidez do elemento apresentado na figra., é o etor e representa os deslocamentos nodais na direção dos gras de liberdade do mesmo elemento, c representa os deslocamentos nodais do etor referentes aos gras de liberdades e deem ser condensados, r é o etor de força interna para o elemento. Desenolendo as eações: K rr K r.59) r rc c r K cr K r.6) r cc c c A eação.6 representa prodto da parte inferior da epressão.58 e tem sa solção dada pela eação.6: c K cc K cr r r )..6) c Sbstitindo a eação.6 na eação.59 e representa o prodto da parte sperior da epressão.58, chega-se a epressão: K rr K rck cc K cr ) r rr K rck cc rc )..6) K condensada r condensado 69

91 Com a matriz de rigidez condensada determinada para todos os elementos da discretização da estrtra determina-se, atraés do processo de análise do programa, a matriz de rigidez global da estrtra. Impondo as condições de contorno e de carregamento da estrtra são determinados os deslocamentos referentes aos gras de liberdade dos nós da etremidades do elemento. Com este deslocamentos e a eação.6 determina-se os deslocamentos referente aos gras de liberdade do interior de cada elemento. As epressões anteriores são álidas para o caso de análise linear. Para ma análise não-linear, a condensação estática descrita anteriormente dee ser feita sobre os alores incrementais do deslocamento, sendo necessária a condensação, a cada passo incremental, da matriz tangente e do etor de forças internas.. FORMULAÇÃO USANDO ELEMENO DE INERFACE Nesta seção é apresentada ma formlação para m elemento de interface com doze gras de liberdade, formato retanglar e espessra nla. Os deslocamentos relatios na direção horizontal do elemento de interface simlam os deslizamentos na interface da seção mista. Na formlação do elemento, é tilizado o princípio dos trabalhos irtais, definido atraés dos deslocamentos relatios horizontal e ertical entre as faces sperior e inferior do elemento retanglar, ma ez e sa espessra é considerada nla. O elemento de interface implementado tem ses deslocamentos nodais relatios, horizontal e ertical, interpolados por fnções de forma polinomiais lineares e cúbicas, respectiamente. ais fnções de forma garantem a boa fncionalidade do elemento ando aplicado em m método de elementos finitos, em conjnto com dois elementos de iga com fnções de interpolação de mesma ordem. Os deslocamentos relatios horizontal e ertical) do elemento de interface permitem tanto o deslizamento na interface de contato entre os materiais da iga mista, anto a sa separação ertical. Para a consideração de interação total em relação as das direções dee ser considerada ma alta taa de ariação rigidez) para as cras 7

92 força por nidade de comprimento erss deslocamento, horizontal o ertical, na interface. Como neste trabalho considera-se e não há separação ertical da interface de contato entre os materiais, então será sempre considerada ma alta taa de ariação para a cra e caracteriza a relação força por nidade de comprimento erss deslocamento ertical... Eação dos deslocamentos relatios do elemento de interface Em m elemento de interface retanglar de espessra nla os deslocamentos considerados são os moimentos relatios entre as faces sperior e inferior do elemento retanglar na direção horizontal e ertical em relação ao eio do elemento. Figra. Deformação de m segmento da iga mista Após a deformação do elemento de iga mista, segndo hipótese admitida, ma seção aler sperior o inferior) permanecerá plana e irá, em relação a m eio de referência aler, transladar nas direções horizontal e ertical e sofrer ma rotação de m ânglo θ, figra.). Os deslocamentos horizontal e ertical dos pontos sitados na seção de análise de coordenada em relação a iga mista são dados pelas eações abaio, onde o índice α, representa, respectiamente, as seções acima e abaio da interface de deslizamento. α, ) ) ) θ ) α,.6) α α α α, ) α ) α,.6) 7

93 Os deslocamentos aial e transersal dos pontos sitados nas faces inferior e sperior das seções, respectiamente, acima e abaio da interface de deslizamento são dados pelas eações.65 e.66 tomando d, onde d é a distância da interface de deslizamento ao eio de referência da iga mista, como mostra a figra.. α, d) ) d) θ ) α,.65) α α α, d) ) α,.66) α α O deslocamento relatio na direção horizontal w ) do elemento de interface de espessra nla, sitado na interface de deslizamento da seção de iga mista, é definido pela eação.67 atraés da diferença entre os deslocamentos aiais das faces inferior e sperior das seções, respectiamente, acima e abaio da interface de deslizamento, o seja, o deslizamento conforme mostrado na figra.5. h ) ) ) d) θ ) d) θ ).67) w h Figra.5 Deslocamento horizontal relatio no elemento de interface. Já o deslocamento relatio na direção ertical w ) definido pela eação.68, é dado pela diferença entre os deslocamentos erticais das faces inferior e sperior das seções, respectiamente, acima e abaio da interface de deslizamento, o seja, a separação ertical na interface, Figra.6. w ) ) ).68) 7

94 Figra.6 Deslocamento ertical relatio no elemento de interface. Para e não haja penetrabilidade entre os elementos lineares acima e abaio do elemento de interface dee ser inserida ma restrição de impenetrabilidade na eação.68, e pode ser simplesmente m coeficiente de penalidade no ramo eserdo, o negatio, da cra força normal erss separação do elemento de interface, a al será definida pelo sário... Formlação do problema de eilíbrio Pelo princípio dos trabalhos irtais PV) se m sólido deformáel em eilíbrio for sbmetido a m campo de deslocamentos irtais, o trabalho irtal interno das tensões sobre as deformações irtais será igal ao trabalho irtal eterno sobre os deslocamentos irtais Garcia e Villaça, 999). δ Wint δw et.69) Para definir a matriz de rigidez do elemento de interface retanglar de espessra nla será tilizado o PV. Para o elemento analisado as deformações a serem consideradas são os deslocamentos relatios entre as faces sperior e inferior do elemento, assim: [ S δw N δw ] δw int b h b d..7) l Na eação.7, δw h e δw são, respectiamente, ariação nos deslocamentos relatios horizontal e ertical do elemento deido a m campo de deslocamento irtal 7

95 imposto ao elemento de comprimento l, S b é a força cortante por nidade de comprimento e srge deido ao deslocamento relatio horizontal, e N b a força normal por nidade de comprimento e srge deido ao deslocamento relatio na direção ertical. Aplicando o operador ariacional às eações.67 e.68 dos deslocamentos relatios horizontal e ertical do elemento de interface chega-se às epressões.7 e.7: δ w h δ δ d) δ d) δ.7) δ w δ δ..7) Sbstitindo as eações.7 e.7 na eação.7 do trabalho irtal interno para m elemento de interface de espessra nla, chega-se à epressão: [ Sb[ δ δ d) δ d) δ] N b δ δ ] δw ) d..7) int l Esta epressão para aaliação do PV é álida para aler modelo de elementos finitos e considere apenas os deslocamentos relatios na direção horizontal e ertical do elemento de interface retanglar de espessra nla, e se baseie em interpolação de deslocamentos... Modelo de elementos finitos em deslocamentos Nesta seção são apresentadas as eações de eilíbrio incrementais, matrizes de rigidez tangente e etores de força interna para o modelo de elementos finitos implementado. O objetio é a análise do problema de igas mistas com interação parcial atraés do so dos elementos de interface. 7

96 75... Eação de eilíbrio incremental Sendo m conjnto de deslocamentos nodais generalizados para m dado elemento e considerando e o modelo implementado de elementos finitos permite carregamentos eternos apenas na direção dos gras de liberdade tem-se para o trabalho irtal eterno no elemento de interface a epressão abaio: m et W r δ δ..7) Na eação.7, m r é o etor de forças eternas aplicadas no elemento finito na direção de ses gras de liberdade. Como nas implementações de elementos baseados em deslocamentos, tem-se para as eações dos deslocamentos ao longo do elemento fnções aproimadas definidas por fnções de formas e interpolam os deslocamentos nodais. Pode-se, então, escreer as ariações dos deslocamentos como se sege. δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

97 76 δ δ.75) Sbstitindo as epressões.75 na eação.7 do trabalho irtal interno do elemento de interface, tem-se: l b b d N d d S W ) ] ) ) [ int δ δ.76) A igaldade entre o trabalho irtal interno, eação.76, e o trabalho irtal eterno, eação.7, reslta na epressão: ) ] ) ) [ m l b b d N d d S r δ δ Como a epressão anterior dee ser satisfeita para m ariacional do deslocamento irtal δ aler, desde e compatíel, tem-se: ) ] ) ) [ m l b b d N d d S r.77) De forma mais simplificada, pode-se representar a epressão.77 pela epressão m m r f, onde f m é o etor de forças internas do elemento de interface.... Modelo implementado O elemento de interface implementado tem como objetio representar o comportamento na interface de deslizamento da seção de ma iga mista. al elemento será implementado em m programa de elementos finitos para solção de problema de igas mistas com interação parcial em conjnto com m elemento nidimensional de iga.

98 Os deslocamentos relatios horizontal e ertical do elemento de interface aaliam os deslocamentos aiais e transersais das faces sperior e inferior das seções respectiamente, acima e abaio da interface de deslizamento, o e implica e as fnções de interpolação dos deslocamentos nodais do elemento deem satisfazer as condições para a análise de iga com elemento linear definidas no item... deste capítlo. Portanto, é necessário no mínimo m polinômio cúbico para interpolação dos deslocamentos relatios erticais e linear para os deslocamentos relatios horizontais. A figra.7 ilstra os deslocamentos nodais do elemento de interface tilizado neste trabalho. Figra.7 Gras de liberdade do elemento de interface tilizado na implementação. Para o elemento de interface da figra.7 teremos o etor representatio dos gras de liberdade do elemento de interface dado por onde θ θ 77

99 78 θ θ..78) As eações dos deslocamentos na direção horizontal do elemento de interface possem fnções de interpolação independentes para as faces inferior e sperior do elemento, o mesmo acontecendo para os deslocamentos na direção ertical. ais fnções de interpolação e associam essas eações aos deslocamentos nodais da figra.7 são dadas a segir: ) ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ l l.79) As fnções de interpolação dadas acima são definidas em relação ao elemento de interface genérico com a ariáel ao longo de sa face sperior o inferior dada por l ξ e coordenada de sas etremidades dadas por ξ e ξ. Com as fnções de interpolação na coordenada generalizada definem-se as aproimações para as eações dos deslocamentos horizontal e ertical para as faces sperior e inferior do elemento de interface.

100 79.8) A deriação das eações dos deslocamentos dadas acima em relação a ariáel fornece.8) e, em relação aos deslocamentos nodais,,,,, e..8) Os etores nlos e aparecem nas epressões.8 são definidos a segir:.

101 8 A deriada em relação a ariáel da fnção de interpolação para os deslocamentos erticais independentes para as faces sperior e inferior do elemento de interface é dada a segir: ξ ξ ξ ξ ξ ξ l l.... Matriz de rigidez tangente Com a possibilidade da relação força cortante erss deslizamento na interface da seção mista ser definida por polinômios de até terceiro gra, como isto no item. do capítlo deste trabalho, o problema da epressão.77 pode ser não linear, sendo assim necessário a obtenção de ma matriz de rigidez tangente para a solção do problema não linear tilizando o método iteratio de Newton Raphson, conforme descrito no item.. A matriz de rigidez tangente para o elemento de interface proposto é definida a partir da deriada de m f, dada na epressão.77, em relação aos deslocamentos nodais como mostrado abaio. l b b m d N d d S K ) ] ) ) [ f Utilizando a regra da cadeia e sabendo da relação linear entre as eações dos deslocamentos horizontal e ertical para faces sperior e inferior do elemento de interface com os deslocamentos nodais, a epressão da matriz de rigidez tangente fica como dada abaio: l b b d N S d d K ) ] ) ) [.

102 8 Sbstitindo na matriz de rigidez tangente acima e no etor de forças interna f m as deriadas dos deslocamentos em relações aos deslocamentos nodais, dadas pela epressão.8, tem-se: l b b d N S d d K ) ] ) ) [ l b b m d N d d S ) ] ) ) [ f Particionando as epressões da matriz de rigidez e do etor de força interna chega-se nas epressões.8 e.8 a segir: l b b b b b b m d N S d S N S d S ) ) f.8) l b b b b b b d N S d S N S d S K ) )..8) A matriz de rigidez e o etor de forças interna do elemento de interface da figra.7 são definidos para m sistema de referência de coordenadas aler para as seções mistas acima e abaio da interface de deslizamento. Se for adotado m sistema

103 8 de referência de coordenadas com o eio passando pela interface de deslizamento da seção mista para ambas as seções, o seja, d, então as epressões.8 e.8 tem a sa forma mais simplificada, como dado abaio: l b b b b m d N S N S f l m b b b b d N S N S K.... Deriada dos esforços internos Na determinação da matriz de rigidez tangente do elemento, epressão.8, são necessárias as deriadas dos esforços resistentes S b e N b em relação aos deslocamentos nodais generalizados. h S h h b b w E w w S S b.85) h N b b w E w w N N b.86) Nas epressões acima, b S E é o coeficiente anglar da reta tangente a cra carga-deslizamento do ínclo de interface dado para m deslocamento relatio

104 8 horizontal do elemento de interface, o seja, o deslizamento na interface. b N E é análogo a b S E só e definido em relação a cra força normal erss separação ertical na interface. Para os casos em e se considere nla a possibilidade de separação ertical na interface de deslizamento, dee-se considerar para b N E alores nméricos eleados para se obter tal sitação. Qanto maior o alor de b N E mais próimo da sitação desejada é a resposta nmérica. O mesmo acontece com os alores nméricos de S b E ando se deseja ma interação total na direção horizontal da interface. Sbstitindo nas epressões.85 e.86 as deriadas das eações de deslocamentos relatios horizontal e ertical obtém-se: ) ) d d w h, w, e sando a deriada dos deslocamentos em relação ao deslocamentos nodais dadas na epressão.8, tem-se: - ) ) d d E S S b b.87) N b b E N.

105 Na epressão.87, E S dee ser obtido atraés da deriada da cra força b cortante erss deslizamento na interface, como definida no item. do capítlo, onde se define ma cra geral formada por polinômios de até terceiro gra definidos em faias de deformação deslocamento relatios). Por eemplo se a cra força cortante erss deslizamento na interface for definida por m polinômio adrático, E S b pode ser determinado como mostrado abaio: E S s a s a s a s b S b as ) a.88) Na epressão.88, s é o deslizamento na interface e é representado pelo deslocamento relatio horizontal w ) no elemento de interface. Para a determinação de determinação de E S. b h E N sege-se da mesma forma tilizada na b Dee-se lembrar e no trabalho em estão foi tilizado para definição da cra força cortante erss deslizamento na interface o mesmo critério para as cras tensão-deformação dos materiais, e são limitadas a polinômios para a tilização do teorema de Green na determinação das rigidezes generalizadas da seção. Como esta limitação não cabe no caso referente ao comportamento na interface, então a cra força-deslizamento na interface pode ser definida por aler fnção diferenciáel....5 Implementação comptacional Como no caso do elemento implementado no item. foi tilizado como base para implementação comptacional do elemento de interface o programa FEMOOP, Finite Element Method Object Oriented Program. O elemento de interface implementado tem a finalidade de representar eclsiamente o comportamento da interface de deslizamento de ma iga mista, sendo se so inclado a dois elementos nidimensionais de iga simples, m para cada seção acima e abaio da interface de deslizamento. Deido a isto, a estrtra 8

106 global do programa tilizado como base na implementação do noo elemento de interface dee permitir na análise a associação de diferentes tipos de elementos, o e acontece com o programa FEMOOP. A lingagem C tilizada pelo programa, jnto com a programação orientada a objetos, define ma classe geral para todos os elementos a partir da al os noos elementos terão sas sbclasses definidas, facilitando a associação de elementos diferentes sem alteração no código. oda a parte de resolção do sistema não linear de eações foi desenolida em trabalhos anteriores. O elemento de iga tilizado em conjnto com o elemento de interface para solções nmérica de problemas de igas mistas com interação parcial dee ser compatíel com o elemento de interface, assim sendo, este elemento dee ter fnções de interpolação cúbicas e lineares para os deslocamentos transersais e aiais, respectiamente. Dee-se ter em mente e este elemento pode possir problemas de traamento de membrana e algns artifícios podem ser necessários para melhorar se comportamento.. SOLUÇÃO DO PROBLEMA NÃO LINEAR A cra da figra.8 representa m problema não linear em ma dimensão, por simplicidade) e pode ser determinada atraés de métodos incrementais iteratios, e têm sa formlação geral dedzida a partir da eação de eilíbrio global: G, λ ) F ) λp.89) Em.89, F é a força interna, fnção dos deslocamentos e λ P a força eterna aplicada. Se a cada passo incremental para a determinação da cra OABC da figra.8 λ for considerado ariáel então a epressão.89 representa m sistema de ma eação com n ariáeis gras de liberdade do sistema), haendo a necessidade de impor ma condição de restrição de forma a obter solção para o sistema: 85

107 86 ), ), G λ λ R.9) Figra.8 Cra carga-deslocamento. onde ), λ R é a eação de restrição imposta às ariáeis. Linearizando em relação as ariáeis e λ as eações do sistema da epressão.9 sando a série de alor trncada, tem-se: λ λ λ λ G G G G ), ), i i i i.9) λ λ λ λ R R R R i i i i ), ),.9) onde P P F G λ λ λ ) ) definindo-se

108 K G, R R, R R λ λ chega-se ao sistema de eações abaio e permite obter a cra OABC da figra.8 por completo. K R P G R λ R λ.9) Da formlação geral, epressão.9, para problemas não lineares podem srgir diferentes métodos para a solção do problema, ariando-se apenas a definição da fnção de restrição. Entre estes métodos podem-se citar o Método de Controle de Deslocamento Batoz e Dhat, 979), os diersos Métodos de Comprimento de Arco Riks, 979, Ramm, 98, Crisfield, 98), o Método do Controle Generalizado de Deslocamentos Yang e Ko, 99) e o Método de Incremento Constante do rabalho Eterno Bathe e Dorkin, 98). Para a solção atraés do controle de carga basta fiar o fator de carga em cada passo: R λ λ.9) Para a solção atraés do controle de deslocamentos spõe-se m determinado componente do etor de deslocamentos fiado no passo corrente: R i..95) i O método de Newton Raphson com controle de carga não permite ltrapassar os pontos limites de carga, e podem ser considerados efetando m correto controle de deslocamentos. Este, por sa ez, não permite descreer fenômenos como o snap-back 87

109 ponto limite de deslocamentos). Os demais métodos comprimento de arco, controle generalizado de deslocamentos, etc.) são mais aptos a descreer relações gerais entre carga e deslocamento. Diersas opções de métodos de solção estão disponíeis no programa FEMOOP. Os problemas de iga mista com não-linearidade física e deslizamento na interface, no entanto, apresentam m padrão de comportamento e, conforme se erá no capítlo de eemplos, permite a tilização do controle de deslocamentos até alores de carga última da estrtra. Por esta razão os eemplos apresentados neste trabalho tilizam o método de solção de Newton-Raphson com controle de deslocamentos como ferramenta de solção do problema não-linear. 88

110 Capítlo 5 EXEMPLOS 5. INRODUÇÃO Nesta seção são resolidos algns eemplos de igas mistas com interação parcial de forma a alidar as implementações feitas neste trabalho. Primeiramente resole-se m problema de iga mista simplesmente apoiada, niformemente carregada, com relação tensão-deformação dos materiais linear e também linear a relação carga-deslizamento da coneão. Com estas considerações, pode-se tilizar o processo de solção analítica da eação diferencial de Newmark para a determinação da solção eata do problema, e posteriormente comparar com a solção nmérica tilizando os elementos implementados neste trabalho. Uma solção eata para m problema igal ao descrito no parágrafo anterior foi sada por Dall Asta e Zona ) para erificar problemas de conergência e oscilação de resltados em diferentes tipos de elementos baseados em deslocamentos. Em se trabalho os atores cnharam o termo slip locking traamento ao deslizamento) para descreer este tipo de problema de conergência. Usando o mesmo problema tilizado por estes atores são erificados os elementos implementados no capítlo anto ao problema de slip locking. Em segida, resolem-se dois problemas de igas mistas contínas com interação parcial, com dois ãos simétricos e três apoios. Os dois eemplos foram tratados por otros atores em trabalhos anteriores, nos ais são fornecidas respostas e serão tilizadas na 89

111 comparação da análise nmérica realizada sando os elementos implementados neste trabalho. Por último, resole-se m problema de treliça mista com interação parcial, para ilstrar m caso onde o so do elemento de interface seria essencial na determinação da solção do problema, não sendo possíel empregar o elemento finito com deslizamento. Para facilitar a identificação dos elementos implementados no capítlo serão definidos os nomes, SLIPBEAM, para o elemento finito com deslizamento, INERFACE, para o elemento de interface, e BEAMD, para o elemento nidimensional de barra sado acima e abaio do elemento INERFACE. 5. COMPARAÇÃO COM SOLUÇÃO ANALÍICA DE NEWMARK A solção eata do problema da figra 5. pode ser dada pela solção da eação diferencial de Newmark, desde e sejam consideradas leis constittias lineares para os materiais da seção mista e também ma relação linear entre a força cortante por nidade de comprimento erss deslizamento na coneão. M ε sh χ α χ EI) free α EA) fll Kh EI) free 5.) Figra 5. Viga mista niformemente carregada. 9

112 Sbstitindo a epressão da ariação do momento ao longo do eio da iga mista na eação 5. chega-se à eação diferencial abaio: χ α χ α L). EI) EA) free fll A solção da eação diferencial acima é dada pela soma da solção da eação homogênea mais a solção particlar: α α L χ ) Ce Ce α EI) EI) EI) EI) solção homogênea free α fll fll fll solção particlar 5.) As constantes C e C da eação 5. são determinadas impondo as condições de contorno de cratra nla χ ) e χ L) ) nas etremidades da iga analisada. C e e e e e e αl Q e C Q αl αl αl αl αl onde Q α EI ) fll α EI ) freel Sbstitindo χ ) por ) e integrando das ezes a eação diferencial em relação à ariáel, chega-se à eação da deformada na direção dos deslocamentos transersais da iga mista analisada. α α e e ) χ ) d C C C α α α EI ) fll α EI ) L EI ) fll 6 EI) freel fll Deido à simetria da iga analisada e do carregamento em relação ao eio ertical L passando pelo meio do ão, tem-se a condição de rotação nla ) ) neste ponto. Impondo esta condição determina-se a constante C. 9

113 C L L α α e e L C C Q α α L EI) fll onde C, C e Q são definidos anteriormente. Integrando ) em relação a ariáel, tem-se: α α e e ) ) d C C C C α α α EI) fll α EI) free L EI) fll EI ) fll 5.) Impondo a condição de contorno de deslocamento ertical nlo ) ) em m dos apoios da iga analisada, determina-se a constante C chegando a eação final da deformada dos deslocamentos transersais da iga mista da figra 5.. C onde C e C são definidos anteriormente. α C C ) A eação do deslizamento ao longo da interface da iga da figra 5. pode ser determinada atraés da eação M χ EI ) free Fh, 5.) dada no capítlo no desenolimento da eação diferencial de Newmark. Deriando esta eação em relação à ariáel, e como é considerado e a cra força-deslizamento é linear F Ks ), tem-se: M χ EI) free F h χ EI) free Khs, logo M χ EI) free s ). Kh 5.5) 9

114 Sbstitindo na eação 5.5 a deriada do momento atante na iga, mais a deriada da cratra, tem-se a eação para o deslizamento relatio: α EI) s ) Kh free * α α h EA) L C e C e ) K EI) fll 5.6) Na eação 5.6, C e C são dados anteriormente. A solção eata do problema da figra 5. para os deslocamentos transersais, eação 5., é formada por m polinômio de arta ordem e das fnções eponenciais. Já a solção aproimada obtida pelo método nmérico é dada, em cada elemento da discretização, por polinômios obtidos atraés das fnções de interpolação dos deslocamentos nodais do elemento. Sendo assim, para os elementos implementados neste trabalho a solção nmérica para os deslocamentos transersais será formada por polinômios cúbicos. Do mesmo modo a solção eata do problema da figra 5. para o deslizamento, eação 5.6, é formada pela soma de ma fnção linear e das fnções eponenciais. Já a solção aproimada obtida pelo método nmérico é dada, em cada elemento da discretização, por polinômios obtidos atraés das fnções de interpolação dos deslocamentos nodais do elemento. Sendo a eação do deslizamento definida por das parcelas, ma deido aos deslocamentos aiais e otra deida à deriada dos deslocamentos transersais, o deslizamento será definido em cada elemento SLIPBEAM por polinômios adráticos. Portanto, para ambas as eações do deslizamento e deslocamentos transersais a solção nmérica será sempre ma aproimação da solção real, sendo tão mais próima da solção eata anto maior a densidade da malha. A solção eata do problema da figra 5. para os deslocamentos transersais e deslizamentos na interface, dada pela eação diferencial de Newmark, e as solções nméricas aproimadas sando os elementos implementados neste trabalho são apresentadas nas figras 5. a 5.6, onde são mostrados a configração deformada da iga mista e o deslizamento ao longo da interface. Foram tilizados na análise nmérica dois 9

115 casos de discretização, com intito de aaliar a conergência do método nmérico com o amento da discretização do contíno. Para a solção eata do problema da figra 5. sando a eação diferencial de Newmark foram considerados, 8 KN/m, L 6m e os eios de referência para as seções acima e abaio da interface de deslizamento da iga mista passando pelo centro geométrico de cada seção, como mostra a figra 5.. Figra 5. Eios de referência das seções. Os alores nméricos tilizados na solção para as propriedades físicas dos materiais são dados pelas epressões abaio: E c 57MPa E s 5MPa K MPa / m 5.7) Nas epressões 5.7, E c é o módlo de deformação do concreto, E s é o módlo de deformação do aço e K é o alor e caracteriza a rigidez da coneão na interface. Estes alores nméricos não necessariamente representam a realidade e são sados apenas para a determinação da solção eata do problema atraés da eação de Newmark, e posterior comparação com a solção nmérica. Com os alores nméricos dados acima e a posição dos eios de referência da seção mista definida, determinam-se: 9

116 I inércia da seção acima da interface de deslizamento em relação ao eio, I inércia da seção abaio da interface de deslizamento em relação ao eio, EI) E I, free Ec I s EA) * Ac Ec ) As Es ), A E A E c c s s EI) EA * fll EI) free h ), K EI ) fll α. * EA) EI) free 5.8) Na análise nmérica realizada para a obtenção da resposta do problema da iga mista analisada, apresentada nas figras 5. e 5., foi tilizado o elemento com deslizamento SLIPBEAM), com dez gras de liberdade, fnções cúbicas para interpolação dos deslocamentos transersais e adráticas para os deslocamentos aiais. Sendo tilizado para a determinação dos esforços internos integração nmérica com três pontos de Gass. Figra 5. Deformada transersal da iga mista. 95

117 A tabela 5. a segir mostra os alores nméricos obtidos para o deslocamento ertical do meio do ão da iga mista analisada, segndo a eação diferencial de Newmark e o método nmérico tilizando o elemento SLIPBEAM. ambém é mostrado o erro relatio das aproimações nméricas para as das malhas sadas. abela 5. Deslocamento ertical no meio do ão alores em cm). Solção eata sando Método nmérico eação de Newmark elementos elementos,8,896,6 Erro %) 9,,5 Figra 5. Deslizamento na interface da iga mista. Na análise nmérica realizada para a obtenção da resposta da iga mista analisada, representada nas figras 5.5 e 5.6, foi tilizado o elemento de interface INERFACE) em conjnto com m elemento nidimensional de iga BEAMD). O elemento de interface tilizado tem sa formlação descrita no capítlo, onde se define este elemento de interface retanglar com espessra nla, doze gras de liberdade, fnções polinomiais para interpolações independentes dos deslocamentos nodais da face sperior e inferior. São sados polinômios cúbicos para os deslocamentos transersais, e 96

118 lineares para os deslocamentos aiais. Sendo tilizado para a determinação dos esforços interno integração nmérica com a distribição de atro pontos de Gass Já o elemento nidimensional de iga a ser associado ao elemento de interface foi desenolido em trabalhos anteriores. rata-se de m elemento de barra de dois nós, com três gras de liberdade por nó e fnções polinomiais para interpolação dos deslocamentos nodais. São sados, para as fnções de interpolação, polinômios cúbicos para os deslocamentos transersais, e lineares para os deslocamentos aiais. Sendo tilizado para a determinação dos esforços interno integração nmérica com a distribição de três pontos de Gass. Figra 5.5 Deformada transersal da iga mista. A tabela 5. é análoga à tabela 5. com a análise nmérica realizada sando o elemento INERFACE em conjnto com o elemento BEAMD. abela 5. Deslocamento ertical no meio do ão alores em cm). Solção eata sando Método nmérico eação de Newmark elementos elementos,8,8,57 Erro %),,6 97

119 Figra 5.6 Deslizamento na interface da iga mista. A diferença entre as respostas dadas pelas solções nméricas para os diferentes elementos, SLIPBEAM e INERFACE BEAMD, tem como principal motio a diferença entre os polinômios sados para a interpolação dos deslocamentos aiais destes elementos, comentadas anteriormente. 5. PROBLEMAS NUMÉRICOS EM ELEMENOS COM DESLIZAMENO Dall Asta e Zona b) afirmam e as fnções de interpolação dos deslocamentos nodais deem ser escolhidas criteriosamente, ma ez e se as aproimações dos campos de deslocamento aial e de rotação não forem consistentes, então o erro da solção tilizando o método dos elementos finitos depende fortemente da rigidez da coneão, ocorrendo ma oscilação no deslizamento e aproimação rim da cratra para alores eleados da rigidez da coneão. Os atores definem como traamento ao deslizamento slip locking) este tipo de problema de conergência. Para erificar o slip locking em elementos com diferentes polinômios de interpolação dos deslocamentos nodais er tabela 5.), Dall Asta e Zona b) resolem o eemplo da figra 5.7 para dois alores de rigidez da coneão, α L e α L, onde L m é o ão da iga simplesmente apoiada da figra 5.7, e α é como definido na 98

120 epressão 5.. Para o eemplo são adotadas ariações lineares para as cras tensãodeformação dos materiais e força-deslizamento na interface. São adotados os módlos de elasticidade, E c 5MPa e E s MPa, respectiamente para o concreto e aço. Figra 5.7 Viga mista niformemente carregada Dall Asta e Zona, ). Nas respostas, dadas pelas figras 5.8 a 5., da aaliação do problema da figra 5.7 foram inclídos além dos elementos implementados por Dall Asta e Zona b) os elementos, SLIPBEAM e INERFACE associado ao elemento BEAMD. abela 5. Diferentes elementos aaliados. Elemento Gra do polinômio de interpolação dos deslocamentos nodais Aiais ransersais 8DOF DOF 6DOF 5 SLIPBEAM INERFACE BEAMD 99

121 Figra 5.8 Variação da cratra ao longo do eio da iga mista. Figra 5.9 Variação do deslizamento ao longo da interface da iga mista. Figra 5. Variação da cratra ao longo do eio da iga mista.

122 Figra 5. Variação do deslizamento ao longo da interface da iga mista. Para todos os diferentes elementos mostrados nas figras 5.8 a 5. foram tilizados dois elementos para a simlação. Pelas figras 5.8 a 5. obsera-se e para elementos com gra do polinômio de interpolação dos deslocamentos aiais maior o igal a dois e deslocamentos transersais consistentes com aele tilizado para os deslocamentos aiais, o seja, m gra a mais, não é erificado problema de traamento ao deslizamento. Já o elemento 8DOF para eleada rigidez da coneão, α L, obsera-se na figra 5. alores irreais para o momento nos apoios da iga, bem como ma distribição praticamente constante deste ao longo da iga. Já na figra 5., obsera-se ma forte oscilação da eação do deslizamento em torno da solção eata do problema. Na solção do problema sando o elemento INERFACE associado ao elemento BEAMD não é erificado problema de traamento ao deslizamento nas respostas dadas pelas figras 5.8 a 5., no entanto percebe-se ma conergência mais lenta em relação aos elementos e não apresentam problemas de traamento ao deslizamento. Isto pode ser eplicado deido à aproimação mais pobre dos deslocamentos aiais, já e o elemento BEAMD tiliza polinômios lineares, e os otros tilizam polinômios no mínimo adráticos. É fato conhecido e elementos de iga do tipo Eler-Bernolli com distribição linear dos deslocamentos aiais, como o elemento BEAMD, podem apresentar problemas de conergência por deficiência na representação dos polinômios Crisfield, 99).

123 É importante salientar e amentando a discretização da malha de elementos finitos todos os elementos aaliados anteriormente conergem para a solção eata do problema da figra 5.7. Dee-se obserar e o elemento SLIPBEAM é perfeitamente eialente ao elemento DOF de Dall Asta e Zona b), diferindo apenas na forma de integração na seção transersal, e neste último foi m modelo de fibras. 5. COMPARAÇÃO COM RESULADOS DA LIERAURA Como forma de alidar as implementações desenolidas neste trabalho, são considerados dois eemplos de igas mistas com interação parcial sando, para obter a solção nmérica do problema, o elemento finito com deslizamento SLIPBEAM) e o elemento de interface INERFACE) em conjnto com m elemento nidimensional de iga BEAMD). A comparação é feita atraés dos resltados de análise nmérica realizada nos mesmos eemplos por otros atores. 5.. Viga mista com três apoios niformemente carregada É apresentado neste item a solção nmérica do problema de iga mista com interação parcial apresentado na figra 5.. O mesmo problema foi resolido por Dall Asta e Zona a) onde são definidas para as leis constittias dos materiais as cras representadas na figra 5.5. Figra 5. Viga mista com interação parcial Dall Asta e Zona, a). Na análise nmérica do problema da figra 5., Dall Asta e Zona a) tilizam m elemento baseado em deslocamentos, com dez gras de liberdade. As fnções

124 polinomiais tilizadas na interpolação dos deslocamentos nodais foram definidas em se trabalho como sendo cúbicas para os deslocamentos transersais, e adráticas para os deslocamentos aiais, o seja, idênticas à formlação do elemento SLIPBEAM. Figra 5.5 Leis constittias do concreto a), aço b), barras de reforço c) e coneão da interface d) Dall Asta e Zona, a). Os resltados nméricos do problema da figra 5. obtidos por Dall Asta e Zona a) e pelos elementos implementados neste trabalho são mostrados nas figras, 5.7 para ma malha de oito elementos, 5.8 para ma malha de elementos e 5.9 para ma malha de 6 elementos, onde são apresentadas as cras e relacionam o carregamento aplicado ao deslocamento ertical do meio dos ãos da iga mista da figra 5.. Na análise nmérica realizada sando os elementos implementados neste trabalho foram tilizadas as cras tensão-deformação dos materiais apresentadas na figra 5.6. Estas cras deem obedecer ao formato geral e define a relação tensão-deformação de m material definido no item. do capítlo, eceto para a relação força-deslizamento da interface. Ao comparar as cras dos materiais tilizadas pelos diferentes atores figra 5.5 e 5.6) percebe-se e os limites de tensão e deformação são os mesmos, porém as

125 cras tilizadas para este trabalho são aproimações polinomiais das cras tilizadas em Dall Asta e Zona a), a menos da cra e relaciona força-deslizamento e é mesma tilizada por Dall Asta e Zona. Vale ressaltar e os atores não disponibilizaram as epressões analíticas das relações tensão-deformação e saram modelo de fibras. Figra 5.6 Leis constittias do concreto a), aço b), barras de reforço c) e coneão da interface d) tilizadas neste trabalho.

126 5 KN/m) 5 5 8el-DallAsta 8el-INERFACE 8el-SLIPBEAM m) Figra 5.7 Cra carga-deslocamento para m ponto no meio dos ãos da iga mista 5 KN/m) 5 5 el-dallasta el-inerface el-slipbeam m) Figra 5.8 Cra carga-deslocamento para m ponto no meio dos ãos da iga mista 5

127 5 KN/m) 5 6el-DallAsta 6el-INERFACE 6el-SLIPBEAM m) Figra 5.9 Cra carga-deslocamento para m ponto no meio dos ãos da iga mista O elemento SLIPBEAM tilizado neste trabalho tem sa formlação apresentada no item.. do capítlo. O elemento possi dez gras de liberdade e sa fnções polinomiais para interpolação dos deslocamentos nodais, sendo sado polinômios cúbicos para os deslocamentos transersais, e adráticos para os deslocamentos aiais. O elemento INERFACE tilizado neste trabalho tem sa formlação apresentada no item.. do capítlo. Este elemento de interface retanglar de espessra nla possi doze gras de liberdade e emprega fnções polinomiais para interpolação independente dos deslocamentos nodais da face sperior e inferior. São sados polinômios cúbicos para os deslocamentos transersais, e lineares para os deslocamentos aiais. Se so está condicionado a ação em conjnto com m elemento linear de iga de dois nós, com três gras de liberdade por nó e fnções de interpolação polinomiais, sendo cúbicas para os deslocamentos transersais e lineares para os deslocamentos aiais. Na determinação dos esforços internos foi tilizado integração nmérica sendo sado atro e três pontos de Gass, respectiamente, para os elementos INERFACE e SLIPBEAM. As figras 5. a 5. mostram a deformada transersal do ão simétrico da iga da figra 5., para os deslocamentos do meio do ão de 5. cm,.5 cm e 5. cm. As eações da deformada foram obtidas sando o elemento SLIPBEAM para malhas de oito, doze e dezesseis elementos. 6

128 deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5. Deformada para malha de 8 elementos SLIPBEAM deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5. Deformada para malha de elementos SLIPBEAM deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5. Deformada para malha de 6 elementos SLIPBEAM 7

129 As figras 5. a 5.5 mostram o deslizamento ao longo do ão simétrico da iga mista da figra 5., para os deslocamentos do meio do ão de 5. cm,.5 cm e 5. cm. As eações do deslizamento foram obtidas sando o elemento SLIPBEAM para malhas de oito, doze e dezesseis elementos. deslizamento m) ão da iga m) Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos SLIPBEAM deslizamento m) ão da iga m) Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de elementos SLIPBEAM 8

130 deslizamento m) ão da iga m) Figra 5.5 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 6 elementos SLIPBEAM As figras 5.6 a 5.8 mostram a deformada transersal do ão simétrico da iga da figra 5., para os deslocamentos do meio do ão de 5. cm,.5 cm e 5. cm. As eações da deformada foram obtidas sando o elemento INERFACE para malhas de oito, doze e dezesseis elementos deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5.6 Deformada para malha de 8 elementos INERFACE 9

131 deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5.7 Deformada para malha de elementos INERFACE deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5.8 Deformada para malha de 6 elementos INERFACE As figras 5.9 a 5. mostram o deslizamento ao longo do ão simétrico da iga mista da figra 5., para os deslocamentos do meio do ão de 5. cm,.5 cm e 5. cm. As eações do deslizamento foram obtidas sando o elemento INERFACE para malhas de oito, doze e dezesseis elementos.

132 .6. deslizamento m) ão da iga m) Figra 5.9 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos INERFACE.6 deslizamento m) ão da iga m) Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de elementos INERFACE.6. deslizamento m) ão da iga m) Figra 5. Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 6 elementos INERFACE

133 Como pode ser obserado atraés das figras 5.7 a 5.9, os resltados para os elementos implementados neste trabalho são praticamente idênticos aeles fornecidos pelo elemento implementado por Dall Asta e Zona a). A peena diferença e pode ser obserada nas cras das figras 5.7 a 5.9 proaelmente pode ser eplicada atraés das diferenças entre as cras tensão-deformação dos materiais adotadas pelos diferentes atores, principalmente em relação à consideração do ramo descendente na resistência do concreto. Além disso, os modelos tilizados para o cálclo dos esforços resistentes da seção são diferentes: modelo de fibras, sado por Dall Asta e Zona a), e modelo analítico, sado neste trabalho. O modelo de fibras dee conergir para o mesmo resltado, mas não foi possíel aaliar a densidade de fibras empregada pelos atores no trabalho original. Na comparação das respostas fornecidas pelos elementos implementados neste trabalho, figra 5.7 a 5.9, percebe-se, apesar da peena diferença, ma melhor conergência do elemento SLIPBEAM em relação ao elemento INERFACE. Isto pode ser eplicado deido à melhor aproimação dos deslocamentos aiais no primeiro caso. 5.. Viga mista com três apoios e carregamento concentrado simétrico É apresentada neste item a solção nmérica do problema de iga mista com interação parcial apresentada na figra 5.. O mesmo problema foi resolido por Salari e Spacone ) onde são definidas as leis constittias dos materiais representadas pelas cras da figra 5.. Figra 5. Viga mista com interação parcial Salari e Spacone, ).

134 Na análise nmérica do problema da figra 5., Salari e Spacone ) tilizam m elemento baseado em deslocamentos. Este elemento possi dez gras de liberdade e sa fnções polinomiais na interpolação dos deslocamentos nodais, sendo cúbicas para os deslocamentos transersais, e adráticas para os deslocamentos aiais. Salari e Spacone ) assmem para o comportamento dos materiais as cras definidas na figra 5. e definem a resistência do concreto a compressão como sendo f c 7. 6MPa e a sa deformação correspondente dada por ε c. 5. Para o aço assme-se a tensão de escoamento f 96. 5MPa e o módlo de deformação E s 5. MPa, considerando ma taa de amortecimento para a cra de.5. Para a coneão entre a laje de concreto e o perfil de aço os atores definem ma coneão de cisalhamento distribída niformemente τ N / mm e se deslizamento correspondente de. 5mm. Figra 5. Leis constittias dos materiais Salari e Spacone, ). Os resltados nméricos do problema da figra 5. obtidos por Salari e Spacone ) e pelos elementos implementados neste trabalho são apresentados na figra 5.5, onde encontra-se representadas as cras e relacionam o carregamento aplicado P ao deslocamento ertical, ilstrados na figra 5..

135 Figra 5. Leis constittias dos materiais tilizadas neste trabalho. Na análise nmérica realizada sando os elementos implementados neste trabalho foram tilizadas as leis constittias dos materiais apresentadas na figra 5.. Da mesma forma e no eemplo anterior, estas cras deem obedecer ao formato geral e define a relação tensão-deformação de m material definido no item. do capítlo. Ao comparar as cras dos materiais tilizadas pelos diferentes atores figra 5. e 5.) percebe-se e os limites de tensão e deformação são os mesmos, porém as cras tilizadas para este trabalho são aproimações polinomiais das cras tilizada em Salari e Spacone ), alendo ressaltar e os atores não disponibilizaram as epressões analíticas das relações tensão-deformação e saram modelo de fibras. 6 P KN/m) 8 6 8el-Salari e Spacone 8el-SLIPBEAM 8el-INERFACE m) Figra 5.5 Cra carga-deslocamento de m ponto no meio dos ãos da iga mista.

136 Na determinação dos esforços internos foi tilizado integração nmérica sendo sado atro e três pontos de Gass, respectiamente, para os elementos INERFACE e SLIPBEAM. As figras 5.6 e 5.7 mostram a deformada transersal e o deslizamento ao longo do ão simétrico da iga da figra 5., para os deslocamentos do meio do ão de 5. mm,. mm e. mm. As eações da deformada e do deslizamento foram obtidas sando o elemento SLIPBEAM para ma malha de oito elementos. deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5.6 Deformada para malha de 8 elementos SLIPBEAM.6 deslizamento m) ão da iga m) Figra 5.7 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos SLIPBEAM 5

137 As figras 5.8 e 5.9 mostram a deformada transersal e o deslizamento ao longo do ão simétrico da iga da figra 5., para os deslocamentos do meio do ão de 5. mm,. mm e. mm. As eações da deformada e do deslizamento foram obtidas sando o elemento INERFACE para ma malha de oito elementos. deslocamento ertical m) ão da iga m) Figra 5.8 Deformada para malha de 8 elementos INERFACE.8.6 deslizamento m) ão da iga m) Figra 5.9 Deslizamento ao longo do ão simétrico para malha de 8 elementos INERFACE Os elementos SLIPBEAM, INERFACE são os mesmos tilizados no item anterior desta seção. Como pode ser obserado atraés da figra 5.5, os resltados para os elementos implementados neste trabalho são próimos àeles apresentados pelo elemento 6

138 implementado por Salari e Spacone ). A diferença e pode ser obserada nas cras das figras 5.5 pode ser eplicada atraés das diferenças entre as cras tensãodeformação dos materiais adotadas pelos diferentes atores. Obsera-se ma menor rigidez do modelo implementado neste trabalho nas fases iniciais de carregamento, sendo e à medida e os deslocamentos se aproimam do alor máimo as cras conergem. Uma eplicação possíel é o maior aproeitamento do concreto tracionado no modelo de Salari e Spacone ). 5.5 EXEMPLO DE RELIÇA MISA A solção de problemas de igas mistas com interação parcial e seção transersal ariáel ao longo do eio longitdinal, como no caso de treliça mista, sando o elemento finito com deslizamento SLIPBEAM), geraria ma resposta aproimada da solção nmérica esperada, ma ez e para cada elemento da discretização da treliça mista seria sada ma seção transersal representatia para simlar a ariação desta ao longo do elemento finito. Em contrapartida, se for tilizado o elemento de interface INERFACE) associado ao elemento nidimensional de iga BEAMD), o problema de treliça mista pode ser tratado como m pórtico plano e sa resposta será conforme o esperado. Diante do eposto no parágrafo anterior resole-se o problema da figra 5. com intito de ilstrar a aplicação do elemento de interface na solção de problemas de treliça mista. Figra 5. reliça mista com interação parcial. 7

139 Na análise nmérica realizada foram tilizadas as cras tensão-deformação dos materiais apresentadas na figra 5.. Figra 5. Leis constittias dos materiais A figra 5. a segir ilstra a discretização da treliça mista em elementos lineares de iga e elementos de interface retanglares com espessra nla. Figra 5. Discretização em elementos finitos da treliça mista. O elemento nidimensional de iga tilizado na análise nmérica é o elemento BEAMD citado no item 5.. deste capítlo, e o elemento de interface tilizado na análise é o elemento INERFACE também citado no item 5.. com sa formlação detalhada no capítlo deste trabalho. A Figra 5. mostra o resltado da análise nmérica para o problema da figra 5. atraés da cra e relaciona o carregamento aplicado a treliça mista com o se deslocamento ertical do meio do ão. 8

140 Figra 5. Cra carga-deslocamento de m ponto no meio do ão da treliça mista. A forma ase tri-linear da cra da figra 5. dee-se às peenas seções dos elementos de aço do pórtico representatio da treliça mista da figra 5., o seja, iniciada a plastificação da seção transersal destes elementos rapidamente toda a seção estará plastificada, formando assim rótlas plásticas. O ponto A da cra da figra 5. representa a formação da primeira rótla plástica. Com o amento do carregamento forma-se mais ma rótla plástica, indicada na figra 5. pelo ponto B. A partir deste ponto, a cra aproimadamente horizontal indica ma incapacidade da estrtra de resistir ao carregamento eterno. A dificldade de obtenção de trabalhos com ênfase em solções nméricas de treliças mistas com interação parcial impossibilito a comparação da solção sando o elemento de interface implementado neste trabalho com otras solções obtidas. No entanto, os eemplos dos itens anteriores comproam a eficácia do elemento de interface em análise nmérica de igas mistas com interação parcial. A figra 5. abaio ilstra a deformada da treliça mista para três estágios da cra P da figra 5., 5 mm, mm e mm. 9

141 Figra 5. Deformada da treliça mista 5mm, mm e mm). Atraés da figra 5.5 e detalha a região mais solicitada da treliça mista percebese para o estágio de carregamento mm a incapacidade dos banzos inferiores e speriores do centro da treliça mista de sportarem ao acréscimo do carregamento eterno, o e é eidenciado atraés da deformada destes trechos, como se pode er na figra 5.5. Figra 5.5 Detalhes da deformada da treliça mista. a) mm 5mm, b) mm e c)