O que é um Modelo Matemático?

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1 1 1 O que é um Modelo Matemático? Conjunto de equações que relacionam as variáveis que caracterizam o rocesso e reresentam adequadamente o seu comortamento. São semre aroximações da realidade! Modelos diferentes ara diferentes objectivos e tios de rocessos. Comromisso entre facilidade de uso e exactidão. 2

2 2 Objectivos da Modelação Melorar a comreensão do rocesso; Treinar o essoal ara a oeração da unidade; Desenvolver uma estratégia de controlo ara um rocesso novo; Otimizar as condições oeratórias do rocesso. 3 Tios de Modelos Modelos Teóricos desenvolvidos usando rincíios básicos de química, física e biologia; Modelos Emíricos obtidos or ajuste a resultados exerimentais; Modelos Semi-Emíricos combinação de modelos dos dois tios anteriores. 4

3 3 Características dos Modelos Teóricos Fornecem informação sobre o comortamento do sistema; São alicáveis em gamas largas de condições; São disendiosos e difíceis de construir; Normalmente incluem arâmetros difíceis de obter. Emíricos Mais fáceis de desenvolver; Não extraolam adequadamente gama de utilização limitada. Semi-Emíricos Incororam conecimento teórico; Podem ser utilizados em gamas de condições mais extensas; Necessitam menos esforço de desenvolvimento que os modelos teóricos. 5 Desenvolvimento de Modelos Definir os objectivos e finalidade ara o modelo estabelecer o nível de detale e a recisão requeridos; Desenar um diagrama do rocesso e identificar todas as variáveis de rocesso; Listar todos os ressuostos necessários; Escrever as equações de conservação necessárias; Escrever as relações algébricas necessárias (termodinâmica, cinética, condições geométricas, etc.); Efectuar uma análise de graus de liberdade; Simlificar o modelo dentro das ossibilidades; Classificar as variáveis de entrada como erturbações (cargas) ou maniuladas. 6

4 4 Classificação de Modelos Modelos de arâmetros globais ou agruados - assumem que as variáveis deendentes não variam com a localização esacial no rocesso, or ex.: um tanque erfeitamente agitado. Modelos de arâmetros distribuídos consideram que as variáveis deendentes variam com a localização esacial no rocesso. 7 Equações de Conservação (Balanços) Balanços materiais: Velocidade de Entrada de Saída de Velocidade de acumulação do = comonente comonente + formação do comonente i i i comonente i Balanços energéticos: Velocidade de Entrada de Saída de Energia acumulação de = energia or energia or + trocada or + energia convecção convecção condução Trabalo líquido realizado sobre o sistema 8

5 5 Análise de Graus de Liberdade Listar todas as quantidades que são, reconecidamente, constantes; Determinar o número de equações (N E ) e o número de variáveis de rocesso (N V ); Calcular o número de graus de liberdade (N F = N V - N E ); Se N F <0 rever o modelo; Identificar as N E variáveis de saída que serão obtidas or solução do modelo; Identificar as N F variáveis de entrada que devem ser esecificadas, ou como erturbações ou como variáveis maniuladas. 9 Diferentes Tios de Termos num Modelo Variáveis deendentes são calculadas a artir da solução das equações do modelo. Variáveis indeendentes requerem esecificação elo utilizador e reresentam graus de liberdade. Parâmetros, tais como densidades ou constantes de velocidade, são constantes usadas nas equações do modelo. 10

6 6 Modelos Mecanísticos: Exemlo do Tanque q Conservação de massa: F dm = qρ Fρ m = Aρ F = k d A = q k V = A Equação diferencial não linear Equação algébrica 11 Modelos Mecanísticos: Exemlo Reactor CSTR Pressuostos Volume constante e conecido Não á B na alimentação Mistura erfeita Perdas de calor desrezáveis Proriedades constantes (ρ, C, H, U) T c não deende da osição ao longo de toda a serentina de arrefecimento Equações Algébricas Constante cinética: k = k 0 ex(-e/rt) A B Velocidade Transfer. de calor: Q = UA(T c -T) 12

7 7 Exemlo Reactor CSTR: Equações do Modelo Balanço de Massa d( ρv ) = 0 = wi w = ρqi ρq qi = q Balanço ao Comonente d( M AVc A) = M AqicAi M AqcA M AVr dca V = q( cai ca) Vk0 ex( E / RT ) c Balanço Entálico d [ ρvc ( T T )] ρvc dt ref = w C ( T T i i ref A ) wc ( T T ) + ( H ) rv + Q = ρqc ( Ti T) + ( H ) Vk0 ex( E / RT ) ca + UA( Tc T ) ref 13 Estrutura do Modelo Proriedades 2 equações diferenciais ordinárias (ODEs) Temo é a variável indeendente modelo dinâmico Não linear requer solução numérica Graus de liberdade 8 variáveis desconecidas (q; Q; C Ai ; T i ; C A ; T; K, T c ) 4 equações ( 2 diferenciais+ 2 algébricas) Necessário esecificar 4 variáveis: q; C Ai ; T i ; T c Nomenclatura C A (t) e T(t) são variáveis de estado q(t), C Ai (t), T i (t) e T c (t) são variáveis de entrada ossíveis Ordem do sistema = número de variáveis de estado 14

8 8 Integração Numérica q Integrando numericamente o modelo odem obter-se os valores da altura de líquido no tanque em função dos valores de q F Integração numérica elo método de Euler d = 1 A q k A V = A 1 k ( t+ t) = ( t) + ( q - ) t A A 15 Integração numérica de ODE s Exactidão e estabilidade são asectos imortantes. Reduzir o asso de integração melora a exactidão e a estabilidade dos métodos de integração exlícitos. Habitualmente as ODE s que reresentam o comortamento dinâmico de sistemas de controlo de rocessos químicos não são muito rígidas (stiff). Como consequência, o método de Euler é abitualmente o método de integração mais fácil de alicar e mais efectivo. 16