Variáveis de Estado e Equações de Estado Desenvolvimento de Modelos Matemáticos

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1 Variáveis de Estado e Equações de Estado Desenvolvimento de Modelos Matemáticos Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 1 / 40

2 Roteiro 1 Variáveis de Estado e Equações de Estado Variáveis de Estado Equações nas Variáveis de Estado 2 Desenvolvimento de Modelos Matemáticos Estado Estacionário Comportamento Dinâmico 3 Exemplos Tanque de Nível Tanque de Mistura Tanque de Mistura Térmica Reator Bioquímico 4 Atividades Complementares Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 2 / 40

3 Variáveis e Equações de Estado A caracterização do comportamento de um sistema requer: 1 quantidades dependentes fundamentais: descrevem o estado do sistema 2 equações nas variáveis fundamentais: descrevem como o estado do sistema varia com o tempo e no espaço (comportamento dinâmico e no espaço) Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 3 / 40

4 Variáveis de Estado Quantidades fundamentais de interesse na Engenharia Química: massa massa específica, pressão energia = concentração, vazão momento temperatura, etc nem sempre medidas direta e convenientemente podem ser medidas convenientemente para determinar as quantidades fundamentais VARIÁVEIS DE ESTADO Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 4 / 40

5 Equações de Estado Relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) com o tempo e a posição (variáveis independentes): princípio de conservação (massa, energia, momento) EQUAÇÕES DE ESTADO EQUAÇÕES E modelo matemático VARIÁVEIS do DE ESTADO processo Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 5 / 40

6 Equações de Estado continuação Como resultado obtém-se: comportamento dinâmico: equações diferenciais (+ algébricas) comportamento estacionário: equações algébricas (+ diferenciais: posição) Na representação de muitos processos químicos com equações e variáveis de estado (Espaço de Estados), todas as equações diferenciais ordinárias não-lineares do modelo matemático do sistema são equações de primeira ordem. O número dessas equações diferenciais é igual a ordem do sistema. Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 6 / 40

7 Modelos Matemáticos O projeto de controladores requer uma representação matemática dos fenômenos físicos e químicos envolvidos. Portanto, a modelagem é uma etapa muito importante no controle de processos. A modelagem pode ser realizada através dos seguintes enfoques: 1. experimental: perturba-se o processo já existente e observa-se o seu comportamento dispendioso (pode requerer um grande número de experimentos) lento e cansativo, podendo ser perigoso sistema pode ainda não existir validade limitada (válido somente para as condições dos experimentos) pouca informação física do processo (parâmetros com pouco ou nenhum significado físico) modelo é fácil de construir e usar eqs. de diferença Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 7 / 40

8 Modelos Matemáticos continuação 2. teórico: o comportamento é obtido a partir da aplicação dos princípios básicos da engenharia química (termodinâmica, cinética, fenômenos de transporte, etc) valores dos parâmetros físicos desconhecidos ou com erros processo muito complexo (dificuldade na aplicação dos princípios básicos) faixa ampla de aplicação balanços de quantidade de movimento, energia e massa eqs. diferenciais e algébricas (DAE) entrada {z } através das fronteiras do sistema + geração {z } dentro do sistema - saída {z } através das fronteiras do sistema 3. híbrido: teoria associada ao experimento - consumo {z } dentro do sistema = acúmulo {z } dentro do sistema Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 8 / 40

9 Modelos Matemáticos estudo de caso 6 Tanque de Aquecimento com Agitação quantidades fundamentais 1 massa total de líquido no tanque 2 energia total no tanque variáveis de estado 1 massa total: m = ρv = ρah 2 energia total: E = U + K + P tanque estático: dk para líquidos: du = dp dh = 0 de com H entalpia total e H = ρvc p (T T ref ) = ρvc p T onde C p calor específico e T ref temperatura de referência: T ref = 0 3 variáveis de estado: h e T = du Estudo de Caso. E 6 E 6 I J 3 D 8 = F H. I J A I E 6 E. 6 Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 9 / 40

10 6 Modelos Matemáticos estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação parâmetros constantes: ρ, A, C p equações de estado 1. balanço de massa total (BM) d(ρah) A dh = ρfi1 + ρfi2 ρf = Fi1 + Fi2 F Estudo de Caso. E 6 E 6 I J 3 D 8 = F H. I J A I E 6 E. 6 observe que, segundo o modelo, T não afeta h! (e também Ti1, Ti2 e Fst não afetam h) Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 10 / 40

11 6 Modelos Matemáticos estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação equações de estado 2. balanço de energia total (BE) d(ρahc p T ) = ρc p Fi1Ti1+ρC p Fi2Ti2+Q C p ρft Estudo de Caso. E 6 E 3 D. E 6 E. 6 A d(ht ) = Fi1Ti1 + Fi2Ti2 + Q ρc p FT aplicando a regra da multiplicação: d(ht ) = T dh + h dt 6 I J 8 = F H. I J A I Ah dt = Fi1Ti1 + Fi2Ti2 + Q ρc p FT Fi1T Fi2T + FT }{{} BM: TAdh/ Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 11 / 40

12 Modelos Matemáticos estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação Ah dt = Fi1(Ti1 T ) + Fi2(Ti2 T ) + Q ρc p observe que, segundo o modelo, h afeta T! (e também Fi1, Fi2 afetam T ) equações adicionais (constitutivas) equações que expressam o equilíbrio termodinâmico, taxas de reação, transportes de calor, massa e quantidade de movimento, etc: transporte de energia: Q = UA t (Tst T ), com UA t = afst b transporte de quantidade de movimento: F = k h Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 12 / 40

13 Modelos Matemáticos estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação equações de estado Após a inclusão das equações constitutivas tem-se: dh dt = k h A = 1 A + Fi1 A + Fi2 A Fi1 + Fi2 + afstb ρc p h BM T + 1 A Fi1Ti1 h + 1 Fi2Ti2 + 1 afst b Tst A h A ρc p h BE Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 13 / 40

14 Estado Estacionário ("Steady-State") Solução das equações (algébricas) obtidas do modelo dinâmico fazendo-se ẋ = 0: 0 = f(x s, u s ) onde f é linear: solução única e trivial f é não-linear: solução pode não ser única (múltiplos estados estacionários CSTR) pode exigir métodos numéricos adequados Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 14 / 40

15 Estado Estacionário ("Steady-State") graus de liberdade Análise do Número de Graus de Liberdade O número de graus de liberdade disponível para a solução de um conjunto de equações é igual a Pode-se ter: f = V (ariáveis) E (quações) f < 0: em geral não há solução para o modelo f = 0: o modelo pode ser resolvido para as n variáveis dependentes x i. Normalmente, as m entradas são especificadas. f > 0: infinitas soluções são possíveis Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 15 / 40

16 Estado Estacionário ("Steady-State") estudo de caso Tanque de Aquecimento com Agitação equações estacionárias h s = 1 k 2 (Fi1 s + Fi2 s ) 2 T s = 1 Fi1 s + Fi2 s + afstb s ρc p ( ) Fi1 s Ti1 s + Fi2 s Ti2 s + afstb s Tst s ρc p Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 16 / 40

17 Estado Estacionário ("Steady-State") estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação número de graus de liberdade V: Fi1 s, Ti1 s, Fi2 s, Ti2 s, Fst s, Tst s, h s, T s = 8 E: f 1 (x s, u s ) = 0, f 2 (x s, u s ) = 0 = 2 ( ) f = 6 especificando Fi1 s, Ti1 s, Fi2 s, Ti2 s, Fst s, Tst s f = 0, calcula-se h s, T s Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 17 / 40

18 Estado Estacionário ("Steady-State") estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação parâmetros: k = m 5/2 /min a = 3, kcal/min 2/3.m. o C b = 1/3 ρ = kg/m 3 C p = 1 kcal/kg. o C A = 1 m 2 especificações: Fi1 s = m 3 /min Ti1 s = 18 o C Fi2 s = m 3 /min Ti2 s = 20 o C Fst s = m 3 /min Tst s = 120 o C Como resultado do sistema de equações: h s = 1m e T s = 104, 5 o C Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 18 / 40

19 Estado Estacionário ("Steady-State") estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação comportamento estacionário Fi1 s = 10% Fi1 s { hs = 0, 1025m T s = 0, 6580 o C Fst s = 50% Fst s { hs = 0m T s = 1, 6898 o C Fi1 s = 10% Fi1 s { hs = 0, 0975m T s = 0, 6681 o C Fst s = 50% Fst s { hs = 0m T s = 3, 2763 o C Sobre não-linearidades: são observadas em ambas as variáveis h e T, para ambas as perturbações em Fi1 e Fst quanto maior a amplitude da perturbação, mais a não-linearidade se destaca Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 19 / 40

20 Estado Dinâmico Resolução do modelo dinâmico conhecendo-se parâmetros e condições iniciais. modelo dinâmico Tanque de Aquecimento com Agitação dh dt = k h A = 1 A + Fi1 A + Fi2 A Fi1 + Fi2 + afstb ρc p h T + 1 A Fi1Ti1 h + 1 Fi2Ti2 + 1 afst b Tst A h A ρc p h condições iniciais: h(t = 0) = h s, T (t = 0) = T s parâmetros: ρ, A, C p, k, a, b Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 20 / 40

21 Estado Dinâmico estudo de caso Tanque de Aquecimento com Agitação 1.15 Degrau em Fi1 (± 10%) 1.1 h (m) degrau + degrau t (min) T ( o C) degrau + degrau t (min) Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 21 / 40

22 Estado Dinâmico estudo de caso (continuação) Tanque de Aquecimento com Agitação Degrau em Fst (± 50%) degrau + degrau h (m) t (min) T ( o C) degrau + degrau t (min) Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 22 / 40

23 Estado Dinâmico estudo de caso (continuação) Sobre não-linearidades: as não-linearidades ficam também evidentes a partir da análise dinâmica do sistema, principalmente com uma maior amplitude da perturbação Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 23 / 40

24 Modelos Matemáticos Exemplo: Tanque de Nível Obtenha o modelo de um tanque de nível de seção reta uniforme de área A, ao qual é adaptado uma resistência ao fluxo, tal como uma válvula. Suponha que a vazão volumétrica F, através da resistência, se relaciona com a altura de líquido h pela relação F = k h. Uma vazão volumétrica F o de líquido e massa específica constante ρ alimenta o tanque. Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 24 / 40

25 Modelos Matemáticos D D Exemplo (continuação). ). Figura: Tanque de nível Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 25 / 40

26 Modelos Matemáticos Solução Balanço de Massa Global dm d(ρah) ρa dh dh = ρf o ρf, com m = ρv = ρah = ρf o ρf = ρf o ρf = F o A F A Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 26 / 40

27 Modelos Matemáticos continuação Equações Auxiliares: fenômenos de transporte F = k h Modelo Não-Linear: equação de estado (espaço de estado) dh = F o A k h A, h(0) = h s onde k h é um termo não-linear. Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 27 / 40

28 Modelos Matemáticos Exemplo: Tanque de Mistura Obtenha o modelo de um tanque de mistura de volume constante V, do qual uma corrente contendo sal dissolvido escoa com uma vazão volumétrica constante F. Uma corrente de líquido com concentração de sal C o alimenta o tanque. Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 28 / 40

29 Modelos Matemáticos Exemplo (continuação) + 8 Figura: Tanque de mistura Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 29 / 40

30 Modelos Matemáticos Solução Balanço de Massa por Componente: sal dm d(vc) V dc dc = FC o FC, com m = VC = F(C o C) = F (C o C) = F V (C o C) Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado) dc = F V (C o C), C(0) = C s Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 30 / 40

31 Modelos Matemáticos Exemplo: Tanque de Mistura Térmica Obtenha o modelo de um tanque de mistura térmica de volume constante V, do qual uma corrente escoa com uma vazão volumétrica constante F. Uma corrente de líquido com temperatura T o alimenta o tanque. Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 31 / 40

32 Modelos Matemáticos Exemplo (continuação) 6 8 Figura: Tanque de mistura térmica Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 32 / 40

33 Modelos Matemáticos Solução Balanço de Energia Total considerando energia total: E = U + K + P tanque estático: dk para líquidos: du = dp dh = 0 de = du com H entalpia total e H = ρvc p (T T ref ) = ρvc p T onde C p calor específico e T ref temperatura de referência: T ref = 0 Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 33 / 40

34 Modelos Matemáticos continuação Balanço de Energia Total d(ρvc p T ) dt ρvc p dt = ρc p FT o ρc p FT = ρc p F(T o T ) = F V (T o T ) Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado) dt = F V (T o T ), T (0) = T s Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 34 / 40

35 8 : Modelos Matemáticos Exemplo: Reator Bioquímico Obtenha o modelo de um reator bioquímico tanque-contínuo com mistura perfeitamente agitada, isotérmico e com volume constante. Uma corrente com substrato puro alimenta o reator.. 5 B. 5 Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 35 / 40

36 Modelos Matemáticos Solução Balanço de Massa por Componente: biomassa dm X dvx dx = FX f FX + Vr X, com m X = VX = FX f FX + Vr X = F V X f F V X + r X Definindo D = F /V, taxa de diluição, e considerando nenhuma biomassa na alimentação, X f = 0, tem-se dx = DX + r x Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 36 / 40

37 Modelos Matemáticos continuação Balanço de Massa por Componente: substrato dm S dvs ds ds = FS f FS Vr S, com m S = VS = FS f FS Vr S = F V S f F V S r S = (S f S)D r S Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 37 / 40

38 Modelos Matemáticos continuação Equações Auxiliares: cinética bioquímica r X = µx, com µ = µ máxs k m+s+k 1 S 2 Y = r X r S, com Y = inibição por substrato biomassa produzida substrato consumido r S = r X Y Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado) dx ds com µ = = (µ D)X, X(0) = X s = (S f S)D µx Y, S(0) = S s µ máx S k m + S + k 1 S 2 apresentando vários termos não-lineares: µx, S 2. Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 38 / 40

39 Leitura I Leitura Complementar Próxima aula: apostila do Prof. Wu a, capítulos 8 e 9 (volume I). livro do Stephanopoulos b, capítulos 8 e 9. livro do Marlin c, capítulo 4. livro do Seborg et al. c, capítulo 4. a Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, b Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, c Marlin, T. E., Process Control. Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance. 2 nd Edition, McGraw-Hill, New York, USA, d Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1 st Edition, John Wiley, New York, USA, Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 39 / 40

40 Vídeos I e-lessons Prof. Marlin Modelling and Analysis for Process Control - Part I. Laplace Transform Solution of Differential Equations Modelling and Analysis for Process Control - Part II. Transfer Functions and Block Diagrams Modelos Matemáticos (CP1) DEQ/UFSCar 40 / 40