Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química 2014/1

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química COQ 790 ANÁLISE DE SISTEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA 2: Variáveis de processo; Classificação de modelos; Equações constitutivas; Modelagem do CSTR não isotérmico 2014/1

2 Classificação de Variáveis em um Modelo Matemático VARIÁVEIS DE ENTRADA (pertubações) PROCESSO (variáveis i de estado e parâmetros) VARIÁVEIS DE SAÍDA (respostas) Variáveis de estado são aquelas que definem plenamente o processo. Exemplos são concentrações ou pressões parciais de espécies, temperatura e pressão do meio etc. São as variáveis descritas em balanços de massa, energia e quantidade de movimento, por exemplo. Variáveis de entrada são aquelas que podem ser usadas para causar perturbações à operação do processo. Exemplos são valores de variáveis na corrente de alimentação, vazões, velocidade de agitação, temperatura de operação (em sistemas isotérmicos) etc. Variáveis de saída são aquelas escolhidas para serem usadas na análise do processo: podem ser as próprias variáveis de estado como também o resultado de um cálculo realizado com estas. Por exemplo, uma variável importante em um processo pode ser a viscosidade dos produtos, que pode ser obtida a partir das concentrações e temperatura na saída do processo. Em casos como este, as variáveis de saída podem ser determinadas a posteriori, após a obtenção dos valores das variáveis de estado. Os parâmetros são grandezas que completam os modelos de processo e que não variam durante a operação (ou simulação). Exemplos são constantes cinéticas, dados estequiométricos, coeficientes nas equações que relacionam densidade e calor específico com temperatura etc.

3 Classificação de Variáveis em um Modelo Matemático: Exemplo Reação A + 2B P levada a cabo em um tanque agitado. dca V F ( C C ) Vr e Ae A A dcb V F ( C C ) Vr e Be B B dcp V F ( C C ) Vr e Pe P P C (t 0) C A A0 CB(t 0) C B0 CP (t 0) C P0 r k(t)c C A A B r 2k(T)C C B A B rp k(t)cacb XA CAe C A CAe XB CBe C B CBe Variáveis de estado: C A, C B e C P ; Variáveis de entrada: C Ae, C Be, C Pe,F e e T; Variáveis de saída: X A e X B ; Parâmetro: k 0, E a e V;

4 Classificação de Modelos Empíricos x Teóricos (Fenomenológicos) Modelo matemático fenomenológico: m3 m1 m 2 Dados coletados: m 1 (kg/h) m 2 (kg/h) m 3 (kg/h) Modelo empírico: m3 m1m 2 linear m m m 2 regressão m 3 (kg/h) (dado experimental) m 3 (kg/h) 3.0 (-0.1) 4.0 (+0.1) 3.0 (+0.1) (modelo teórico) m 3 (kg/h) 306(004) 3.06 (-0.04) 395( (+0.05) 05) 286(004) 2.86 (-0.04) (modelo d l empírico) )

5 Classificação de Modelos Empíricos x Teóricos (Fenomenológicos)

6 Classificação de Modelos Lineares x Não Lineares Seja: y f x onde x é o vetor de variáveis independentes e y o vetor de variáveis independentes, não necessariamente com a mesma dimensão, e f é o vetor de funções, com a mesma dimensão de y. O modelo matemático explícito da equação acima é linear se: f u w f u f w onde u e w são vetores quaisquer da mesma dimensão que x e e são escalares. Seja: gz ( ) 0 com z x y O modelo matemático implícito da equação acima é linear se: gu w gu gw

7 Classificação de Modelos Determinísticos x Estocásticos Um modelo determinístico: dy y, com y(0)=y t 0 y(t)=y0e Na EQ, esse modelos vêm dos balanços de massa, energia e quantidade de movimento (uso de princípios físico-químicos), de balanços populacionais (descrição de populações p de indivíduos) ) e de modelos empíricos (ajuste j empírico de dados de planta) Modelos estocásticos: possuem total ou parcialmente variáveis probabilísticas. Na vida real, medições de variáveis resultam em valores que podem variar de uma repetição a outra; Essas variáveis são ditas aleatórias, estocásticas, estatísticas ou probabilísticas; Mas... porque isso ocorre? Em alguns casos a aleatoriedade reside no próprio fenômeno físico; Em outros casos, existe informação insuficiente sobre a variável ou falta de técnicas para obter a informação requerida Processos químicos e bioquímicos convivem com sinais ruidosos durante sua operação!

8 Sejam: x e y variáveis determinísticas; X e Y variáveis aleatórias; erro x(t) Modelo Determinístico ti y(t) x(t) Modelo Determinístico y(t) Y(t) x(t) X(t) Modelo Determinístico ti Y(t)

9 Classificação de Modelos Concentrados x Distribuídos Como massa, energia e quantidade de movimento se distribuem no espaço? Em um sistema concentrado, não existem variações espaciais nos valores das variáveis do processo, ou essas variações são desprezíveis. Uma variável se concentra em um único valor ao longo do espaço. Em um sistema distribuído, existem variações espaciais nos valores das variáveis do processo. Uma variável se distribui em valores ao longo do espaço. Arquétipos desses sistemas: O CSTR (ideal) O PFR (ideal)

10 Exemplo: o estágio de equilíbrio em uma coluna de destilação, extração e processos similares:

11 Exemplo: tanque de mistura para mistura de fluidos ou para reações químicas

12 Exemplo: Reação química em um tubo Himmelblau, Process Analysis and Simulation Deterministic Systems

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14 Estacionários x Dinâmicos Modelos estacionários: Taxas de acúmulo nos vários balanços de interesse são iguais a zero; Historicamente, as técnicas clássicas de projeto em EQ para operações unitárias, reatores químicos etc. lidaram quase inteiramente com operações em estado estacionário; Modelos dinâmicos: Quando controle de processos se tornou amplamente considerado, observou-se que a operação em regime transiente deveria receber mais importância; Projetar a planta em EE e, então, adicionar os sistemas de controle foram consideradas práticas inadequadas; Assim, tanto as unidades quanto o controle deveriam ser projetados simultaneamente. 2 C C C D v kc t 2 z z C C C(0, z) C 0(z), C(t,0)=C 0(t), 0 z z L

15 Classificação de modelos fenomenológicos quanto à estrutura matemática: Tipo de equações Equações algébricas Caso em que se aplica modelo estacionário de sistemas concentrados Equações diferenciais ordinárias (1) modelo dinâmico de sistemas concentrados problemas de condição inicial; (2) modelo estacionário de sistemas distribuídos em apenas uma direção espacial problemas de valores no contorno; (3) modelo dinâmico de sistemas distribuídos após processo de discretização nas direções espacias problemas de condições iniciais. Equações diferenciais parciais (1) modelo estacionário de sistemas distribuídos em mais de uma variável espacial; (2) modelo dinâmico de sistemas distribuídos. Equações de diferenças (1) modelo estacionário de sistemas em estágios; (2) modelo estacionário de sistemas distribuídos após processo de discretização nas direções espaciais. Equações diferenciais de diferenças (1) modelo dinâmico de sistemas em estágios; (2) modelo dinâmico de sistemas distribuídos após processo de discretização nas direções espaciais; (3) modelo dinâmico de sistemas de polimerização com balanços de todas as espécies poliméricas envolvidas (dimensão infinita).

16 Classificação de modelos fenomenológicos quanto à estrutura matemática: Equações Algébricas (estado estacionário, sistema concentrado) Equações Integrais (sistemas contínuos) Equações Diferenciais (sistemas contínuos) Equações de Diferença (sistemas discretos, estado estacionário) Equações Diferenciais Parciais Equações Diferenciais Ordinárias Estado estacionário (sistema distribuído) Estado transiente (sistema distribuído) Estado estacionário (sistema distribuído) Estado transiente (sistema concentrado) Eq. de Diferença Unidimensional (conexão unidimensional de sub-sistemas concentrados) Equações Diferenciais e de Diferença (qualquer tipo de conexão de sistemas concentrados ou distribuídos ou em regime transiente) Eqs. de Diferença Multidimensionais (mais de uma conexão unidimensional de sub-sistemas concentrados) Himmelblau, Process Analysis by Statistical Methods, 1969.

17 Equações Constitutivas São equações auxiliares que completam o modelo matemático fornecendo relações entre as suas variáveis. Exemplos: Equações de estado: Pv RT a P (vb) RT v 2 Taxas de reação: r 2 A kcacb Relações de equilíbrio: yi Kixi Taxas de transferência de calor: Q UAT Fluxo através de válvulas: F Cvf(x) Pv

18 O processo: Exemplos de Modelos de Processos Modelagem Matemática do CSTR Não Isotérmico alimentação V produtos alimentação líquido refrigerante vaso de reação parede líquido refrigerante V c saída líquido refrigerante

19 Modelagem Matemática do CSTR Não Isotérmico Hipóteses simplificadoras: H0: Hipótese fundamental que agrega a aplicabilidade de todas as leis físicas, como a conservação da massa e energia ou a lei de Fourier para a condução de calor. H1: A mistura é perfeita, de modo que as concentrações C j, a temperatura da reação T e T c,a temperatura da camisa de resfriamento, são todas independentes da posição, embora possam ser função do tempo. Os volumes V e V c são constantes, como também as vazões volumétricas q j e a temperatura das correntes de alimentação, T jf. O trabalho realizado pelas palhetas de agitação pode ser ignorado. H2: A taxa de reação é uma função r(c 1,...,C s,t) de modo que a taxa de variação no número de moles de A j, por unidade de volume, devido apenas à reação química, é jr. H3: A transferência de calor para os lados interno e externo da parede do reator, sendo as temperaturas de superfície denotadas por T i e T o, respectivamente, pode ser descrita por coeficientes de transferência h i eh o, de modo que o calor transferido por unidade de área é dado por h i (T-T i )eh o (T o -T c ), respectivamente. H4: A capacidade calorífica da mistura reacional não varia significativamente. H5: O sistema está em estado estacionário. H6: A curvatura da parede é desprezível e suas quinas podem ser ignoradas. H7: A condutividade térmica da parede é extremamente elevada. H8: A capacidade calorífica da parede é desprezível. H9: A resposta da camisa de resfriamento é virtualmente instantânea. H10: A reação é de primeira ordem e irreversível como relação ao componente-chave.

20 Modelagem Matemática do CSTR Não Isotérmico A reação: 1 A 1 r A r r 1 A r 1 s A s j = coeficiente estequiométrico de A j (>0 para produto, <0 para reagente) Consideremos A 1 o componente-chave ou reagente limitante: r(c 1,...,C s,t) = taxa de reação do componente-chave com 1 =1 H2 Logo: rj jr(c 1,...,C s,t) para j=1,...,s. H2: A taxa de reação é uma função r(c 1,...,C s,t) de modo que a taxa de variação no número de moles de A j, por unidade de volume, devido apenas à reação química, é j r.

21 Modelagem Matemática do CSTR Não Isotérmico Balanço molar da espécie j: Taxa de acúmulo Taxa de Taxa de Taxa de formação de mols de A j alimentaçãoretirada ou consumo de no reator de A j de A j A j por reação dcj V qc jf qc j j Vr(C 1,...,C s,t) H0-H2 H2 H0: Hipótese fundamental que agrega a aplicabilidade d de todas as leis físicas, como a conservação da massa e energia ou a lei de Fourier para a condução de calor. H1: A mistura é perfeita, de modo que as concentrações C j, a temperatura da reação T e T c,a temperatura da camisa de resfriamento, são todas independentes da posição, embora possam ser função do tempo. Os volumes V e V c são constantes, t como também as vazões volumétricas q j e a temperatura das correntes de alimentação, T jf. O trabalho realizado pelas palhetas de agitação pode ser ignorado.

22 Modelagem Matemática do CSTR Não Isotérmico Balanço de energia da mistura reacional: d s s s j j j f j f j j Ah c j 1 j 1 j 1 V Ch q C h q Ch T T H1 h j = entalpia por mol da espécie j

23 Rearranjos: dc j V qcjf qcj jvr(c 1,...,C s,t) dc j Vhj qc jfh j qch j j jhvr(c j 1,...,C s,t) s dc s s s j V h j q C jf h j q Ch j j Vr(C 1,...,C s,t) j h j j1 j1 j1 j1 d s s s j j j f j f j j Ah c j 1 j 1 j 1 V Ch q C h q Ch T T s dcj hj s s j f j f j j Ah c j1 j1 j1 V q C h q Ch T T s dhj s dcj s s j j jf jf j j c j 1 j 1 j1 j1 Ah V C V h q C h q Ch T T

24 s dh j s dc j s s j j jf jf j j c j 1 j 1 Ah j1 j1 V C V h q C h q Ch T T s dc s s s j Vhj qcjfhj qcjhj Vr(C 1,...,C s,t) jhj j1 j 1 j 1 j 1 - s dhj s s V Cj qc jf (hjf h j) jhj Vr(C 1,...,C s,t) Ah T Tc j1 j1 j1 Agora vejam: s j1 h j j = variação de entalpia devido à reação química (H)

25 Mais: dh j j dh dt Cp dt j dt Capacidade calorífica molar de j s dh s j C dt dt j CjCpj Cp j 1 j1 Capacidade calorífica volumétrica média da mistura Agora vejam: f p * * j j j f h h Cp T T * * j j j h h Cp T T s s q C jf h jf h j q jf j f f C Cp T T qcp T T j1 j 1 H4 H4: A capacidade calorífica da mistura reacional não varia significativamente.

26 Voltando, então, ao balanço de energia: V C q C (h h ) h Vr(C,...,C,T) T T s dhj s s j jf jf 1 s c j j j Ah j 1 j1 j1 H dt Cp qcp T f T dt VCp qcp T T H Vr(C,...,C,T) T T Ah f 1 s c taxa de calor adicionado calor retirado calor calor acúmulo através da através da gerado removido pela de energia corrente corrente pela camisa de no reator de alimentação de saída reação resfriamento

27 Balanço de energia para a camisa de resfriamento: VCp dt qcp T T T T +Ah c c c c c cf c c Portanto, até aqui o modelo é o seguinte: dcj V qcjf qcj jvr(c 1,...,C s,t) j=1,,s dt VCp qcp T T H Vr(C,...,C,T) T T Ah f 1 s c VCp dt qcp T T T T +Ah c c c c c cf c c H0-H4 (s+2) EDOs acopladas; fenomenológico, determinístico, dinâmico, concentrado, potencialmente não-linear.

28 O modelo estacionário: 0 qcjf qcj jvr(c 1,...,C s,t) j=1,,s Ah 0 qcp T T H Vr(C,...,C,T) T T f 1 s c H5 +Ah 0 q Cp T T TT c c cf c c (s+2) equações algébricas acopladas; fenomenológico, determinístico, estacionário, concentrado, potencialmente não-linear. H5: O sistema está em estado estacionário.