Lista de Exercícios Controle de Processos 2

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1 Lista de Exercícios Controle de Processos 2 Ronaldo DEQ/UFSCar 1) Alguns sistemas de controle multimalhas são apresentados a seguir Para cada um deles, explique se o mesmo está correto e funcionará; isto é, os controladores poderão manter suas variáveis controladas próximas de seus valores de referência? Se o sistema de controle não funcionar, sugira modificações para corrigir a sua não-funcionalidade Comente, também, de forma qualitativa, sobre a existência de maior ou menor interação entre as malhas Finalmente, descreva a função de cada malha presente no sistema de controle: a) trocador de calor com by-pass L L K? J H I F I E A I + 6 Malha de Controle 1 Solução a válvula de controle desta malha ( three-way valve ) atua na divisão do fluxo entre o trocador de calor e a linha de by-pass o ajuste desta válvula não altera substancialmente a resistência total ao fluxo total esta válvula tem um forte impacto sobre a temperatura de saída no trocador de calor, seja pela variação das taxas de transferência de calor ocorridas no seu interior e no ponto de mistura, e um impacto menor sobre o fluxo total a função desta malha é então controlar a temperatura de saída do trocador de calor, o que de fato está ocorrendo 1

2 ! Malha de Controle 2 a válvula de controle desta malha atua na resistência ao fluxo total esta válvula tem um forte impacto sobre o fluxo total e um impacto menor sobre a temperatura de saída no trocador de calor a função desta malha é então controlar o fluxo total (taxa de produção) no trocador de calor, o que de fato está ocorrendo Em princípio, as malhas implementadas devem interagir pouco Somente uma análise quantitativa permitirá avaliar a intensidade dessa interação e a compatibilidade entre a extensão da janela operacional do sistema de controle e do processo b) fluxo e pressão de um gás em dois tanques Solução Malha de Controle 1 o fluxo total (taxa de produção) pode ser ajustado alterando a resistência ao fluxo de qualquer das válvulas de controle presentes o uso da válvula desta malha é aceitável qualquer alteração nas resistências ao fluxo das outras válvulas pode ser compensada alterando a resistência ao fluxo desta válvula Malhas de Controle 2 e 3 ao se controlar as pressões no segundo e terceiro tanques, que são adjacentes, implicitamente a diferença de pressão entre os dois tanques é especificada (P2 P3) observe que esta diferença de pressão entre o segundo e terceiro tanques depende da abertura da válvula do fluxo total (malha 1 ) e da abertura da válvula entre estes dois tanques nenhuma delas está sendo utilizada no controle de (P 2 P 3) portanto, especificando o fluxo total (malha 1 ) e as pressões nos segundo e terceiro tanques (ou a diferença P2 P3) não é consistente, não sendo controlável 2

3 #! "! Para corrigir o projeto, deve-se controlar as pressões no segundo e terceiro tanques e o fluxo total independentemente Isto é alcançado utilizando a válvula entre os dois tanques para controlar a pressão no segundo tanque (a segunda válvula deve permanecer parcialmente ou totalmente aberta) Assim, a diferença de pressão (P2 P3) é afetada pelo ajuste de uma das válvulas de controle c) reator CSTR + 6 H A B H E C A H J A I A J F E J F H H A B H E C A H J A Solução Malha de Controle 1 malha de controle do nível (conteúdo) do meio reacional 3

4 A! esse controle do inventário afeta o tempo de residência e a área de transferência de calor, influenciando na taxa de reação esta malha deve ser implementada antes das demais, pois está associada a uma variável de integração Malha de Controle 2 malha de controle da temperatura do meio reacional, modificando a taxa de transferência de calor entre o fluido refrigerante e o conteúdo do reator controlando a temperatura, controla-se, indiretamente, a quantidade do produto, pois temperatura e composição podem estar relacionadas pela equação de Arrhenius o sinal de comando dessa malha é o sinal de referência para a malha do controle de fluxo do fluido refrigerante, num esquema de controle em cascata O I F 6 I F A O 6 + J H + 6 O I F? I F + J H O? 8 L K 5 A I H 6 H K J H 6 2 H? A I I G K A J O? 2 H? A I I H A J H O 6 5 A I H 6 H K J H 6 6 D F H E H E! D I A? H E Malha de Controle 3 Diagrama de blocos do controle em cascata malha de controle do fluxo de refrigerante mantém a vazão de refrigerante no seu valor desejado esse valor é fornecido pela malha do controle de temperatura ( set point remoto) reduz-se, assim, o efeito de perturbações na vazão de refrigerante na malha de temperatura Malha de Controle 4 malha de controle da temperatura do meio reacional modifica a taxa de transferência do trocador de calor de aquecimento da alimentação dos reagentes Malha de Controle 5 4

5 ! malha de controle do fluxo de alimentação dos reagentes Conflito Entre Malhas A temperatura do reator é controlada por duas malhas de controle com set points de igual valor Isto não é aceitável: as malhas 2 e 4 irão brigar e nunca conseguirão atingir um estado estacionário, porque muitas combinações entre pré-aquecimento e resfriamento geram a mesma temperatura do reator Solução Deve-se remover uma das malhas de temperatura ou usar split range control para ajustar um dos sistema de controle da temperatura (não os dois simultaneamente!), de modo a ampliar a janela operacional do processo d) tambor flash + 2 2) Determine o número de graus de liberdade para controle do sistema tambor flash Esses graus de liberdade são suficientes para atender todos os objetivos operacionais? Discuta quais seriam as principais variáveis manipuladas entre todas as variáveis possíveis Usando argumentos heurísticos e o comportamento do processo, discuta a melhor configuração de controle para o sistema, utilizando múltiplas malhas simples Descreva a função de cada malha de controle As equações do modelo são: balanço de massa total (conteúdo do vapor desprezível): balanço de massa do componente i: Aρ dh dt F f (F V + F L ) Aρ d(hx i) dt F f z i (F V y i + F L x i ), i 1, 2,, 1 balanço de energia: C p,l A d(ht) dt C p,f F f T f (C p,v F V T + C p,l F L T) + UA s (T s T) 5

6 F 6 ) D equilíbrio líquido-vapor: y i K i (T, p)x i, i 1, 2,, coeficiente global de transferência de calor: U f(w s, T s, T, A s ) restrições de consistência: x i 1 e i1 y i 1 i1 L F H O E 8 E A J F B E 6 B B L F C K 6 I 9 I G K E 3) Um reator químico com separador flash e reciclo é analisado Responda: a especifique um conjunto razoável de objetivos de controle b desenhe malhas de controle para atender esses objetivos c descreva a função de cada malha de controle d tente elaborar um modelo simplificado do processo e avalie o número de graus de liberdade para o controle do sistema 6

7 CF2 alimentação ( A puro) CF1 V1 CT1 CT3 CT4 V3 CT5 C1 CT7 CF5 V8 fase vapor ( B) V2 CT2 CF3 CT6 CF4 CP1 óleo quente água de refrigeração V9 Reator Exotérmico A B CT9 V5 CT8 V7 óleo quente V6 Tambor Flash C2 CF6 V4 fase líquida ( A) reciclo 4) Três correntes com vazões F 1 133, 4 mol/h, F 2 33, 3 mol/h e F d 33, 3 mol/h e composições x 1 0, 8, x 2 0, 2 e x d 0, 2 de um mesmo soluto, no estado estacionário, são misturadas fornecendo um única corrente com vazão F e composição x Quantas malhas de controle serão necessárias para regular a composição e vazão da corrente de mistura? Analise o número de graus de liberdade para controle desse sistema e verifique qual configuração de controle apresenta a menor interação entre Solução Análse do úmero de Graus de Liberdade para Controle Equações do Modelo: equações do balanço de massa F(t) F 1 (t) + F 2 (t) + F d (t) (1) F(t)x(t) F 1 (t)x 1 (t) + F 2 (t)x 2 (t) + F d (t)x d (t) (2) Graus de Liberdade para Controle úmero de Origem Equações E 2 Balanços de Massa [eqs 1, 2] Total 2 úmero de Tipo Variáveis V 8 F, x, F 1, x 1, F 2, x 2, F d, x d balanços de massa Total 8 7

8 Qual o melhor pareamento (configuração)? úmero de Graus de Liberdade para Controle f f V E especificando perturbações: F d, x d, x 1, x 2 úmero de Graus de Liberdade para Controle (final) f F, x #1 { F1 F F 2 x { F1 x ou #2 F 2 F Linearizando O Balanço de Massa Global (eq 1) é linear, mas o Balanço de Massa por Componente (eq 2) necessita ser linearizado Linearizando Substituindo as aproximações acima na eq 2 Fx x s + (x x s ) + x s (F ) F 1 x 1 F 1s x 1s + F 1s (x 1 x 1s ) + x 1s (F 1 F 1s ) F 2 x 2 F 2s x 2s + F 2s (x 2 x 2s ) + x 2s (F 2 F 2s ) F d x d F ds x ds + F ds (x d x ds ) + x ds (F d F ds ) x s + (x x s ) + x s (F ) F 1s x 1s + F 1s (x 1 x 1s ) + x 1s (F 1 F 1s ) + Cancelando os termos semelhantes F 2s x 2s + F 2s (x 2 x 2s ) + x 2s (F 2 F 2s ) + F ds x ds + F ds (x d x ds ) + x ds (F d F ds ) x + x s F x s F 1s x 1 + x 1s F 1 F 1s x 1s + F 2s x 2 + x 2s F 2 F 2s x 2s + F ds x d + x ds F d F ds x ds Subtraindo o balanço estacionário x s F 1s x 1s + F 2s x 2s + F ds x ds da equação acima x + x s F F 1s x 1 + x 1s F 1 + F 2s x 2 + x 2s F 2 + F ds x d + x ds F d x + x s (F 1 + F 2 + F }{{} d ) F 1s x 1 + x 1s F 1 + F 2s x 2 + x 2s F 2 + F ds x d + x ds F d F e escrevendo o resultado em x x F 1s x 1 + (x 1s x s )F 1 + F 2s x 2 + (x 2s x s )F 2 + F ds x d + (x ds x s )F d x F 1s x 1 + x 1s x s F 1 + F 2s x 2 + x 2s x s F 2 + F ds x d + x ds x s F d (3) Matriz Função de Transferência G(s) 8

9 A Matriz Função de Transferência para a análise da Matriz do Ganho Relativo (RGA) é formada a partir das funções de transferência entre as variáveis de saída e entrada: ( ) ( ) ( ) F(s) g11 (s) g 12 (s) F1 (s) x(s) g 21 (s) g 22 (s) F 2 (s) }{{} G(s) As Funções de Transferências g ij (s) são obtidas a partir da aplicação da Transformada de Laplace nas eqs 4 e 5 F(t) F 1 (t) + F 2 (t) + F d (t) (4) x(t) F 1s x 1 (t) + x 1s x s F 1 (t) + F 2s x 2 (t) + x 2s x s F 2 (t) + F ds x d (t) + x ds x s F d (t) segundo as relações abaixo: g 11 (s) g 12 (s) g 21 (s) g 22 (s) F(s) F 1 (s) 1 F(s) F 2 (s) 1 x(s) F 1 (s) x 1s x s x(s) F 2 (s) x 2s x s A Matriz Função de Transferência G(s) fica então igual a ( ) ( F(s) 1 1 x x(s) 1s x s Matriz do Ganho Relativo Λ(s) x 2s x s ) } {{ } G(s) Em um sistema 2 2, a matriz do ganho relativo ( ) λ11 (s) λ Λ(s) 12 (s) λ 21 (s) λ 22 (s) é obtida a partir do elemento λ 11 (s) λ 11 (s) 1 1 g 21(s)g 12 (s) g 11 (s)g 22 (s) 1 1 (1)(x 1s xs) Fs (1)( x 2s xs ) Fs 1 x 2s x s x 1s +x s x 2s x s ( ) F1 (s) F 2 (s) x 2s x s x 2s x 1s onde x s é calculado do Balanço de Massa do Componente (eq 2) no estado estacionário Portanto, x s F 1sx 1s + F 2s x 2s + F ds x ds Λ(s) (133, 4)(0, 8) + (33, 3)(0, 2) + (33, 3)(0, 2) (133, , , 3) ( ) 0,67 0, 33 0, 33 0,67 A configuração de controle que apresenta a menor interação entre as malhas é 9 (5) 0, 2 0, 6 0, 2 0, 8 2 0, , 6

10 #1 { F1 F F 2 x 5) Satisfeito com os resultados alcançados com o problema dos tempos mortos, seu chefe solicita que você analise agora um certo sistema multivariável com quatro saídas y 1, y 2, y 3 e y 4 as quais podem ser controladas por quatro entradas m 1, m 2, m 3 e m 4 Ele deseja que você investigue qual a melhor configuração de controle para esse processo, tal que possam melhor avaliar o projeto a ser encaminhado pela firma que instalará um novo sistema de controle do processo em questão Garimpando informações da firma antiga e conversando com os amigos operadores, você conseguiu montar a seguinte matriz função de transferência y 1 y 2 y 3 y 4 0,34 0,85s+1 0,41 2,41s+1 0,30 2,54s+1 0,21 0 0,42s+1 0,66 0 1,51s+1 0,49 0,20 1,54s+1 2,71s ,46(0,90s+1) 0,07s 2 +0,30s+1 3,72 0,80s+1 4,71 0,08s 2 +0,41s+1 1,03(0,23s+1) 0,07s 2 +0,31s+1 Explique a configuração escolhida, mostrando os resultados (Atenção: dois pareamentos são óbvios e podem ser removidos por inspeção: explique Eliminando esses pareamentos o sistema se reduz a um problema 2 2 Você também pode avaliar a melhor configuração calculando a matriz do ganho relativo Λ(s) como λ ij (s) g ij (s)h ij (s), onde h ij (s) é o (i, j) elemento de H(s) (G(s) 1 ) T ) 6) Avalie a interação entre as duas malhas de controle de uma coluna de destilação operando a partir de duas configurações de controle diferentes: LV e DV Para tanto obtenha e analise a Matriz do Ganho Relativo (RGA) estacionária, Λ(0), para cada uma das configurações de controle anteriores As matrizes função de transferência da malha aberta são apresentadas abaixo, para cada uma das configurações LV e DV Qual das configurações LV e DV apresenta menor interação entre as malhas? Justifique [ xd (s) x B (s) ] [ 2,454e s 20s+1 3,270e s 22s+1 3,493e s 22s+1 5,519e s 20s+1 ] [ L(s) V (s) ] m 1 m 2 m 3 m 4 configuração LV [ xd (s) x B (s) ] [ 1,438e s 20s+1 1,917e s 20s+1 3,493e s 22s+1 5,519e s 20s+1 ] [ D(s) V (s) ] configuração DV 7) Considere a matriz função de transferência abaixo Investigue, baseado na Matriz dos Ganhos Relativos (RGA) estacionária, Λ(0), qual das configurações de controle 2 2 que apresenta menor 10

11 interação entre as malhas Justifique y 1 y 2 y 3 0,66e 2,6s 6,7s+1 1,11e 6,5s 3,25s+1 33,68e 9,2s 8,15s+1 0,61e 3,5s 8,64s+1 2,36e 3s 5s+1 46,2e 9,4s 10,9s+1 0,0049e s 9,06s+1 0,012e 1,2s 7,09s+1 0,87(11,61s+1)e s (3,89s+1)(18,8s+1) u 1 u 2 u 3 O que você pode dizer sobre as configurações [ u1 y 1, u 2 y 3, u 3 y 2 u 1 y 1, u 2 y 2, u 3 y 3 Solução Matriz do Ganho Relativo Λ(0): problema 2 2 Observe que a malha u 1 y 1 já foi implementada A análise da Matriz do Ganho Relativo (RGA) será, então, baseada no sistema restante, formado pelas saídas y 2, y 3 e as entradas u 2, u 3 : ( ) ( ) g22 (0) g G(0) 23 (0) 2, 36 0, 012 K g 32 (0) g 33 (0) 46, 2 0, 87 Em um sistema 2 2, a matriz do ganho relativo ( ) λ11 (0) λ Λ(0) 12 (0) λ 21 (0) λ 22 (0) é obtida a partir do elemento λ 11 (0) λ 11 (0) 1 1 k 21k 12 k 11 k ( 0,012)(46,2) ( 2,36)(0,87) 1, 37 Portanto, ( ) 1,37 0, 37 Λ(0) 0, 37 1,37 A configuração de controle que apresenta a menor interação entre as malhas é Matriz do Ganho Relativo Λ(0): problema 3 3 (u 1 y 1 ) u 2 y 2 u 3 y 3 Para o sistema completo g 11 (0) g 12 (0) g 13 (0) 0, 66 0, 61 0, 0049 G(0) g 21 (0) g 22 (0) g 23 (0) K 1, 11 2, 36 0, 012 g 31 (0) g 32 (0) g 33 (0) 33, 68 46, 2 0, 87 11

12 Em um sistema 3 3, a matriz do ganho relativo λ 11 (0) λ 12 (0) λ 13 (0) Λ(0) λ 21 (0) λ 22 (0) λ 23 (0) λ 31 (0) λ 32 (0) λ 33 (0) é obtida a partir do produto elemento por elemento, tal que λ ij (0) g ij (0)h ij (0), sendo h ij (0) o (i, j) elemento de H(0) (K 1 ) T Portanto, 1,94 0, 67 0, 27 Λ(0) 0, 66 1,90 0, 24 0, 28 0, 23 1,51 A configuração de controle que apresenta a menor interação entre as malhas é u 1 y 1 u 2 y 2 u 3 y 3 12