Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle

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1 Representação de Modelos Dinâmicos em Espaço de Estados Graus de Liberdade para Controle Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 1 / 69

2 Roteiro 1 Modelo Não-Linear Modelo Não-Linear Monovariável Modelo Não-Linear Bivariável Variáveis Desvio Modelo Não-Linear Multivariável 2 Linearização e Modelo Linear Invariante no Tempo 3 Graus de Liberdade para Controle 4 Exemplos Tanque de Nível Linear e Não-Linear Tanques de Nível Sem Interação Tanques de Nível Com Interação 5 Atividades Complementares Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 2 / 69

3 Espaço de Estados ("State Space Representation" Linearização é o procedimento pelo qual aproximam-se sistemas não-lineares por lineares. É largamente utilizada na investigação da dinâmica de processos e no projeto de sistemas de controle, pois: permite desenvolver soluções analíticas. Soluções analíticas indenpendem dos valores dos parâmetros e variáveis de entrada. Soluções numéricas de sistemas não-lineares fornecem somente o comportamento dos sistemas para valores específicos das entradas e parâmetros ferramentas para o projeto e análise de sistemas de controle são em sua maioria limitadas a processos lineares Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 3 / 69

4 Espaço de Estados continuação Seja a equação não-linear dx = f (x Expandindo a função não-linear f (x em uma série de Taylor, em torno do ponto x 0 f (x = f (x 0 + df (x x dx x 0 2! + 1 n! d n f dx n x 0 (x x 0 n d 2 f dx 2 (x x x 0 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 4 / 69

5 Espaço de Estados linearização Desprezando os termos de ordem superior a 1, obtém-se f (x = f (x 0 + df (x x 0 dx x 0 onde a aproximação é satisfatória quando x é próximo de x 0. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 5 / 69

6 Espaço de Estados linearização (continuação N Interpretação Geométrica B N B N B N N N N B N N A aproximação é exata somente em x 0. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 6 / 69

7 Espaço de Estados linearização (continuação Considere o sistema dinâmico dx 1 dx 2 = f 1 (x 1, x 2 = f 2 (x 1, x 2 Expandindo em série de Taylor e desprezando os termos de ordem superior a 1, tem-se para o ponto de linearização(x 10, x 20 f 1 (x 1, x 2 = f 1 (x 10, x 20 + f 1 (x 1 x 10 + x 1 x 10,x 20 f 1 (x 2 x 20 = dx 1 x 2 x 10,x 20 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 7 / 69

8 Espaço de Estados linearização (continuação f 2 (x 1, x 2 = f 2 (x 10, x 20 + f 2 (x 1 x 10 + x 1 x 10,x 20 f 2 (x 2 x 20 = dx 2 x 2 x 10,x 20 As equações anteriores (eqs. diferenciais lineares constituem o modelo aproximado (linearizado do sistema não-linear original. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 8 / 69

9 Espaço de Estados variáveis desvio No estado estacionário 0 = f 1 (x 1s, x 2s 0 = f 2 (x 1s, x 2s Realizando a linearização em torno do estado estacionário (x 1s, x 2s, tem-se =0(EE f 1 (x 1, x 2 = d(x 1 x 1s { }} { = f 1 (x 1s, x 2s + f 1 x 1 x 1s,x 2s (x 1 x 1s + f 1 x 2 x 1s,x 2s (x 2 x 2s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 9 / 69

10 Espaço de Estados variáveis desvio (continuação =0(EE f 2 (x 1, x 2 = d(x 2 x 2s { }} { = f 2 (x 1s, x 2s + f 2 x 1 x 1s,x 2s (x 1 x 1s + f 2 x 2 x 1s,x 2s (x 2 x 2s Define-se, então, as seguintes variáveis desvio (desvio em relação ao estado estacionário s x 1 = x 1 x 1s e x 2 = x 2 x 2s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 10 / 69

11 Espaço de Estados linearização e variáveis desvio Deste modo, o modelo linearizado pode ser escrito em termos das variáveis desvio anteriores e na forma de espaço de estados d x 1 d x 2 = a 11 x 1 + a 12 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ou na forma matricial equivalente ( ( ( x = 1 a11 a = 12 x1 x 2 a 21 a x = A x 22 x2 ( d x1 d x 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 11 / 69

12 Espaço de Estados linearização e variáveis desvio (continuação onde a 11 = f 1 a 12 = f 1 x 1 x 1s,x 2s x 2 a 21 = f 2 a 22 = f 2 x 1 x 1s,x 2s x 2 x 1s,x 2s x 1s,x 2s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 12 / 69

13 Espaço de Estados Modelos matemáticos dinâmicos podem ser representados por conjuntos de equações diferenciais ordinárias de 1 a ordem: ẋ 1 = dx 1 ẋ 2 = dx 2 ẋ n = dx n dx = f 1 (x 1,, x n, u 1,, u m, t, x 1 (0 = x 10 = f 2 (x 1,, x n, u 1,, u m, t, x 2 (0 = x 20. = f n (x 1,, x n, u 1,, u m, t, x n (0 = x n0 ou = f(x, u,t, x(0 = x 0 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 13 / 69

14 Espaço de Estados continuação onde x = (x 1, x 2,, x n T : vetor de estado ("state vector" u = (u 1, u 2,, u m T : vetor de entrada ("input vector" f = (f 1, f 2,, f n T : funções não-lineares Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 14 / 69

15 Espaço de Estados continuação Existem situações onde não se está interessado diretamente no vetor de estado, mas sim em seu efeito sobre o vetor de saída, y: y 1 = h 1 (x 1,, x n, u 1,, u m y 2 = h 2 (x 1,, x n, u 1,, u m. y p = h p (x 1,, x n, u 1,, u m ou y = h(x, u Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 15 / 69

16 Espaço de Estados: "Linear Time Invariant - LTI" A linearização é útil na investigação do comportamento do sistema não-linear nas vizinhanças de pontos de operação estacionária, onde diversos processos contínuos operam de fato. Aplicando-se expansão em série de Taylor em ẋ i = f i (x 1,, x n, u 1,, u m ẋ i = =0(EE { }} { f i (x s, u s + f i (x 1 x 1s + + f i x 1 x n s f i u 1 s (u 1 u 1s + + f i u m (x n x ns + s (u m u ms + R s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 16 / 69

17 Espaço de Estados: LTI continuação e desprezando os termos de ordem superior a 1 ẋ i = f i (x 1 x 1s + + f i (x n x ns + x 1 s x n s f i (u 1 u 1s + + f i (u m u ms u 1 u m s Definindo as variáveis desvio x = x x s e ū = u u s, pode-se escrever a eq. linearizada x i = f i x f i x n + f i ū f i x 1 s x n s u 1 s u m s } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } a i1 a in b i1 b im s u m Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 17 / 69

18 Espaço de Estados: LTI continuação x i = a i1 x a in x n + b i1 ū b im u m onde as constantes a ij e b ij são calculadas de a ij = f i x j s e b ij = f i u j s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 18 / 69

19 Espaço de Estados: LTI continuação Após a linearização, obtém-se um conjunto de equações lineares com coeficientes constantes: x 1 = a 11 x a 1n x n + b 11 ū b 1m u m, x 1 (0 = 0 x 2 = a 21 x a 2n x n + b 21 ū b 2m u m, x 2 (0 = 0. x n = a n1 x a nn x n + b n1 ū b nm u m, x n (0 = 0 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 19 / 69

20 Espaço de Estados: LTI continuação As equações não-lineares das medidas podem também ser linearizadas de forma semelhante: ȳ 1 = c 11 x c 1n x n + d 11 ū d 1m u m ȳ 2 = c 21 x c 2n x n + d 21 ū d 2m u m. ȳ p = c p1 x c pn x n + d p1 ū d pm u m onde ȳ = y y s e c ij = h i x j s e d ij = h i u j s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 20 / 69

21 Espaço de Estados: LTI continuação Em notação vetorial { x = A x + Bū, x 0 = 0 ȳ = C x + Dū LTI Os elementos das matrizes A, B, C e D são invariantes no tempo. Na grande maioria dos casos D = 0: não existe uma conexão direta de u em y. Ela ocorre através dos estados x. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 21 / 69

22 6 Espaço de Estados: LTI estudo de caso Tanque de Aquecimento com Agitação vetores Estudo de Caso x = (h, T T : vetor de estado u = (Fi1, Ti1, Fi2, Ti2, Fst, Tst T : vetor de entrada y = (h, T T : vetor de saída f = (f 1, f 2 T : funções não-lineares: estados h = (h 1, h 2 T : funções não-lineares: saídas. E 6 E 6 I J 3 D 8 = F H. I J A I E 6 E. 6 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 22 / 69

23 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação equações de estado dh dt = k h A = 1 A + Fi1 A + Fi2 A = f 1 Fi1 + Fi2 + afstb ρc p h T + 1 A Fi1Ti1 h + 1 Fi2Ti2 + 1 afst b Tst A h A ρc p h = f 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 23 / 69

24 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação equações de saída y 1 = x 1 = h(h 1 e y 2 = x 2 = T (h 2 modelo LTI { ẋ = Ax + Bu, x0 = 0 y = Cx + Du Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 24 / 69

25 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação A(2 2 a 11 = f 1 = 1 h s 2 k A a 12 = f 1 h s T s = 0 a 21 = f 2 = 1 [( Fi1 s + Fi2 s + afstb s T s h s A ρc p ] Fi1 s Ti1 s Fi2 s Ti2 s afstb s 1 Tst s ρc p hs 2 = 0 (BE no EE a 22 = f 2 = 1 Fi1 s + Fi2 s + afstb s ρc p T s A h s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 25 / 69

26 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação B(2 6 b 11 = f 1 Fi1 = 1 s A b 12 = f 1 Ti1 = 0 s b 13 = f 1 Fi2 = 1 s A b 14 = f 1 Ti2 = 0 s b 15 = f 1 Fst = 0 b 16 = f 1 s Tst = 0 s b 21 = f 2 Fi1 = 1 s Ah s (Ti1 s T s b 22 = f 2 Ti1 b 23 = f 2 Fi2 = 1 s Ah s (Ti2 s T s b 24 = f 2 Ti2 b 25 = f b 1 2 s Fst Ah sρc p (Tst s T s b 26 = f 2 Tst s = abfst = Fi1s s Ah s = Fi2s s Ah s = afstb s s Ah sρc p Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 26 / 69

27 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação C(2 2 c 11 = h 1 h c 21 = h 2 h = 1 c 12 = h 1 s T = 0 s = 0 c 22 = h 2 s T s = 1 C = ( 10 = I 01 D(2 6 D = 0 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 27 / 69

28 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação Aplicando os valores dos parâmetros e variáveis no estado estacionário h s = 1m e T s = 104, 5 o C parâmetros: k = m 5/2 /min a = 3, kcal/min 2/3.m. o C b = 1/3 ρ = kg/m 3 C p = 1 kcal/kg. o C A = 1 m 2 especificações: Fi1 s = m 3 /min Ti1 s = 18 o C Fi2 s = m 3 /min Ti2 s = 20 o C Fst s = m 3 /min Tst s = 120 o C Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 28 / 69

29 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação obtém-se as seguintes matrizes do sistema ( 0, 10 0 A = 0 1, 30 B = ( 1, , , 52 0, 10 84, 52 0, , 04 1, 10 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 29 / 69

30 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação O modelo LTI fica, então, igual a ḣ «««0, 10 0 h = + Ṫ 0 1, 30 T {z } {z } {z } ẋ A x 0 1 Fi1 «Ti1 1, , Fi2 86, 52 0, 10 84, 52 0, , 04 1, 10 {z } BTi2, x 0 = 0 FstA B Tst {z } u «««h 1 0 h = T 0 1 T {z } {z } {z } y C x Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 30 / 69

31 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação Comparando os comportamentos dos modelos não-linear e linearizado h (m degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l Degrau em Fi1 (± 10% t (min T ( o C degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l t (min Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 31 / 69

32 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação h (m Degrau em Fst (± 50% degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l t (min T ( o C degrau nl+ degrau l+ degrau nl degrau l Observa-se o efeito das não-linearidades, especialmente para perturbações com amplitudes elevadas. Isto é, quando se afasta muito do ponto de linearização t (min Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 32 / 69

33 Espaço de Estados: LTI estudo de caso (continuação 6 6? = > D D Diagrama de Fluxo de Sinal O diagrama de fluxo de sinal facilita a visualização das relações envolvidas em sistemas multivariáveis:. I J > # 6 E. E 6 I J > $ > > " > 6 E >!. E >!? = Figura: Diagrama fluxo de sinais da representação linear do sistema Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 33 / 69

34 Graus de Liberdade para Controle O controle desejado de um processo químico será alcançado quando um número suficiente de variáveis forem especificadas para reduzir o número de graus de liberdade a zero: f = V E Um processo cuidadosamente modelado apresentará f > 0. Nestes casos, o sistema ficará completamente especificado quando f equações adicionais forem introduzidas ao modelo, seja pelo: Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 34 / 69

35 Graus de Liberdade para Controle continuação Meio Externo especificando os valores das perturbações, adiciona-se uma equação de especificação para cada uma d i = constante Sistema de Controle a presença de uma malha de controle introduz uma equação adicional entre y i e m j P: m j = K cij (y isp y i Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 35 / 69

36 Graus de Liberdade para Controle continuação Portanto, não se deve especificar mais objetivos de controle do que é possível para determinado processo, do contrário o sistema ficará superespecificado (f < 0; isto é, sem graus de liberdade suficientes para atender aos objetivos de controle. com isso, o número de graus de liberdade para o controle indica a dimensão do problema de controle a ser enfrentado. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 36 / 69

37 Graus de Liberdade para Controle estudo de caso Tanque de Aquecimento com Agitação número de graus de liberdade inicial V: Fi1, Ti1, Fi2, Ti2, Fst, Tst, h, T = 8 E: f 1, f 2 = 2 ( f = 6 6 graus de liberdade devem ser especificados para que f 0. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 37 / 69

38 Graus de Liberdade para Controle estudo de caso (continuação reduzir o número de graus de liberdade 1 meio externo: especificar perturbações especificando Fi1 = constante, Ti1 = constante, Ti2 = constante, Tst = constante f = 6 4 = 2 2 sistema de controle: especificar malhas malha #1 Fi2 = f (h por realimentação malha #2 Fst = f (T por realimentação f = 2 2 = 0 possibilidades de diferentes configurações de controle 2! = 2 1 = 2 (apenas com as variáveis manipuladas escolhidas acima! Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 38 / 69

39 Modelos Não-Linear e Linear Exemplo Verifique o efeito do ponto de linearização na resposta de um tanque de nível de seção reta uniforme de área A = 0, 3 m 2, ao qual é adaptado uma resistência ao fluxo. Suponha que a vazão volumétrica F, através da resistência, se relaciona com a altura de líquido h pela relação F = 8 h. Uma vazão volumétrica F o de líquido e massa específica constante ρ alimenta o tanque. Considere, para efeito de análise, os níveis médios de operação de h s = 1 e 3 m de altura de líquido. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 39 / 69

40 Modelos Não-Linear e Linear D D Exemplo (continuação.. Figura: Tanque de nível Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 40 / 69

41 Modelos Não-Linear e Linear Solução Modelo Não-Linear: equação de estado (espaço de estado Balanço de Massa Global dh = F o A k h A, h(0 = h s Modelo Linear: LTI linearizando o termo F = k h k h = k h s + Substituindo na equação não-linear { k h s + dh = F o A 1 A k 2 h s (h h s k } 2 (h h s h s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 41 / 69

42 Modelos Não-Linear e Linear continuação Modelo Linear: LTI linearizando o termo F = k h Definindo as variáveis-desvio h = h h s e F o = F o F os d h = F o + F os A 1 A { k h s + k } 2 h h s Como Fo s A k h s A = 0 (estado estacionário d h = F o A k 2A h s h + =0(EE hs { }} { F os A k A d h = F o A k 2A h, h(0 = 0 h s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 42 / 69

43 Modelos Não-Linear e Linear continuação Comparando os Comportamentos Dinâmicos dos Modelos Não-Linear e Linear Resolvem-se as seguintes equações diferenciais não-linear: dh linear: d h = F o A k h A, h(0 = h s k 2A h, h(0 = 0 h s = F o A para duas condições estacionárias distintas: 1 h s = 1 m F os = F s = 8 m 3 /min 2 h s = 3 m F os = F s = 13, 86 m 3 /min Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 43 / 69

44 Modelos Não-Linear e Linear continuação Espaço de Estados (CP1 Figura: Degrau em torno h s = 1 m DEQ/UFSCar 44 / 69 Comparando os Comportamentos Dinâmicos dos Modelos Não-Linear e Linear Condições estacionárias 1 h s = 1 m F os = F s = 8 m 3 /min 1.45 Degrau Unitário em Fo: op. 1 h (m não linear linear op. 1 linear op t (min

45 Modelos Não-Linear e Linear continuação Espaço de Estados (CP1 Figura: Degrau em torno h s = 3 m DEQ/UFSCar 45 / 69 Comparando os Comportamentos Dinâmicos dos Modelos Não-Linear e Linear Condições estacionárias 2 h s = 3 m F os = F s = 13, 86 m 3 /min 3.5 Degrau Unitário em Fo: op h (m não linear linear op.1 linear op t (min

46 Modelos Não-Linear e Linear continuação Observe que o modelo linear representa bem a resposta do tanque de nível (não-linear somente quando a linearização é realizada em torno do ponto de operação escolhido. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 46 / 69

47 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação Exemplo Determine as equações de estado, o modelo LTI (linear e o número de graus de liberdade para controle para o sistema representado por dois tanques sem interação, onde F 1 = K 1 h1 e F 2 = K 2 h2. Apresente uma configuração de controle por realimentação para o mesmo. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 47 / 69

48 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação D. Exemplo (continuação. E D. 6 = G K A.! 6 = G K A Figura: Tanques de nível sem interação Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 48 / 69

49 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação Solução Balanço de Massa Global: tanque 1 dm 1 d(ρa 1 h 1 dh 1 ρa 1 dh 1 = ρf i ρf 1, com m 1 = ρv 1 = ρa 1 h 1 = ρf i ρf 1 = ρf i ρf 1 = F i A 1 F 1 A 1 Balanço de Massa Global: tanque 2 dh 2 = F 1 A 2 + F 3 A 2 F 2 A 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 49 / 69

50 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação Equações Auxiliares: fenômenos de transporte tanque #1: F 1 = K 1 h1 tanque #2: F 2 = K 2 h2 Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado dh 1 dh 2 = F i F 1 = F i K 1 A 1 A 1 A 1 = F 1 A 2 + F 3 A 2 F 2 h1 A 1 h1, h 1 (0 = h 1s = K 1 + F 3 K 2 A 2 A 2 A 2 h2 A 2, h 2 (0 = h 2s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 50 / 69

51 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado ẋ = dx = f(x, u, x 0 (0 = x s y = h(x, u onde f = [f 1 f 2 ] T, x = [h 1 h 2 ] T, u = [F i F 3 ] T, y = [h 1 h 2 ] T e dh 2 dh 1 = F i K 1 h1 f 1 = F i K 1 h1 A 1 A 1 A 1 h1 h2 h1 = K 1 + F 3 K 2 f 2 = K 1 + F 3 K 2 A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 A 1 h2 A 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 51 / 69

52 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação Modelo Linear: LTI ẋ = dx = Ax + Bu, x 0 (0 = 0 y = Cx onde x, u e y são variáveis-desvio e a ij = f i x j ij = f i s u j s e c ij = h i x j s. Assim, A(2 2: a 11 = f 1 = 1 K 1 h 1/2 h 1 s 2 A 1s e a 12 = f 1 = 0 1 h 2 s a 21 = f 2 = 1 K 1 h 1/2 h 1 s 2 A 1s e a 22 = f 2 = 1 K 2 h 1/2 2 h 2 s 2 A 2s 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 52 / 69

53 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação B(2 2: C(2 2: C = I b 11 = f 1 F i b 21 = f 2 F i a 11 = 1 e b 12 = f 1 s A 1 F 3 = 0 e b 22 = f 2 F 3 Desta forma, ( dh 1 = 1 ( K 1 h 1/2 1 2 A 1s h 1 + F i, h 1 (0 = 0 } {{ 1 A } } {{ 1 } dh 2 = ( 1 K 1 h 1/2 2 A 1s } 2 {{ } a 21 s ( h 1 + b 11 K 2 1 h 1/2 2 A 2s } {{ 2 } a 22 s ( 1 h 2 + = 0 s = 1 A 2 A 2 } {{ } b 22 F 3, h 2 (0 = 0 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 53 / 69

54 > D =? D Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação. E D >? D = =.! Figura: Diagrama fluxo de sinais da representação linear do sistema Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 54 / 69

55 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação Graus de Liberdade para Controle balanço de informação: f = V E V: F i, F 3, h 1, h 2 = 4 E: f 1, f 2 = 2 (- f = 2 2 graus de liberdade devem ser especificados para que f 0 reduzir o número de graus de liberdade 1 meio externo: especificar perturbações especificando F i = constante f = 2 1 = 1 2 sistema de controle: especificar malhas malha #1 F 3 = f (h 2 por realimentação f = 1 1 = 0 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 55 / 69

56 Modelo LTI e Sistemas Sem Interação continuação D.. E D 6 = G K A..! 6 = G K A + Figura: Sistema de controle por realimentação Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 56 / 69

57 Modelo LTI e Sistemas Com Interação Exemplo Determine as equações de estado, o modelo LTI (linear e o número de graus de liberdade para controle para o sistema representado por dois tanques com interação, onde F 1 = K 1 h1 h 2 e F 2 = K 2 h2. Apresente uma configuração de controle por realimentação para o mesmo. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 57 / 69

58 Modelo LTI e Sistemas Com Interação Exemplo (continuação. E.!. D D. 6 = G K A 6 = G K A Figura: Tanques de nível com interação Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 58 / 69

59 Modelo LTI e Sistemas Com Interação Solução Balanço de Massa Global: tanque 1 dm 1 d(ρa 1 h 1 dh 1 ρa 1 dh 1 = ρf i ρf 1, com m 1 = ρv 1 = ρa 1 h 1 = ρf i ρf 1 = ρf i ρf 1 = F i A 1 F 1 A 1 Balanço de Massa Global: tanque 2 dh 2 = F 1 A 2 + F 3 A 2 F 2 A 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 59 / 69

60 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Equações Auxiliares: fenômenos de transporte tanque #1: F 1 = K 1 h1 h 2 tanque #2: F 2 = K 2 h2 Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado dh 1 dh 2 = F i F 1 = F i K 1 h1 h 2, h 1 (0 = h 1s A 1 A 1 A 1 A 1 = F 1 + F 3 F 2 = K 1 h1 h 2 + F 3 K 2 h2, A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 A 2 h 2 (0 = h 2s Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 60 / 69

61 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado ẋ = dx = f(x, u, x 0 (0 = x s y = h(x, u onde f = [f 1 f 2 ] T, x = [h 1 h 2 ] T, u = [F i F 3 ] T, y = [h 1 h 2 ] T e dh 2 dh 1 = F i K 1 h1 h 2 f 1 = F i A 1 A 1 = K 1 h1 h 2 + F 3 K 2 h2 f 2 = K 1 h1 h 2 A 2 A 2 A 2 K 2 h2 A 2 K 1 h1 h 2 A 1 A 1 A 2 + F 3 A 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 61 / 69

62 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Modelo Linear: LTI ẋ = dx = Ax + Bu, x 0 (0 = 0 y = Cx onde x, u e y são variáveis-desvio e a ij = f i x, b j ij = f i s u j s e c ij = h i x j s. Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 62 / 69

63 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Assim, A(2 2: a 11 = f 1 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 h 1 s 2 A 1 a 12 = f 1 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 h 2 s 2 A 1 a 21 = f 2 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 h 1 s 2 A 2 a 22 = f 2 = 1 K 1 (h 1s h 2s 1 K 2 h 1/2 h 2 s 2 A 2 2 A 2s 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 63 / 69

64 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação B(2 2: C(2 2: C = I b 11 = f 1 F i b 21 = f 2 F i = 1 e b 12 = f 1 s A 1 F 3 = 0 e b 22 = f 2 F 3 s s = 0 s = 1 A 2 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 64 / 69

65 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação Desta forma, dh 1 dh 2 = = [ 1 ] [ ] K 1 (h 1s h 2s 1/2 1 K 1 h 1 + (h 1s h 2s 1/2 h A 1 2 A 1 } {{ } } {{ } a 11 a 12 ( 1 F i, h 1 (0 = 0 A 1 } {{ } b 11 K 1 [ ] 1 (h 1s h 2s 1/2 h A 2 } {{ } a 21 [ 1 K 1 (h 1s h 2s 1/2 1 ] K 2 h 1/2 2s 2 A 2 2 A 2 } {{ } a 22 h 2 (0 = 0 ( 1 h 2 + A 2 } {{ } b 22 F 3, Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 65 / 69

66 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação > D =? D. E D >? D = = =.! Figura: Diagrama fluxo de sinais da representação linear do sistema Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 66 / 69

67 Modelo LTI e Sistemas Com Interação Graus de Liberdade para Controle balanço de informação: f = V E V: F i, F 3, h 1, h 2 = 4 E: f 1, f 2 = 2 (- f = 2 2 graus de liberdade devem ser especificados para que f 0 reduzir o número de graus de liberdade 1 meio externo: especificar perturbações especificando F i = constante f = 2 1 = 1 2 sistema de controle: especificar malhas malha #1 F 3 = f (h 2 por realimentação f = 1 1 = 0 Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 67 / 69

68 Modelo LTI e Sistemas Com Interação continuação. E.!. D D. + 6 = G K A 6 = G K A Figura: Sistema de controle por realimentação Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 68 / 69

69 Leitura I Leitura Complementar Próxima aula: apostila do Prof. Wu a, capítulos 9 e 10 (volume I. livro do Stephanopoulos b, capítulos 9 e 10. livro do Seborg et al. c, capítulos 4 e 5. a Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, b Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, c Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1 st Edition, John Wiley, New York, USA, Espaço de Estados (CP1 DEQ/UFSCar 69 / 69

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