UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA SEM 533 Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos I Resp.: Prof. Tit. Paulo S. Varoto Sistemas de Primeira e Segunda Ordem

2 - OBJETIVOS A presente aula tem os seguintes objetivos principais: Apresentar e discutir as principais características de sistemas de primeira e segunda ordem. Estudar a resposta destes sistemas à entradas conhecidas: degrau unitário, rampa, impulso e outras. Realizar simulações computacionais no ambiente MATLAB para fixação dos conceitos acima. Bibliografia: Doebelin, E. O., System Dynamics: modeling, analysis, simulation and design, Marcel Dekker, 998. Felício, L. C., Modelagem da Dinâmica de Sistemas e Estudo da Resposta, Ed. Rima,

3 2- CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Forma geral de um sistema dinâmico linear de parâmetros concentrados: Entrada q i (t) SISTEMA H(s), h(t) Saída (t) No domínio do tempo a EDO do sistema é escrita como: a n d n dt n + a n d n dt n + + a d dt + a 0 = b m d m q i dt m + b m d m q i +b dq i dt m dt +b o q i SISTEMA ( (t) saída) ENTRADA (q i (t)) () 3

4 No domínio da variável de Laplace com condições iniciais nulas temos: ( a n s n + a n s n + + a s + a ) Q ( 0 o s ) = ( b m s m + b m s m + + b s + b ) Q 0 i ( s) Sendo então a F.T. dada por: Q o s Q i s ( ) = b m s ( ) m + bm s m + +b s +b 0 a n s n + a n s n + + a s + a 0 4

5 A F.T. escrita na forma padrão fica: Q o s Q i s ( ) = ( ) b m a 0 a n a 0 sm + b m a sm + + b 0 a s + b 0 0 a 0 sn + a n sn + + a s + a 0 a 0 Caso particular: F.T. sem numerador dinâmico Q o ( s ) = Q i ( s ) a n a 0 sn + a n a 0 b 0 a 0 sn + + a a 0 s + 5

6 De forma geral a relação entrada-saída pode ser escrita da seguinte forma: Q o s Q i s ( ) = N(s) ( ) D(s) = H(s) E, no domínio de Laplace pode-se obter a saída do sistema a partir da seguinte relação algébrica Q ( o s ) = Q ( i s ) H(s) E a resposta do sistema pode então ser calculada a partir da transformada inversa de Laplace (t) = L ( Q i (s)h(s)) Expressão válida somente para a determinação da resposta de regime permanente! 6

7 SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A forma geral de um sistema de primeira ordem é obtida a partir da Eq. () : a d dt + a 0 = b dq i dt +b o q i Ou de forma mais simplificada: Na forma padrão: a d dt +a 0 = b o q i a a 0 d dt + = b o a 0 q i 7

8 De forma compacta esta última equação pode ser escrita como: τ d dt + = Κq i Onde os parâmetros τ e K são denominados de constante de tempo e ganho de regime permamente, respectivamente. A constante de tempo possui unidade de tempo ([s]) enquanto que a dimensão do ganho de regime é dada pela razão entre a unidade da saída pela entrada ([K] = [ ]/[q i ]). Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados da EDO temos: τ ( sq o (s) (o)) +Q o (s) = KQ i (s) 8

9 Rearranjando esta última expressão temos: s + Q τ o (s) (o) = K τ Q i (s) Devemos observar que esta última expressão inclui a condição inicial ( (0)). Se esta for nula a equação fica s + Q τ o (s) = K τ Q i (s) E com base na definição de F.T. temos então: Q o (s) = K τ Q i (s) s + τ 9

10 E então a resposta no tempo é obtida pela transformada inversa de Laplace: (t) = K τ L Q i (s) s + τ É interessante notar que mesmo no caso da condição inicial não nula ainda podemos obter a solução pelo método da transformada. Neste caso (t) = L K τ Q i (s) s + τ + (o) s + τ 0

11 Ou ainda: (t) = (o)l s + + K τ L Q i (s) τ s + τ Transiente Permanente Como se vê a solução com condições iniciais não nulas ainda é possível. Vejamos a seguir alguns exemplos que ilustram os aspectos teóricos.

12 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM - EXEMPLOS Vamos obter a resposta de um sistema de primeira ordem à entrada degrau unitário mostrada abaixo q i (t) q is = Analiticamente a entrada degrau unitário pode ser expressa como: 0 t < 0 q i (t) = u(t) = t 0 Obs: a notação u(t) ou µ(t) são amplamente usadas para denotar funções degrau! 2

13 A Transformada de Laplace da entrada é dada por: Q i (s) = L ( u(t) ) = s Logo, a solução é dada por (t) = (o)l s + + K τ L s τ s + τ (t) = (o)e τ t + K e τ t = K + ( (o) K )e τ t 3

14 Agora, para um degrau de amplitude não unitária (q is ) temos: (t) = (o)e τ t + Kq is e τ t = Kq is + ( (o) Kq is )e τ t E para condições iniciais nulas ( (0) = 0) temos (t) = Kq is e τ t Vejamos graficamente como ficam as soluções acima 4

15 (t) = Kq is e τ t q is = τ aumenta Resposta de regime permanente de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau unitário e constante de tempo variável! Podemos verificar a influência da constante de tempo τ na velocidade de resposta do sistema! 5

16 Conclusão : A constante de tempo τ interfere diretamente na velocidade de resposta do sistema de primeira ordem e de forma inversamente proporcional. Quanto menor a constante de tempo maior é a velocidade de resposta do sistema pois o mesmo atinge a resposta de regime permanente num intervalo de tempo menor (e vice versa) Façamos agora uma análise admensional da resposta de regime ao degrau unitário: t/τ (t)/kq is (t)/kq is (t)/kq is 0 0 0, , , (t) = e τ t Kq is 2K K.000 t/τ t/τ 6

17 Definição: A constante de tempo de um sistema de primeira ordem τ representa o intervalo de tempo necessário para que o sistema atinja 63,25 % da resposta de regime permanente para uma entradad degrau unitário na origem dos tempos e com condições iniciais nulas. Já o grafico abaixo mostra a influência do ganho de regime K na resposta de regime permanente do sistema: 7

18 Definição: O ganho de regime permanente K (ou sensibilidade estática) é definido como a quantidade de saída que se obtém em regime permanente por cada unidade de entrada aplicada ao sistema. Algébricamente: K = [ (t)] [q i (t)] 8

19 Vejamos agora o caso onde a entrada degrau unitário apresenta um atraso no tempo: q i (t) q is a t q i (t) = q is u(t a) = 0 t < a q is t a E para o cálculo da Transformada de Laplace usamos a seguinte propriedade L ( f(t a) ) = F(s)e as L ( F(s)e as ) = f(t a) Onde F(s) representa a transformada da função não defasada 9

20 Logo para o degrau com atraso temos Q i (s) = q is s e as E para determinarmos a resposta de regime permanente usamos (t) = K τ L Q i (s) s + τ K (t) = q is τ L s s + τ e as (t) = Kq is e τ t a ( ) u(t a) 20

21 Graficamente: 2

22 Vamos agora analisar o seguinte caso q i (t) q i (t) q is q is a b t a t q i (t) = q is u(t a)u(t a) q is u(t b)u(t b) q i (t) b t Q i (s) = q is s e as q is s e bs ( ) = q is s e as e bs -q is 22

23 23 (t) = K τ L Q i (s) s + τ (t) = K τ q is L s s + τ e as s s + τ e bs (t) = Kq is e τ (t a) u(t a) e τ (t b) u(t b) Calculamos agora a resposta de regime permanente do sistema:

24 Graficamente: τ aumenta 24

25 Agora vamos obter a resposta de regime permanente do sistema de primeira ordem à uma entrada do tipo rampa. q i (t) q ir qi (t) = q ir a t = mt Q i (s) = m s 2 a t (t) = K τ L Q i (s) s + τ = K τ ml s 2 s + τ 25

26 (t) = K τ ml s 2 s + τ = K τ q ir a e τ t + τ t u(t) 26

27 Examinemos agora o caso de uma entrada combinada q i (t) q is Analiticamente escrevemos a b t Cuja Transformada de Laplace é q i (t) = q is a tu(t) q is a tu(t a) q u(t b)u(t b) is Q i (s) = q is a q is s 2 a s 2 e as q is s e bs 27