Análise de Laplace. Prof. André E. Lazzaretti

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1 Análise de Laplace Prof. André E. Lazzaretti

2 Introdução Objetivo principal: resolução de equações diferenciais; Similar à análise fasorial: transformação para o domínio da frequência; Vantagens da TL: Álgebra mais simples ; Permite analisar uma gama maior de circuitos; Condições iniciais; Resposta transitória e em regime do circuito com uma única operação.

3 Definição jω Transformada bilateral; F(s) é independente do tempo;

4 Exemplo 1 Calcule a transformada de Laplace das seguinte funções:

5 Tabela de Transformadas Definida para t 0 Incluir u(t)!

6 Propriedades Escala: Prova:

7 Deslocamento no tempo: Prova: Propriedades

8 Propriedades Deslocamento na frequência: Prova:

9 Propriedades:

10 Exemplo 2 Calcule a transformada de Laplace das seguinte funções (utilizando as propriedades):

11 Exemplo 3 Encontre os valores inicial e final da função cuja transformada de Laplace é:

12 Transformada Inversa Procedimento geral: Decompor F(s) em termos mais simples utilizando frações parciais; Utilizar a tabela para determinar a transformada inversa de cada termo.

13 Exemplo 4 Encontre transformada inversa de Laplace:

14 Definição: Integral de Convolução Consiste em inverter no tempo um dos sinais, deslocá-lo e multiplicá-lo ponto a ponto com o segundo sinal e integrar o produto. Visão geral:

15 Integral de Convolução Dobramento: pegue a imagem espelhada de h(λ) em relação ao eixo das ordenadas para obter h(-λ) Deslocamento: desloque ou atrase h(-λ) de t para obter h(t-λ) Multiplicação: determine o produto de h(t-λ) e x(λ) Integração: para um dado instante t, calcule a área sob o produto h(t-λ)x(λ) para obter y(t) em t.

16 Propriedades

17 Exemplo 5 Determine a convolução entre os sinais:

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20 Exemplo 6 Determine a convolução entre os sinais:

21 Aplicações TL na resolução de circuitos; Equações diferenciais resolvidas no domínio da frequência (s); Teoria de sinais e sistemas: Sinal: Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico. Exemplos: tensão, corrente, sinal de voz, imagem, etc. Sistema: é um modelo matemático de um processo físico que estabelece uma relação entre entrada e saída. Exemplo: circuito elétrico.

22 Etapas: Modelos de Circuitos em s Transformar o circuito do domínio do tempo para o domínio s Resolver o circuito usando análise nodal, análise de malhas, transformação de fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos Efetuar a transformada inversa da solução e, portanto, obter solução factível no domínio do tempo

23 Modelos de Circuitos em s

24 Modelos de Circuitos em s Assumindo as condições iniciais nulas:

25 Exemplo 7 Determine v 0 (t) no circuito a seguir, supondo as condições iniciais zero:

26 Exemplo 8 Determine v 0 (t) no circuito a seguir, supondo v 0 (0)=5V :

27 Exemplo 9 Determine i(t) no circuito a seguir para t>0, supondo que a chave move da posição a para a posição b em t=0:

28 Exemplo 10 Determine o valor da tensão no capacitor suponde que v s (t)=10u(t) e que em t=0 flui uma corrente igual a -1A através do indutor, e no capacitor tem uma tensão de +5V:

29 Exemplo 11 Suponha que não haja nenhuma energia armazenada no circuito da figura a seguir em t=0 e que i s (t)=10u(t)a. (a) Determine V 0 (s) usando o teorema de Thévenin. (b) Aplique os teoremas dos valores inicial e final para determinar v 0 (0 + ) e v 0 ( ). (c) Determine v 0 (t).

30 Função de Transferência A função de transferência H(s) é a razão entre a resposta de saída Y(s) e a excitação da entrada X(s), supondo que todas as condições iniciais sejam nulas: Diferentes casos:

31 Função de Transferência Quando a entrada é a função impulso unitário, X(s)=1, então: Y(s)=H(s) ou y(t)=h(t) Portanto: Que é chamada de resposta a um impulso unitário. Função de transferência: transformada de Laplace da resposta ao impulso. Uma vez conhecida h(t) ou H(s), podemos obter a resposta a qualquer entrada usando:

32 Exemplo 12 Determine a função de transferência H(s)=V 0 (s)/i 0 (s) do circuito a seguir.

33 Exemplo 13 Para o domínio s do circuito a seguir, determine: (a) a função de transferência H(s)=V 0 /V i. (b) a resposta ao impulso. (c) a resposta quando v i (t)=u(t). (d) a resposta quando v i (t)=8cos(2t) V.

34 Referências Principalmente: Notas de Aula do Prof. Dr. Alessandro Koerich (PUCPR): Charles K. Alexander; Matthew N. O. Sadiku; Fundamentos de Circuitos Elétricos; 5ª Edição J. David Irwin; Análise Básica de Circuitos Para Engenharia; 10ª Ed. Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin, William H. Hayt; Análise de Circuitos de Engenharia; 8ª Ed Robert Boylestad; Introdução À Análise de Circuitos; 12ª edição